EXIT
逻辑代数基础概 述第 2 章 逻辑代数基础逻辑函数及其 表示方法逻辑代数的基本定律和规则逻辑函数的 代数化简法逻辑函数的 卡诺图化简法本章小结
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逻辑代数基础主要要求：
理解逻辑值 1 和 0 的含义 。
2.1 概 述理解逻辑体制的含义 。
EXIT
逻辑代数基础用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数
(Boole Algebra)或开关代数。
逻辑指事物因果关系的规律。
逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系,相应的函数称逻辑函数,变量称逻辑变量 。
逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个,
通常用 1和 0 表示 。
与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。相似处相异处运算规律有很多不同 。
一,逻辑代数
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逻辑代数基础逻辑代数中的 1 和 0 不表示数量大小，
仅表示两种相反的状态。注意例如：开关闭合为 1 晶体管导通为 1 电位高为 1
断开为 0 截止为 0 低为 0
二、逻辑体制正逻辑体制负逻辑体制规定高电平为逻辑 1,低电平为逻辑 0
规定低电平为逻辑 1,高电平为逻辑 0
通常未加说明,则为正逻辑体制
EXIT
逻辑代数基础主要要求：
掌握 逻辑代数的常用运算 。
理解并初步掌握 逻辑函数的建立和表示的方法。
2.2 逻辑函数及其表示方法掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其 相互转换的方法 。
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逻辑代数基础一、基本逻辑函数及运算基本逻辑函数与逻辑或逻辑非逻辑与运算 (逻辑乘 )
或 运算 (逻辑加 )
非运算 (逻辑非 )
1,与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭断断亮合合灭断合灭合断灯 Y开关 B开关 A
开关 A,B 都闭合时，
灯 Y 才亮。
规定,
开关闭合为逻辑 1
断开为逻辑 0
灯亮为逻辑 1
灯灭为逻辑 0
真值表 11 1
YA B
00 0
00 1
01 0
逻辑表达式
Y = A · B 或 Y = AB
与门
(AND gate)
若有 0 出 0；若全 1 出 1
EXIT
逻辑代数基础开关 A 或 B 闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。
2,或逻辑 决定某一事件的诸条件中,只要有一个或一个以上具备时,该事件就发生 。
灭断断亮合合亮断合亮合断灯 Y开关 B开关 A
若有 1 出 1
若全 0 出 0
00 0
11 1
YA B
10 1
11 0
逻辑表达式 Y = A + B
或门
(OR gate)
≥1
3,非逻辑 决定某一事件的条件满足时,事件不发生；反之事件发生 。
开关闭合时灯灭，
开关断开时灯亮。
A Y
0 1
1 0
Y = A 1 非 门 (NOT gate)
又称,反相器,
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逻辑代数基础二、常用复合逻辑运算 由基本逻辑运算组合而成与非 逻辑 (NAND)
先与后非若有 0出 1
若全 1出 0
10 0
01 1
YA B
10 1
11 0
01 1
或非逻辑 ( NOR )
先或后非若有 1出 0
若全 0出 1
10 0
YA B
00 1
01 0
与或非逻辑 (AND – OR – INVERT)
先与后或再非
EXIT
逻辑代数基础异或逻辑 (Exclusive – OR)
若相异出 1
若相同出 0
同或逻辑 (Exclusive - NOR，即异或非 )
若相同出 1
若相异出 0
00 0
01 1
YA B
10 1
11 0
10 0
11 1
YA B
00 1
01 0
注意,异或和同或互为反函数，即
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。
解,Y1
有 0出 0 全 1出 1
0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1
Y2
Y3
相同出 0 相异出 1
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逻辑代数基础三、逻辑符号对照国家标准 曾用标准 美国标准
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逻辑代数基础四、逻辑函数及其表示方法逻辑函数描述了某种逻辑关系。
常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。
1,真值表 列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表 。
列真值表方法
(1)按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。
(2)分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格 。
EXIT
逻辑代数基础
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1111
0111
1011
0011
1101
0101
1001
0001
1110
0110
1010
0010
1100
0100
1000
0000
YDCBA
输出变量输 入 变 量
4 个输入变量有 24
= 16 种取值组合。
的真值表。 例如 求函数 CDABY
EXIT
逻辑代数基础
2,逻辑函数式 表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。
逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。
(1)找出函数值为 1 的项。
(2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，
取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。
(3)将这些与项相加即得逻辑式。
真值表逻辑式例如
ABC
1000
1111
0011
0101
0001
0010
0100
YCBA
0110
逻辑式为
EXIT
逻辑代数基础
3,逻辑图运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。
由逻辑符号及相应连线构成的电路图。
根据逻辑式画逻辑图的方法,
将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。
例如 画 的逻辑图反变量用非门实现与项用与门实现相加项用或门实现
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 图示为控制楼道照明的开关电路。
两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。
(1)分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表
1
1
YA B
0
0
0 0
1 1
0 1
1 0
(2)根据真值表写出逻辑式解：
方法：
找出输入变量和输出函数，
对它们的取值作出逻辑规定，
然后根据逻辑关系列出真值表。
设开关 A,B合向左侧时为 0
状态，合向右侧时为 1 状态； Y 表示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时为 0 状态。则可列出真值表为
EXIT
逻辑代数基础
(3)画逻辑图与或表达式 (可用 2 个非门、
2 个与门和 1 个或门实现 )
异或非表达式 (可用 1 个异或门和 1 个非门实现 )
BAABY BA=Ａ ⊙ B
设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。
EXIT
逻辑代数基础
2.3 逻辑代数的基本定律和规则主要要求：
掌握逻辑代数的 基本公式和基本定律 。
了解逻辑代数的重要规则。
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逻辑代数基础一、基本公式逻辑常量运算公式逻辑变量与常量的运算公式
0 ·0 = 0
0·1 = 0
1 ·0 = 0
1 ·1 = 1
0+ 0 = 0
0+ 1 = 1
1+ 0 = 1
1+ 1 = 1
0 – 1 律 重迭律 互补律 还原律
0 + A = A
1 + A = 1
1 · A = A
0 · A = 0
A + A = A
A · A = A
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逻辑代数基础二、基本定律
(一 ) 与普通代数相似的定律交换律 A + B = B + A A · B = B · A
结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A · B) · C = A · (B · C)
