1
第六章量子物理基础
（ 2下）
2
再谈玻尔（原子）模型 与 玻尔：
玻尔把量子论推广到原子系统。至今仍然正确的假设：
（ 1）原子中的能量状态也是分立的、稳定的：
（ 2）当原子从某一能量状态跃迁到另一能量状态时
mn EEh
卢瑟福 --- 玻尔
3
玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的波长。
但是，不能说明氢原子光谱线的强度；
不能说明复杂的原子光谱结构（即使 He）。
理论本身存在困难：
（ 1）电子作轨道运动，受到向心力
--- 电子的能量等于动能加电势能
--- 电子在中心力场中运动角动量守恒玻尔加一个角动量量子化条件就可得到氢原子能级公式。
,3,2,1nnvrm e （为什么？）
有向心加速度而不辐射能量、稳定。 （为什么？）
4
（ 2）卢瑟福 给玻尔 提的问题
E1
E2
E3
多种频率的光入射
（ 3）薛定格 给玻尔 提的问题电子从 E1 到 E2过程的速度不可能是无限大 ----？
玻尔理论在人们认识原子结构的进程中有很大的贡献 ---- 1922年玻尔获诺贝尔物理奖。
5
玻尔正在讲解他的互补原理玻尔（左）和海森伯（中）
泡利（右）在一起
6
在玻尔研究所里学术空气很浓，
玻尔演讲后与听众踊跃讨论。
哥本哈根学派
,丹麦是我出生的地方，
是我的故乡，
是我心中的世界开始的地方。,
卢瑟福的邀请普朗克的邀请
7
§ 6.5 概率波如何对波粒二象性正确理解？
一,二象性是单个微观粒子的属性
1949年，前苏联物理学家 费格尔曼 做了一个非常精确的 弱电子流衍射实验,
电子几乎是一个一个地通过双缝，
底片上出现一个一个的点子。
（显示出电子具有粒子性）
开始时底片上的点子,无规,分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。
8
衍射图样说明每个电子到达屏上各点有一定几率，衍射图样是大量电子出现几率的 统计结果。
德布洛意波 也称为 几率波。
衍射图样不是电子相互作用的结果,来源于
,单个电子,具有的波动性。
（放映 CAI----电子双缝衍射实验）
9
对微观粒子的二象性的理解：
（ 1）粒子性
指它与物质相互作用的,颗粒性,或
,整体性,。
但不是经典的粒子！因为微观粒子没有确定的轨道，
应抛弃,轨道,的概念！
10
（ 2）波动性
指它在空间传播有,可叠加性,,
有,干涉,,,衍射,等现象。
但不是经典的波！因为它没有某种实际物理量（如质点的位移、电场、磁场）
的波动分布。
要描述微观粒子的运动，应该用一个函数
（波函数），它必须能把,颗粒性,与
,可叠加性,统一起来！
11
二,玻恩对波函数的统计诠释人们 常用?（复函数）代表微观粒子的波函数。
本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的强度）代表时刻 t、在空间
r点处，单位体积元中微观粒子出现的几率，
玻恩为了把,颗粒性,与,可叠加性,
统一起来，给了波函数一个统计诠释：
12
(r,t)*?(r,t)dv
表示在时刻 t、空间 r点处，
体积元 dv中发现微观粒子的几率。
(r,t)…… 称为,几率振幅,。
(r,t)? 2…… 称为 几率密度 。
1954年 玻恩获诺贝尔物理奖。
(r,t)? 2 =?(r,t)*?(r,t)
13
波函数应满足的条件：
（１） 自然条件,单值、有限、连续
（２） 归一化条件：
粒子在空间各点的几率总和应为 l，即 1),(*),(
)(
dVtrtr
t o t a l
（ 3） 状态叠加原理：
若体系具有一系列不同的可能状态，
1,?2···?,则它们的线性组合
=C1?1,+C2?2+··也是该体系的一个可能的状态。其中 C1,C2 ···为任意复常数。
14
对电子双缝衍射实验的说明,
只开缝 1---强度分布为 I1
只开缝 2---强度分布为 I2
电子枪 1
2
I2I1+ 分布 双缝干涉 分布电子有粒子性,一个电子只能从一个缝通过,
电子有波动性,其状态服从叠加原理,
(状态为?1,分布为1?2 )
(状态为?2,分布为2?2 )
(状态为?1 +?2,分布为1 +?2?2 )
同时开缝 1,2---分布不是 I1+ I2,而是双缝干涉分布。
15
§ 6.6 不确定关系一,不确定关系波动性使微观粒子没有确定的轨道，
即坐标和动量不能同时取确定值，
存在一个 不确定关系。
下面以电子的单缝衍射实验为例来说明 不确定关系,
16
电子沿 z方向通过狭缝后，假设全部散布在中央亮纹的范围内．
以电子的单缝衍射实验为例来说明：
衍射角?1、缝宽 a和入射波波长?间满足
a sin?1 =?
