1
第四章光的衍射
（ Diffraction of light）
2
§ 4.1 光的衍射图样和惠更斯 — 菲涅耳原理一,光的衍射现象：
光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象叫光的衍射。
不但光线拐弯,
而且在屏上出现明暗相间的条纹,
刀片,小圆盘的衍射 (透明片 ).
3
透过手指缝看灯，也能看到衍射条纹。
4
二、惠更斯 —— 菲涅耳原理,
（ Huygens— Fresnel principle）
惠 —— 菲原理,波传到的任何一点都是子波的波源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。
※ 该原理的数学表达式如下：
dE a Q K
r
dSp( ) ( ) ( )
5
K ( )?,方向因子
0
2
0
，
，
K K
K
K
m ax
( )
a(Q) 取决于波前上 Q点处的强度
dE
a Q K
r
dS t
r
p( )
( ) ( )
c o s ( )?
2
E
a Q K
r
t
r
dS
p s( )
( ) ( )
c o s ( )
2
E tp p0 ( ) )c o s ( ) （令
6
P处波的强度
2 )(0 pp EI?
计算 E(p) 相当复杂（超出了本课范围），
下节将介绍 菲涅耳 提出的一种简便的分析方法 —— 半波带法,
它在处理一些有对称性的问题时，
既方便，物理图象又清晰。
7
三,衍射现象的分类：
菲涅耳衍射,光源和观察屏（或二者之一）
离衍射孔（或缝）的 距离有限,它也称近场衍射，这种衍射图形会随屏到孔（缝）
的距离而变，较复杂（超出了本课范围）。
P
衍射物光源观察屏
8
夫琅禾费衍射,光源和观察屏都离衍射孔
（或缝） 无限远,,也称远场衍射，它实际上是菲涅耳衍射的极限情形，以下仅讨论此种衍射。 P点在无穷远
L1 L2
S
f2f1
P
9
§ 4.2 单缝的夫琅禾费衍射观察单缝的夫琅禾费衍射的 实验装置：
（补图）
屏幕
S*
屏幕
10
衍射图样主要规律如下：
(1)中央亮纹最亮，其宽度是其他亮纹的两倍；
其他亮纹的宽度相同（亮纹中心的位置如图），
亮度逐渐下降．
(2)缝 a 越小，条纹越宽（即衍射越厉害）,
(3)波长?越大，条纹越宽（即有色散现象 ).
11
一,半波带法设考虑屏上的 P点 (它是?角平行光的会聚点 )：
-----衍射角,
单缝的两条边缘光线到达 P点的光程差为
= A C = a sin?
当?=0时,P在 O点,为中央亮纹的中心；
这些平行光到达 O点是没有位相差的,
当 时,P点相应上升，各条光线之间产生了位相差，所以光强减小；
12
当 光程差
= a sin? = 2×?/2 时,
到什么时候光强降为零呢?
或者说,第一暗纹的?是多大呢?
我们说 将缝分为了两个,半波带,,
光线 1与 1’在 P点的相位差为?，
光线 2与 2’在 P点的相位差为?,
------
13
所以两个,半波带,上发的光在 P处干涉相消，
形成第一暗纹。
当?再?,?=3?/2时,可将缝分成三个
,半波带,,其中两个相邻的半波带发的光在 P 处干涉相消，剩一个,半波带,发的光在
P 处合成,P 处即为中央亮纹旁边的那条亮纹的中心 。
14
当?=2? 时,可将缝分成四个,半波带,
它们发的光在 P处两两相消，又形成暗纹 ……
15
一般情况：
,5.3,5.2,5.1s i n aaa
即 （补图）
中央亮纹的边缘对应的衍射角?1，称为中央亮纹的半角宽
a
1s in
—— 中央明纹 (中心 )0s i na?