分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C)
普通代数没有！
利用真值表逻辑等式的证明方法 利用基本公式和基本定律
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逻辑代数基础
11
11
11
11
11
00
[例 ] 证明等式 A + BC = (A + B) (A + C)
解,真值表法公式法 右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开
= AA + AC + BA + BC
= A + AC + AB + BC
= A (1 + C + B) + BC
= A · 1 +BC
= A + BC
00
00
A B C A + BC (A + B) (A + C)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
EXIT
逻辑代数基础
(二 ) 逻辑代数的特殊定理吸收律
A + AB = A
A + AB = A (1 + B) = A
EXIT
逻辑代数基础
001 1
111 0
110 1
110 0
A+BA · BA B
001 1
001 0
000 1
110 0
A · BA+BA B
(二 ) 逻辑代数的特殊定理吸收律
A + AB = A
推广公式：
思考,(1) 若已知 A + B = A + C，则 B = C 吗？
(2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？
推广公式：
摩根定律 (又称反演律 )
EXIT
逻辑代数基础三、重要规则
(一 ) 代入规则
A A A
A均用 代替
A均用 代替
B均用 C代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。
将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。
EXIT
逻辑代数基础变换时注意：
(1)不能改变原来的运算顺序。
(2)反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非号保持不变。
可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：
利用反演规则或摩根定律。
原运算次序为
(二 )反演规则 对任一个逻辑函数式 Y，将,·” 换成,+”,,+” 换成,·”,,0” 换成,1”,
,1” 换成,0”,原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数 。Y
EXIT
逻辑代数基础
(三 )对偶规则 对任一个逻辑函数式 Y，将,·” 换成
,+”,,+” 换成,·”,,0” 换成
,1”,,1” 换成,0”,则得到原逻辑函数式的对偶式 Y?。
对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。
应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。
变换时注意,(1)变量不改变
(2)不能改变原来的运算顺序
A + AB = A A · (A + B) = A
EXIT
逻辑代数基础主要要求：
了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换 。
了解逻辑函数的 代数化简法 。
2.4 逻辑函数的代数化简法理解 最简与 - 或式和最简与非式 的标准 。
EXIT
逻辑代数基础逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。
一,逻辑函数式的几种常见形式和变换例如 CBBAY
))(( CBBA
CBBA
CBBA
BCBA
与或表达式或与表达式与非 - 与非表达式或非 - 或非表达式与或非表达式转换方法举例与或式 与非式用还原律用摩根定律
CBBAY
CBBA
CBBA
或与式 或非式 与或非式用还原律用摩根定律用摩根定律
))(( CBBAY
))(( CBBA
CBBA
BCBA
EXIT
逻辑代数基础二、逻辑函数式化简的意义与标准化简意义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，
从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。
不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与 - 或式，然后通过变换得到所需最简式。
EXIT
逻辑代数基础最简与 - 或式标准
(1)乘积项 (即与项 )的个数最少
(2)每个乘积项中的变量数最少用与门个数最少与门的输入端数最少最简与非式标准
(1)非号个数最少
(2)每个非号中的变量数最少用与非门个数最少与非门的输入端数最少
EXIT
逻辑代数基础三、代数化简法 运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。
并项法 运用,
将两项合并为一项，并消去一个变量。
ABAAB
CBACBAY BA?
)()( CBCBACBBCAY
)( CBACBA A?
EXIT
逻辑代数基础
)( FEABABY AB?
吸收法 运用 A+AB =A 和,
消去多余的与项。
CAABBCCAAB
BDDCDAA B CY
BDCADABC )(
BDDACACB
DACACB
DCDAA B C
EXIT
逻辑代数基础消去法 运用吸收律,消去多余因子。 BABAA
CBCAABY
CBAAB )( CABAB CAB
CDBAABCDBABAY
)( BAABCDBABA
BACDBA
CDBA
CDBABA
EXIT
逻辑代数基础配项法 通过乘 或加入零项进行配项，然后再化简。
1 AA 0 AA
DCBADCABCBAB
CBAB
ABABCCAB
ABABCCABAB )(
ABABCABCAB
CBAABC
EXIT
逻辑代数基础综合灵活运用上述方法
[例 ] 化简逻辑式 EFBADCCAABDAADY
解,EFBADCCAABAY
DCCAA 应用 BABAA
DCCA DCA
[例 ] 化简逻辑式 CBDBDAACY
解：
应用 BABAA
DABCBAC DCBAC
应用 AB CBACCBAC
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 化简逻辑式 CAA B CBAY
解,?Y CAABCBA
CABA 应用 BABAA
CBA
CBAY CBA?
用摩根定律
EXIT
逻辑代数基础主要要求：
掌握 最小项的概念与编号 方法，了解其主要性质。
掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。
理解 卡诺图的意义和 构成原则 。
掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。
2.5 逻辑函数的卡诺图化简法
EXIT
逻辑代数基础代数化简法优点：对变量个数没有限制 。
缺点：需技巧,不易判断是否最简式 。
卡诺图化简法优点：简单,直观,有一定的步骤和方法易判断结果是否最简 。
缺点：适合变量个数较少的情况 。
一般用于四变量以下函数的化简 。
一、代数化简法与卡诺图化简法的特点
EXIT
逻辑代数基础卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图 。
n 个变量有 2n 种组合，可对应写出 2n 个乘积项，这些乘积项均具有下列特点,包含全部变量，
且每个变量在该乘积项中 (以原变量或反变量 )只出现一次。 这样的乘积项称为这 n 个变量的最小项，也称为 n 变量逻辑函数的最小项。
1,最小项的定义和编号
(一 )最小项的概念与性质二、最小项与卡诺图
EXIT
逻辑代数基础如何编号？
如何根据输入变量组合写出相应最小项？
例如 3 变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个将输入变量取值为 1
的代以原变量，取值为 0
的代以反变量，则得相应最小项。
简记符号例如 CBA? 1015 m5
m4? 4? 100? CBA
ABC1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
最小项A B C
CBA
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CAB
m7
m6
m5
m4
m3
m2
m1
m0
输入组合对应的十进制数
7
6
5
4
3
2
1
0
EXIT
逻辑代数基础
2,最小项的基本性质
(1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1，
而其余各种变量取值均使其值为 0。
三变量最小项表
1100000001 1 1
1010000001 1 0
1001000001 0 1
1000100001 0 0
1000010000 1 1
1000001000 1 0
1000000100 0 1
1000000010 0 0
ABC
m7m6m5m4m3m2m1m0A B C
12
0
n
i
imFCBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB
(2) 不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。
