1
第六章量子物理基础
（ 5）
2
§ 6,11 氢原子一,氢原子中电子的,轨道,角动量谱
(在量子力学中，仍常借用,轨道,这名词 )
氢原子中电子在中心力场运动中,
其,轨道,角动量是守恒的。那么,轨道,
角动量究竟能取哪些值？
应解,轨道,角动量算符的本征方程。
通常将 氢原子,轨道,角动量算符 变换到球坐标系方便。
我们只写出 L2,Lz的 算符：
3
iL?
s i n
1
s i n
s i n
1
L?
z
2
2
2
22
“轨道,角动量算符的本征方程为
uLuL? 22?
uLuL? zz?
解得 L2 的本征值为 )1()1(L 22
,,,,3210?式中 称为角量子数
4
解得 Lz 的本征值为
)2(mL z
l,,,,m3210 称为磁量子数
（ 1)（ 2）两式就是,轨道,角动量的谱
(所能取的值）。
作为一个例子，我们现在来解一下 的谱,zL
)1()1(L 22
,,,,3210? 称为角量子数
5
uLuL? zz?Lz的本征方程为
)(L)(
d
di
z
用分离变量法解得 本征函数 zLiAe)(
有限，连续条件自动满足；
单值 … …？
由单值条件：
)2()(
1eee
2L
i
)2(L
i
L
i
zzz
6
即
1)
L
2s in(i)
L
2c o s ( zz
m,2,,0L z
这就是力学量 的本征值谱。zL
1e
2L
i
z
m,2,1,0L z
lm,3,2,1,0
22 )1(L
7
i
11
10
00
es i n
8
3
),(Y
c o s
4
3
),(Y
4
1
),(Y
),(Y1ll),(YL? m,l2m,l2
解 得到的本征函数是球谐函数 Yl,m(?,?)uLuL
22?
,,,,3210?
l,,,,m3210
8
对于一定的角量子数,
磁量子数 m 可取 (2 +1)个值，
表明角动量在空间 z 方向的取向只有 (2 +1)种可能。
l
l
l
“轨道,角动量在空间的取向是量子化的。
,,,,3210?
l,,,,m3210
对于
m 的值最大只能是 l,正说明投影值 Lz 不可能超过 L的 值。
l,,,,m3210
9
例如：当 时，2
2,,0mL z
45.2
6
)1(L
6
)1(L
0
-2?
2?
-?
2
Z(B)
共有 种。51l2
m = 0,? 1,? 2,
10
二,氢原子中电子的坐标概率分布与能谱中心力场
（仍采用球坐标系）定态薛定格方程为
UmH 2
2
2
r4
e)r(U
0
2
),,r(E),,r(H
),,r(E),,r(
r4
e
m2 0
2
2
2
11
用分离变量法求解，设
),(Y),(Y m,l
式中 u（ r） …… 称为 径向波函数可得 到径向波函数 u（ r） 所满足的方程，
称为 径向方程,
u r m E U r l l
mr
u r( ) ( ) ( ) ( )2 1
2
02
2
2?
),(Yr )r(u),(Y)r(R),,r(
代入 定态薛定格方程,
可得 到?,? 部分满足的方程,解得正好是 球谐函数
12
★ 能量本征值 E
),3,2,1n(
),eV(
n
1
6.13
n
1
)4(2
me
E
222
0
2
4
n
n…… 称为主量子数
★ 径向波函数 u(r)= unl( r ) （略）
1n,,2,1,0
解此方程，可以同时得到 粒子的本征能量 E
和径向波函数 u( r )
),()(),,( lmnlnl m Yr rur
13
按照定态 波函数的物理意义，
在空间点 （ r,?,?）处,
小体积元 dv 中电子出现的概率为
dddrs inr),,r( 22mln
)r(w)r(u nl2nl? …… 称为 径向概率密度。
dddrs i n),(Y)r(u
2
ml
2
ln?
dddrs i nr),(Y
r
)r(u
22
ml
2
2
ln?
表示在半径为 r? r +dr 之间发现电子的概率 (?,? 取全部范围 )。dr)r(u 2nl
14
因此,概率不见得都是球对称的。
dddrs i nr),,r( 22n l m
dddrs i n),(Y)r(u 2lm2nl?
i
eY
Y
Y
s i n
8
3
),(
c os
4
3
),(
4
1
),(
11
10
00
由于
15
它的电子云是球对称分布的 。
)r(w)r(u nl2nl?
