第 8章 数字电路基础知识第 8章 数字电路基础知识
8.1数制和编码
8.2 逻辑代数第 8章 数字电路基础知识
8.1 数制和编码
8.1.1 计数体制常用的计数体制有十进制,二进制,八进制,十六进制等 。
1.十进制数在十进制中,用 0,1,2,…,9这 10个不同的数码按照一定的规律排列起来表示数值的大小,其计数规律是,逢十进一,。 十进制数是以 10为基数的计数体制 。 当数码处于不同的位置时,它所表示的数值也不相同 。 例如,十进制数 785
第 8章 数字电路基础知识
(785)D=7× 102+8× 101+5× 100
括号加下标,D”表示十进制数 。 等式右边中的 102，
101,100,…标明数码在该位的,权,。 不难看出各数位表示的数值就是该位数码 （ 系数 ） 乘以相应的权 。 按此规律,任意一个十进制数 (N)D都可以写成按权展开式
(N)D=Kn-1× 10n-1+Kn-2× 10n-2+…..+K1× 101+K0× 100
=
i
i
n
i
K 10
1
0
式中,Ki代表第 i位的系数,可取 0~9这 10个数码中的任一个； 10i为第 i位的权； n为原数的位数 。 本书只讲整数的数制 。 关于小数数制,请阅读其它资料 。
(8— 1)
第 8章 数字电路基础知识
2,二进制数二进制数是以 2为基数的计数体制 。 它只有 0和 1两个数码,采用,逢二进一,的计数规律 。 任意一个二进制数 (N)B都可以写成按权展开式
(N)B=Kn-1× 2 n-1+K n-2× 2 n-2+…+K1× 21+K0× 20
=
式中,下标,B”表示二进制数； Ki表示第 i位的系数,只能取 0或 1;2i为第 i位的权 ;n为原数总位数 。
i
i
n
i
K 2
1
0
(8— 2)
第 8章 数字电路基础知识例如,四位二进制数 1011，
(1011)B=1× 23+0× 22+1× 21+1× 20
二进制数的运算规则：
加法 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10
乘法 0× 0=0 0× 1=1× 0=0 1× 1=1
从以上可知,二进制数比较简单,只有 0和 1两个数码,并且算术运算也很简单,所以二进制数在数字电路中获得广泛应用 。 但是二进制数也有缺点：用二进制表示一个数时,位数多,读写不方便,而且也难记忆 。
第 8章 数字电路基础知识
3.八进制数八进制数是以 8为基数的计数体制,它用 0,1，
2,…,7这 8个数码表示,采用,逢八进一,的计数规律 。 三位二进制码可用一位八进制码表示 。 任意一个八进制数 (N)O可写成按权展开式
(N)O=K n-1× 8 n-1+K n-2× 8 n-2+…+K1× 81+K0× 80
=
i
i
n
i
K 8
1
0
式中,下标,O”表示八进制数,Ki表示第 i位的系数,可取 0~7这 8个数； 8i为第 i位的权； n为原数总位数 。
第 8章 数字电路基础知识例如,一个三位八进制数 625,可以表示成
(625)O=6× 82+2× 81+5× 80
4.十六进制数十六进制数是以 16为基数的计数体制,它用 0,1，
2,…,9,A,B,C,D,E,F这 16个数码表示,采用
,逢十六进一,的计数规律 。 四位二进制码可用一位十六进制码表示 。 任意一个十六进制数 (N)H可以写成按权展开式
(N)H=K n-1× 16 n-1+K n-2× 16 n-2+…+K1× 161+K0× 160
=
i
i
n
i
K 16
1
0
第 8章 数字电路基础知识例如，一个多位十六进制数 4A8C，可以表示成
(4A8C)H=4× 163+10× 162+8× 161+12× 160
表 8.1为几种计数体制对照表。
第 8章 数字电路基础知识第 8章 数字电路基础知识
8.1.2 数制转换
1.二进制,八进制,十六进制数转换为十进制数将一个二进制,八进制或十六进制数转换成十进制数,只要写出该进制数的按权展开式,然后按十进制数的计数规律相加,就可得到所求的十进制数 。
例 8.1 将二进制数 (1101)B转换成十进制数 。
解 (1101)B=1× 23+1× 22+0× 21+1× 20=(13)D
例 8.2 将八进制数 (156)O转换成十进制数 。
解 (156)O=1× 82+5× 81+6× 80=(110)D
例 8.3 将十六进制数 (5D4)H转换成十进制数 。
解 (5D4)H=5× 162+13× 161+4× 160=(1492)D
第 8章 数字电路基础知识
2.十进制正整数转换为二进制,八进制,十六进制数在将十进制数转换成二进制,八进制,十六进制数时,分别采用,除 2取余法,,,除 8取余法,,,除
16取余法,,便可求得二,八,十六进制数的各位数码
K n-1,K n-2,…,K1,K0。
例 8.4 将十进制数 (35)D转换为二进制数 。
解 采用,除 2取余法,
第 8章 数字电路基础知识
2
2
2
2
2
2
35
17
8
4
2
1
0
…余 1…K0=1
…余 1…K1=1
…余 0…K2=0
…余 0…K3=0
…余 0…K4=0
… 余 1…K 5=1 高位底位最后的商为 0。于是，得
(35)D=(K5 K4 K3 K2 K1 K0)B=(100011)B
第 8章 数字电路基础知识例 8.5 将 (139)D转换成八进制数 。
解
8
8
8
139
17
2
0
…余 3…K0=3
…余 1…K1=1
…余 2…K2=2
高位底位
(139)D=(213)O
得第 8章 数字电路基础知识例 8.6 将 (139)D转换成十六进制数 。
解
16
16
139
8
0
…余 11…K0=B
… 余 8 … K1=8 高位底位得
(139)D=(8B)H
第 8章 数字电路基础知识
3,八进制数,十六进制数与二进制数的相互转换因为 23=8,所以对三位的二进制数来讲,从
000~111共有 8种组合状态,我们可以分别将这 8种状态用来表示八进制数码 0,1,2,…,7。 这样,每一位八进制数正好相当于三位二进制数 。 反过来,每三位二进制数又相当于一位八进制数 。
同理,24=16,四位二进制数共有 16种组合状态,可以分别用来表示十六进制的 16个数码 。 这样,每一位十六进制数正好相当于四位二进制数 。 反过来,每四位二进制数等值为一位十六进制数 。
第 8章 数字电路基础知识例 8.7 将八进制数 （ 625） O转换为二进制数 。
解 （ 625） O＝ （ 110010101） B
例 8.8 将二进制数 (110100111)B转换为十六进制数 。
解 (110100111)B=(1A7)H
当要求将八进制数和十六进制数互相转换时，可通过二进制来完成。
第 8章 数字电路基础知识
8.1.3 编码在二进制数字系统中,每一位数只有 0或 1两个数码,
只限于表达两个不同的信号 。 如果将若干位二进制数码来表示数字,文字符号以及其它不同的事物,我们称这种二进制码为代码 。 赋予每个代码以固定的含义的过程,
就称为编码 。
第 8章 数字电路基础知识
1,二进制编码一位二进制代码可以表示两个信号 。 二位二进制代码可以表示四个信号 。 依此类推,n位二进制代码可以表示 2+n个不同的信号 。 将具有特定含义的信号用二进制代码来表示的过程称为二进制编码 。
第 8章 数字电路基础知识
2,二 —十进制编码所谓二 —十进制编码,就是用四位二进制代码来表示一位十进制数码,简称 BCD码 。 由于四位二进制码有 0000,0001,…,1111等 16种不同的组合状态,故可以选择其中任意 10个状态以代表十进制中 0~9的 10个数码,其余 6种组合是无效的 。 因此,按选取方式的不同,
可以得到不同的二 — 十进制编码 。 最常用的是 8421码 。
第 8章 数字电路基础知识这种编码是选用四位二进制码的前 10 个代码
0000~1001来表示十进制的这 10个数码 。 此编码的特点如下：
(1)这种编码实际上就是四位二进制数前 10个代码按其自然顺序所对应的十进制数,十进制数每一位的表示和通常的二进制相同 。 例如,十进制数 845的 8421
码形式为
(845)D=(100001000101)BCD
第 8章 数字电路基础知识
(2)它是一种有权码 。 四位二进制编码中由高位到低位的权依次是 23,22,21,20（ 即 8,4,2,1）,
故称为 8421码 。 在 8421码这类有权码中,如果将其二进制码乘以其对应的权后求和,就是该编码所表示的十进制数 。
例如：
(1001)BCD=1× 23+0× 22+0× 21+1× 20=(9)D
第 8章 数字电路基础知识
(3)在这种编码中,1010~1111这 6种组合状态是不允许出现的,称禁止码 。
8421码是最基本的和最常用的,因此必须熟记 。
其它编码还有 2421码,5421码等,见表 8.2。
格雷码是常用的一种编码,它的特点是两个相邻的码只有一位不同 。 这种码可靠性高,出现错误的机会少 。
第 8章 数字电路基础知识第 8章 数字电路基础知识第 8章 数字电路基础知识
3,奇偶检验码数码在传送和存取过程中,会发生将,1”码误成
,0”码,,0”码误成,1”码的错误 。 为了检查出这种错误,可采取奇偶校验码的编码方式 。 在这种编码方式中,
代码由两部分组成：一部分是信息位,一部分是检误位 。
若加上去的检误位中,1”码的个数和信息位中,1”码的个数之和为奇数个,则为奇校验码,否则为偶校验码 。 例如,对 8位一组的二进制码来说,若低 7位为信息位,最高位为检误位,码组 1011011的奇校验码为 01011011,而偶校验码为 11011011。 在代码传送的接收端,对所收到的码组中,1”码的个数进行计算,如,1”码的个数与预定的不同,则可判定已经产生了误码 。
第 8章 数字电路基础知识
8.2 逻辑代数逻辑代数又称布尔代数,是英国数学家乔治 ·布尔在 1847年首先创立的 。 逻辑代数是研究逻辑函数与逻辑变量之间规律的一门应用数学,是分析和设计数字逻辑电路的数学工具 。
第 8章 数字电路基础知识
8.2.1 基本概念,基本逻辑运算
1,逻辑变量与逻辑函数逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数,它和普通代数一样有自变量和因变量 。 虽然自变量都可用字母 A,B,C,…来表示,但是只有两种取值,即 0和 1。 这里的 0和 1不代表数量的大小,而是表示两种对立的逻辑状态 。 例如,用,1”和,0”表示事物的,真,与,假,,
电位的,高,与,低,,脉冲的,有,与,无,,开关的,闭合,与,断开,等 。 这种仅有两个取值的自变量具有二值性,称为逻辑变量 。
第 8章 数字电路基础知识普通代数中的函数是,随着自变量变化而变化的因变量,。 同理,逻辑函数就是逻辑代数的因变量 。
它也只有 0和 1两种取值 。 如果逻辑变量 A,B,C,…的取值确定之后,逻辑函数 Y的值也被惟一地确定了,那么,我们称 Y是 A,B,C,…的逻辑函数,
Y=F（ A,B,C,… ） （ 8— 5
第 8章 数字电路基础知识
2,基本逻辑运算所谓逻辑,是指,条件,与,结果,的关系 。 在数字电路中,利用输入信号反映,条件,,用输出信号反映,结果,,从而输入和输出之间就存在一定的因果关系,我们称它为逻辑关系 。 在逻辑代数中,有与逻辑,或逻辑,非逻辑三种基本逻辑关系,相应的基本逻辑运算为与,或,非,对应的门电路有与门,
或门,非门 。
第 8章 数字电路基础知识
1） 与运算
,与运算,又称,与逻辑,或,逻辑乘,。
图 8.1(a)所示的开关电路中,只有当开关 A和 B都闭合,灯 Y才亮； A和 B中只要有一个断开,灯就灭 。
如果以开关闭合作为条件,灯亮作为结果,图 8.1(a)
所示电路可以表示这样一种因果关系：,只有当决定一件事情 （ 灯亮 ） 的所有条件 （ 开关 A,B） 都具备 （ 都闭合 ）,这件事情才能实现 。,这种逻辑关系称为,与逻辑,。 记为
Y=A·B （ 8— 6）