(3) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。
(4) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。
EXIT
逻辑代数基础例如 ABC+ABC =AB
3,相邻最小项两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。
例如 三变量最小项 ABC和 ABC
相邻最小项重要特点,
两个相邻最小项相加可合并为一项，
消去互反变量，化简为相同变量相与。
(二 )最小项的卡诺图表示将 n 变量的 2n 个最小项用 2n 个小方格表示，
并且 使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻,
这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图，
简称为变量卡诺图。
EXIT
逻辑代数基础变量取 0 的代以反变量取 1 的代以原变量
A
B二变量卡诺图
0
1
0 1
0 0 0 1
1 0 1 1
A
B
0
1
0 1
m0 m1
m2 m3
0 1
2 3
A
B
A
A
B B
AB AB
AB AB
四变量卡诺图
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
三变量卡诺图
A
BC
0
1
00 01 11 10
m6 m7m4
m2m3000m0
m5
001m1
6754
2310
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
以循环码排列以保证相邻性
EXIT
逻辑代数基础变量取 0 的代以反变量取 1 的代以原变量
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
AB
CD
CD DCDC DC
BA
BA
AB
BA
ABCD
CDBADCBADCBA
DCBA
DCBA DBCABCDA
CDBADCBA DCBA
DCBA
DCABDCAB DABC
DCBA
相邻项 在几何位置上也相邻卡诺图特点：
循环相邻性同一列最上与最下方格相邻同一行最左与最右方格相邻
EXIT
逻辑代数基础如何写出卡诺图方格对应的最小项？
已知最小项如何找相应小方格？
例如原变量取 1，反变量取 0。
DCBA 1001
？
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
A BCD
DCBA
EXIT
逻辑代数基础为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与 -或式或者与 - 或表达式。因此，下面先介绍标准与 -或式。
任何形式的逻辑式都可以转化为标准与 -或式，而且逻辑函数的标准与 - 或式是唯一的。
(一 ) 逻辑函数的标准与 - 或式三、用卡诺图表示逻辑函数每一个与项都是最小项的与 -或逻辑式称为标准与 -或式，又称最小项表达式。
EXIT
逻辑代数基础如何将 逻辑式转化为 标准与 -或式呢？
[例 ] 将逻辑式 化为标准与或式 。 DCABCBAY
(3) 利用 A+A=A，合并掉相同的最小项。
0000
m0
0001
m1
1100
m12
1101
m13
1111
m15
= m0 + m1 + m12 + m13 + m15
=∑m (0,1,12,13,15)
ABCDDCABDCABDCBADCBAY
解,(1) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。
ABCBAY DC
)( DCABCBA
ABDCABCBA
(2) 利用配项法化为标准与或式。
DCABA B C DDCABDCABDCBADCBA
EXIT
逻辑代数基础
(二 )用卡诺图表示逻辑函数
(1)求逻辑函数真值表或者标准与 - 或式或者与 - 或式。
(2)画出变量卡诺图。
(3)根据真值表或标准与 -或式或与 - 或式填图。
基本步骤用卡诺图表示逻辑函数举例已知标准与或式画函数卡诺图
[例 ] 试画出函数 Y = ∑m (0,1,12,13,15) 的卡诺图解,(1) 画出四变量卡诺图 (2)填图逻辑式中的最小项 m0,m1,m12、
m13,m15 对应的方格填 1，其余不填。
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
1 1
1 1 1
EXIT
逻辑代数基础已知真值表画函数卡诺图
[例 ] 已知逻辑函数 Y 的真值表如下，试画出 Y 的卡诺图。
解,(1)画 3 变量卡诺图。
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
A
BC
0
1
00 01 11 10
6754
2310
m0
m2
m4
m6
11
11
(2)找出真值表中 Y = 1
对应的最小项，在卡诺图相应方格中填 1，其余不填。
EXIT
逻辑代数基础已知一般表达式画函数卡诺图解,(1) 将逻辑式转化为与或式
(2) 作变量卡诺图找出各与项所对应的最小项方格填 1，其余不填。
[例 ] 已知,试画出 Y 的卡诺图。 )( BDCABDAY
ABDAY )( BDC
CBD
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(3) 根据与或式填图
1 1
1 1
1 1 1 1 AB 对应最小项为同时满足 A = 1，
B = 1 的方格。
ABDA
BCD 对应最小项为同时满足
B = 1,C = 0,D = 1的方格
AD 对应最小项为同时满足
A = 0,D = 1的方格。
EXIT
逻辑代数基础四、用卡诺图化简逻辑函数化简规律
2 个相邻 最小项有 1 个变量相异，相加可以 消去 这 1 个变量,化简结果为相同变量的与；
4 个相邻 最小项有 2 个变量相异，相加可以消去这 2 个变量,化简结果为相同变量的与；
8 个相邻最小项有 3 个变量相异，相加可以消去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与；
……
2n 个相邻 最小项有 n 个变量相异，相加可以消去 这 n 个变量,化简结果为相同变量的与。
消异存同
EXIT
逻辑代数基础
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
例如
2 个相邻项合并消去
1 个变量，化简结果为相同变量相与。
ABCD+ABCD=ABD
2 个相邻项合并消去
1 个变量，化简结果为相同变量相与。
1
1
1
1
ABCD+ABCD +ABCD+ABCD
=ACD +ACD =AD
4 个相邻项合并消去 2 个变量，
化简结果为相同变量相与。
8 个相邻项合并消去 3 个变量
A1 1 1 1
1 1
EXIT
逻辑代数基础画包围圈规则包围圈必须包含 2n 个相邻 1 方格，且必须成方形。
先圈小再圈大，圈越大越是好； 1 方格可重复圈，但须每圈有新 1；每个,1” 格须圈到，孤立项也不能掉。
同一列最上边和最下边循环相邻,可画圈；
同一行最左边和最右边循环相邻,可画圈；
四个角上的 1 方格也循环相邻,可画圈 。
注意
ABCD+ABCD +ABCD+ABCD卡诺图化简法步骤画函数卡诺图将各圈分别化简对填 1 的相邻最小项方格画包围圈将各圈化简结果逻辑加
EXIT
逻辑代数基础
m15
m9
m7 m6m5m4
m2m0
解,(1)画变量卡诺图
[例 ] 用卡诺图化简逻辑 函数
Y(A,B,C,D)=∑m (0,2,4,5,6,7,9,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(2)填卡诺图
1 1
1 1 11
1
1
(3)画包围圈
a
b
c
d
(4)将各图分别化简圈 2 个可消去 1 个变量，化简为 3 个相同变量相与。
Yb = BCD
圈 4 个可消去 2 个变量，化简为 2 个相同变量相与。
孤立项 Ya=ABCD
Yc = AB
循环相邻
Yd = AD
(5)将各图化简结果逻辑加，得最简与或式
DABAB C DDCBAY
EXIT
逻辑代数基础解,(1)画变量卡诺图
[例 ] 用卡诺图化简逻辑 函数
Y(A,B,C,D)=∑m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(2)填卡诺图
1 1
1 1
1 1
1 1
(4)求最简与或式 Y=
1
BDA
消 1 个剩 3 个
(3)画圈
BCD?
消 2 个剩 2 个
DA?
4 个角上的最小项循环相邻
DB?
EXIT
逻辑代数基础找 AB =11,C = 1的公共区域找 A= 1,CD = 01的公共区域找 B 1,D = 1的公共区域解,(1)画变量卡诺图
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(2)填图 1
1
(4)化简
(3)画圈
[例 ] 用卡诺图化简逻辑 函数
BDA B CDCADCBACDBAY
0011
m3
0100
m4
1
1
1 1
1 1
要画吗？
CBA DCA? ABC? CDA?Y =
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 已知某逻辑函数的卡诺图如下所示,试写出其最简与或式 。
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
解：
0 方格很少且为相邻项，故用圈 0 法先求
Y 的最简与或式。
A B CY?