0
1 A529.0a? 即玻尔半径
2
1010 )r(u)r(w?
在 r = a1 处有极大值。
几个径向概率密度的分布图：
其中
2
1 0 0
2 )(),,( rr
mn l m
(CAI,氢原子中电子云 )
16
巴耳末 在 1885年根据 埃格斯特朗发表的精确氢原子光谱实验数据，
推出了一个 经验公式，能非常精确地代表光谱系 。
§ 6,12 氢原子光谱
17
量子力学按照上面得到的氢原子中电子的能级公式，可以圆满地解释氢光谱的基本结构。
玻尔频率定则将氢原子能级公式代入，可得
2
i
2
f
3
42
0 n
1
n
1
4
me
4
1
),3,2,1n(
),eV(
n
1
6.13
n
1
)4(2
me
E
222
0
2
4
n
h
EE fi?
由
18
因此由上式可得氢原子发光的可能谱线的波数为
2
i
2
f
3
42
0 n
1
n
1
c4
em
4
1
c
1~
光谱线常用 波数 (波长的倒数 )来表示，
它等于单位长度内波长的数目。
~
式中常数 R称为里德伯常数,
17
3
42
0
m/100 9 7 3 7 3.1
c4
me
4
1
R
2
i
2
f n
1
n
1
R~?
19
赖曼系：
4,3,2n.
n
1
1
1R~
22
巴尔末系：
5,4,3n.
n
1
2
1R~
22
帕邢系：
6,5,4n.
n
1
3
1R~
22
2
i
2
f n
1
n
1
R~?
20
21
22
里德伯 根据许多种金属元素的光谱，独立地得到了这个 经验公式 。
里德伯
1890年当他得知巴耳末公式正是他这一公式的特例时，
才公开发表了他的公式。
2
i
2
f n
1
n
1
R~?
此式也称为 里德伯公式。
23
用上面的公式计算出的波数与实验测得的波数相比较，符合得非常好：
观察氢原子光谱的实验示意图：
在氢放电管内充以压强约为 1mmHg 的氢气。
2~3kV
24
氢原子光谱的理论与实验的符合，
证明了量子力学理论的正确性。
巴尔末系（ n?2）几条谱线的波长（单位 ）0A
n
3
4
5
6
H?
H?
H?
H?
谱线记号 测量值 计算值
6562,10
4860,74
4340,10
4101,20
6562,08
4860,80
4340,00
4101,30
25
§ 6,13 电子的自旋 四个量子数一,电子“轨道”角动量与轨道磁矩的关系由于电子带电，电子绕原子核作轨道运动，
就相当于一个闭合载流线圈一样。
其磁矩为? = is i…… 电流强度
s…… 载流线圈面积
er2 vi
2rS
所以有
L
m
em v r
m
er
r
ve
222
2
-ev
L?
)B(z
26
由于电子带负电，角动量与磁矩的矢量关系为
Lm2 e
若角动量是空间量子化的，那么磁矩也是空间量子化的，它们在空间 z 方向的投影也是量子化的，
应有 m2emLm2 e lzz
一系列实验说明，
量子力学的结论是正确的。
z?
也应有 种。1l2?
27
实验装置示意图原子是复杂的带电系统，
有一个,等效磁矩”。
可以证明,磁矩受的力为
z
BF z
zz?
由电磁学知，在非均匀磁场中，磁矩不仅受力矩的作用，
还受 力的作用。
二,斯特恩一盖拉赫实验
1921年实验出现了新的矛盾。
zF
也应有 种。1l2?
Ag
S1
S2
N
S 非均匀磁场
28
银原子束通过非均匀的磁场时分裂为两束斯特恩正在观测
1943年 斯特恩获诺贝尔物理奖。
实验结果 基态（ =0） Ag 原子的沉积是 2条，
不是奇数 2 +1=1 条,无法解释！
l
l
29
三,电子自旋
1925年，两位当年的荷兰学生乌伦贝克 和 哥德斯密特 在分析上述实验的基础上提出了大胆的看法：
(1)电子不是一个质点，它存在一种内秉的运动
…… 自旋，相应地有自旋角动量和自旋磁矩。
(2)电子自旋角动量 S 的大小类似于
“轨道”角动量 为
)1s(sSS … s 称为自旋量子数
(3)电子自旋角动量在空间相对外磁场方向的取向也是 空间量子化 的：
30
于是电子的自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量，
数值为
2,2mS sz
l,1l,,1l,lm l
电子的自旋磁矩也是空间量子化的，
也有两个取向。
仿照电子“轨道”角动量 在外磁场方向上的分量取
2l +1种，电子自旋角动量在外磁场方向上的分量也只可能取 2s + 1 = 2种，
于是就得到 s = 1/2.