第 8章 数字电路基础知识式中的,·”表示,与运算,或,逻辑乘,,与普通代数中的乘号一样,它可省略不写,也可省略不读 。
与运算的逻辑符号如图 8.1(b)所示 。
( b )
( a )
&A
B
Y ＝ A · B
A B
YE
图 8.1与逻辑关系
(a)与逻辑电路 ; (b)与运算符号第 8章 数字电路基础知识
0·0=0,0·1=0,1·0=0,1·1=1
与运算还可以用真值表来表示 。 所谓真值表,就是将逻辑变量各种可能取值的组合及其相应逻辑函数值列成的表格 。 例如,在图 8.1(a)中,假设开关闭合为
1,开关断开为 0；灯亮为 1,灯灭为 0,则可列出其真值表,如表 8.3所示 。
第 8章 数字电路基础知识表 8.3 与运算真值表
A B C
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
第 8章 数字电路基础知识如果一个电路的输入,输出端能实现与运算,则此电路称为,与门,电路,简称,与门,。 与门的符号也就是与运算的符号 。
根据与门的逻辑功能，还可画出其波形图，如图
8.2所示第 8章 数字电路基础知识
A
B
Y
图 8.2 与门波形图第 8章 数字电路基础知识
2） 或运算
,或运算,又称,或逻辑,或,逻辑加,。
图 8.3(a)所示的开关电路中,开关 A和 B只要有一个闭合,灯 Y就亮 。
如果以开关闭合作为条件,灯亮作为结果,图 8.3(a)
所示电路可以表示这样一种因果关系：,决定一件事情
（ 灯亮 ） 的所有条件 （ 开关 A,B） 中只要有一条具备
（ 开关 A闭合或开关 B闭合 ）,这件事情就能实现 。,这种逻辑关系称为,或逻辑,。 记为
Y=A+B （ 8— 7）
第 8章 数字电路基础知识式中的,+”表示,或运算,或,逻辑加,。 或运算的逻辑符号如图 8.3(b)所示 。
≥1A
B
Y ＝ A ＋ B
A
YE
B
( a ) ( b )
图 8.3 或逻辑关系
(a)或逻辑电路； (b)或运算符号第 8章 数字电路基础知识或运算的运算规则,
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1;
或运算真值表如表 8.4所示 。
我们把输入,输出端能实现或运算的电路称做
,或门,。 其符号也采用或运算的符号 。 工作波形如图 8.4所示 。
第 8章 数字电路基础知识表 8.4 或运算真值表
A B C
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
第 8章 数字电路基础知识
A
B
Y
图 8.4 或门波形图第 8章 数字电路基础知识
3） 非运算
,非运算,又称,非逻辑,。
图 8.5(a)所示的开关电路中,当开关 A闭合时,灯 Y不亮；当开关 A断开时,灯 Y亮,此电路表示的因果关系是：
,条件的具备 （ 开关 A闭合 ） 与事情的实现 （ 灯亮 ） 刚好相反 。,这种逻辑关系称为,非逻辑,关系 。 记为
Y= (8—8)
式中,字母 A上方的横线表示,非运算,,读作,非,,
即,,读作,A非,。 非运算的逻辑符号如图 8.5(b)
所示 。
第 8章 数字电路基础知识
( a ) ( b )
Y
R
AE A Y ＝ A
图 8.5非逻辑关系
(a)非逻辑电路； (b)非运算符号第 8章 数字电路基础知识非运算的运算规则,
=1,=00 1
非运算真值表如表 8.5所示 。
我们把输入,输出端能实现非运算的电路称做,非门,。 非门的符号也就是非运算的符号 。 非门工作波形如图 8.6所示 。
表 8.5 非运算真值表
A Y
0 1
1 0
第 8章 数字电路基础知识
A
Y
图 8.6 非门波形图第 8章 数字电路基础知识
3.复合逻辑用,与,,,或,,,非,三种基本逻辑运算的各种不同组合可以构成,与非,,,或非,,,与或非,,
,异或,,,同或,等复合逻辑,并构成相应的,复合门,电路 。
1） 与非逻辑将,与,和,非,运算组合在一起可以构成,与非运算,,或称,与非逻辑,。 与非运算的真值表如表 8.6
所示,
CBAA (8— 9)
第 8章 数字电路基础知识表 8.6 与非运算真值表
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
第 8章 数字电路基础知识我们把输入,输出能实现与非运算的电路,称为
,与非门,电路,如图 8.7所示 。 与非门的符号,逻辑功能和与非运算相同 。
&A
B
C
Y ＝ A · B · C
图 8.7 与非运算符号第 8章 数字电路基础知识
2） 或非逻辑将,或,和,非,运算组合在一起则可以构成
,或非运算,,或称,或非逻辑,。 或非运算的真值表如表 8.7所示,
CBAA
(8— 10)
我们把输入,输出能实现或非运算的电路称为
,或非门,,如图 8.8所示,或非门的符号和逻辑功能与或非运算相同 。
第 8章 数字电路基础知识表 8.7 或非运算真值表
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
第 8章 数字电路基础知识
≥1A
B
C
Y ＝ A ＋ B ＋ C
图 8.8 或非运算符号第 8章 数字电路基础知识
3） 与或非逻辑将,与,,,或,,,非,三种运算组合在一起则可以构成,与或非运算,,或称,与或非逻辑,。 逻辑
DCBAA
(8—11)
实现与或非运算的电路称为,与或非门,,如图 8.9所示,其逻辑符号和与或非运算的符号相同 。
第 8章 数字电路基础知识
≥1A
B
C
D
Y ＝ A · B ＋ C · D
图 8.9 与或非运算符号第 8章 数字电路基础知识
4） 异或逻辑
,异或运算,也称,异或逻辑,,它是两个变量的逻辑函数 。 其逻辑关系是：当输入不同时,输出为 1；
当输入相同时,输出为 0。
异或运算的真值表如表 8.8所示,
BABABA (8— 12)
式中,运算符号,,表示,异或运算,,读作
,异或,。 异或运算的逻辑符号如图 8.10所示 。
第 8章 数字电路基础知识表 8.8 异或运算真值表
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
第 8章 数字电路基础知识
＝ 1A
B
Y ＝ A B＋
图 8.10 异或运算符号第 8章 数字电路基础知识
5)同或逻辑
,同或运算,也称,同或逻辑,,它也是两个变量的逻辑函数 。 其逻辑关系是：当输入相同时,输出为 1；
输入不同时,输出为 0。
同或运算的真值表如表 8.9所示,函数表达式为
BABAAB式中,符号,⊙,表示,同或运算,,读作,同或,。 同或运算的逻辑符号如图 8.11所示 。
⊙
第 8章 数字电路基础知识表 8.9 同或运算真值表
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
第 8章 数字电路基础知识
＝ 1A
B
Y ＝ A ⊙ B
图 8.11 同或运算符号第 8章 数字电路基础知识从同或运算真值表可知,异或运算求反称作同或运算,即异或运算与同或运算互为反函数,即：
能实现同或运算的电路称为,同或门,。 其逻辑符号和同或运算的符号相同 。
⊙
⊙
第 8章 数字电路基础知识
6) 正逻辑与负逻辑在逻辑电路中有两种逻辑体制：用,1”表示高电位,,0”表示低电位的,称为正逻辑体制 (简称正逻辑 )；
用,1”表示低电位,,0”表示高电位的,称为负逻辑体制 （ 简称负逻辑 ） 。
一般情况下，如无特殊说明，一律采用正逻辑。
第 8章 数字电路基础知识
8.2.2逻辑代数的基本定律和基本规则
1.逻辑函数的相等假设有两个含有 n个变量的逻辑函数 Y1和 Y2,如果对应于 n个变量的所有取值的组合,输出函数 Y1和 Y2的值相等,则称 Y1和 Y2这两个逻辑函数相等 。 换言之,
两个相等的逻辑函数具有相同的真值表 。
第 8章 数字电路基础知识解 从给定函数得知 Y1和 Y2具有两个相同的变量 A
和 B,则输入变量取值的组合状态有 22=4个,分别代入逻辑表达式中进行计算,求出相应的函数值,即得表 8.10所示的真值表 。
219.8 与证明例第 8章 数字电路基础知识表 8.10 Y1和 Y2的真值表
A B
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1 2
由真值表可知,Y1=Y2。
第 8章 数字电路基础知识
2.基本定律根据基本逻辑运算,可推导出逻辑代数的基本定律,如表 8.11所示 。 这些公式的正确性可以借助真值表来验证 。
表 8.11中的反演律又称德 ·摩根定律,并可得出推论：
CC
CC
(8— 16)
(8— 17)
第 8章 数字电路基础知识式 （ 8—16）,（ 8—17） 可直接用真值表来证明 。
德 ·摩根定律及其推论是很重要的,在逻辑代数中经常用到,所以必须牢牢地掌握它 。
表 8.11中的包含律又可称多余项定律。
CAABBCCAAB
第 8章 数字电路基础知识表 8.11
第 8章 数字电路基础知识第 8章 数字电路基础知识证明略。
由此推论：
证明：
CAABB CDCAAB
BCAA B CCAAB
BCCAABBCCAAB
(8—18)
第 8章 数字电路基础知识
3,基本规则逻辑代数中以下三个基本规则是十分重要的 。
1） 代入规则在任何一个含有变量 X（ 假设某变量 ） 的等式中,
如果将等式两边所有出现变量 X的位置都代之以一个逻辑函数 Y,则此等式仍然成立 。
利用代入规则可扩大公式的应用范围 。
第 8章 数字电路基础知识例如,在 A+BC=（ A+B） （ A+C） 中,用 Y=B+D
来取代等式中的变量 A,则有等式左边
A+BC=(B+D)+BC=B+D
等式右边
(A+B)(A+C)=(B+D+B)(B+D+C)=(B+D)(B+D+C)=B+D
可见等式仍然成立。
第 8章 数字电路基础知识
2） 反演规则对逻辑函数 Y求其反函数的过程叫反演 。
将一个逻辑函数 Y中的运算符号,·”变,+”、
,+”变,·”,,0”变,1”,,1”变,0”,原变量变反变量,反变量变原变量,那么所得到的新函数即为原函数 Y和反函数,这个规则就是反演规则 。
利用反演规则,可较容易地求出一个逻辑函数的反函数,但要注意两点：
(1)变换过程中要保持原式中的运算顺序；
(2)不是单个变量上的,非,号应保持不变 。
第 8章 数字电路基础知识
3)对偶规则如果将任何一个逻辑函数 Y中的,·”变,+”,,+”
变,·”,,0”变,1”,,1”变,0”,所有的变量保持不变,这样所得到的新的函数式就是原逻辑函数 Y的对偶式,记作 Y′。
由原式求对偶式时，要注意原式中的运算顺序。
1])([
,0)(,
EDCBAY
EDCBAY 出根据反演规则可直接求例如第 8章 数字电路基础知识对偶规则：如果两个逻辑函数 Y和 F相等,那么它们的对偶式 Y′和 F′也一定相等 。
例如,A+ B=A+B成立,则它的对偶式
A（ +B） =AB也成立 。
））（（则例如，
BABAY
BABAY
A
A
第 8章 数字电路基础知识
8.2.3 逻辑函数的代数法化简
1.化简的意义和最简的概念
1） 化简的意义对于同一个逻辑函数,如果表达式不同,实现它的逻辑元件也不同 。 例如,
CBACBABCACBACBAY
其逻辑电路图如图 8.12(a)所示 。
对 Y进行化简
CABCBACBABCACBACBAY
第 8章 数字电路基础知识
( a ) ( b )
≥1
&
A B C
&
A B C
&
A B C
&
A B C
&
A B C
Y
≥1
&
Y
B A C
图 8.12 逻辑电路图第 8章 数字电路基础知识其逻辑电路图如图 8.12(b)所示 。
显然,化简后所用的门减少了 。 比较图 8.12(a)和图
8.12(b)可以看出,对于同一个逻辑函数,如果表达式比较简单,那么实现时所用的元件就比较少,门输入端引线也减少,既可降低成本又可提高电路的可靠性,因此,逻辑函数的化简是逻辑电路设计中十分重要的环节 。
第 8章 数字电路基础知识