A B CYY CBA
1 1
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 已知函数真值表如下,试用卡诺图法求其最简与或式 。
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
注意：
该卡诺图还有其他画圈法可见，最简结果未必唯一。
解,(1)画函数卡诺图
A
BC
0
1
00 01 11 10
111
111
(3)化简
(2)画圈
Y = CB CA? AB?
BCCABAY
111
111
A
BC
0
1
00 01 11 10
EXIT
逻辑代数基础约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对应函数值视为 1 或 0 都可以，故称无关项。
不允许出现的 无关项 又称约束项；客观上不会出现的 无关项 又称随意项。
五、具有无关项的逻辑函数的化简合理利用无关项可使逻辑式更简单
1,无关项的概念与表示无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的 变量取值组合或者 不允许出现 或者根本 不会出现 。
无关项在卡诺图和真值表中用,?”,?” 来标记，
在逻辑式中则用字母 d 和相应的编号表示。
例如 8421 码中,1010 ~ 1111
这 6 种代码是不允许出现的。
例如 A,B为连动互锁开关，
设开为 1,关为 0,则 AB 只能取值 01 或 10,不会出现 00或 11。
2,利用无关项化简逻辑函数无关项的取值对逻辑函数值没有影响。
化简时应视需要将无关项方格看作 1 或 0,
使包围圈 最少而且最大，从而使结果最简。
EXIT
逻辑代数基础将 d10 看成 0,其余 × 看成 1
将 × 看成 0
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1 1
1
1
× ×
× ×
××
×
显然左图化简结果最简解,(1)画变量卡诺图
[例 ] 用卡诺图化简 函数
Y=∑m (0,1,4,6,9,13)+ ∑d (2,3,5,7,10,11,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(2)填图
1 1
1 1
1
(4)写出最简与 -或式最小项
(3)画包围圈无关项
1
× ×
× ×
××
×
AY? D?
0×
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 已知函数 Y 的 真值表如下，求其最简与 - 或式。
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 ×
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
解,(1)画变量卡诺图
A
BC
0
1
00 01 11 10
×
1
11
(4)写出 最简与 -或式
(2)填图
(3)画包围圈
×
BAY? CB?
要画圈吗？
EXIT
逻辑代数基础解,(1)画变量卡诺图
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(2)填图
(4)求最简与 -或式
(3)画包围圈
1 1
1 1
求最简与非式基本方法是：
先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。
[例 ] 求 函数 的最简与非式 BDADBACBAY
0 ACAB
1 1
×× × ×
× ×
× ×
BDY? DB? A?
(5)求最简与非式
BDDBAY
A DB? BD
分析题意 称约束条件，表明与项 AB 和 AC 对应的最小项不允许出现，因此
AB 和 AC 对应的方格为无关项。
EXIT
逻辑代数基础本章小结分析数字电路的数学工具是逻辑代数,它的定律有的和普通代数类似,如交换律,结合律和第一种形式的分配律；但很多与普通代数不同,如吸收律和摩根定律 。 须注意：逻辑代数中无减法和除法 。
EXIT
逻辑代数基础逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个,
即 0 或 1。 须注意,逻辑代数中的 0 和 1 并不表示数量大小,仅用来表示两种截然不同的状态 。
正逻辑体制规定高电平为逻辑 1,低电平为逻辑 0； 负逻辑体制则规定低电平为逻辑 1、
高电平为逻辑 0。 未加说明则默认为正逻辑体制 。
EXIT
逻辑代数基础基本逻辑运算有与运算 (逻辑乘 ),或运算 (逻辑加 ) 和非运算 (逻辑非 )3 种 。 常用复合逻辑运算有与非运算,或非运算,与或非运算,异或运算和同或运算 。
与运算 或 运算 非运算
Y=A·B 或 Y=AB
若有 0出 0
若全 1出 1
Y=A＋ B
若有 1出 1
若全 0出 0
EXIT
逻辑代数基础与非运算 或非 运算 与或非运算有 0 出 1;全 1 出 0 有 1 出 0;全 0 出 1
相异出 1
相同出 0
相同出 1
相异出 0
异或运算 同或 运算
EXIT
逻辑代数基础逻辑函数常用的表示方法有：真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图。
不同表示方法各有特点,适宜不同的应用 。
卡诺图 主要用于化简逻辑式 。
真值表 通常用于分析逻辑函数的功能、根据逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。
逻辑式 便于进行运算和变换。在分析电路逻辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；而设计逻辑电路时需要先写出逻辑式，然后才能画出逻辑图。
逻辑图 是分析和安装实际电路的依据。
EXIT
逻辑代数基础真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换
(1)找出函数值为 1 的项。
(2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，
取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。
(3)将这些与项相加即得逻辑式。
真值表逻辑式
(1)按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。
(2)分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。
逻辑式真值表实用中通常先由真值表画卡诺图，然后应用卡诺图化简法写出简化表达式。
EXIT
逻辑代数基础
(1)应用摩根定律和分配律等求出与或表达式。
(2)根据变量数 n 画出变量卡诺图。
(3)根据与或式填图。
逻辑式卡诺图根据电路逐级写出相应 逻辑运算 。
将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现 。
逻辑式逻辑图逻辑图逻辑式
EXIT
逻辑代数基础化简逻辑函数的目的是为了获得最简逻辑式,
从而使逻辑电路简单,成本低,可靠性高 。
不同形式的逻辑式有不同的最简式,求最简式的一般方法是：先求最简与或式,然后变换成所需的最简形式 。
最简与或式标准 (1)与项的个数最少(2)每个 与项中的变量数最少最简与非式标准 (1)非号个数最少(2)每个非号中的变量数最少
EXIT
逻辑代数基础逻辑函数化简方法主要有代数法和卡诺图法。
最小项特点 是：包含全部变量,且每个变量在该乘积项中 (以原变量或反变量形式 )只出现一次 。 若两个最小项只有一个变量互为反变量,其余变量均相同,则称为 相邻最小项 。
代数化简法 可化简任何复杂的逻辑函数，但需要一定的技巧和经验，而且不易判断结果是否最简。 卡诺图化简法 直观简便，易判断结果是否最简，但一般用于四变量以下函数的化简。
EXIT
逻辑代数基础因此 卡诺图具有下面的特点,2n 个相邻最小项有 n 个变量相异，相加可以消去这 n 个变量，
化简结果为相同变量的与。
卡诺图化简法步骤画函数卡诺图将各圈分别化简对填 1 的相邻最小项方格画包围圈将各圈化简结果逻辑加卡诺图 是按照使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻这样的原则排列得到的方格图。
EXIT
逻辑代数基础无关项有约束项和随意项两种情况,其取值对逻辑函数值没有影响 。 因此,化简时应视需要将无关项方格看作 1 或 0,使包围圈最少而且最大,从而使结果最简 。
画包围圈规则包围圈必须包含 2n 个相邻 1 方格，
且必须成方形。
先圈小再圈大，圈越大越是好；
1 方格可重复圈，但须每圈有新 1；
每个,1” 格须圈到，孤立项也不能掉。
逻辑代数基础概 述第 2 章 逻辑代数基础逻辑函数及其 表示方法逻辑代数的基本定律和规则逻辑函数的 代数化简法逻辑函数的 卡诺图化简法本章小结
EXIT
逻辑代数基础主要要求：
理解逻辑值 1 和 0 的含义 。
2.1 概 述理解逻辑体制的含义 。
EXIT
逻辑代数基础用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数