P
1
x
a
电子
Px
17
狭缝处的电子
x 坐标不确定范围,?x～ a
x 方向动量的不确定范围,可由电子能到达屏上的位置来估算?px～ p sin?1
x
h
x
h
xpappp x
1s i n
x?px～ h
对坐标 x 测量得越精确（?x 越小），
动量不确定性?px 就越大 (衍射越厉害 )。
得
18
严格的理论给出 坐标与动量的不确定关系为
x?px≥? /2
y?py≥? /2
z?pz≥? /2
★ 时间与能量的不确定关系如果对电子测量能量的时间为?t，
则测得的电子能量有不确定范围?E。
tE≥? /2
(作习题用 )
19
★ 能级宽度和能级寿命的不确定关系设原子处于某能级状态的寿命为?
（显然，测量能量 只能在此时间范围内进行，不能超过? ），
E ≥? /2
tE≥? /2
若测量能量的时间为?,则测得的能级的能量必有宽度为?E 的不确定程度，
满足关系
20
二,用不确定关系作数量级估算 （自学例题）
补例,威尔逊云室是一个充满,过饱和蒸气,
的容器。射入高速电子，可看到一条白亮的带状的痕迹 ——粒子的轨道？
测出径迹的线度～ 10-4cm，
所以电子位置的不确定程度电子动量的不确定程度为
smkgxp x /102 28
x≈10 -4cm．
21
另 测出云室中该电子的动能 T～ 108 eV，
则电子动量为（用非相对论估算）
smkgmTp /108.12 23
有 p＞＞?px
所以,坐标和动量的取值基本上可以认为是确定的，对云室问题可以使用,轨道,的概念。
电视显象管中电子的运动可以使用轨道的概念,其表现跟经典粒子一样。
氢原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念,
代之以说明电子在空间的概率分布的电子云图象。
22
微观粒子具有 波粒二象性
………… (补图 )“少女与老妇,
(不太恰当的比喻 )§ 6.7 薛定格方程一,薛定格方程描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数?
一般是空间和时间的函数，即
=?(x,y,z,t)
微观粒子在不同条件下 (例如，处于不同的外场中 )的运动状态是不同的,如何找到微观粒子在不同条件下的波函数？
23
1932年 诺贝尔物理学奖获得者为量子力学创立的贡献海森伯（ Heisenberg 德国人 1901-1976）
在波函数?所满足的方程中，应反映出微观粒子所处的不同条件 。
24
1926年，奥地利物理学家薛定格
（ Schrodinger 1887-1961）
得出的方程称为薛定格方程。
量子力学 找到微观粒子在不同条件下的波函数的方法，归结为求各种条件下薛定格方程的解。
1933年薛定格获诺贝尔物理奖 。
25
薛定格方程的非相对论形式为
),()],(
2
[),( 2
2
trtrU
m
tr
t
i
式中 m…… 粒子的质量
U…… 粒子在外力场中的势能函数（所处条件）
2…… 拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
（ 1）它是一个复数偏微分方程；
其解波函数? 是一个复函数。
（ 2）它并非推导所得，是量子力学中最基本的方程。
26
二,定态薛定格方程常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t
无关的稳定的势场问题，例如
自由运动粒子 ………… U = 0
氢原子中的电子 ……
r
e
U
2
04
1
这时波函数?可以用 分离变量法 分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。
27
例如，对于 一维 运动的情况，波函数可写成
)()(),( tfxtx
将其代入薛定格方程,得
fU
dx
d
mdt
df
i?