,3,2,1 2)1 2(s i n kka
而
—— 明纹 (中心 )
（ k?0）（ ）
,3,2,1s i n kka
—— 暗纹 (中心 )
,3,2,s i n aaaak
即
（ k?0）
16
前面的实验规律大致得到解释：
(1) 中央亮纹最亮，其宽度是其他亮纹的两倍；
其他亮纹的宽度相同；亮纹中心的位置；
亮度逐渐下降（是因为分的半波带数越多，
半波带面积越小，明纹的光强也越小 )。
(2) 缝 a 越小，条纹越宽（即衍射越厉害）,
(3) 波长? 越大，条纹越宽（即有色散现象）,
17
分析与讨论：
1,极限情形：
∴ 几何光学是波动光学在?/a? 0时的极限情形。
0?a?★ 当缝极宽 时,各级明纹向中央靠拢，
密集得无法分辨，只显出单一的亮条纹，
这就是单缝的几何光学像。此时光线遵从直线传播规律。
18
(所以在讲杨氏双缝干涉时,我们并不考虑衍射,
当时一再申明缝非常非常细 )
★ 当缝极细（ ）时 sin?1?1,?1/2a
I
衍射中央亮纹的两端延伸到很远很远的地方,屏上只接到中央亮纹的一小部分
(且较均匀 ),当然就看不到衍射条纹了,
这就过渡到了不考虑衍射时的双缝干涉情形。
19
2.干涉和衍射的联系与区别：
从本质上讲干涉和衍射都是波的相干叠加。
只是干涉指的是 有限多的 子波 的相干叠加，
衍射指的是 无限多的 子波 的相干叠加，
而二者又常常同时出现在同一现象中。
★ 思考：从衍射角度分析,广场上的音柱为何竖放而不横放？
20
二,振幅矢量法它比半波带法更精确些,
如图所示,将单缝的波阵面分成很多很多等宽的小波带 (N条,N很大 ;非半波带 ).
每个带发的子波在 P点振幅近似相等，设为,
0E?
相邻带发的子波，
到 P的光程差为?L,
相位差设为,
21
2s i n2
N
aL << 1（ ∵ N 很大）
由（学过的）书 P24公式 (1.45),
P处的合振幅 就是各子波的振幅矢量和的模,这是 N个同方向、同频率，同振幅、
初相依次差一个恒量的简谐振动的合成,
)(0 PE
)c o s (
)2c o s (
)c o s (
c o s
321
3
2
1
tA
xxxx
tAx
tAx
tAx
A
22
2
)
2
s i n (
2
s i n
)
2
s i n (
00)(0
N
N
EN
N
EE
P
)c o s (
321
tA
xxxx?
2
s i n
2
s i n
N
AA
2s i n2
N
aL
<< 1（ ∵ N 很大）
式中
23
s i n a?
令
0)0(0 ENE
( E 0（?=0） 是中央明纹中心处的振幅,)，
s i n
0)(0 ENE p
则由此可给出 P点的光强为
2
0
s i n?
II
s i n
)
s i n
s i n (
0)(0 a
a
ENE
P
将代入
=0,?=0，
,1s i n
s i n
)0(0)(0 EE p
24
由上式可得出：
(1) 主极大（中央亮纹中心）位置,
m a x01
s i n00 III
处，在此时所有子波的振幅矢量同相叠加 。
(2) 极小（暗纹）位置：
00s i n3,2,1 Ikk 时，,?即令 sin?=0?I=0，
（与半波带法的结果相同）
2
0
s i n?
II
25
(3) 次极大（其他亮纹的中心）位置：
tg
d
d 0s i n 2令 （超越方程）
，，, 47.346.243.1解得
s i n ka
此时由 s in ka得
（与半波带法的结果相同）
（补图）
26
,47.3,46.2,43.1s i n aaa相应有
（半波带法给出的近似结果与此十分接近：
例如?=± 1.43?
即
43.1s i n?a
a
43.1s i n
,5.3,5.2,5.1s i n aaa ）
27
(4) 可计算出从中央往外各次极大的光强依次为 0.0472 I0,0.0165 I0,0.0083 I0,…
相对光强随 的变化如下图?sin
28
[例题 ] 已知：一雷达位于路边 d=15m处,射束与公路成 150角，天线宽度 a =0.20m，射束波长
=30mm。
求：该雷达监视范围内公路的长度 l=?