(Boole Algebra)或开关代数。
逻辑指事物因果关系的规律。
逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系,相应的函数称逻辑函数,变量称逻辑变量 。
逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个,
通常用 1和 0 表示 。
与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。相似处相异处运算规律有很多不同 。
一,逻辑代数
EXIT
逻辑代数基础逻辑代数中的 1 和 0 不表示数量大小，
仅表示两种相反的状态。注意例如：开关闭合为 1 晶体管导通为 1 电位高为 1
断开为 0 截止为 0 低为 0
二、逻辑体制正逻辑体制负逻辑体制规定高电平为逻辑 1,低电平为逻辑 0
规定低电平为逻辑 1,高电平为逻辑 0
通常未加说明,则为正逻辑体制
EXIT
逻辑代数基础主要要求：
掌握 逻辑代数的常用运算 。
理解并初步掌握 逻辑函数的建立和表示的方法。
2.2 逻辑函数及其表示方法掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其 相互转换的方法 。
EXIT
逻辑代数基础一、基本逻辑函数及运算基本逻辑函数与逻辑或逻辑非逻辑与运算 (逻辑乘 )
或 运算 (逻辑加 )
非运算 (逻辑非 )
1,与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭断断亮合合灭断合灭合断灯 Y开关 B开关 A
开关 A,B 都闭合时，
灯 Y 才亮。
规定,
开关闭合为逻辑 1
断开为逻辑 0
灯亮为逻辑 1
灯灭为逻辑 0
真值表 11 1
YA B
00 0
00 1
01 0
逻辑表达式
Y = A · B 或 Y = AB
与门
(AND gate)
若有 0 出 0；若全 1 出 1
EXIT
逻辑代数基础开关 A 或 B 闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。
2,或逻辑 决定某一事件的诸条件中,只要有一个或一个以上具备时,该事件就发生 。
灭断断亮合合亮断合亮合断灯 Y开关 B开关 A
若有 1 出 1
若全 0 出 0
00 0
11 1
YA B
10 1
11 0
逻辑表达式 Y = A + B
或门
(OR gate)
≥1
3,非逻辑 决定某一事件的条件满足时,事件不发生；反之事件发生 。
开关闭合时灯灭，
开关断开时灯亮。
A Y
0 1
1 0
Y = A 1 非 门 (NOT gate)
又称,反相器,
EXIT
逻辑代数基础二、常用复合逻辑运算 由基本逻辑运算组合而成与非 逻辑 (NAND)
先与后非若有 0出 1
若全 1出 0
10 0
01 1
YA B
10 1
11 0
01 1
或非逻辑 ( NOR )
先或后非若有 1出 0
若全 0出 1
10 0
YA B
00 1
01 0
与或非逻辑 (AND – OR – INVERT)
先与后或再非
EXIT
逻辑代数基础异或逻辑 (Exclusive – OR)
若相异出 1
若相同出 0
同或逻辑 (Exclusive - NOR，即异或非 )
若相同出 1
若相异出 0
00 0
01 1
YA B
10 1
11 0
10 0
11 1
YA B
00 1
01 0
注意,异或和同或互为反函数，即
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。
解,Y1
有 0出 0 全 1出 1
0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1
Y2
Y3
相同出 0 相异出 1
EXIT
逻辑代数基础三、逻辑符号对照国家标准 曾用标准 美国标准
EXIT
逻辑代数基础四、逻辑函数及其表示方法逻辑函数描述了某种逻辑关系。
常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。
1,真值表 列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表 。
列真值表方法
(1)按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。
(2)分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格 。
EXIT
逻辑代数基础
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1111
0111
1011
0011
1101
0101
1001
0001
1110
0110
1010
0010
1100
0100
1000
0000
YDCBA
输出变量输 入 变 量
4 个输入变量有 24
= 16 种取值组合。
的真值表。 例如 求函数 CDABY
EXIT
逻辑代数基础
2,逻辑函数式 表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。
逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。
(1)找出函数值为 1 的项。
(2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，
取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。
(3)将这些与项相加即得逻辑式。
真值表逻辑式例如
ABC
1000
1111
0011
0101
0001
0010
0100
YCBA
0110
逻辑式为
EXIT
逻辑代数基础
3,逻辑图运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。
由逻辑符号及相应连线构成的电路图。
根据逻辑式画逻辑图的方法,
将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。
例如 画 的逻辑图反变量用非门实现与项用与门实现相加项用或门实现
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 图示为控制楼道照明的开关电路。
两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。
(1)分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表
1
1
YA B
0
0
0 0
1 1
0 1
1 0
(2)根据真值表写出逻辑式解：
方法：
找出输入变量和输出函数，
对它们的取值作出逻辑规定，
然后根据逻辑关系列出真值表。
设开关 A,B合向左侧时为 0
状态，合向右侧时为 1 状态； Y 表示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时为 0 状态。则可列出真值表为
EXIT
逻辑代数基础
(3)画逻辑图与或表达式 (可用 2 个非门、
2 个与门和 1 个或门实现 )
异或非表达式 (可用 1 个异或门和 1 个非门实现 )
BAABY BA=Ａ ⊙ B
设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。
EXIT
逻辑代数基础
2.3 逻辑代数的基本定律和规则主要要求：
掌握逻辑代数的 基本公式和基本定律 。
了解逻辑代数的重要规则。
EXIT
逻辑代数基础一、基本公式逻辑常量运算公式逻辑变量与常量的运算公式
0 ·0 = 0
0·1 = 0
1 ·0 = 0
1 ·1 = 1
0+ 0 = 0
0+ 1 = 1
1+ 0 = 1
1+ 1 = 1
0 – 1 律 重迭律 互补律 还原律
0 + A = A
1 + A = 1
1 · A = A
0 · A = 0
A + A = A
A · A = A
EXIT
逻辑代数基础二、基本定律
(一 ) 与普通代数相似的定律交换律 A + B = B + A A · B = B · A
结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A · B) · C = A · (B · C)
分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C)
普通代数没有！
利用真值表逻辑等式的证明方法 利用基本公式和基本定律
EXIT
逻辑代数基础
11
11
11
11
11
00
[例 ] 证明等式 A + BC = (A + B) (A + C)
解,真值表法公式法 右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开
= AA + AC + BA + BC
= A + AC + AB + BC
= A (1 + C + B) + BC
= A · 1 +BC
= A + BC
00
00
