1
第六章量子物理基础
（ 4）
2
二,量子隧道效应 （势垒贯穿）
金属中自由电子逸出金属表面时，
实际上遇到的是一个高度有限的势,
)0x(U
)0x(0
)x(U
0
设微观粒子有一定能量 E (设 0? E? U0)，
我们也应分区求解其波函数：
Ⅰ 区 Ⅱ 区
（一,一维无限深势阱中粒子的波函数与能量）
3
Ⅰ 区：
0Em2
dx
d
22
2
xki
1
xki
11 1
1 eBeA
（所以 E? U,是振动解）
Ⅱ 区：
0)UE(m2
dx
d
022
2
Em2k 221
令
- k m E U22 2 02 ( )xkxk2 22 DeCe令入射波 反射波
4
“有限,要求 D = 0，
xk
2
2Ce （所以 E? U,是衰减解）
按经典 …… 粒子不可能在 Ⅱ 区出现！
但微观粒子 …… 粒子仍有可能在 Ⅱ 区出现！
xkxk
2 2
2 DeCe
Ⅰ 区 Ⅱ 区
5
可以想见，原来在 Ⅰ 区的粒子也可以在势垒的另一边 Ⅲ 区出现！
如果势能曲线如图所示，
有一个,势垒,。
这称为,量子隧道效应,。
Ⅰ 区 Ⅱ 区 Ⅲ 区
6
例如,★ 放射性核的? 粒子释放（自学）
★ 隧道二极管（略）
★ 扫描隧穿显微镜计算结果表明，粒子的穿透率为
T? )EU(m2a2 0e
若 m,a,(U0- E) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了,量子隧道效应,现象的存在。
7
三,扫描隧穿显微镜 （ STM）
STM(Scanning Tunneling Microscope)
是观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。
1.原理隧道电流 I 与样品和针尖间的距离 S关系极为敏感。
势能曲线 U
0
U
E
SA B
I
扫描探针样品
A
B
S?10A
8
SAUeI
S — 样品和针尖间的距离
U — 加在样品和针尖间的微小电压
A — 常数
— 平均势垒高度定量关系：
图象处理系统扫描探针 样品表面电子云隧道电流
9
2.技术难点与克服
（ 1）消振 （ 2）探针制造
（ 3）到位与驱动 （ 4）撞针与反馈
10STM
11
下图为镶嵌了 48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显微镜照片。 48 个 Fe 原子形成,电子围栏,,围栏中的电子形成驻波：
（补图） 用扫描隧穿显微镜拍摄的硅表面的象，
每一个隆起处是一个硅原子。
（补图） 用单个原子排成 ‘ IBM’字样。
（补图） 搬运单个原子。
12
神经细胞
13
由于这一贡献,宾尼格、罗赫尔 和 鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是 扫描隧穿显微镜 的直接发明者，
第三人是 1932年 电子显微镜 的发明者，
这里是为了追朔他的功劳。
鲁斯卡罗赫尔宾尼格
14
§ 6,9 谐振子如果微观粒子的势能函数是
2
2
1 kx)x(U?
就应该解一维定态薛定格方程
0
2
12 2
22
2
)kxE(m
dx
d
可用 级数展开法 解上述方程。
波函数应满足自然条件
（连续、有限、单值）。
求解超出本课程的范围。结论：
x
0
U(x)
E
… 一维变系数常微分方程
15
1,能量
),2,1,0n()
2
1n(E
n
能量量子化、能级等间距。
能量间隔 h? …… 与黑体辐射理论同。
但有零点能。
E0
E4
E3
E1
E2
E
0
16
2.概率密度分布
量子,概率密度呈波动状,
在 E? U 的区域也有出现概率，
n =0时,x =0处粒子出现概率最大。
经典,E? U 的区域不可能出现，
x =0处粒子速度最大,,概率,最小。
（补图）书 P256,
17
1 1
( x )?
2
量 子经 典
n=11时的概率密度分布
E
U
量子
当 n 时：
量子几率分布几乎? 经典分布
18
谐振子问题的应用：
热辐射场的量子性；
分子，原子，原子核的振动 。
例如 …… 双原子分子中原子的小振动 。
r
U(r)
0
19
*（补充）一。力学量算符与力学量谱回忆定态薛定格方程
02 22
2
)UE(mdxd?