2） 最简的概念一个给定的逻辑函数,其真值表是惟一的,但其表达式可以有许多不同的形式 。
例如,逻辑函数 Y=AB+ C就可以用如下五种基本形式表示：
Y=AB+ C与或表达式
A
A
第 8章 数字电路基础知识
BACA
BACA
CAAB
BACA
CAABY
))((
与或表达式或与表达式与非 — 与非式或非 — 或非式与或非表达式图 8.13是根据上述五种表达式画出的逻辑图。
第 8章 数字电路基础知识
&
&
≥1
A
B
A
C
Y
( a )
&
≥1A
B
A
C
Y
≥1
( b )
&
&
A
B
A
C
Y&
( c )
图 8.13 Y=AB+ C五种表达式的逻辑图A
第 8章 数字电路基础知识图 8.13 Y=AB+ C五种表达式的逻辑图A
≥1A
B
A
C
≥1
≥1
( d )
≥1A
C
A
B
&
Y
( e )
第 8章 数字电路基础知识对于不同类型的表达式,最简的标准也不一样 。
最常见的表达式是,与或,式,由它可以比较容易地转换成其它类型的表达式,所以我们主要介绍,与或,
式的化简 。 最简,与或,式的标准是：
(1)乘积项的个数最少 ;
(2)每一个乘积项中变量的个数最少 。
因为乘积项的个数最少,对应的逻辑电路所用的与门个数就最少；乘积项中变量的个数最少,对应逻辑电路所用的与门输入端个数就最少 。 所以如果逻辑表达式是最简的,则实现它的逻辑电路也是最简的 。
第 8章 数字电路基础知识
2.代数法化简代数法化简也称公式法化简,就是利用逻辑代数的基本公式和常用公式来简化逻辑函数 。
1） 并项法利用公式 AB+A =A，将两项合并成一项，消去一个变量。例如：
B
ACBCBCBCBA
CBCBACBCBACBCBACBBCA
)(
)()()()(
第 8章 数字电路基础知识
2） 吸收法利用公式 A+AB=A,消去多余的乘积项。例如：
ABFECDBABA )(
3） 消去法利用公式 A+ B=A+B,消去多余的因子。例如,A
CABCBAABCBAABCBCAAB )(
4） 配项法利用 A=A（ B+ ）,对不能直接应用公式化简的乘积项配上 B+ 进行化简 。
例如,
B
B
第 8章 数字电路基础知识
CACBBA
BCACBACBACBCBABA
CBABCACBACBABCBA
CCBACBAACBBA
BACBCBBAY
)()()(
)()(
逻辑函数化简的途径并不是惟一的，上述四种方法可以任意选用或综合运用。
第 8章 数字电路基础知识
EFBBDCA
D E F GEFBBDCA
D E F GEFBBDCAA
D E F GEFBA C E FA C E FBDCAABAY
D E F GEFBA C E FA C E FBDCAABDAADY
）（因为 ADAAD(所有含 A的项均被 A吸收 )
(利用 A+ B消去因子 )A
(利用包含律的推论,消去添加项 DEFG)
利用代数法化简逻辑函数的优点是没有局限性,但要掌握公式及定律并能熟练运用,另外还需要一定的技巧,化简结果是否最简通常也难以判别 。
第 8章 数字电路基础知识
8.2.4 逻辑函数的卡诺图法化简卡诺图是按一定规则画出来的方框图,也是逻辑函数的一种表示方法 。 它可以直观而方便地化简逻辑函数 。
1,逻辑函数的最小项
1） 最小项的定义在逻辑函数中,设有 n个逻辑变量,由这 n个逻辑变量所组成的乘积项 （ 与项 ） 中的每个变量只是以原变量或反变量的形式出现一次,且仅出现一次,那么我们把这个乘积项称为 n个变量的一个最小项 。
第 8章 数字电路基础知识对于三个变量 A,B,C来讲,由它们组成的八个乘积项都符合最小项的定义,因此我们把这八个乘积项称为三个变量 A,B,C的最小项 。 除此之外等项就不是最小项。
n变量的逻辑函数,有 2+n个最小项 。 若 n=2,2n=4,
二变量的逻辑函数就有 4个最小项,若 n=4,24=16,四变量的逻辑函数就有 16个最小项 ……依此类推 。
A B CCABCBACBABCACBACBACBA,、、、、、、
ABABCBACBACA 和）、（,?
第 8章 数字电路基础知识
2） 最小项的性质为了分析最小项的性质,列出三变量所有最小项的真值表,如表 8.12所示 。 由表 8.12可知,最小项具有下列性质：
(1)对于任意一个最小项,有且仅有一组变量的取值使它的值等于 1；
(2)任意两个不同最小项的乘积恒为 0；
(3)n变量的所有最小项之和恒为 1。
第 8章 数字电路基础知识
ABC
000 1 0 0 0 0 0 0 0
001 0 1 0 0 0 0 0 0
010 0 0 1 0 0 0 0 0
011 0 0 0 1 0 0 0 0
100 0 0 0 0 1 0 0 0
101 0 0 0 0 0 1 0 0
110 0 0 0 0 0 0 1 0
111 0 0 0 0 0 0 0 1
表 8.12 三变量最小项真值表
CBA BCACBA CBA CBA CAB ABCCBA
第 8章 数字电路基础知识
3） 最小项编号
n个变量有 2n个最小项 。 为了叙述和书写方便,通常对最小项进行编号 。 最小项用,mi”表示,并按如下方法确定下标,i”的值：把最小项取值为 1所对应的那一组变量取值的组合当成二进制数,与其相应的十进制数就是 i的值 。 例如,三变量 A,B,C的最小值 C,使它的值为 1的变量取值为 001,对应的十进制数为 1,则 C最小项的编号记作,m1”。 同理,AB 的编号为,m6”。
B
C
A
第 8章 数字电路基础知识
2,逻辑函数的标准式 ——最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和的形式,这样的表达式就是最小项表达式 。 而且这种形式是惟一的 。 从任何一个逻辑函数表达式转化为最小项表达式的方法如下：
1） 由真值表求得最小项表达式例如,已知 Y的真值表如表 8.13所示 。 由真值表写出最小项表达式的方法是：使函数 Y=1的变量取值组合有 001,010,110 三项,与其对应的最小项是,则逻辑函数 Y的最小项表达式为
CABCBACBA,、
第 8章 数字电路基础知识表 8.13 真值表
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
第 8章 数字电路基础知识
)6,2,1(621 mmmm
CABCBACBACBAY ），，（
2） 由一般逻辑函数式求得最小项表达式首先利用公式将表达式变换成一般与或式,再采用配项法,将每个乘积项 （ 与项 ） 都变为最小项 。
)7,6,4,2(
7642?
mmmmm
ABCCABCBACBA
CCABCBABA
ABCBABA
ABCBAABCBAY
ABCBAABCBAY
）（）（
））（（
），，（
转化为最小项表达式），，（例如，将第 8章 数字电路基础知识
3.卡诺图
1） 卡诺图的组成及特点卡诺图是逻辑函数的一种表示方式,是根据真值表按一定的规则画出来的一种方块图 。 此规则就是使逻辑相邻的关系表现为几何位置上的相邻,利用卡诺图使化简工作变得直观 。
所谓逻辑相邻,是指两个最小项中除了一个变量取值不同外,其余的都相同,那么这两个最小项具有逻辑上的相邻性 。
第 8章 数字电路基础知识例如,m3= BC和 m7=ABC是逻辑相邻 。 又如,m3和
m1= C,m2= 也是逻辑相邻 。
谓几何相邻,是指在卡诺图中排列位置相邻的那些最小项 。
要把逻辑相邻用几何相邻实现,在排列卡诺图上输入变量的取值顺序时,就不要按自然二进制顺序排列,
而应对排列顺序进行适当调整 。 对行或列是两个变量的情况,自变量取值按 00,01,11,10排列；对行或列是三个变量的情况,自变量取值按 000,001,011,010，
110,111,101,100排列 。
A
BA CBA
第 8章 数字电路基础知识
n个变量的逻辑函数,具有 2n个最小项,对应的卡诺图也应有 2n个小方块 。 二变量的最小项有 22=4个,其对应的二变量卡诺图由 4个小方块组成,并对应表示 4个最小项 m0~m3。 如图 8.14所示 。
第 8章 数字电路基础知识图 8.14 二变量卡诺图
AB AB
ABAB
B B
A
A
m
0
m
1
m
2
m
3
A
B
0 1
0
1
第 8章 数字电路基础知识三变量的最小项有 23=8个,对应的三变量卡诺图由 8个小方块组成,并对应表示 8个最小项,如图 8.15所示 。 四变量最小项的个数为 24=16个,对应的四变量卡诺图由 16个小方块组成,并对应表示 16个最小项,如图
8.16所示 。
第 8章 数字电路基础知识A
BC
A
A
B B
C C C
A B C A B C A B C A B C
A B C A B C A B C A B C
( a )
图 8.15 三变量卡诺图第 8章 数字电路基础知识图 8.15 三变量卡诺图
A
BC
0
1
00
m
0
m
1
m
3
m
2
m
4
m
5
m
7
m
6
01 11 10
( b )
第 8章 数字电路基础知识
A
BC
0
1
00
0 1 3 2
4 5 7 6
01 11 10
( c )
图 8.15 三变量卡诺图第 8章 数字电路基础知识图 8.16 四变量卡诺图
m
0
m
1
m
3
m
2
m
4
m
5
m
7
m
6
m
12
m
13
m
15
m
14
m
8
m
9
m
11
m
10
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
第 8章 数字电路基础知识由卡诺图的组成可知,卡诺图具有如下特点：
(1)n变量的卡诺图具有 2n个小方块,分别表示 2n个最小项 。 每个原变量和反变量总是各占整个卡诺图区域的一半 。
(2)在卡诺图中,任意相邻小方块所表示的最小项都仅有一个变量不同,即这两个最小项具有,相邻性,。 相邻的小方块数是随着变量的增加而增加的,且等于变量个数 n。
2)用卡诺图表示逻辑函数一个逻辑函数 Y不仅可以用逻辑表达式,真值表,逻辑图来表示,而且还可以用卡诺图表示 。 其基本方法是：
根据给定逻辑函数画出对应的卡诺图框,按构成逻辑函数最小项的下标在相应的方格中填写,1”,其余的方格填写
,0”,便得到相应逻辑函数的卡诺图 。
第 8章 数字电路基础知识由已知逻辑函数画卡诺图时,通常有下列三种情况：
（ 1） 给出的是逻辑函数的真值表 。
具体画法是先画与给定函数变量数相同的卡诺图,然后根据真值表来填写每一个方块的值,也就是在相应的变量取值组合的每一小方格中,函数值为 1的填上,1”,为
0的填上,0”,就可以得到函数的卡诺图 。
第 8章 数字电路基础知识例 8.11 已知逻辑函数 Y的真值表如表 8.14所示,画出 Y的卡诺图 。
解 先画出 A,B,C三变量的卡诺图,然后按每一小方块所代表的变量取值,将真值表相同变量取值时的对应函数值填入小方块中,即得函数 Y的卡诺图,如图 8.17所示 。
第 8章 数字电路基础知识表 8.14 真值表
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
第 8章 数字电路基础知识
0 1 1 1
0 0 1 0
A
BC
0100 11 10
0
1
图 8.17 例 8.11的卡诺图第 8章 数字电路基础知识
（ 2） 给出的是逻辑函数最小项表达式 。
把逻辑函数的最小项填入相应变量的卡诺图中,
也就是将表达式中所包含的最小项在对应的小方格中填入,1”,其它的小方格填入,0”,这样所得到的图形就是逻辑函数的卡诺图 。
第 8章 数字电路基础知识例 8.12 试画出函数
Y(A,B,C,D)= ∑ m（ 0,1,3,5,6,8,10,11,15）
的卡诺图 。
解 先画出四变量卡诺图,然后在对应于 m0,m1、
m3,m5,m6,m8,m10,m11,m15的小方格中填入
,1”,其它的小方格填入,0”,如图 8.18所示 。
第 8章 数字电路基础知识
1 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