A B C A + BC (A + B) (A + C)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
EXIT
逻辑代数基础
(二 ) 逻辑代数的特殊定理吸收律
A + AB = A
A + AB = A (1 + B) = A
EXIT
逻辑代数基础
001 1
111 0
110 1
110 0
A+BA · BA B
001 1
001 0
000 1
110 0
A · BA+BA B
(二 ) 逻辑代数的特殊定理吸收律
A + AB = A
推广公式：
思考,(1) 若已知 A + B = A + C，则 B = C 吗？
(2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？
推广公式：
摩根定律 (又称反演律 )
EXIT
逻辑代数基础三、重要规则
(一 ) 代入规则
A A A
A均用 代替
A均用 代替
B均用 C代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。
将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。
EXIT
逻辑代数基础变换时注意：
(1)不能改变原来的运算顺序。
(2)反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非号保持不变。
可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：
利用反演规则或摩根定律。
原运算次序为
(二 )反演规则 对任一个逻辑函数式 Y，将,·” 换成,+”,,+” 换成,·”,,0” 换成,1”,
,1” 换成,0”,原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数 。Y
EXIT
逻辑代数基础
(三 )对偶规则 对任一个逻辑函数式 Y，将,·” 换成
,+”,,+” 换成,·”,,0” 换成
,1”,,1” 换成,0”,则得到原逻辑函数式的对偶式 Y?。
对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。
应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。
变换时注意,(1)变量不改变
(2)不能改变原来的运算顺序
A + AB = A A · (A + B) = A
EXIT
逻辑代数基础主要要求：
了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换 。
了解逻辑函数的 代数化简法 。
2.4 逻辑函数的代数化简法理解 最简与 - 或式和最简与非式 的标准 。
EXIT
逻辑代数基础逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。
一,逻辑函数式的几种常见形式和变换例如 CBBAY
))(( CBBA
CBBA
CBBA
BCBA
与或表达式或与表达式与非 - 与非表达式或非 - 或非表达式与或非表达式转换方法举例与或式 与非式用还原律用摩根定律
CBBAY
CBBA
CBBA
或与式 或非式 与或非式用还原律用摩根定律用摩根定律
))(( CBBAY
))(( CBBA
CBBA
BCBA
EXIT
逻辑代数基础二、逻辑函数式化简的意义与标准化简意义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，
从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。
不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与 - 或式，然后通过变换得到所需最简式。
EXIT
逻辑代数基础最简与 - 或式标准
(1)乘积项 (即与项 )的个数最少
(2)每个乘积项中的变量数最少用与门个数最少与门的输入端数最少最简与非式标准
(1)非号个数最少
(2)每个非号中的变量数最少用与非门个数最少与非门的输入端数最少
EXIT
逻辑代数基础三、代数化简法 运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。
并项法 运用,
将两项合并为一项，并消去一个变量。
ABAAB
CBACBAY BA?
)()( CBCBACBBCAY
)( CBACBA A?
EXIT
逻辑代数基础
)( FEABABY AB?
吸收法 运用 A+AB =A 和,
消去多余的与项。
CAABBCCAAB
BDDCDAA B CY
BDCADABC )(
BDDACACB
DACACB
DCDAA B C
EXIT
逻辑代数基础消去法 运用吸收律,消去多余因子。 BABAA
CBCAABY
CBAAB )( CABAB CAB
CDBAABCDBABAY
)( BAABCDBABA
BACDBA
CDBA
CDBABA
EXIT
逻辑代数基础配项法 通过乘 或加入零项进行配项，然后再化简。
1 AA 0 AA
DCBADCABCBAB
CBAB
ABABCCAB
ABABCCABAB )(
ABABCABCAB
CBAABC
EXIT
逻辑代数基础综合灵活运用上述方法
[例 ] 化简逻辑式 EFBADCCAABDAADY
解,EFBADCCAABAY
DCCAA 应用 BABAA
DCCA DCA
[例 ] 化简逻辑式 CBDBDAACY
解：
应用 BABAA
DABCBAC DCBAC
应用 AB CBACCBAC
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 化简逻辑式 CAA B CBAY
解,?Y CAABCBA
CABA 应用 BABAA
CBA
CBAY CBA?
用摩根定律
EXIT
逻辑代数基础主要要求：
掌握 最小项的概念与编号 方法，了解其主要性质。
掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。
理解 卡诺图的意义和 构成原则 。
掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。
2.5 逻辑函数的卡诺图化简法
EXIT
逻辑代数基础代数化简法优点：对变量个数没有限制 。
缺点：需技巧,不易判断是否最简式 。
卡诺图化简法优点：简单,直观,有一定的步骤和方法易判断结果是否最简 。
缺点：适合变量个数较少的情况 。
一般用于四变量以下函数的化简 。
一、代数化简法与卡诺图化简法的特点
EXIT
逻辑代数基础卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图 。
n 个变量有 2n 种组合，可对应写出 2n 个乘积项，这些乘积项均具有下列特点,包含全部变量，
且每个变量在该乘积项中 (以原变量或反变量 )只出现一次。 这样的乘积项称为这 n 个变量的最小项，也称为 n 变量逻辑函数的最小项。
1,最小项的定义和编号
(一 )最小项的概念与性质二、最小项与卡诺图
EXIT
逻辑代数基础如何编号？
如何根据输入变量组合写出相应最小项？
例如 3 变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个将输入变量取值为 1
的代以原变量，取值为 0
的代以反变量，则得相应最小项。
简记符号例如 CBA? 1015 m5
m4? 4? 100? CBA
ABC1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
最小项A B C
CBA
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CAB
m7
m6
m5
m4
m3
m2
m1
m0
输入组合对应的十进制数
7
6
5
4
3
2
1
0
EXIT
逻辑代数基础
2,最小项的基本性质
(1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1，
而其余各种变量取值均使其值为 0。
三变量最小项表
1100000001 1 1
1010000001 1 0
1001000001 0 1
1000100001 0 0
1000010000 1 1
1000001000 1 0
1000000100 0 1
1000000010 0 0
ABC
m7m6m5m4m3m2m1m0A B C
12
0
n
i
imFCBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB
(2) 不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。
(3) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。
(4) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。
EXIT
逻辑代数基础例如 ABC+ABC =AB
3,相邻最小项两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。