2
22
2
两边除以，得
U
dx
d
mdt
df
f
i 2
22
2
11 = E (常数 )
可得含变量 t和变量 x 的 两个方程,
28
一个是变量为 t的方程
E d t
f
dfi
其解为 Eti
Aef
（ A 是待定复常数，
E 有能量量纲,以后可知是粒子的总能量）
EUdxdm 2
22
2
0)(2 22
2
UEm
dx
d
即 …… （★）
……… （★）
一个是变量为 x的方程
29
22
)()(),( xextx
t
i
ψ
即此时，概率密度也可以用? (x)?2来表示，
(x)称为定态波函数，?
对势能函数 U 与时间 t 无关的一维定态问题，
只须解定态薛定格方程（★）式，再利用
（★）式即可得波函数?(x,t)。
由上面可以看出,
（★）式是 (x)满足的方程，
称为定态薛定格方程。
30
例,一维自由运动微观粒子的波函数。
其定态薛定格方程为
02 22
2
Em
dx
d
…… 二阶常系数常微分方程结合最简单的问题，介绍量子力学处理问题的最基本方法，并得出一些重要的结论。
晶体 衍射屏自由运动区
U = 0
电子枪
K
A
31
22 pmE?令
02
2
2
2
p
dx
d得它有两个特解,
xpi
e1?
xpie
2?
02 22
2
Em
dx
d
32
)xkt(itixki
t
E
i
x
p
i
11
eAeeA
eeA)t(f)x()t,x(
…… 沿 + x 方向的平面单色波
)(
)()(),(
xktitixki
t
E
ix
p
i
eAeeA
eeAtfxtx
22
…… 沿 - x 方向的平面单色波所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解,
33
§ 6,8 势阱中的粒子一,一维无限深势阱中粒子的波函数与能量金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范围 …… 称为 束缚态。
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，
即它的势能函数为
axx
ax
xU
,0
00
)(
区 区 区
34
这种势场表示粒子可以在势阱中运动，
但不能越出势阱，因为
x? 0,x? a 区域的势能为无穷大。
（这是一个理想化的模型）
作为对定态薛定格方程应用的例子，我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。
按照一维定态薛定格方程
0)(2 22
2
UEm
dx
d
…… （★）
35
由于在 I,III 两区的 U(x)＝?,
为保证波函数有限的物理条件，显然应
= 0; = 0
0)(2 22
2
UEm
dx
d
由于区的 U(x)= 0，因此该区薛定格方程为
02 22
2
Em
dx
d
Emk 22 2令 则 0
2
2
2
k
dx
d
36
A,B…… 是由物理（自然）条件来决定的常数 (可将通解上式代入方程，以证明之 )
有限、单值 …… 自然满足．
连续 ……………？
这一方程的通解为 kxBkxA s i nc o s
022
2
k
dx
d
由于,）（处必须连续，在 000)( 1 xx
因此有 0)0(11 A?
37
，）（处必须连续，在 0)( 11 aaxx又由于
0s i n)(11 kaBa?因此有
0?B因为所以必有 sin ka = 0,即 ka = n?
a
nk (n =1,2,3,…… 称为量子数 )
因此 区波函数的形式为
xanBx s i n)(11?
38
再由归一化条件 1
2
dxx?
1
2
1)(s i n 22
0
2 aBdxx
a
nBa?
a
B 2?
所以将脚标 去掉，代之以量子数 n,最后得无限深势阱内 粒子的定态波函数为 xa
n
a
xn s i n2)(?
概率密度为
)(s i n2 22 x
a
n
a
xn
39
x
a
n
a
xn s i n2)(?
因
a
nk (n =1,2,3,…… 称为量子数 )
Emk 22 2
而
2
22
2
ma2
nE
m2a
n
m2
kE 2
2
2222
40
按经典理论 …… 粒子的,能量连续,；
但微观粒子 …… 束缚态能量只能取分立值
--- 能级（实验完全证实了这点）。
1。 能量只能取分立值的结论是由解薛定格方程自然而然得到的。
2。 最低能量（零点能）
———不确定关系。 0ma2E 2
22
1
3。 当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续
-------量子? 经典。
4。 当时，势阱内各处，粒子都有可能出现，
量子? 经典 （玻尔对应原理）。
注意：
41
左图画出了呈驻波状的波函数,
概率密度与 x 的关系曲线。
2xn?
xn?