ms= -s,+ s = -1/2,+1/2
电子自旋角动量也有磁量子数，为
（ 称自旋磁量子数 ）
仿照电子“轨道”角动量 有磁量子数，为
31
电子在外磁场中的两种自旋运动状态，常用下图形象化地描述。
S?
S?
B? (z)
2/
2/
他们对实验的解释：
其磁矩就是最外层的价电子的自旋磁矩。
原子的轨道角动量就是其最外层的价电子的轨道角动量 ;
基态银原子的轨道角动量为零（ l =0），
但是它有自旋角动量，
有自旋磁矩；
32
引入自旋以后，斯 -盖实验的‘ 偶数沉积 ’
自然而然得到了解释，
而且计算得到的两条 沉积线之间的距离 也与实验符合得很好。
此电子自旋磁 矩又只有两种分立的取向，
经过非均匀磁场的磁 力作用，
在屏上就只出现两条痕迹了。
z
BF z
zz?
33
但是，经典物理学无法理解电子有内部结构。
（泡利、洛仑兹 等的反对）
（埃伦菲斯特的支持）
自旋运动是一种内部“固有的”运动，
其本质目前还不清楚。
关于 乌伦贝克、哥德斯密特。
“You are both young enough to
allow yourselves some foolishness!”
（这种陀螺运动图象正象轨道运动图象一样是借用了宏观图象，是很不确切的）
34
现在知道，一切微观粒子都有自旋,
按自旋分类：
（ 1）费米子,自旋为半整数，如 S = 1/2,3/2
如电子，中子，质子，中微子，
----服从泡利不相容原理。
反西格玛负超子
（王淦昌等,1959年）
王淦昌先生
35
（ 2）玻色子,自旋为整数，
如 s = 0,1
----不服从泡利不相容原理。
光子,?介子等。
第六章量子物理基础
（ 5）
2
§ 6,11 氢原子一,氢原子中电子的,轨道,角动量谱
(在量子力学中，仍常借用,轨道,这名词 )
氢原子中电子在中心力场运动中,
其,轨道,角动量是守恒的。那么,轨道,
角动量究竟能取哪些值？
应解,轨道,角动量算符的本征方程。
通常将 氢原子,轨道,角动量算符 变换到球坐标系方便。
我们只写出 L2,Lz的 算符：
3
iL?
s i n
1
s i n
s i n
1
L?
z
2
2
2
22
“轨道,角动量算符的本征方程为
uLuL? 22?
uLuL? zz?
解得 L2 的本征值为 )1()1(L 22
,,,,3210?式中 称为角量子数
4
解得 Lz 的本征值为
)2(mL z
l,,,,m3210 称为磁量子数
（ 1)（ 2）两式就是,轨道,角动量的谱
(所能取的值）。
作为一个例子，我们现在来解一下 的谱,zL
)1()1(L 22
,,,,3210? 称为角量子数
5
uLuL? zz?Lz的本征方程为
)(L)(
d
di
z
用分离变量法解得 本征函数 zLiAe)(
有限，连续条件自动满足；
单值 … …？
由单值条件：
)2()(
1eee
2L
i
)2(L
i
L
i
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6
即
1)
L
2s in(i)
L
2c o s ( zz
m,2,,0L z
这就是力学量 的本征值谱。zL
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2L
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m,2,1,0L z
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),(Y
c o s
4
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4
1
),(Y
),(Y1ll),(YL? m,l2m,l2
解 得到的本征函数是球谐函数 Yl,m(?,?)uLuL
22?
,,,,3210?
l,,,,m3210
8
对于一定的角量子数,
磁量子数 m 可取 (2 +1)个值，
表明角动量在空间 z 方向的取向只有 (2 +1)种可能。
l
l
l
“轨道,角动量在空间的取向是量子化的。
,,,,3210?
l,,,,m3210
对于
m 的值最大只能是 l,正说明投影值 Lz 不可能超过 L的 值。
l,,,,m3210
9
例如：当 时，2
2,,0mL z
45.2
6
)1(L
6
)1(L
0
-2?