例如 三变量最小项 ABC和 ABC
相邻最小项重要特点,
两个相邻最小项相加可合并为一项，
消去互反变量，化简为相同变量相与。
(二 )最小项的卡诺图表示将 n 变量的 2n 个最小项用 2n 个小方格表示，
并且 使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻,
这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图，
简称为变量卡诺图。
EXIT
逻辑代数基础变量取 0 的代以反变量取 1 的代以原变量
A
B二变量卡诺图
0
1
0 1
0 0 0 1
1 0 1 1
A
B
0
1
0 1
m0 m1
m2 m3
0 1
2 3
A
B
A
A
B B
AB AB
AB AB
四变量卡诺图
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
三变量卡诺图
A
BC
0
1
00 01 11 10
m6 m7m4
m2m3000m0
m5
001m1
6754
2310
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
以循环码排列以保证相邻性
EXIT
逻辑代数基础变量取 0 的代以反变量取 1 的代以原变量
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
AB
CD
CD DCDC DC
BA
BA
AB
BA
ABCD
CDBADCBADCBA
DCBA
DCBA DBCABCDA
CDBADCBA DCBA
DCBA
DCABDCAB DABC
DCBA
相邻项 在几何位置上也相邻卡诺图特点：
循环相邻性同一列最上与最下方格相邻同一行最左与最右方格相邻
EXIT
逻辑代数基础如何写出卡诺图方格对应的最小项？
已知最小项如何找相应小方格？
例如原变量取 1，反变量取 0。
DCBA 1001
？
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
A BCD
DCBA
EXIT
逻辑代数基础为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与 -或式或者与 - 或表达式。因此，下面先介绍标准与 -或式。
任何形式的逻辑式都可以转化为标准与 -或式，而且逻辑函数的标准与 - 或式是唯一的。
(一 ) 逻辑函数的标准与 - 或式三、用卡诺图表示逻辑函数每一个与项都是最小项的与 -或逻辑式称为标准与 -或式，又称最小项表达式。
EXIT
逻辑代数基础如何将 逻辑式转化为 标准与 -或式呢？
[例 ] 将逻辑式 化为标准与或式 。 DCABCBAY
(3) 利用 A+A=A，合并掉相同的最小项。
0000
m0
0001
m1
1100
m12
1101
m13
1111
m15
= m0 + m1 + m12 + m13 + m15
=∑m (0,1,12,13,15)
ABCDDCABDCABDCBADCBAY
解,(1) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。
ABCBAY DC
)( DCABCBA
ABDCABCBA
(2) 利用配项法化为标准与或式。
DCABA B C DDCABDCABDCBADCBA
EXIT
逻辑代数基础
(二 )用卡诺图表示逻辑函数
(1)求逻辑函数真值表或者标准与 - 或式或者与 - 或式。
(2)画出变量卡诺图。
(3)根据真值表或标准与 -或式或与 - 或式填图。
基本步骤用卡诺图表示逻辑函数举例已知标准与或式画函数卡诺图
[例 ] 试画出函数 Y = ∑m (0,1,12,13,15) 的卡诺图解,(1) 画出四变量卡诺图 (2)填图逻辑式中的最小项 m0,m1,m12、
m13,m15 对应的方格填 1，其余不填。
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
1 1
1 1 1
EXIT
逻辑代数基础已知真值表画函数卡诺图
[例 ] 已知逻辑函数 Y 的真值表如下，试画出 Y 的卡诺图。
解,(1)画 3 变量卡诺图。
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
A
BC
0
1
00 01 11 10
6754
2310
m0
m2
m4
m6
11
11
(2)找出真值表中 Y = 1
对应的最小项，在卡诺图相应方格中填 1，其余不填。
EXIT
逻辑代数基础已知一般表达式画函数卡诺图解,(1) 将逻辑式转化为与或式
(2) 作变量卡诺图找出各与项所对应的最小项方格填 1，其余不填。
[例 ] 已知,试画出 Y 的卡诺图。 )( BDCABDAY
ABDAY )( BDC
CBD
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(3) 根据与或式填图
1 1
1 1
1 1 1 1 AB 对应最小项为同时满足 A = 1，
B = 1 的方格。
ABDA
BCD 对应最小项为同时满足
B = 1,C = 0,D = 1的方格
AD 对应最小项为同时满足
A = 0,D = 1的方格。
EXIT
逻辑代数基础四、用卡诺图化简逻辑函数化简规律
2 个相邻 最小项有 1 个变量相异，相加可以 消去 这 1 个变量,化简结果为相同变量的与；
4 个相邻 最小项有 2 个变量相异，相加可以消去这 2 个变量,化简结果为相同变量的与；
8 个相邻最小项有 3 个变量相异，相加可以消去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与；
……
2n 个相邻 最小项有 n 个变量相异，相加可以消去 这 n 个变量,化简结果为相同变量的与。
消异存同
EXIT
逻辑代数基础
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
例如
2 个相邻项合并消去
1 个变量，化简结果为相同变量相与。
ABCD+ABCD=ABD
2 个相邻项合并消去
1 个变量，化简结果为相同变量相与。
1
1
1
1
ABCD+ABCD +ABCD+ABCD
=ACD +ACD =AD
4 个相邻项合并消去 2 个变量，
化简结果为相同变量相与。
8 个相邻项合并消去 3 个变量
A1 1 1 1
1 1
EXIT
逻辑代数基础画包围圈规则包围圈必须包含 2n 个相邻 1 方格，且必须成方形。
先圈小再圈大，圈越大越是好； 1 方格可重复圈，但须每圈有新 1；每个,1” 格须圈到，孤立项也不能掉。
同一列最上边和最下边循环相邻,可画圈；
同一行最左边和最右边循环相邻,可画圈；
四个角上的 1 方格也循环相邻,可画圈 。
注意
ABCD+ABCD +ABCD+ABCD卡诺图化简法步骤画函数卡诺图将各圈分别化简对填 1 的相邻最小项方格画包围圈将各圈化简结果逻辑加
EXIT
逻辑代数基础
m15
m9
m7 m6m5m4
m2m0
解,(1)画变量卡诺图
[例 ] 用卡诺图化简逻辑 函数
Y(A,B,C,D)=∑m (0,2,4,5,6,7,9,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(2)填卡诺图
1 1
1 1 11
1
1
(3)画包围圈
a
b
c
d
(4)将各图分别化简圈 2 个可消去 1 个变量，化简为 3 个相同变量相与。
Yb = BCD
圈 4 个可消去 2 个变量，化简为 2 个相同变量相与。
孤立项 Ya=ABCD
Yc = AB
循环相邻
Yd = AD
(5)将各图化简结果逻辑加，得最简与或式
DABAB C DDCBAY
EXIT
逻辑代数基础解,(1)画变量卡诺图
[例 ] 用卡诺图化简逻辑 函数
Y(A,B,C,D)=∑m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(2)填卡诺图
1 1
1 1
1 1
1 1
(4)求最简与或式 Y=
1
BDA
消 1 个剩 3 个
(3)画圈
BCD?
消 2 个剩 2 个
DA?
4 个角上的最小项循环相邻
DB?
EXIT
逻辑代数基础找 AB =11,C = 1的公共区域找 A= 1,CD = 01的公共区域找 B 1,D = 1的公共区域解,(1)画变量卡诺图
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(2)填图 1
1
(4)化简
(3)画圈
[例 ] 用卡诺图化简逻辑 函数
BDA B CDCADCBACDBAY
0011
m3
0100
m4
1
1
1 1
1 1
要画吗？
CBA DCA? ABC? CDA?Y =
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 已知某逻辑函数的卡诺图如下所示,试写出其最简与或式 。
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
解：
0 方格很少且为相邻项，故用圈 0 法先求
Y 的最简与或式。
A B CY?