xanaxn s i n2)( )(s i n2 22 x
a
n
axn
第六章量子物理基础
（ 2下）
2
再谈玻尔（原子）模型 与 玻尔：
玻尔把量子论推广到原子系统。至今仍然正确的假设：
（ 1）原子中的能量状态也是分立的、稳定的：
（ 2）当原子从某一能量状态跃迁到另一能量状态时
mn EEh
卢瑟福 --- 玻尔
3
玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的波长。
但是，不能说明氢原子光谱线的强度；
不能说明复杂的原子光谱结构（即使 He）。
理论本身存在困难：
（ 1）电子作轨道运动，受到向心力
--- 电子的能量等于动能加电势能
--- 电子在中心力场中运动角动量守恒玻尔加一个角动量量子化条件就可得到氢原子能级公式。
,3,2,1nnvrm e （为什么？）
有向心加速度而不辐射能量、稳定。 （为什么？）
4
（ 2）卢瑟福 给玻尔 提的问题
E1
E2
E3
多种频率的光入射
（ 3）薛定格 给玻尔 提的问题电子从 E1 到 E2过程的速度不可能是无限大 ----？
玻尔理论在人们认识原子结构的进程中有很大的贡献 ---- 1922年玻尔获诺贝尔物理奖。
5
玻尔正在讲解他的互补原理玻尔（左）和海森伯（中）
泡利（右）在一起
6
在玻尔研究所里学术空气很浓，
玻尔演讲后与听众踊跃讨论。
哥本哈根学派
,丹麦是我出生的地方，
是我的故乡，
是我心中的世界开始的地方。,
卢瑟福的邀请普朗克的邀请
7
§ 6.5 概率波如何对波粒二象性正确理解？
一,二象性是单个微观粒子的属性
1949年，前苏联物理学家 费格尔曼 做了一个非常精确的 弱电子流衍射实验,
电子几乎是一个一个地通过双缝，
底片上出现一个一个的点子。
（显示出电子具有粒子性）
开始时底片上的点子,无规,分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。
8
衍射图样说明每个电子到达屏上各点有一定几率，衍射图样是大量电子出现几率的 统计结果。
德布洛意波 也称为 几率波。
衍射图样不是电子相互作用的结果,来源于
,单个电子,具有的波动性。
（放映 CAI----电子双缝衍射实验）
9
对微观粒子的二象性的理解：
（ 1）粒子性
指它与物质相互作用的,颗粒性,或
,整体性,。
但不是经典的粒子！因为微观粒子没有确定的轨道，
应抛弃,轨道,的概念！
10
（ 2）波动性
指它在空间传播有,可叠加性,,
有,干涉,,,衍射,等现象。
但不是经典的波！因为它没有某种实际物理量（如质点的位移、电场、磁场）
的波动分布。
要描述微观粒子的运动，应该用一个函数
（波函数），它必须能把,颗粒性,与
,可叠加性,统一起来！
11
二,玻恩对波函数的统计诠释人们 常用?（复函数）代表微观粒子的波函数。
本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的强度）代表时刻 t、在空间
r点处，单位体积元中微观粒子出现的几率，
玻恩为了把,颗粒性,与,可叠加性,
统一起来，给了波函数一个统计诠释：
12
(r,t)*?(r,t)dv
表示在时刻 t、空间 r点处，
体积元 dv中发现微观粒子的几率。
(r,t)…… 称为,几率振幅,。
(r,t)? 2…… 称为 几率密度 。
1954年 玻恩获诺贝尔物理奖。
(r,t)? 2 =?(r,t)*?(r,t)
13
波函数应满足的条件：
（１） 自然条件,单值、有限、连续
（２） 归一化条件：
粒子在空间各点的几率总和应为 l，即 1),(*),(
)(
dVtrtr
t o t a l
（ 3） 状态叠加原理：
若体系具有一系列不同的可能状态，
1,?2···?,则它们的线性组合
=C1?1,+C2?2+··也是该体系的一个可能的状态。其中 C1,C2 ···为任意复常数。
14
对电子双缝衍射实验的说明,
只开缝 1---强度分布为 I1
只开缝 2---强度分布为 I2
电子枪 1
2
I2I1+ 分布 双缝干涉 分布电子有粒子性,一个电子只能从一个缝通过,
电子有波动性,其状态服从叠加原理,
(状态为?1,分布为1?2 )
(状态为?2,分布为2?2 )
(状态为?1 +?2,分布为1 +?2?2 )
同时开缝 1,2---分布不是 I1+ I2,而是双缝干涉分布。
15
§ 6.6 不确定关系一,不确定关系波动性使微观粒子没有确定的轨道，
即坐标和动量不能同时取确定值，
存在一个 不确定关系。
下面以电子的单缝衍射实验为例来说明 不确定关系,
16
电子沿 z方向通过狭缝后，假设全部散布在中央亮纹的范围内．
以电子的单缝衍射实验为例来说明：
衍射角?1、缝宽 a和入射波波长?间满足
a sin?1 =?