1 0 1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
图 8.18 例 8.12的卡诺图第 8章 数字电路基础知识
（ 3） 给出的是一般逻辑函数表达式 。
先将一般逻辑函数表达式变换为与或表达式,然后再变换为最小项表达式,则可得到相应的卡诺图 。 实际上,
我们在根据一般逻辑表达式画卡诺图时,常常可以从一般与或式直接画卡诺图 。 其方法是：把每一个乘积项所包含的那些最小项所对应的小方格都填上,1”,其余的填,0”,就可以直接得到函数的卡诺图 。
第 8章 数字电路基础知识例 8.13 画出 Y（ A,B,C） =AB+B + 的卡诺图 。
解 AB这个乘积项包含了 A=1,B=1的所有最小项,
即 AB 和 ABC。 B 这个乘积项包含了 B=1,C=0的所有最小项,即 AB 和 B 。 这个乘积项包含了 A=0，
C=0的所有最小项,即 B和 。 最后画出卡诺图如图 8.19所示 。 需要指出的是,
① 在填写,1”时,有些小方格出现重复,根据 1+1=1的原则,只保留一个,1”即可；
② 在卡诺图中,只要填入函数值为,1”的小方格,函数值为,0”的可以不填；
C CA
C C
C A C CA
第 8章 数字电路基础知识
1 0 0 1
0 0 1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
图 8.19 例 8.13的卡诺图第 8章 数字电路基础知识
③ 上面画的是函数 Y的卡诺图 。 若要画的卡诺图,则要将 Y中的各个最小项用,0”填写,其余填写,1”。
Y
第 8章 数字电路基础知识
4.利用卡诺图化简逻辑函数
1） 合并最小项的规律利用卡诺图合并最小项,实质上就是反复运用公式
AB+A=A,消去相异的变量,从而得到最简的,与或,式：
（ 1） 当 2个 （ 21） 相邻小方格的最小项合并时,消去 1
个互反变量；
（ 2） 当 4个 （ 22） 相邻小方格的最小项合并时,消去 2
个互反变量；
（ 3） 当 8个 （ 23） 相邻小方格的最小项合并时,消去 3
个互反变量；
（ 4）当 2n个相邻小方格的最小项合并时，消去 n个互反变量。 n为正整数。
第 8章 数字电路基础知识图 8.20,图 8.21,图 8.22分别画出了相邻 2个小方格的最小项,相邻 4个小方格的最小项,相邻 8个小方格的最小项合并的情况 。
2)利用卡诺图化简逻辑函数一般按以下三个步骤进行：
(1)画出逻辑函数的卡诺图；
(2)按合并最小项的规律合并最小项,将可以合并的最小项分别用包围圈 (复合圈 )圈出来；
(3)将每个包围圈所得的乘积项相加,就可得到逻辑函数最简,与或,表达式 。
第 8章 数字电路基础知识
1
1
A
BC
0100 11 10
0
1
( a )
1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
( b )
1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
( c )
图 8.20 2个最小项的合并第 8章 数字电路基础知识图 8.20 2个最小项的合并
1
1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( d )
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( e )
第 8章 数字电路基础知识图 8.20 2个最小项的合并
1
1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( f )
第 8章 数字电路基础知识
1 1
1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
( a )
1 1
1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
( b )
1 1 1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
( c ) 图 8.21 4个最小项的合并第 8章 数字电路基础知识图 8.21 4个最小项的合并
1 1
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( e )
第 8章 数字电路基础知识图 8.21 4个最小项的合并
1 1
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( f )
第 8章 数字电路基础知识
1 1 1 1
1 1 1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( a )
图 8.22 8个最小项的合并第 8章 数字电路基础知识图 8.22 8个最小项的合并
1 1
1 1
1 1
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( b )
第 8章 数字电路基础知识图 8.22 8个最小项的合并
1 1 1 1
1 1 1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( c )
第 8章 数字电路基础知识图 8.22 8个最小项的合并
1 1
1 1
1 1
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( d )
第 8章 数字电路基础知识例 8.14
Y（ A,B,C,D） =∑m（ 0,2,3,5,7,8,10,11,15）
解 第一步,画出 Y的卡诺图,如图 8.23所示；
第二步,按合并最小项的规律画出相应的包围圈；
BDADBCDDCBAY),,,(
第 8章 数字电路基础知识1 1 1
1 1
1
1 1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
BD
A B D
CD
图 8.23例 8.14的卡诺图第 8章 数字电路基础知识例 8.15化简
Y（ A,B,C,D） = ∑ m(3,4,5,7,9,13,14,15)。
解 首先画出 Y的卡诺图,如图 8.24所示 。
然后合并最小项 。 图 8.24(a),(b)是两种不同的圈法,图 (a)是最简的；图 (b)不是最简的,因为只注意对 1画包围圈应尽可能大,但没注意复合圈的个数应尽可能少,
实际上包含 4个最小项的复合圈是多余的 。
第 8章 数字电路基础知识
1
1 1 1
1 1 1
1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( a )
图 8.24例 8.15的卡诺图
(a)最简； (b)非最简第 8章 数字电路基础知识图 8.24例 8.15的卡诺图
(a)最简； (b)非最简
1
1 1 1
1 1 1
1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
BD 是多余项
( b )
第 8章 数字电路基础知识最后写出最简与或式为从上述例题可知,利用卡诺图化简逻辑函数,对最小项画包围圈是比较重要的 。 圈的最小项越多,消去的变量就越多；圈的数量越少,化简后所得到的乘积项就越少 。
CDAABCDCACBADCBAY),,,(
第 8章 数字电路基础知识综上所述,复合最小项应遵循的原则是：
① 按合并最小项的规律,对函数所有的最小项画包围圈；
② 包围圈的个数要最少,使得函数化简后的乘积项最少；
③ 一般情况下,应使每个包围圈尽可能大,则每个乘积项中变量的个数最少；
④ 最小项可以被重复使用,但每一个包围圈至少要有一个新的最小项 （ 尚未被圈过 ） 。
第 8章 数字电路基础知识需要指出的是：用卡诺图化简逻辑函数时,由于对最小项画包围圈的方式不同,得到的最简与或式也往往不同 。
卡诺图法化简逻辑函数的优点是简单,直观,容易掌握,但不适用于五变量以上逻辑函数的化简 。
第 8章 数字电路基础知识
5.具有,约束,的逻辑函数的化简
1） 什么是,约束,
在前面所讨论的逻辑函数中,我们认为逻辑变量的取值是独立的,不受其它变量取值的制约 。 但是,
在某些实际问题的逻辑关系中,变量和变量之间存在一定的制约关系 。 这种相互,制约,的关系就是约束 。
第 8章 数字电路基础知识例如,在数字系统中,用 A,B,C三个变量分别表示加,乘,除三种操作,而且规定在同一时间只能进行其中的一种操作 。 因此,A,B,C三个变量只可能出现
000,001,010,100四种取值,而 011,101,110,111
四种取值是不允许出现的 。 这就说明三个变量 A,B,C
之间存在着,约束,的关系 。 我们称 A,B,C是一组有约束的变量,而不允许出现的四组变量取值组合所对应的最小项称为,约束项,（ 或称为,任意项,,,禁止项,,,无关项,）,由约束项相加起来的逻辑表达式叫做,约束条件,。
第 8章 数字电路基础知识在本例中，约束条件可写为要使表达式 （ 8—19） 成立,每个最小项的值必须恒为 0。
约束条件的性质：约束项的值永远不会为 1。
既然认定约束项对应的变量取值的组合不会出现,
那么,谈论与它相对应的函数值是 1还是 0是没有意义的 。
也就是说,对应约束项的变量取值时,其函数值可以是任意的,既可以取 0,也可以取 1,这完全视需要而定,
通常把相对应的函数值记作,×,或,,。
0 ABCCABCBABCA （ 8— 19）
第 8章 数字电路基础知识
2)具有,约束,的逻辑函数的化简对于具有,约束,的逻辑函数,可以利用约束项进行化简,使得表达式简化 。 例 8.16设输入 A,B,C、
D是十进制数 X的二进制编码,当 X≥5时,输入 Y为 1，
否则为 0,求 Y的最简,与或,表达式 。
解 （ 1）根据题意列真值表，如表 8.15所示。
第 8章 数字电路基础知识表 8.15 真值表
X A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1
第 8章 数字电路基础知识表 8.15 真值表 （续）
X A B C D Y
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1
— 1 0 1 0 ×
— 1 0 1 1 ×
— 1 1 0 0 ×
— 1 1 0 1 ×
— 1 1 1 0 ×
— 1 1 1 1 ×
第 8章 数字电路基础知识从表中看出,
① 当 A,B,C,D的取值为 0000~0100时,Y=0；
② 当 A,B,C,D的取值为 0101~1001时,Y=1；
③ 当 A,B,C,D的取值为 1010~1111时,因为十进制数只有 0~9这 10个数码,对应的二进制编码是
0000~1001,所以对于 A,B,C,D的这 6组取值是不允许出现的 。 也就是说,这 6个最小项是,约束项,。
第 8章 数字电路基础知识真值表得 Y
Y（ A,B,C,D） =∑m(5,6,7,8,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)
(2)用卡诺图化简：
不考虑约束条件的化简如图 8.25(a)所示,化简结果为考虑约束条件的化简如图 8.25(b)所示,
Y(A,B,C,D)=A+BD+BC
可见,利用约束条件的表达式较为简单 。
CBABCABDADCBAY),,,(
第 8章 数字电路基础知识
1 1 1
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( a )
图 8.25 例 8.16的卡诺图
(a)不考虑约束项的化简 ; (b)考虑约束项的化简第 8章 数字电路基础知识图 8.25 例 8.16的卡诺图
(a)不考虑约束项的化简 ; (b)考虑约束项的化简
1 1 1
× × ×
1 1 × ×
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