解?：将雷达波束看成是单缝衍射的 0级明纹,
1s i na由
15.0
20.0
30
s i n 1
m
mm
a
有
29
°63.81
°° 63.2315 1如图
°° 37.615 1
)( c t gc t gdl
mc t gc t g 1 0 0)63.2337.6(15 °°
第四章光的衍射
（ Diffraction of light）
2
§ 4.1 光的衍射图样和惠更斯 — 菲涅耳原理一,光的衍射现象：
光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象叫光的衍射。
不但光线拐弯,
而且在屏上出现明暗相间的条纹,
刀片,小圆盘的衍射 (透明片 ).
3
透过手指缝看灯，也能看到衍射条纹。
4
二、惠更斯 —— 菲涅耳原理,
（ Huygens— Fresnel principle）
惠 —— 菲原理,波传到的任何一点都是子波的波源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。
※ 该原理的数学表达式如下：
dE a Q K
r
dSp( ) ( ) ( )
5
K ( )?,方向因子
0
2
0
，
，
K K
K
K
m ax
( )
a(Q) 取决于波前上 Q点处的强度
dE
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2
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6
P处波的强度
2 )(0 pp EI?
计算 E(p) 相当复杂（超出了本课范围），
下节将介绍 菲涅耳 提出的一种简便的分析方法 —— 半波带法,
它在处理一些有对称性的问题时，
既方便，物理图象又清晰。
7
三,衍射现象的分类：
菲涅耳衍射,光源和观察屏（或二者之一）
离衍射孔（或缝）的 距离有限,它也称近场衍射，这种衍射图形会随屏到孔（缝）
的距离而变，较复杂（超出了本课范围）。
P
衍射物光源观察屏
8
夫琅禾费衍射,光源和观察屏都离衍射孔
（或缝） 无限远,,也称远场衍射，它实际上是菲涅耳衍射的极限情形，以下仅讨论此种衍射。 P点在无穷远
L1 L2
S
f2f1
P
9
§ 4.2 单缝的夫琅禾费衍射观察单缝的夫琅禾费衍射的 实验装置：
（补图）
屏幕
S*
屏幕
10
衍射图样主要规律如下：
(1)中央亮纹最亮，其宽度是其他亮纹的两倍；
其他亮纹的宽度相同（亮纹中心的位置如图），
亮度逐渐下降．
(2)缝 a 越小，条纹越宽（即衍射越厉害）,
(3)波长?越大，条纹越宽（即有色散现象 ).
11
一,半波带法设考虑屏上的 P点 (它是?角平行光的会聚点 )：
-----衍射角,
单缝的两条边缘光线到达 P点的光程差为
= A C = a sin?
当?=0时,P在 O点,为中央亮纹的中心；
这些平行光到达 O点是没有位相差的,
当 时,P点相应上升，各条光线之间产生了位相差，所以光强减小；
12
当 光程差
= a sin? = 2×?/2 时,
到什么时候光强降为零呢?
或者说,第一暗纹的?是多大呢?
我们说 将缝分为了两个,半波带,,
光线 1与 1’在 P点的相位差为?，
光线 2与 2’在 P点的相位差为?,
------
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所以两个,半波带,上发的光在 P处干涉相消，
形成第一暗纹。
当?再?,?=3?/2时,可将缝分成三个
,半波带,,其中两个相邻的半波带发的光在 P 处干涉相消，剩一个,半波带,发的光在
P 处合成,P 处即为中央亮纹旁边的那条亮纹的中心 。
14
当?=2? 时,可将缝分成四个,半波带,
它们发的光在 P处两两相消，又形成暗纹 ……
15
一般情况：
,5.3,5.2,5.1s i n aaa
即 （补图）
中央亮纹的边缘对应的衍射角?1，称为中央亮纹的半角宽
a
1s in
—— 中央明纹 (中心 )0s i na?