它可以改写为
E)Udxdm( 2
22
2
量子力学中，每一个力学量有一个对应的算符等号左边的
)U
dx
d
m
( 2
22
2
称为 能量算符,也称 哈密顿算符 。
1.能量算符和能量本征方程
20
U
dx
d
m
H 2
22
2
记作在三维情况下
U
m
H 2
2
2
所以定态薛定格方程也可以写作
nnn EH
…… 此式也称为 能量（算符）的本征方程,
…… En 为 能量值，也称为 能量（算符）的本征值。
……?n 为 定态波函数，
也称为 能量（算符）的本征函数,
我们在前面,曾解这个能量本征方程（即 定态薛定格方程 ）,得到了能量所能取的值 En。
21
2.在量子力学中，任一力学量究竟能取哪些值？
是连续的，还是分立的？
…… 是由该力学量算符的本征方程决定的。
力学量谱原理,任一力学量 F，对应有一个算符,解该算符的本征方程 u =F u
得到的所有本征值 F，即为该力学量所能取的值，
也称为该力学量的谱。
F? F?
最基本的算符是坐标、动量算符：
坐标算符（就是它自己） rr?r
3,量子力学中各力学量算符和 本征方程 举例,
22
动量算符 ip?p
kzjyix
( 式中 )
xip? x?
yip? y?
zip? z?
得到任一力学量 F 的算符的方法：
)i,r(F?)p,r(F
（经典） （量子）
能量（哈密顿量）算符,
)r(UmH 2
2
2)r(Um
p
E?
2
2
23
解一般力学量的本征方程也要用到有限、单值,连续 等物理条件
（也称边界条件）。
角动量算符,
p?rL
zyx
p?p?p?
zyx
k
j
i
prL
yzx p?zp?yL zxy p?xp?zL xyz p?yp?xL
24
坐标算符 的本征方程：
角动量算符 的本征方程：
动量算符 的本征方程：
urur
解得的坐标本征值 是 连续 的谱。（略）r?
解得的动量本征值也是 连续 的谱。（略）
upup
解得的角动量本征值是 分立 谱。（见下）
uLuL 22 uLuL
zz
25
* 二,力学量的本征态与叠加态某物理量的本征态，指该物理量具有确定值的状态。
例。氢原子能量的定态，就是它的能量的本征态。
当氢原子处于这个状态时，实验测得的能量有确定值。
例。一个微观粒子处在自由运动状态，测得其动量有确定值，我们说它处于动量的本征态。
一般来说，同一个力学量算符 有若干个本征值 {Fi},i=1,2,…,它们对应于 若干个本征态 { },i=1,2,…,。当系统处于本征态时，该力学量就有确定值 Fi,i
i?
F?
26
此外，微观粒子还可以处于某个力学量没有确定的值的状态，我们称这些状态为该力学量的叠加态。
例如，电子单缝衍射时，通过狭缝的电子处在动量不确定的状态。
实验表明，当微观粒子处在某 力学量的 叠加态时，
测量该力学量，每次测得的值一般是不一样的。但是，
测量值都是各参加叠加的本征态的本征值。
在叠加态时，各个本征态以一定的概率出现。
用实验中每次测得的可能的本征值和该值出现的概率，
可以计算该力学量的平均值。
27
我们以二能级原子模型为例,
设二个能级的本征态 和 分别具有能量本征值 E1 和 E2,如果原子处在叠加态其中 ci 一般为复数。
1? 2?
2211 cc
每一时刻，原子不是处在 就是处在,
总的概率为 1，
1? 2?
12221 cc
其中,是处在 态的概率，2
1c
1?
2
2c
是处在 态的概率，2?