P
1
x
a
电子
Px
17
狭缝处的电子
x 坐标不确定范围,?x～ a
x 方向动量的不确定范围,可由电子能到达屏上的位置来估算?px～ p sin?1
x
h
x
h
xpappp x
1s i n
x?px～ h
对坐标 x 测量得越精确（?x 越小），
动量不确定性?px 就越大 (衍射越厉害 )。
得
18
严格的理论给出 坐标与动量的不确定关系为
x?px≥? /2
y?py≥? /2
z?pz≥? /2
★ 时间与能量的不确定关系如果对电子测量能量的时间为?t，
则测得的电子能量有不确定范围?E。
tE≥? /2
(作习题用 )
19
★ 能级宽度和能级寿命的不确定关系设原子处于某能级状态的寿命为?
（显然，测量能量 只能在此时间范围内进行，不能超过? ），
E ≥? /2
tE≥? /2
若测量能量的时间为?,则测得的能级的能量必有宽度为?E 的不确定程度，
满足关系
20
二,用不确定关系作数量级估算 （自学例题）
补例,威尔逊云室是一个充满,过饱和蒸气,
的容器。射入高速电子，可看到一条白亮的带状的痕迹 ——粒子的轨道？
测出径迹的线度～ 10-4cm，
所以电子位置的不确定程度电子动量的不确定程度为
smkgxp x /102 28
x≈10 -4cm．
21
另 测出云室中该电子的动能 T～ 108 eV，
则电子动量为（用非相对论估算）
smkgmTp /108.12 23
有 p＞＞?px
所以,坐标和动量的取值基本上可以认为是确定的，对云室问题可以使用,轨道,的概念。
电视显象管中电子的运动可以使用轨道的概念,其表现跟经典粒子一样。
氢原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念,
代之以说明电子在空间的概率分布的电子云图象。
22
微观粒子具有 波粒二象性
………… (补图 )“少女与老妇,
(不太恰当的比喻 )§ 6.7 薛定格方程一,薛定格方程描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数?
一般是空间和时间的函数，即
=?(x,y,z,t)
微观粒子在不同条件下 (例如，处于不同的外场中 )的运动状态是不同的,如何找到微观粒子在不同条件下的波函数？
23
1932年 诺贝尔物理学奖获得者为量子力学创立的贡献海森伯（ Heisenberg 德国人 1901-1976）
在波函数?所满足的方程中，应反映出微观粒子所处的不同条件 。
24
1926年，奥地利物理学家薛定格
（ Schrodinger 1887-1961）
得出的方程称为薛定格方程。
量子力学 找到微观粒子在不同条件下的波函数的方法，归结为求各种条件下薛定格方程的解。
1933年薛定格获诺贝尔物理奖 。
25
薛定格方程的非相对论形式为
),()],(
2
[),( 2
2
trtrU
m
tr
t
i
式中 m…… 粒子的质量
U…… 粒子在外力场中的势能函数（所处条件）
2…… 拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
（ 1）它是一个复数偏微分方程；
其解波函数? 是一个复函数。
（ 2）它并非推导所得，是量子力学中最基本的方程。
26
二,定态薛定格方程常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t
无关的稳定的势场问题，例如
自由运动粒子 ………… U = 0
氢原子中的电子 ……
r
e
U
2
04
1
这时波函数?可以用 分离变量法 分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。
27
例如，对于 一维 运动的情况，波函数可写成
)()(),( tfxtx
将其代入薛定格方程,得
fU
dx
d
mdt
df
i?