×
( b )
8.1数制和编码
8.2 逻辑代数第 8章 数字电路基础知识
8.1 数制和编码
8.1.1 计数体制常用的计数体制有十进制,二进制,八进制,十六进制等 。
1.十进制数在十进制中,用 0,1,2,…,9这 10个不同的数码按照一定的规律排列起来表示数值的大小,其计数规律是,逢十进一,。 十进制数是以 10为基数的计数体制 。 当数码处于不同的位置时,它所表示的数值也不相同 。 例如,十进制数 785
第 8章 数字电路基础知识
(785)D=7× 102+8× 101+5× 100
括号加下标,D”表示十进制数 。 等式右边中的 102，
101,100,…标明数码在该位的,权,。 不难看出各数位表示的数值就是该位数码 （ 系数 ） 乘以相应的权 。 按此规律,任意一个十进制数 (N)D都可以写成按权展开式
(N)D=Kn-1× 10n-1+Kn-2× 10n-2+…..+K1× 101+K0× 100
=
i
i
n
i
K 10
1
0
式中,Ki代表第 i位的系数,可取 0~9这 10个数码中的任一个； 10i为第 i位的权； n为原数的位数 。 本书只讲整数的数制 。 关于小数数制,请阅读其它资料 。
(8— 1)
第 8章 数字电路基础知识
2,二进制数二进制数是以 2为基数的计数体制 。 它只有 0和 1两个数码,采用,逢二进一,的计数规律 。 任意一个二进制数 (N)B都可以写成按权展开式
(N)B=Kn-1× 2 n-1+K n-2× 2 n-2+…+K1× 21+K0× 20
=
式中,下标,B”表示二进制数； Ki表示第 i位的系数,只能取 0或 1;2i为第 i位的权 ;n为原数总位数 。
i
i
n
i
K 2
1
0
(8— 2)
第 8章 数字电路基础知识例如,四位二进制数 1011，
(1011)B=1× 23+0× 22+1× 21+1× 20
二进制数的运算规则：
加法 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10
乘法 0× 0=0 0× 1=1× 0=0 1× 1=1
从以上可知,二进制数比较简单,只有 0和 1两个数码,并且算术运算也很简单,所以二进制数在数字电路中获得广泛应用 。 但是二进制数也有缺点：用二进制表示一个数时,位数多,读写不方便,而且也难记忆 。
第 8章 数字电路基础知识
3.八进制数八进制数是以 8为基数的计数体制,它用 0,1，
2,…,7这 8个数码表示,采用,逢八进一,的计数规律 。 三位二进制码可用一位八进制码表示 。 任意一个八进制数 (N)O可写成按权展开式
(N)O=K n-1× 8 n-1+K n-2× 8 n-2+…+K1× 81+K0× 80
=
i
i
n
i
K 8
1
0
式中,下标,O”表示八进制数,Ki表示第 i位的系数,可取 0~7这 8个数； 8i为第 i位的权； n为原数总位数 。
第 8章 数字电路基础知识例如,一个三位八进制数 625,可以表示成
(625)O=6× 82+2× 81+5× 80
4.十六进制数十六进制数是以 16为基数的计数体制,它用 0,1，
2,…,9,A,B,C,D,E,F这 16个数码表示,采用
,逢十六进一,的计数规律 。 四位二进制码可用一位十六进制码表示 。 任意一个十六进制数 (N)H可以写成按权展开式
(N)H=K n-1× 16 n-1+K n-2× 16 n-2+…+K1× 161+K0× 160
=
i
i
n
i
K 16
1
0
第 8章 数字电路基础知识例如，一个多位十六进制数 4A8C，可以表示成
(4A8C)H=4× 163+10× 162+8× 161+12× 160
表 8.1为几种计数体制对照表。
第 8章 数字电路基础知识第 8章 数字电路基础知识
8.1.2 数制转换
1.二进制,八进制,十六进制数转换为十进制数将一个二进制,八进制或十六进制数转换成十进制数,只要写出该进制数的按权展开式,然后按十进制数的计数规律相加,就可得到所求的十进制数 。
例 8.1 将二进制数 (1101)B转换成十进制数 。
解 (1101)B=1× 23+1× 22+0× 21+1× 20=(13)D
例 8.2 将八进制数 (156)O转换成十进制数 。
解 (156)O=1× 82+5× 81+6× 80=(110)D
例 8.3 将十六进制数 (5D4)H转换成十进制数 。
解 (5D4)H=5× 162+13× 161+4× 160=(1492)D
第 8章 数字电路基础知识
2.十进制正整数转换为二进制,八进制,十六进制数在将十进制数转换成二进制,八进制,十六进制数时,分别采用,除 2取余法,,,除 8取余法,,,除
16取余法,,便可求得二,八,十六进制数的各位数码
K n-1,K n-2,…,K1,K0。
例 8.4 将十进制数 (35)D转换为二进制数 。
解 采用,除 2取余法,
第 8章 数字电路基础知识
2
2
2
2
2
2
35
17
8
4
2
1
0
…余 1…K0=1
…余 1…K1=1
…余 0…K2=0
…余 0…K3=0
…余 0…K4=0
… 余 1…K 5=1 高位底位最后的商为 0。于是，得
(35)D=(K5 K4 K3 K2 K1 K0)B=(100011)B
第 8章 数字电路基础知识例 8.5 将 (139)D转换成八进制数 。
解
8
8
8
139
17
2
0
…余 3…K0=3
…余 1…K1=1
…余 2…K2=2
高位底位
(139)D=(213)O
得第 8章 数字电路基础知识例 8.6 将 (139)D转换成十六进制数 。
解
16
16
139
8
0
…余 11…K0=B
… 余 8 … K1=8 高位底位得
(139)D=(8B)H
第 8章 数字电路基础知识
3,八进制数,十六进制数与二进制数的相互转换因为 23=8,所以对三位的二进制数来讲,从
000~111共有 8种组合状态,我们可以分别将这 8种状态用来表示八进制数码 0,1,2,…,7。 这样,每一位八进制数正好相当于三位二进制数 。 反过来,每三位二进制数又相当于一位八进制数 。
同理,24=16,四位二进制数共有 16种组合状态,可以分别用来表示十六进制的 16个数码 。 这样,每一位十六进制数正好相当于四位二进制数 。 反过来,每四位二进制数等值为一位十六进制数 。
第 8章 数字电路基础知识例 8.7 将八进制数 （ 625） O转换为二进制数 。
解 （ 625） O＝ （ 110010101） B
例 8.8 将二进制数 (110100111)B转换为十六进制数 。
解 (110100111)B=(1A7)H
当要求将八进制数和十六进制数互相转换时，可通过二进制来完成。
第 8章 数字电路基础知识
8.1.3 编码在二进制数字系统中,每一位数只有 0或 1两个数码,
只限于表达两个不同的信号 。 如果将若干位二进制数码来表示数字,文字符号以及其它不同的事物,我们称这种二进制码为代码 。 赋予每个代码以固定的含义的过程,
就称为编码 。
第 8章 数字电路基础知识
1,二进制编码一位二进制代码可以表示两个信号 。 二位二进制代码可以表示四个信号 。 依此类推,n位二进制代码可以表示 2+n个不同的信号 。 将具有特定含义的信号用二进制代码来表示的过程称为二进制编码 。
第 8章 数字电路基础知识
2,二 —十进制编码所谓二 —十进制编码,就是用四位二进制代码来表示一位十进制数码,简称 BCD码 。 由于四位二进制码有 0000,0001,…,1111等 16种不同的组合状态,故可以选择其中任意 10个状态以代表十进制中 0~9的 10个数码,其余 6种组合是无效的 。 因此,按选取方式的不同,
可以得到不同的二 — 十进制编码 。 最常用的是 8421码 。
第 8章 数字电路基础知识这种编码是选用四位二进制码的前 10 个代码
0000~1001来表示十进制的这 10个数码 。 此编码的特点如下：
(1)这种编码实际上就是四位二进制数前 10个代码按其自然顺序所对应的十进制数,十进制数每一位的表示和通常的二进制相同 。 例如,十进制数 845的 8421
码形式为
(845)D=(100001000101)BCD
第 8章 数字电路基础知识
(2)它是一种有权码 。 四位二进制编码中由高位到低位的权依次是 23,22,21,20（ 即 8,4,2,1）,
故称为 8421码 。 在 8421码这类有权码中,如果将其二进制码乘以其对应的权后求和,就是该编码所表示的十进制数 。
例如：
(1001)BCD=1× 23+0× 22+0× 21+1× 20=(9)D
第 8章 数字电路基础知识
(3)在这种编码中,1010~1111这 6种组合状态是不允许出现的,称禁止码 。
8421码是最基本的和最常用的,因此必须熟记 。
其它编码还有 2421码,5421码等,见表 8.2。
格雷码是常用的一种编码,它的特点是两个相邻的码只有一位不同 。 这种码可靠性高,出现错误的机会少 。
第 8章 数字电路基础知识第 8章 数字电路基础知识第 8章 数字电路基础知识
3,奇偶检验码数码在传送和存取过程中,会发生将,1”码误成
,0”码,,0”码误成,1”码的错误 。 为了检查出这种错误,可采取奇偶校验码的编码方式 。 在这种编码方式中,
代码由两部分组成：一部分是信息位,一部分是检误位 。
若加上去的检误位中,1”码的个数和信息位中,1”码的个数之和为奇数个,则为奇校验码,否则为偶校验码 。 例如,对 8位一组的二进制码来说,若低 7位为信息位,最高位为检误位,码组 1011011的奇校验码为 01011011,而偶校验码为 11011011。 在代码传送的接收端,对所收到的码组中,1”码的个数进行计算,如,1”码的个数与预定的不同,则可判定已经产生了误码 。
第 8章 数字电路基础知识
8.2 逻辑代数逻辑代数又称布尔代数,是英国数学家乔治 ·布尔在 1847年首先创立的 。 逻辑代数是研究逻辑函数与逻辑变量之间规律的一门应用数学,是分析和设计数字逻辑电路的数学工具 。
第 8章 数字电路基础知识
8.2.1 基本概念,基本逻辑运算
1,逻辑变量与逻辑函数逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数,它和普通代数一样有自变量和因变量 。 虽然自变量都可用字母 A,B,C,…来表示,但是只有两种取值,即 0和 1。 这里的 0和 1不代表数量的大小,而是表示两种对立的逻辑状态 。 例如,用,1”和,0”表示事物的,真,与,假,,
电位的,高,与,低,,脉冲的,有,与,无,,开关的,闭合,与,断开,等 。 这种仅有两个取值的自变量具有二值性,称为逻辑变量 。
第 8章 数字电路基础知识普通代数中的函数是,随着自变量变化而变化的因变量,。 同理,逻辑函数就是逻辑代数的因变量 。
它也只有 0和 1两种取值 。 如果逻辑变量 A,B,C,…的取值确定之后,逻辑函数 Y的值也被惟一地确定了,那么,我们称 Y是 A,B,C,…的逻辑函数,
Y=F（ A,B,C,… ） （ 8— 5
第 8章 数字电路基础知识
2,基本逻辑运算所谓逻辑,是指,条件,与,结果,的关系 。 在数字电路中,利用输入信号反映,条件,,用输出信号反映,结果,,从而输入和输出之间就存在一定的因果关系,我们称它为逻辑关系 。 在逻辑代数中,有与逻辑,或逻辑,非逻辑三种基本逻辑关系,相应的基本逻辑运算为与,或,非,对应的门电路有与门,
或门,非门 。
第 8章 数字电路基础知识
1） 与运算
,与运算,又称,与逻辑,或,逻辑乘,。
图 8.1(a)所示的开关电路中,只有当开关 A和 B都闭合,灯 Y才亮； A和 B中只要有一个断开,灯就灭 。
如果以开关闭合作为条件,灯亮作为结果,图 8.1(a)
所示电路可以表示这样一种因果关系：,只有当决定一件事情 （ 灯亮 ） 的所有条件 （ 开关 A,B） 都具备 （ 都闭合 ）,这件事情才能实现 。,这种逻辑关系称为,与逻辑,。 记为
Y=A·B （ 8— 6）