2?
-?
2
Z(B)
共有 种。51l2
m = 0,? 1,? 2,
10
二,氢原子中电子的坐标概率分布与能谱中心力场
（仍采用球坐标系）定态薛定格方程为
UmH 2
2
2
r4
e)r(U
0
2
),,r(E),,r(H
),,r(E),,r(
r4
e
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2
2
2
11
用分离变量法求解，设
),(Y),(Y m,l
式中 u（ r） …… 称为 径向波函数可得 到径向波函数 u（ r） 所满足的方程，
称为 径向方程,
u r m E U r l l
mr
u r( ) ( ) ( ) ( )2 1
2
02
2
2?
),(Yr )r(u),(Y)r(R),,r(
代入 定态薛定格方程,
可得 到?,? 部分满足的方程,解得正好是 球谐函数
12
★ 能量本征值 E
),3,2,1n(
),eV(
n
1
6.13
n
1
)4(2
me
E
222
0
2
4
n
n…… 称为主量子数
★ 径向波函数 u(r)= unl( r ) （略）
1n,,2,1,0
解此方程，可以同时得到 粒子的本征能量 E
和径向波函数 u( r )
),()(),,( lmnlnl m Yr rur
13
按照定态 波函数的物理意义，
在空间点 （ r,?,?）处,
小体积元 dv 中电子出现的概率为
dddrs inr),,r( 22mln
)r(w)r(u nl2nl? …… 称为 径向概率密度。
dddrs i n),(Y)r(u
2
ml
2
ln?
dddrs i nr),(Y
r
)r(u
22
ml
2
2
ln?
表示在半径为 r? r +dr 之间发现电子的概率 (?,? 取全部范围 )。dr)r(u 2nl
14
因此,概率不见得都是球对称的。
dddrs i nr),,r( 22n l m
dddrs i n),(Y)r(u 2lm2nl?
i
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Y
Y
s i n
8
3
),(
c os
4
3
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4
1
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11
10
00
由于
15
它的电子云是球对称分布的 。
)r(w)r(u nl2nl?
0
1 A529.0a? 即玻尔半径
2
1010 )r(u)r(w?
在 r = a1 处有极大值。
几个径向概率密度的分布图：
其中
2
1 0 0
2 )(),,( rr
mn l m
(CAI,氢原子中电子云 )
16
巴耳末 在 1885年根据 埃格斯特朗发表的精确氢原子光谱实验数据，
推出了一个 经验公式，能非常精确地代表光谱系 。
§ 6,12 氢原子光谱
17
量子力学按照上面得到的氢原子中电子的能级公式，可以圆满地解释氢光谱的基本结构。
玻尔频率定则将氢原子能级公式代入，可得
2
i
2
f
3
42
0 n
1
n
1
4
me
4
1
),3,2,1n(
),eV(
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1
6.13
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1
)4(2
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222
0
2
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h
EE fi?
由
18
因此由上式可得氢原子发光的可能谱线的波数为
2
i
2
f
3
42
0 n
1
n
1
c4
em
4
1
c
1~
光谱线常用 波数 (波长的倒数 )来表示，
它等于单位长度内波长的数目。
~
式中常数 R称为里德伯常数,
17
3
42
0
m/100 9 7 3 7 3.1
c4
me
4
1
R
2
i
2
f n
1
n
1
R~?
19
赖曼系：
4,3,2n.
n
1
1
1R~
22
巴尔末系：
5,4,3n.
n
1
2
1R~
22
帕邢系：
6,5,4n.
n
1
3
1R~
22
2
i
2
f n
1
n
1
R~?
20
21
22
里德伯 根据许多种金属元素的光谱，独立地得到了这个 经验公式 。
里德伯
1890年当他得知巴耳末公式正是他这一公式的特例时，
才公开发表了他的公式。
2
i
2
f n
1
n
1
R~?
此式也称为 里德伯公式。
23
用上面的公式计算出的波数与实验测得的波数相比较，符合得非常好：
观察氢原子光谱的实验示意图：
在氢放电管内充以压强约为 1mmHg 的氢气。
2~3kV
24
氢原子光谱的理论与实验的符合，
证明了量子力学理论的正确性。
巴尔末系（ n?2）几条谱线的波长（单位 ）0A
n
3
4
5
6
H?