,3,2,1 2)1 2(s i n kka
而
—— 明纹 (中心 )
（ k?0）（ ）
,3,2,1s i n kka
—— 暗纹 (中心 )
,3,2,s i n aaaak
即
（ k?0）
16
前面的实验规律大致得到解释：
(1) 中央亮纹最亮，其宽度是其他亮纹的两倍；
其他亮纹的宽度相同；亮纹中心的位置；
亮度逐渐下降（是因为分的半波带数越多，
半波带面积越小，明纹的光强也越小 )。
(2) 缝 a 越小，条纹越宽（即衍射越厉害）,
(3) 波长? 越大，条纹越宽（即有色散现象）,
17
分析与讨论：
1,极限情形：
∴ 几何光学是波动光学在?/a? 0时的极限情形。
0?a?★ 当缝极宽 时,各级明纹向中央靠拢，
密集得无法分辨，只显出单一的亮条纹，
这就是单缝的几何光学像。此时光线遵从直线传播规律。
18
(所以在讲杨氏双缝干涉时,我们并不考虑衍射,
当时一再申明缝非常非常细 )
★ 当缝极细（ ）时 sin?1?1,?1/2a
I
衍射中央亮纹的两端延伸到很远很远的地方,屏上只接到中央亮纹的一小部分
(且较均匀 ),当然就看不到衍射条纹了,
这就过渡到了不考虑衍射时的双缝干涉情形。
19
2.干涉和衍射的联系与区别：
从本质上讲干涉和衍射都是波的相干叠加。
只是干涉指的是 有限多的 子波 的相干叠加，
衍射指的是 无限多的 子波 的相干叠加，
而二者又常常同时出现在同一现象中。
★ 思考：从衍射角度分析,广场上的音柱为何竖放而不横放？
20
二,振幅矢量法它比半波带法更精确些,
如图所示,将单缝的波阵面分成很多很多等宽的小波带 (N条,N很大 ;非半波带 ).
每个带发的子波在 P点振幅近似相等，设为,
0E?
相邻带发的子波，
到 P的光程差为?L,
相位差设为,
21
2s i n2
N
aL << 1（ ∵ N 很大）
由（学过的）书 P24公式 (1.45),
P处的合振幅 就是各子波的振幅矢量和的模,这是 N个同方向、同频率，同振幅、
初相依次差一个恒量的简谐振动的合成,
)(0 PE
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式中
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( E 0（?=0） 是中央明纹中心处的振幅,)，
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则由此可给出 P点的光强为
2
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II
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P
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=0,?=0，
,1s i n
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)0(0)(0 EE p
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由上式可得出：
(1) 主极大（中央亮纹中心）位置,
m a x01
s i n00 III
处，在此时所有子波的振幅矢量同相叠加 。
(2) 极小（暗纹）位置：
00s i n3,2,1 Ikk 时，,?即令 sin?=0?I=0，
（与半波带法的结果相同）
2
0
s i n?
II
25
(3) 次极大（其他亮纹的中心）位置：
tg
d
d 0s i n 2令 （超越方程）
，，, 47.346.243.1解得
s i n ka
此时由 s in ka得
（与半波带法的结果相同）
（补图）
26
,47.3,46.2,43.1s i n aaa相应有
（半波带法给出的近似结果与此十分接近：
例如?=± 1.43?
即
43.1s i n?a
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43.1s i n
,5.3,5.2,5.1s i n aaa ）
27
(4) 可计算出从中央往外各次极大的光强依次为 0.0472 I0,0.0165 I0,0.0083 I0,…
相对光强随 的变化如下图?sin
28
[例题 ] 已知：一雷达位于路边 d=15m处,射束与公路成 150角，天线宽度 a =0.20m，射束波长
=30mm。
求：该雷达监视范围内公路的长度 l=?
解?：将雷达波束看成是单缝衍射的 0级明纹,
1s i na由
15.0
20.0
30
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29
°63.81
°° 63.2315 1如图
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)( c t gc t gdl
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