第 8章 数字电路基础知识式中的,·”表示,与运算,或,逻辑乘,,与普通代数中的乘号一样,它可省略不写,也可省略不读 。
与运算的逻辑符号如图 8.1(b)所示 。
( b )
( a )
&A
B
Y ＝ A · B
A B
YE
图 8.1与逻辑关系
(a)与逻辑电路 ; (b)与运算符号第 8章 数字电路基础知识
0·0=0,0·1=0,1·0=0,1·1=1
与运算还可以用真值表来表示 。 所谓真值表,就是将逻辑变量各种可能取值的组合及其相应逻辑函数值列成的表格 。 例如,在图 8.1(a)中,假设开关闭合为
1,开关断开为 0；灯亮为 1,灯灭为 0,则可列出其真值表,如表 8.3所示 。
第 8章 数字电路基础知识表 8.3 与运算真值表
A B C
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
第 8章 数字电路基础知识如果一个电路的输入,输出端能实现与运算,则此电路称为,与门,电路,简称,与门,。 与门的符号也就是与运算的符号 。
根据与门的逻辑功能，还可画出其波形图，如图
8.2所示第 8章 数字电路基础知识
A
B
Y
图 8.2 与门波形图第 8章 数字电路基础知识
2） 或运算
,或运算,又称,或逻辑,或,逻辑加,。
图 8.3(a)所示的开关电路中,开关 A和 B只要有一个闭合,灯 Y就亮 。
如果以开关闭合作为条件,灯亮作为结果,图 8.3(a)
所示电路可以表示这样一种因果关系：,决定一件事情
（ 灯亮 ） 的所有条件 （ 开关 A,B） 中只要有一条具备
（ 开关 A闭合或开关 B闭合 ）,这件事情就能实现 。,这种逻辑关系称为,或逻辑,。 记为
Y=A+B （ 8— 7）
第 8章 数字电路基础知识式中的,+”表示,或运算,或,逻辑加,。 或运算的逻辑符号如图 8.3(b)所示 。
≥1A
B
Y ＝ A ＋ B
A
YE
B
( a ) ( b )
图 8.3 或逻辑关系
(a)或逻辑电路； (b)或运算符号第 8章 数字电路基础知识或运算的运算规则,
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1;
或运算真值表如表 8.4所示 。
我们把输入,输出端能实现或运算的电路称做
,或门,。 其符号也采用或运算的符号 。 工作波形如图 8.4所示 。
第 8章 数字电路基础知识表 8.4 或运算真值表
A B C
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
第 8章 数字电路基础知识
A
B
Y
图 8.4 或门波形图第 8章 数字电路基础知识
3） 非运算
,非运算,又称,非逻辑,。
图 8.5(a)所示的开关电路中,当开关 A闭合时,灯 Y不亮；当开关 A断开时,灯 Y亮,此电路表示的因果关系是：
,条件的具备 （ 开关 A闭合 ） 与事情的实现 （ 灯亮 ） 刚好相反 。,这种逻辑关系称为,非逻辑,关系 。 记为
Y= (8—8)
式中,字母 A上方的横线表示,非运算,,读作,非,,
即,,读作,A非,。 非运算的逻辑符号如图 8.5(b)
所示 。
第 8章 数字电路基础知识
( a ) ( b )
Y
R
AE A Y ＝ A
图 8.5非逻辑关系
(a)非逻辑电路； (b)非运算符号第 8章 数字电路基础知识非运算的运算规则,
=1,=00 1
非运算真值表如表 8.5所示 。
我们把输入,输出端能实现非运算的电路称做,非门,。 非门的符号也就是非运算的符号 。 非门工作波形如图 8.6所示 。
表 8.5 非运算真值表
A Y
0 1
1 0
第 8章 数字电路基础知识
A
Y
图 8.6 非门波形图第 8章 数字电路基础知识
3.复合逻辑用,与,,,或,,,非,三种基本逻辑运算的各种不同组合可以构成,与非,,,或非,,,与或非,,
,异或,,,同或,等复合逻辑,并构成相应的,复合门,电路 。
1） 与非逻辑将,与,和,非,运算组合在一起可以构成,与非运算,,或称,与非逻辑,。 与非运算的真值表如表 8.6
所示,
CBAA (8— 9)
第 8章 数字电路基础知识表 8.6 与非运算真值表
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
第 8章 数字电路基础知识我们把输入,输出能实现与非运算的电路,称为
,与非门,电路,如图 8.7所示 。 与非门的符号,逻辑功能和与非运算相同 。
&A
B
C
Y ＝ A · B · C
图 8.7 与非运算符号第 8章 数字电路基础知识
2） 或非逻辑将,或,和,非,运算组合在一起则可以构成
,或非运算,,或称,或非逻辑,。 或非运算的真值表如表 8.7所示,
CBAA
(8— 10)
我们把输入,输出能实现或非运算的电路称为
,或非门,,如图 8.8所示,或非门的符号和逻辑功能与或非运算相同 。
第 8章 数字电路基础知识表 8.7 或非运算真值表
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
第 8章 数字电路基础知识
≥1A
B
C
Y ＝ A ＋ B ＋ C
图 8.8 或非运算符号第 8章 数字电路基础知识
3） 与或非逻辑将,与,,,或,,,非,三种运算组合在一起则可以构成,与或非运算,,或称,与或非逻辑,。 逻辑
DCBAA
(8—11)
实现与或非运算的电路称为,与或非门,,如图 8.9所示,其逻辑符号和与或非运算的符号相同 。
第 8章 数字电路基础知识
≥1A
B
C
D
Y ＝ A · B ＋ C · D
图 8.9 与或非运算符号第 8章 数字电路基础知识
4） 异或逻辑
,异或运算,也称,异或逻辑,,它是两个变量的逻辑函数 。 其逻辑关系是：当输入不同时,输出为 1；
当输入相同时,输出为 0。
异或运算的真值表如表 8.8所示,
BABABA (8— 12)
式中,运算符号,,表示,异或运算,,读作
,异或,。 异或运算的逻辑符号如图 8.10所示 。
第 8章 数字电路基础知识表 8.8 异或运算真值表
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
第 8章 数字电路基础知识
＝ 1A
B
Y ＝ A B＋
图 8.10 异或运算符号第 8章 数字电路基础知识
5)同或逻辑
,同或运算,也称,同或逻辑,,它也是两个变量的逻辑函数 。 其逻辑关系是：当输入相同时,输出为 1；
输入不同时,输出为 0。
同或运算的真值表如表 8.9所示,函数表达式为
BABAAB式中,符号,⊙,表示,同或运算,,读作,同或,。 同或运算的逻辑符号如图 8.11所示 。
⊙
第 8章 数字电路基础知识表 8.9 同或运算真值表
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
第 8章 数字电路基础知识
＝ 1A
B
Y ＝ A ⊙ B
图 8.11 同或运算符号第 8章 数字电路基础知识从同或运算真值表可知,异或运算求反称作同或运算,即异或运算与同或运算互为反函数,即：
能实现同或运算的电路称为,同或门,。 其逻辑符号和同或运算的符号相同 。
⊙
⊙
第 8章 数字电路基础知识
6) 正逻辑与负逻辑在逻辑电路中有两种逻辑体制：用,1”表示高电位,,0”表示低电位的,称为正逻辑体制 (简称正逻辑 )；
用,1”表示低电位,,0”表示高电位的,称为负逻辑体制 （ 简称负逻辑 ） 。
一般情况下，如无特殊说明，一律采用正逻辑。
第 8章 数字电路基础知识
8.2.2逻辑代数的基本定律和基本规则
1.逻辑函数的相等假设有两个含有 n个变量的逻辑函数 Y1和 Y2,如果对应于 n个变量的所有取值的组合,输出函数 Y1和 Y2的值相等,则称 Y1和 Y2这两个逻辑函数相等 。 换言之,
两个相等的逻辑函数具有相同的真值表 。
第 8章 数字电路基础知识解 从给定函数得知 Y1和 Y2具有两个相同的变量 A
和 B,则输入变量取值的组合状态有 22=4个,分别代入逻辑表达式中进行计算,求出相应的函数值,即得表 8.10所示的真值表 。
219.8 与证明例第 8章 数字电路基础知识表 8.10 Y1和 Y2的真值表
A B
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1 2
由真值表可知,Y1=Y2。
第 8章 数字电路基础知识
2.基本定律根据基本逻辑运算,可推导出逻辑代数的基本定律,如表 8.11所示 。 这些公式的正确性可以借助真值表来验证 。
表 8.11中的反演律又称德 ·摩根定律,并可得出推论：
CC
CC
(8— 16)
(8— 17)
第 8章 数字电路基础知识式 （ 8—16）,（ 8—17） 可直接用真值表来证明 。
德 ·摩根定律及其推论是很重要的,在逻辑代数中经常用到,所以必须牢牢地掌握它 。
表 8.11中的包含律又可称多余项定律。
CAABBCCAAB
第 8章 数字电路基础知识表 8.11
第 8章 数字电路基础知识第 8章 数字电路基础知识证明略。
由此推论：
证明：
CAABB CDCAAB
BCAA B CCAAB
BCCAABBCCAAB
(8—18)
第 8章 数字电路基础知识
3,基本规则逻辑代数中以下三个基本规则是十分重要的 。
1） 代入规则在任何一个含有变量 X（ 假设某变量 ） 的等式中,
如果将等式两边所有出现变量 X的位置都代之以一个逻辑函数 Y,则此等式仍然成立 。
利用代入规则可扩大公式的应用范围 。
第 8章 数字电路基础知识例如,在 A+BC=（ A+B） （ A+C） 中,用 Y=B+D
来取代等式中的变量 A,则有等式左边
A+BC=(B+D)+BC=B+D
等式右边
(A+B)(A+C)=(B+D+B)(B+D+C)=(B+D)(B+D+C)=B+D
可见等式仍然成立。
第 8章 数字电路基础知识
2） 反演规则对逻辑函数 Y求其反函数的过程叫反演 。
将一个逻辑函数 Y中的运算符号,·”变,+”、
,+”变,·”,,0”变,1”,,1”变,0”,原变量变反变量,反变量变原变量,那么所得到的新函数即为原函数 Y和反函数,这个规则就是反演规则 。
利用反演规则,可较容易地求出一个逻辑函数的反函数,但要注意两点：
(1)变换过程中要保持原式中的运算顺序；
(2)不是单个变量上的,非,号应保持不变 。
第 8章 数字电路基础知识
3)对偶规则如果将任何一个逻辑函数 Y中的,·”变,+”,,+”
变,·”,,0”变,1”,,1”变,0”,所有的变量保持不变,这样所得到的新的函数式就是原逻辑函数 Y的对偶式,记作 Y′。
由原式求对偶式时，要注意原式中的运算顺序。
1])([
,0)(,
EDCBAY
EDCBAY 出根据反演规则可直接求例如第 8章 数字电路基础知识对偶规则：如果两个逻辑函数 Y和 F相等,那么它们的对偶式 Y′和 F′也一定相等 。
例如,A+ B=A+B成立,则它的对偶式
A（ +B） =AB也成立 。
））（（则例如，
BABAY
BABAY
A
A
第 8章 数字电路基础知识
8.2.3 逻辑函数的代数法化简
1.化简的意义和最简的概念
1） 化简的意义对于同一个逻辑函数,如果表达式不同,实现它的逻辑元件也不同 。 例如,
CBACBABCACBACBAY
其逻辑电路图如图 8.12(a)所示 。
对 Y进行化简
CABCBACBABCACBACBAY
第 8章 数字电路基础知识
( a ) ( b )
≥1
&
A B C
&
A B C
&
A B C
&
A B C
&
A B C
Y
≥1
&
Y
B A C
图 8.12 逻辑电路图第 8章 数字电路基础知识其逻辑电路图如图 8.12(b)所示 。
显然,化简后所用的门减少了 。 比较图 8.12(a)和图
8.12(b)可以看出,对于同一个逻辑函数,如果表达式比较简单,那么实现时所用的元件就比较少,门输入端引线也减少,既可降低成本又可提高电路的可靠性,因此,逻辑函数的化简是逻辑电路设计中十分重要的环节 。
第 8章 数字电路基础知识