2
22
2
两边除以，得
U
dx
d
mdt
df
f
i 2
22
2
11 = E (常数 )
可得含变量 t和变量 x 的 两个方程,
28
一个是变量为 t的方程
E d t
f
dfi
其解为 Eti
Aef
（ A 是待定复常数，
E 有能量量纲,以后可知是粒子的总能量）
EUdxdm 2
22
2
0)(2 22
2
UEm
dx
d
即 …… （★）
……… （★）
一个是变量为 x的方程
29
22
)()(),( xextx
t
i
ψ
即此时，概率密度也可以用? (x)?2来表示，
(x)称为定态波函数，?
对势能函数 U 与时间 t 无关的一维定态问题，
只须解定态薛定格方程（★）式，再利用
（★）式即可得波函数?(x,t)。
由上面可以看出,
（★）式是 (x)满足的方程，
称为定态薛定格方程。
30
例,一维自由运动微观粒子的波函数。
其定态薛定格方程为
02 22
2
Em
dx
d
…… 二阶常系数常微分方程结合最简单的问题，介绍量子力学处理问题的最基本方法，并得出一些重要的结论。
晶体 衍射屏自由运动区
U = 0
电子枪
K
A
31
22 pmE?令
02
2
2
2
p
dx
d得它有两个特解,
xpi
e1?
xpie
2?
02 22
2
Em
dx
d
32
)xkt(itixki
t
E
i
x
p
i
11
eAeeA
eeA)t(f)x()t,x(
…… 沿 + x 方向的平面单色波
)(
)()(),(
xktitixki
t
E
ix
p
i
eAeeA
eeAtfxtx
22
…… 沿 - x 方向的平面单色波所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解,
33
§ 6,8 势阱中的粒子一,一维无限深势阱中粒子的波函数与能量金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范围 …… 称为 束缚态。
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，
即它的势能函数为
axx
ax
xU
,0
00
)(
区 区 区
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这种势场表示粒子可以在势阱中运动，
但不能越出势阱，因为
x? 0,x? a 区域的势能为无穷大。
（这是一个理想化的模型）
作为对定态薛定格方程应用的例子，我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。
按照一维定态薛定格方程
0)(2 22
2
UEm
dx
d
…… （★）
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由于在 I,III 两区的 U(x)＝?,
为保证波函数有限的物理条件，显然应
= 0; = 0
0)(2 22
2
UEm
dx
d
由于区的 U(x)= 0，因此该区薛定格方程为
02 22
2
Em
dx
d
Emk 22 2令 则 0
2
2
2
k
dx
d
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A,B…… 是由物理（自然）条件来决定的常数 (可将通解上式代入方程，以证明之 )
有限、单值 …… 自然满足．
连续 ……………？
这一方程的通解为 kxBkxA s i nc o s
022
2
k
dx
d
由于,）（处必须连续，在 000)( 1 xx
因此有 0)0(11 A?
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，）（处必须连续，在 0)( 11 aaxx又由于
0s i n)(11 kaBa?因此有
0?B因为所以必有 sin ka = 0,即 ka = n?
a
nk (n =1,2,3,…… 称为量子数 )
因此 区波函数的形式为
xanBx s i n)(11?
38
再由归一化条件 1
2
dxx?
1
2
1)(s i n 22
0
2 aBdxx
a
nBa?
a
B 2?
所以将脚标 去掉，代之以量子数 n,最后得无限深势阱内 粒子的定态波函数为 xa
n
a
xn s i n2)(?
概率密度为
)(s i n2 22 x
a
n
a
xn
39
x
a
n
a
xn s i n2)(?
因
a
nk (n =1,2,3,…… 称为量子数 )
Emk 22 2
而
2
22
2
ma2
nE
m2a
n
m2
kE 2
2
2222
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按经典理论 …… 粒子的,能量连续,；
但微观粒子 …… 束缚态能量只能取分立值
--- 能级（实验完全证实了这点）。
1。 能量只能取分立值的结论是由解薛定格方程自然而然得到的。
2。 最低能量（零点能）
———不确定关系。 0ma2E 2
22
1
3。 当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续
-------量子? 经典。
4。 当时，势阱内各处，粒子都有可能出现，
量子? 经典 （玻尔对应原理）。
注意：
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左图画出了呈驻波状的波函数,
概率密度与 x 的关系曲线。
2xn?
xn?
xanaxn s i n2)( )(s i n2 22 x
a
n
axn