H?
H?
H?
谱线记号 测量值 计算值
6562,10
4860,74
4340,10
4101,20
6562,08
4860,80
4340,00
4101,30
25
§ 6,13 电子的自旋 四个量子数一,电子“轨道”角动量与轨道磁矩的关系由于电子带电，电子绕原子核作轨道运动，
就相当于一个闭合载流线圈一样。
其磁矩为? = is i…… 电流强度
s…… 载流线圈面积
er2 vi
2rS
所以有
L
m
em v r
m
er
r
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222
2
-ev
L?
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26
由于电子带负电，角动量与磁矩的矢量关系为
Lm2 e
若角动量是空间量子化的，那么磁矩也是空间量子化的，它们在空间 z 方向的投影也是量子化的，
应有 m2emLm2 e lzz
一系列实验说明，
量子力学的结论是正确的。
z?
也应有 种。1l2?
27
实验装置示意图原子是复杂的带电系统，
有一个,等效磁矩”。
可以证明,磁矩受的力为
z
BF z
zz?
由电磁学知，在非均匀磁场中，磁矩不仅受力矩的作用，
还受 力的作用。
二,斯特恩一盖拉赫实验
1921年实验出现了新的矛盾。
zF
也应有 种。1l2?
Ag
S1
S2
N
S 非均匀磁场
28
银原子束通过非均匀的磁场时分裂为两束斯特恩正在观测
1943年 斯特恩获诺贝尔物理奖。
实验结果 基态（ =0） Ag 原子的沉积是 2条，
不是奇数 2 +1=1 条,无法解释！
l
l
29
三,电子自旋
1925年，两位当年的荷兰学生乌伦贝克 和 哥德斯密特 在分析上述实验的基础上提出了大胆的看法：
(1)电子不是一个质点，它存在一种内秉的运动
…… 自旋，相应地有自旋角动量和自旋磁矩。
(2)电子自旋角动量 S 的大小类似于
“轨道”角动量 为
)1s(sSS … s 称为自旋量子数
(3)电子自旋角动量在空间相对外磁场方向的取向也是 空间量子化 的：
30
于是电子的自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量，
数值为
2,2mS sz
l,1l,,1l,lm l
电子的自旋磁矩也是空间量子化的，
也有两个取向。
仿照电子“轨道”角动量 在外磁场方向上的分量取
2l +1种，电子自旋角动量在外磁场方向上的分量也只可能取 2s + 1 = 2种，
于是就得到 s = 1/2.
ms= -s,+ s = -1/2,+1/2
电子自旋角动量也有磁量子数，为
（ 称自旋磁量子数 ）
仿照电子“轨道”角动量 有磁量子数，为
31
电子在外磁场中的两种自旋运动状态，常用下图形象化地描述。
S?
S?
B? (z)
2/
2/
他们对实验的解释：
其磁矩就是最外层的价电子的自旋磁矩。
原子的轨道角动量就是其最外层的价电子的轨道角动量 ;
基态银原子的轨道角动量为零（ l =0），
但是它有自旋角动量，
有自旋磁矩；
32
引入自旋以后，斯 -盖实验的‘ 偶数沉积 ’
自然而然得到了解释，
而且计算得到的两条 沉积线之间的距离 也与实验符合得很好。
此电子自旋磁 矩又只有两种分立的取向，
经过非均匀磁场的磁 力作用，
在屏上就只出现两条痕迹了。
z
BF z
zz?
33
但是，经典物理学无法理解电子有内部结构。
（泡利、洛仑兹 等的反对）
（埃伦菲斯特的支持）
自旋运动是一种内部“固有的”运动，
其本质目前还不清楚。
关于 乌伦贝克、哥德斯密特。
“You are both young enough to
allow yourselves some foolishness!”
（这种陀螺运动图象正象轨道运动图象一样是借用了宏观图象，是很不确切的）
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现在知道，一切微观粒子都有自旋,
按自旋分类：
（ 1）费米子,自旋为半整数，如 S = 1/2,3/2
如电子，中子，质子，中微子，
----服从泡利不相容原理。
反西格玛负超子
（王淦昌等,1959年）
王淦昌先生
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（ 2）玻色子,自旋为整数，
如 s = 0,1
----不服从泡利不相容原理。
光子,?介子等。