2） 最简的概念一个给定的逻辑函数,其真值表是惟一的,但其表达式可以有许多不同的形式 。
例如,逻辑函数 Y=AB+ C就可以用如下五种基本形式表示：
Y=AB+ C与或表达式
A
A
第 8章 数字电路基础知识
BACA
BACA
CAAB
BACA
CAABY
))((
与或表达式或与表达式与非 — 与非式或非 — 或非式与或非表达式图 8.13是根据上述五种表达式画出的逻辑图。
第 8章 数字电路基础知识
&
&
≥1
A
B
A
C
Y
( a )
&
≥1A
B
A
C
Y
≥1
( b )
&
&
A
B
A
C
Y&
( c )
图 8.13 Y=AB+ C五种表达式的逻辑图A
第 8章 数字电路基础知识图 8.13 Y=AB+ C五种表达式的逻辑图A
≥1A
B
A
C
≥1
≥1
( d )
≥1A
C
A
B
&
Y
( e )
第 8章 数字电路基础知识对于不同类型的表达式,最简的标准也不一样 。
最常见的表达式是,与或,式,由它可以比较容易地转换成其它类型的表达式,所以我们主要介绍,与或,
式的化简 。 最简,与或,式的标准是：
(1)乘积项的个数最少 ;
(2)每一个乘积项中变量的个数最少 。
因为乘积项的个数最少,对应的逻辑电路所用的与门个数就最少；乘积项中变量的个数最少,对应逻辑电路所用的与门输入端个数就最少 。 所以如果逻辑表达式是最简的,则实现它的逻辑电路也是最简的 。
第 8章 数字电路基础知识
2.代数法化简代数法化简也称公式法化简,就是利用逻辑代数的基本公式和常用公式来简化逻辑函数 。
1） 并项法利用公式 AB+A =A，将两项合并成一项，消去一个变量。例如：
B
ACBCBCBCBA
CBCBACBCBACBCBACBBCA
)(
)()()()(
第 8章 数字电路基础知识
2） 吸收法利用公式 A+AB=A,消去多余的乘积项。例如：
ABFECDBABA )(
3） 消去法利用公式 A+ B=A+B,消去多余的因子。例如,A
CABCBAABCBAABCBCAAB )(
4） 配项法利用 A=A（ B+ ）,对不能直接应用公式化简的乘积项配上 B+ 进行化简 。
例如,
B
B
第 8章 数字电路基础知识
CACBBA
BCACBACBACBCBABA
CBABCACBACBABCBA
CCBACBAACBBA
BACBCBBAY
)()()(
)()(
逻辑函数化简的途径并不是惟一的，上述四种方法可以任意选用或综合运用。
第 8章 数字电路基础知识
EFBBDCA
D E F GEFBBDCA
D E F GEFBBDCAA
D E F GEFBA C E FA C E FBDCAABAY
D E F GEFBA C E FA C E FBDCAABDAADY
）（因为 ADAAD(所有含 A的项均被 A吸收 )
(利用 A+ B消去因子 )A
(利用包含律的推论,消去添加项 DEFG)
利用代数法化简逻辑函数的优点是没有局限性,但要掌握公式及定律并能熟练运用,另外还需要一定的技巧,化简结果是否最简通常也难以判别 。
第 8章 数字电路基础知识
8.2.4 逻辑函数的卡诺图法化简卡诺图是按一定规则画出来的方框图,也是逻辑函数的一种表示方法 。 它可以直观而方便地化简逻辑函数 。
1,逻辑函数的最小项
1） 最小项的定义在逻辑函数中,设有 n个逻辑变量,由这 n个逻辑变量所组成的乘积项 （ 与项 ） 中的每个变量只是以原变量或反变量的形式出现一次,且仅出现一次,那么我们把这个乘积项称为 n个变量的一个最小项 。
第 8章 数字电路基础知识对于三个变量 A,B,C来讲,由它们组成的八个乘积项都符合最小项的定义,因此我们把这八个乘积项称为三个变量 A,B,C的最小项 。 除此之外等项就不是最小项。
n变量的逻辑函数,有 2+n个最小项 。 若 n=2,2n=4,
二变量的逻辑函数就有 4个最小项,若 n=4,24=16,四变量的逻辑函数就有 16个最小项 ……依此类推 。
A B CCABCBACBABCACBACBACBA,、、、、、、
ABABCBACBACA 和）、（,?
第 8章 数字电路基础知识
2） 最小项的性质为了分析最小项的性质,列出三变量所有最小项的真值表,如表 8.12所示 。 由表 8.12可知,最小项具有下列性质：
(1)对于任意一个最小项,有且仅有一组变量的取值使它的值等于 1；
(2)任意两个不同最小项的乘积恒为 0；
(3)n变量的所有最小项之和恒为 1。
第 8章 数字电路基础知识
ABC
000 1 0 0 0 0 0 0 0
001 0 1 0 0 0 0 0 0
010 0 0 1 0 0 0 0 0
011 0 0 0 1 0 0 0 0
100 0 0 0 0 1 0 0 0
101 0 0 0 0 0 1 0 0
110 0 0 0 0 0 0 1 0
111 0 0 0 0 0 0 0 1
表 8.12 三变量最小项真值表
CBA BCACBA CBA CBA CAB ABCCBA
第 8章 数字电路基础知识
3） 最小项编号
n个变量有 2n个最小项 。 为了叙述和书写方便,通常对最小项进行编号 。 最小项用,mi”表示,并按如下方法确定下标,i”的值：把最小项取值为 1所对应的那一组变量取值的组合当成二进制数,与其相应的十进制数就是 i的值 。 例如,三变量 A,B,C的最小值 C,使它的值为 1的变量取值为 001,对应的十进制数为 1,则 C最小项的编号记作,m1”。 同理,AB 的编号为,m6”。
B
C
A
第 8章 数字电路基础知识
2,逻辑函数的标准式 ——最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和的形式,这样的表达式就是最小项表达式 。 而且这种形式是惟一的 。 从任何一个逻辑函数表达式转化为最小项表达式的方法如下：
1） 由真值表求得最小项表达式例如,已知 Y的真值表如表 8.13所示 。 由真值表写出最小项表达式的方法是：使函数 Y=1的变量取值组合有 001,010,110 三项,与其对应的最小项是,则逻辑函数 Y的最小项表达式为
CABCBACBA,、
第 8章 数字电路基础知识表 8.13 真值表
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
第 8章 数字电路基础知识
)6,2,1(621 mmmm
CABCBACBACBAY ），，（
2） 由一般逻辑函数式求得最小项表达式首先利用公式将表达式变换成一般与或式,再采用配项法,将每个乘积项 （ 与项 ） 都变为最小项 。
)7,6,4,2(
7642?
mmmmm
ABCCABCBACBA
CCABCBABA
ABCBABA
ABCBAABCBAY
ABCBAABCBAY
）（）（
））（（
），，（
转化为最小项表达式），，（例如，将第 8章 数字电路基础知识
3.卡诺图
1） 卡诺图的组成及特点卡诺图是逻辑函数的一种表示方式,是根据真值表按一定的规则画出来的一种方块图 。 此规则就是使逻辑相邻的关系表现为几何位置上的相邻,利用卡诺图使化简工作变得直观 。
所谓逻辑相邻,是指两个最小项中除了一个变量取值不同外,其余的都相同,那么这两个最小项具有逻辑上的相邻性 。
第 8章 数字电路基础知识例如,m3= BC和 m7=ABC是逻辑相邻 。 又如,m3和
m1= C,m2= 也是逻辑相邻 。
谓几何相邻,是指在卡诺图中排列位置相邻的那些最小项 。
要把逻辑相邻用几何相邻实现,在排列卡诺图上输入变量的取值顺序时,就不要按自然二进制顺序排列,
而应对排列顺序进行适当调整 。 对行或列是两个变量的情况,自变量取值按 00,01,11,10排列；对行或列是三个变量的情况,自变量取值按 000,001,011,010，
110,111,101,100排列 。
A
BA CBA
第 8章 数字电路基础知识
n个变量的逻辑函数,具有 2n个最小项,对应的卡诺图也应有 2n个小方块 。 二变量的最小项有 22=4个,其对应的二变量卡诺图由 4个小方块组成,并对应表示 4个最小项 m0~m3。 如图 8.14所示 。
第 8章 数字电路基础知识图 8.14 二变量卡诺图
AB AB
ABAB
B B
A
A
m
0
m
1
m
2
m
3
A
B
0 1
0
1
第 8章 数字电路基础知识三变量的最小项有 23=8个,对应的三变量卡诺图由 8个小方块组成,并对应表示 8个最小项,如图 8.15所示 。 四变量最小项的个数为 24=16个,对应的四变量卡诺图由 16个小方块组成,并对应表示 16个最小项,如图
8.16所示 。
第 8章 数字电路基础知识A
BC
A
A
B B
C C C
A B C A B C A B C A B C
A B C A B C A B C A B C
( a )
图 8.15 三变量卡诺图第 8章 数字电路基础知识图 8.15 三变量卡诺图
A
BC
0
1
00
m
0
m
1
m
3
m
2
m
4
m
5
m
7
m
6
01 11 10
( b )
第 8章 数字电路基础知识
A
BC
0
1
00
0 1 3 2
4 5 7 6
01 11 10
( c )
图 8.15 三变量卡诺图第 8章 数字电路基础知识图 8.16 四变量卡诺图
m
0
m
1
m
3
m
2
m
4
m
5
m
7
m
6
m
12
m
13
m
15
m
14
m
8
m
9
m
11
m
10
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
第 8章 数字电路基础知识由卡诺图的组成可知,卡诺图具有如下特点：
(1)n变量的卡诺图具有 2n个小方块,分别表示 2n个最小项 。 每个原变量和反变量总是各占整个卡诺图区域的一半 。
(2)在卡诺图中,任意相邻小方块所表示的最小项都仅有一个变量不同,即这两个最小项具有,相邻性,。 相邻的小方块数是随着变量的增加而增加的,且等于变量个数 n。
2)用卡诺图表示逻辑函数一个逻辑函数 Y不仅可以用逻辑表达式,真值表,逻辑图来表示,而且还可以用卡诺图表示 。 其基本方法是：
根据给定逻辑函数画出对应的卡诺图框,按构成逻辑函数最小项的下标在相应的方格中填写,1”,其余的方格填写
,0”,便得到相应逻辑函数的卡诺图 。
第 8章 数字电路基础知识由已知逻辑函数画卡诺图时,通常有下列三种情况：
（ 1） 给出的是逻辑函数的真值表 。
具体画法是先画与给定函数变量数相同的卡诺图,然后根据真值表来填写每一个方块的值,也就是在相应的变量取值组合的每一小方格中,函数值为 1的填上,1”,为
0的填上,0”,就可以得到函数的卡诺图 。
第 8章 数字电路基础知识例 8.11 已知逻辑函数 Y的真值表如表 8.14所示,画出 Y的卡诺图 。
解 先画出 A,B,C三变量的卡诺图,然后按每一小方块所代表的变量取值,将真值表相同变量取值时的对应函数值填入小方块中,即得函数 Y的卡诺图,如图 8.17所示 。
第 8章 数字电路基础知识表 8.14 真值表
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
第 8章 数字电路基础知识
0 1 1 1
0 0 1 0
A
BC
0100 11 10
0
1
图 8.17 例 8.11的卡诺图第 8章 数字电路基础知识
（ 2） 给出的是逻辑函数最小项表达式 。
把逻辑函数的最小项填入相应变量的卡诺图中,
也就是将表达式中所包含的最小项在对应的小方格中填入,1”,其它的小方格填入,0”,这样所得到的图形就是逻辑函数的卡诺图 。
第 8章 数字电路基础知识例 8.12 试画出函数
Y(A,B,C,D)= ∑ m（ 0,1,3,5,6,8,10,11,15）
的卡诺图 。
解 先画出四变量卡诺图,然后在对应于 m0,m1、
m3,m5,m6,m8,m10,m11,m15的小方格中填入
,1”,其它的小方格填入,0”,如图 8.18所示 。
第 8章 数字电路基础知识
1 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