即处在能量为 E1的概率；
即处在能量为 E2的概率。
28
在上面二能级模型中，我们讨论的是能量的本征态和叠加态，称为能量坐标系或能量表象；
量子力学也可以讨论其他力学量的本征态和叠加态，对应有各种力学量的坐标系或表象。
比如，坐标表象，
动量表象等等。
叠加态 对应的能量的平均值为
2
2
21
2
1 EcEcE
微观世界真是一个概率的世界！
第六章量子物理基础
（ 4）
2
二,量子隧道效应 （势垒贯穿）
金属中自由电子逸出金属表面时，
实际上遇到的是一个高度有限的势,
)0x(U
)0x(0
)x(U
0
设微观粒子有一定能量 E (设 0? E? U0)，
我们也应分区求解其波函数：
Ⅰ 区 Ⅱ 区
（一,一维无限深势阱中粒子的波函数与能量）
3
Ⅰ 区：
0Em2
dx
d
22
2
xki
1
xki
11 1
1 eBeA
（所以 E? U,是振动解）
Ⅱ 区：
0)UE(m2
dx
d
022
2
Em2k 221
令
- k m E U22 2 02 ( )xkxk2 22 DeCe令入射波 反射波
4
“有限,要求 D = 0，
xk
2
2Ce （所以 E? U,是衰减解）
按经典 …… 粒子不可能在 Ⅱ 区出现！
但微观粒子 …… 粒子仍有可能在 Ⅱ 区出现！
xkxk
2 2
2 DeCe
Ⅰ 区 Ⅱ 区
5
可以想见，原来在 Ⅰ 区的粒子也可以在势垒的另一边 Ⅲ 区出现！
如果势能曲线如图所示，
有一个,势垒,。
这称为,量子隧道效应,。
Ⅰ 区 Ⅱ 区 Ⅲ 区
6
例如,★ 放射性核的? 粒子释放（自学）
★ 隧道二极管（略）
★ 扫描隧穿显微镜计算结果表明，粒子的穿透率为
T? )EU(m2a2 0e
若 m,a,(U0- E) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了,量子隧道效应,现象的存在。
7
三,扫描隧穿显微镜 （ STM）
STM(Scanning Tunneling Microscope)
是观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。
1.原理隧道电流 I 与样品和针尖间的距离 S关系极为敏感。
势能曲线 U
0
U
E
SA B
I
扫描探针样品
A
B
S?10A
8
SAUeI
S — 样品和针尖间的距离
U — 加在样品和针尖间的微小电压
A — 常数
— 平均势垒高度定量关系：
图象处理系统扫描探针 样品表面电子云隧道电流
9
2.技术难点与克服
（ 1）消振 （ 2）探针制造
（ 3）到位与驱动 （ 4）撞针与反馈
10STM
11
下图为镶嵌了 48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显微镜照片。 48 个 Fe 原子形成,电子围栏,,围栏中的电子形成驻波：
（补图） 用扫描隧穿显微镜拍摄的硅表面的象，
每一个隆起处是一个硅原子。
（补图） 用单个原子排成 ‘ IBM’字样。
（补图） 搬运单个原子。
12
神经细胞
13
由于这一贡献,宾尼格、罗赫尔 和 鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是 扫描隧穿显微镜 的直接发明者，
第三人是 1932年 电子显微镜 的发明者，
这里是为了追朔他的功劳。
鲁斯卡罗赫尔宾尼格
14
§ 6,9 谐振子如果微观粒子的势能函数是
2
2
1 kx)x(U?
就应该解一维定态薛定格方程
0
2
12 2
22
2
)kxE(m
dx
d
可用 级数展开法 解上述方程。
波函数应满足自然条件
（连续、有限、单值）。
求解超出本课程的范围。结论：
x
0
U(x)
E
… 一维变系数常微分方程
15
1,能量
),2,1,0n()
2
1n(E
n
能量量子化、能级等间距。
能量间隔 h? …… 与黑体辐射理论同。
但有零点能。
E0
E4
E3
E1
E2
E
0
16
2.概率密度分布
量子,概率密度呈波动状,
在 E? U 的区域也有出现概率，
n =0时,x =0处粒子出现概率最大。
经典,E? U 的区域不可能出现，
x =0处粒子速度最大,,概率,最小。
（补图）书 P256,
17
1 1
( x )?
2
量 子经 典
n=11时的概率密度分布
E
U
量子
当 n 时：
量子几率分布几乎? 经典分布
18
谐振子问题的应用：
热辐射场的量子性；
分子，原子，原子核的振动 。
例如 …… 双原子分子中原子的小振动 。
r
U(r)
0
19
*（补充）一。力学量算符与力学量谱回忆定态薛定格方程
02 22
2
)UE(mdxd?