A B CYY CBA
1 1
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 已知函数真值表如下,试用卡诺图法求其最简与或式 。
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
注意：
该卡诺图还有其他画圈法可见，最简结果未必唯一。
解,(1)画函数卡诺图
A
BC
0
1
00 01 11 10
111
111
(3)化简
(2)画圈
Y = CB CA? AB?
BCCABAY
111
111
A
BC
0
1
00 01 11 10
EXIT
逻辑代数基础约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对应函数值视为 1 或 0 都可以，故称无关项。
不允许出现的 无关项 又称约束项；客观上不会出现的 无关项 又称随意项。
五、具有无关项的逻辑函数的化简合理利用无关项可使逻辑式更简单
1,无关项的概念与表示无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的 变量取值组合或者 不允许出现 或者根本 不会出现 。
无关项在卡诺图和真值表中用,?”,?” 来标记，
在逻辑式中则用字母 d 和相应的编号表示。
例如 8421 码中,1010 ~ 1111
这 6 种代码是不允许出现的。
例如 A,B为连动互锁开关，
设开为 1,关为 0,则 AB 只能取值 01 或 10,不会出现 00或 11。
2,利用无关项化简逻辑函数无关项的取值对逻辑函数值没有影响。
化简时应视需要将无关项方格看作 1 或 0,
使包围圈 最少而且最大，从而使结果最简。
EXIT
逻辑代数基础将 d10 看成 0,其余 × 看成 1
将 × 看成 0
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
1 1
1 1
1
1
× ×
× ×
××
×
显然左图化简结果最简解,(1)画变量卡诺图
[例 ] 用卡诺图化简 函数
Y=∑m (0,1,4,6,9,13)+ ∑d (2,3,5,7,10,11,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(2)填图
1 1
1 1
1
(4)写出最简与 -或式最小项
(3)画包围圈无关项
1
× ×
× ×
××
×
AY? D?
0×
EXIT
逻辑代数基础
[例 ] 已知函数 Y 的 真值表如下，求其最简与 - 或式。
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 ×
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
解,(1)画变量卡诺图
A
BC
0
1
00 01 11 10
×
1
11
(4)写出 最简与 -或式
(2)填图
(3)画包围圈
×
BAY? CB?
要画圈吗？
EXIT
逻辑代数基础解,(1)画变量卡诺图
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
(2)填图
(4)求最简与 -或式
(3)画包围圈
1 1
1 1
求最简与非式基本方法是：
先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。
[例 ] 求 函数 的最简与非式 BDADBACBAY
0 ACAB
1 1
×× × ×
× ×
× ×
BDY? DB? A?
(5)求最简与非式
BDDBAY
A DB? BD
分析题意 称约束条件，表明与项 AB 和 AC 对应的最小项不允许出现，因此
AB 和 AC 对应的方格为无关项。
EXIT
逻辑代数基础本章小结分析数字电路的数学工具是逻辑代数,它的定律有的和普通代数类似,如交换律,结合律和第一种形式的分配律；但很多与普通代数不同,如吸收律和摩根定律 。 须注意：逻辑代数中无减法和除法 。
EXIT
逻辑代数基础逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个,
即 0 或 1。 须注意,逻辑代数中的 0 和 1 并不表示数量大小,仅用来表示两种截然不同的状态 。
正逻辑体制规定高电平为逻辑 1,低电平为逻辑 0； 负逻辑体制则规定低电平为逻辑 1、
高电平为逻辑 0。 未加说明则默认为正逻辑体制 。
EXIT
逻辑代数基础基本逻辑运算有与运算 (逻辑乘 ),或运算 (逻辑加 ) 和非运算 (逻辑非 )3 种 。 常用复合逻辑运算有与非运算,或非运算,与或非运算,异或运算和同或运算 。
与运算 或 运算 非运算
Y=A·B 或 Y=AB
若有 0出 0
若全 1出 1
Y=A＋ B
若有 1出 1
若全 0出 0
EXIT
逻辑代数基础与非运算 或非 运算 与或非运算有 0 出 1;全 1 出 0 有 1 出 0;全 0 出 1
相异出 1
相同出 0
相同出 1
相异出 0
异或运算 同或 运算
EXIT
逻辑代数基础逻辑函数常用的表示方法有：真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图。
不同表示方法各有特点,适宜不同的应用 。
卡诺图 主要用于化简逻辑式 。
真值表 通常用于分析逻辑函数的功能、根据逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。
逻辑式 便于进行运算和变换。在分析电路逻辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；而设计逻辑电路时需要先写出逻辑式，然后才能画出逻辑图。
逻辑图 是分析和安装实际电路的依据。
EXIT
逻辑代数基础真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换
(1)找出函数值为 1 的项。
(2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，
取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。
(3)将这些与项相加即得逻辑式。
真值表逻辑式
(1)按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。
(2)分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。
逻辑式真值表实用中通常先由真值表画卡诺图，然后应用卡诺图化简法写出简化表达式。
EXIT
逻辑代数基础
(1)应用摩根定律和分配律等求出与或表达式。
(2)根据变量数 n 画出变量卡诺图。
(3)根据与或式填图。
逻辑式卡诺图根据电路逐级写出相应 逻辑运算 。
将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现 。
逻辑式逻辑图逻辑图逻辑式
EXIT
逻辑代数基础化简逻辑函数的目的是为了获得最简逻辑式,
从而使逻辑电路简单,成本低,可靠性高 。
不同形式的逻辑式有不同的最简式,求最简式的一般方法是：先求最简与或式,然后变换成所需的最简形式 。
最简与或式标准 (1)与项的个数最少(2)每个 与项中的变量数最少最简与非式标准 (1)非号个数最少(2)每个非号中的变量数最少
EXIT
逻辑代数基础逻辑函数化简方法主要有代数法和卡诺图法。
最小项特点 是：包含全部变量,且每个变量在该乘积项中 (以原变量或反变量形式 )只出现一次 。 若两个最小项只有一个变量互为反变量,其余变量均相同,则称为 相邻最小项 。
代数化简法 可化简任何复杂的逻辑函数，但需要一定的技巧和经验，而且不易判断结果是否最简。 卡诺图化简法 直观简便，易判断结果是否最简，但一般用于四变量以下函数的化简。
EXIT
逻辑代数基础因此 卡诺图具有下面的特点,2n 个相邻最小项有 n 个变量相异，相加可以消去这 n 个变量，
化简结果为相同变量的与。
卡诺图化简法步骤画函数卡诺图将各圈分别化简对填 1 的相邻最小项方格画包围圈将各圈化简结果逻辑加卡诺图 是按照使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻这样的原则排列得到的方格图。
EXIT
逻辑代数基础无关项有约束项和随意项两种情况,其取值对逻辑函数值没有影响 。 因此,化简时应视需要将无关项方格看作 1 或 0,使包围圈最少而且最大,从而使结果最简 。
画包围圈规则包围圈必须包含 2n 个相邻 1 方格，
且必须成方形。
先圈小再圈大，圈越大越是好；
1 方格可重复圈，但须每圈有新 1；
每个,1” 格须圈到，孤立项也不能掉。