1 0 1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
图 8.18 例 8.12的卡诺图第 8章 数字电路基础知识
（ 3） 给出的是一般逻辑函数表达式 。
先将一般逻辑函数表达式变换为与或表达式,然后再变换为最小项表达式,则可得到相应的卡诺图 。 实际上,
我们在根据一般逻辑表达式画卡诺图时,常常可以从一般与或式直接画卡诺图 。 其方法是：把每一个乘积项所包含的那些最小项所对应的小方格都填上,1”,其余的填,0”,就可以直接得到函数的卡诺图 。
第 8章 数字电路基础知识例 8.13 画出 Y（ A,B,C） =AB+B + 的卡诺图 。
解 AB这个乘积项包含了 A=1,B=1的所有最小项,
即 AB 和 ABC。 B 这个乘积项包含了 B=1,C=0的所有最小项,即 AB 和 B 。 这个乘积项包含了 A=0，
C=0的所有最小项,即 B和 。 最后画出卡诺图如图 8.19所示 。 需要指出的是,
① 在填写,1”时,有些小方格出现重复,根据 1+1=1的原则,只保留一个,1”即可；
② 在卡诺图中,只要填入函数值为,1”的小方格,函数值为,0”的可以不填；
C CA
C C
C A C CA
第 8章 数字电路基础知识
1 0 0 1
0 0 1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
图 8.19 例 8.13的卡诺图第 8章 数字电路基础知识
③ 上面画的是函数 Y的卡诺图 。 若要画的卡诺图,则要将 Y中的各个最小项用,0”填写,其余填写,1”。
Y
第 8章 数字电路基础知识
4.利用卡诺图化简逻辑函数
1） 合并最小项的规律利用卡诺图合并最小项,实质上就是反复运用公式
AB+A=A,消去相异的变量,从而得到最简的,与或,式：
（ 1） 当 2个 （ 21） 相邻小方格的最小项合并时,消去 1
个互反变量；
（ 2） 当 4个 （ 22） 相邻小方格的最小项合并时,消去 2
个互反变量；
（ 3） 当 8个 （ 23） 相邻小方格的最小项合并时,消去 3
个互反变量；
（ 4）当 2n个相邻小方格的最小项合并时，消去 n个互反变量。 n为正整数。
第 8章 数字电路基础知识图 8.20,图 8.21,图 8.22分别画出了相邻 2个小方格的最小项,相邻 4个小方格的最小项,相邻 8个小方格的最小项合并的情况 。
2)利用卡诺图化简逻辑函数一般按以下三个步骤进行：
(1)画出逻辑函数的卡诺图；
(2)按合并最小项的规律合并最小项,将可以合并的最小项分别用包围圈 (复合圈 )圈出来；
(3)将每个包围圈所得的乘积项相加,就可得到逻辑函数最简,与或,表达式 。
第 8章 数字电路基础知识
1
1
A
BC
0100 11 10
0
1
( a )
1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
( b )
1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
( c )
图 8.20 2个最小项的合并第 8章 数字电路基础知识图 8.20 2个最小项的合并
1
1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( d )
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( e )
第 8章 数字电路基础知识图 8.20 2个最小项的合并
1
1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( f )
第 8章 数字电路基础知识
1 1
1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
( a )
1 1
1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
( b )
1 1 1 1
A
BC
0100 11 10
0
1
( c ) 图 8.21 4个最小项的合并第 8章 数字电路基础知识图 8.21 4个最小项的合并
1 1
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( e )
第 8章 数字电路基础知识图 8.21 4个最小项的合并
1 1
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( f )
第 8章 数字电路基础知识
1 1 1 1
1 1 1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( a )
图 8.22 8个最小项的合并第 8章 数字电路基础知识图 8.22 8个最小项的合并
1 1
1 1
1 1
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( b )
第 8章 数字电路基础知识图 8.22 8个最小项的合并
1 1 1 1
1 1 1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( c )
第 8章 数字电路基础知识图 8.22 8个最小项的合并
1 1
1 1
1 1
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( d )
第 8章 数字电路基础知识例 8.14
Y（ A,B,C,D） =∑m（ 0,2,3,5,7,8,10,11,15）
解 第一步,画出 Y的卡诺图,如图 8.23所示；
第二步,按合并最小项的规律画出相应的包围圈；
BDADBCDDCBAY),,,(
第 8章 数字电路基础知识1 1 1
1 1
1
1 1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
BD
A B D
CD
图 8.23例 8.14的卡诺图第 8章 数字电路基础知识例 8.15化简
Y（ A,B,C,D） = ∑ m(3,4,5,7,9,13,14,15)。
解 首先画出 Y的卡诺图,如图 8.24所示 。
然后合并最小项 。 图 8.24(a),(b)是两种不同的圈法,图 (a)是最简的；图 (b)不是最简的,因为只注意对 1画包围圈应尽可能大,但没注意复合圈的个数应尽可能少,
实际上包含 4个最小项的复合圈是多余的 。
第 8章 数字电路基础知识
1
1 1 1
1 1 1
1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( a )
图 8.24例 8.15的卡诺图
(a)最简； (b)非最简第 8章 数字电路基础知识图 8.24例 8.15的卡诺图
(a)最简； (b)非最简
1
1 1 1
1 1 1
1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
BD 是多余项
( b )
第 8章 数字电路基础知识最后写出最简与或式为从上述例题可知,利用卡诺图化简逻辑函数,对最小项画包围圈是比较重要的 。 圈的最小项越多,消去的变量就越多；圈的数量越少,化简后所得到的乘积项就越少 。
CDAABCDCACBADCBAY),,,(
第 8章 数字电路基础知识综上所述,复合最小项应遵循的原则是：
① 按合并最小项的规律,对函数所有的最小项画包围圈；
② 包围圈的个数要最少,使得函数化简后的乘积项最少；
③ 一般情况下,应使每个包围圈尽可能大,则每个乘积项中变量的个数最少；
④ 最小项可以被重复使用,但每一个包围圈至少要有一个新的最小项 （ 尚未被圈过 ） 。
第 8章 数字电路基础知识需要指出的是：用卡诺图化简逻辑函数时,由于对最小项画包围圈的方式不同,得到的最简与或式也往往不同 。
卡诺图法化简逻辑函数的优点是简单,直观,容易掌握,但不适用于五变量以上逻辑函数的化简 。
第 8章 数字电路基础知识
5.具有,约束,的逻辑函数的化简
1） 什么是,约束,
在前面所讨论的逻辑函数中,我们认为逻辑变量的取值是独立的,不受其它变量取值的制约 。 但是,
在某些实际问题的逻辑关系中,变量和变量之间存在一定的制约关系 。 这种相互,制约,的关系就是约束 。
第 8章 数字电路基础知识例如,在数字系统中,用 A,B,C三个变量分别表示加,乘,除三种操作,而且规定在同一时间只能进行其中的一种操作 。 因此,A,B,C三个变量只可能出现
000,001,010,100四种取值,而 011,101,110,111
四种取值是不允许出现的 。 这就说明三个变量 A,B,C
之间存在着,约束,的关系 。 我们称 A,B,C是一组有约束的变量,而不允许出现的四组变量取值组合所对应的最小项称为,约束项,（ 或称为,任意项,,,禁止项,,,无关项,）,由约束项相加起来的逻辑表达式叫做,约束条件,。
第 8章 数字电路基础知识在本例中，约束条件可写为要使表达式 （ 8—19） 成立,每个最小项的值必须恒为 0。
约束条件的性质：约束项的值永远不会为 1。
既然认定约束项对应的变量取值的组合不会出现,
那么,谈论与它相对应的函数值是 1还是 0是没有意义的 。
也就是说,对应约束项的变量取值时,其函数值可以是任意的,既可以取 0,也可以取 1,这完全视需要而定,
通常把相对应的函数值记作,×,或,,。
0 ABCCABCBABCA （ 8— 19）
第 8章 数字电路基础知识
2)具有,约束,的逻辑函数的化简对于具有,约束,的逻辑函数,可以利用约束项进行化简,使得表达式简化 。 例 8.16设输入 A,B,C、
D是十进制数 X的二进制编码,当 X≥5时,输入 Y为 1，
否则为 0,求 Y的最简,与或,表达式 。
解 （ 1）根据题意列真值表，如表 8.15所示。
第 8章 数字电路基础知识表 8.15 真值表
X A B C D Y
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1
第 8章 数字电路基础知识表 8.15 真值表 （续）
X A B C D Y
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1
— 1 0 1 0 ×
— 1 0 1 1 ×
— 1 1 0 0 ×
— 1 1 0 1 ×
— 1 1 1 0 ×
— 1 1 1 1 ×
第 8章 数字电路基础知识从表中看出,
① 当 A,B,C,D的取值为 0000~0100时,Y=0；
② 当 A,B,C,D的取值为 0101~1001时,Y=1；
③ 当 A,B,C,D的取值为 1010~1111时,因为十进制数只有 0~9这 10个数码,对应的二进制编码是
0000~1001,所以对于 A,B,C,D的这 6组取值是不允许出现的 。 也就是说,这 6个最小项是,约束项,。
第 8章 数字电路基础知识真值表得 Y
Y（ A,B,C,D） =∑m(5,6,7,8,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)
(2)用卡诺图化简：
不考虑约束条件的化简如图 8.25(a)所示,化简结果为考虑约束条件的化简如图 8.25(b)所示,
Y(A,B,C,D)=A+BD+BC
可见,利用约束条件的表达式较为简单 。
CBABCABDADCBAY),,,(
第 8章 数字电路基础知识
1 1 1
1 1
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
( a )
图 8.25 例 8.16的卡诺图
(a)不考虑约束项的化简 ; (b)考虑约束项的化简第 8章 数字电路基础知识图 8.25 例 8.16的卡诺图
(a)不考虑约束项的化简 ; (b)考虑约束项的化简
1 1 1
× × ×
1 1 × ×
AB
CD
0100 11 10
00
01
11
10
×
( b )