它可以改写为
E)Udxdm( 2
22
2
量子力学中，每一个力学量有一个对应的算符等号左边的
)U
dx
d
m
( 2
22
2
称为 能量算符,也称 哈密顿算符 。
1.能量算符和能量本征方程
20
U
dx
d
m
H 2
22
2
记作在三维情况下
U
m
H 2
2
2
所以定态薛定格方程也可以写作
nnn EH
…… 此式也称为 能量（算符）的本征方程,
…… En 为 能量值，也称为 能量（算符）的本征值。
……?n 为 定态波函数，
也称为 能量（算符）的本征函数,
我们在前面,曾解这个能量本征方程（即 定态薛定格方程 ）,得到了能量所能取的值 En。
21
2.在量子力学中，任一力学量究竟能取哪些值？
是连续的，还是分立的？
…… 是由该力学量算符的本征方程决定的。
力学量谱原理,任一力学量 F，对应有一个算符,解该算符的本征方程 u =F u
得到的所有本征值 F，即为该力学量所能取的值，
也称为该力学量的谱。
F? F?
最基本的算符是坐标、动量算符：
坐标算符（就是它自己） rr?r
3,量子力学中各力学量算符和 本征方程 举例,
22
动量算符 ip?p
kzjyix
( 式中 )
xip? x?
yip? y?
zip? z?
得到任一力学量 F 的算符的方法：
)i,r(F?)p,r(F
（经典） （量子）
能量（哈密顿量）算符,
)r(UmH 2
2
2)r(Um
p
E?
2
2
23
解一般力学量的本征方程也要用到有限、单值,连续 等物理条件
（也称边界条件）。
角动量算符,
p?rL
zyx
p?p?p?
zyx
k
j
i
prL
yzx p?zp?yL zxy p?xp?zL xyz p?yp?xL
24
坐标算符 的本征方程：
角动量算符 的本征方程：
动量算符 的本征方程：
urur
解得的坐标本征值 是 连续 的谱。（略）r?
解得的动量本征值也是 连续 的谱。（略）
upup
解得的角动量本征值是 分立 谱。（见下）
uLuL 22 uLuL
zz
25
* 二,力学量的本征态与叠加态某物理量的本征态，指该物理量具有确定值的状态。
例。氢原子能量的定态，就是它的能量的本征态。
当氢原子处于这个状态时，实验测得的能量有确定值。
例。一个微观粒子处在自由运动状态，测得其动量有确定值，我们说它处于动量的本征态。
一般来说，同一个力学量算符 有若干个本征值 {Fi},i=1,2,…,它们对应于 若干个本征态 { },i=1,2,…,。当系统处于本征态时，该力学量就有确定值 Fi,i
i?
F?
26
此外，微观粒子还可以处于某个力学量没有确定的值的状态，我们称这些状态为该力学量的叠加态。
例如，电子单缝衍射时，通过狭缝的电子处在动量不确定的状态。
实验表明，当微观粒子处在某 力学量的 叠加态时，
测量该力学量，每次测得的值一般是不一样的。但是，
测量值都是各参加叠加的本征态的本征值。
在叠加态时，各个本征态以一定的概率出现。
用实验中每次测得的可能的本征值和该值出现的概率，
可以计算该力学量的平均值。
27
我们以二能级原子模型为例,
设二个能级的本征态 和 分别具有能量本征值 E1 和 E2,如果原子处在叠加态其中 ci 一般为复数。
1? 2?
2211 cc
每一时刻，原子不是处在 就是处在,
总的概率为 1，
1? 2?
12221 cc
其中,是处在 态的概率，2
1c
1?
2
2c
是处在 态的概率，2?
即处在能量为 E1的概率；
即处在能量为 E2的概率。
28
在上面二能级模型中，我们讨论的是能量的本征态和叠加态，称为能量坐标系或能量表象；
量子力学也可以讨论其他力学量的本征态和叠加态，对应有各种力学量的坐标系或表象。
比如，坐标表象，
动量表象等等。
叠加态 对应的能量的平均值为
2
2
21
2
1 EcEcE
微观世界真是一个概率的世界！
