第 2章 电阻电路的等效变换
2,电阻的串、并联；
4,电压源和电流源的等效变换；
3,Y—? 变换 ;
重点：
1,电路等效的概念；
2.1 引言
电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路
分析方法
（ 1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据；
（ 2）等效变换的方法,也称化简的方法
2.2 电路的等效变换任何一个复杂的电路,向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电路为二端络网 (或一端口网络 )。
1,两端电路（网络）
无源无源一端口
2,两端电路等效的概念两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则称它们是等效的电路。
ii
B
+
-
ui C
+
-
ui
等效对 A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B A C A
明确
（ 1）电路等效变换的条件
（ 2）电路等效变换的对象
（ 3）电路等效变换的目的两电路具有相同的 VCR
未变化的外电路 A中的电压、电流和功率化简电路，方便计算
2.3 电阻的串联、并联和串并联
（ 1） 电路特点
1,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ _
R1 R n
+ _U ki + _u1 + _un
u
Rk
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
nk uuuu 1
由欧姆定律结论：
等效串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
(2) 等效电阻
u+ _
R e q
i
+ _
R1 R n
+ _U ki + _u1 + _un
u
Rk
iRiRRiRiRiRu eqnnK )( 11
k
n
k
knkeq RRRRRR
1
1
(3) 串联电阻的分压说明电压与电阻成正比，因此串连电阻电路可作分压电路
+
_
u
R1
R2
+
-u1
-
+u2
i
o
o
注意方向 !
uu
R
R
R
uRiRu
eq
k
eq
kkk
例 两个电阻的分压：
u
RR
Ru
21
1
1
u
RR
Ru
21
2
2?
(4) 功率
p1=R1i2,p2=R2i2,?,pn=Rni2
p1,p2,?,pn= R1,R2,?,Rn
总功率 p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+ Rn ) i2
=R1i2+R2i2+? +Rni2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和表明
2,电阻并联 (Parallel Connection)
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
(1) 电路特点
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
等效由 KCL,i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
=u/R1 +u/R2 + … +u/Rn=u(1/R1+1/R2+… +1/Rn)=uGeq
G =1 / R为电导
(2) 等效电阻
+
u
_
i
Req
等效电导等于并联的各电导之和
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
k
n
k
kneq GGGGGG
1
21?
keq
n
eq
eq
RRRRRGR 即1111
21
（ 3） 并联电阻的电流分配
eqeq/
/
G
G
Ru
Ru
i
i kkk
对于两电阻并联，有：
R1 R2
i1 i2
i
o
o
电流分配与电导成正比
iGGi kk
eq
21
2
21
1
1 11
1
RR
iRi
RR
Ri
)(
11
1
1
21
1
21
2
2 iiRR
iRi
RR
Ri
21
21
21
21
11
11
RR
RR
RR
RRR
eq
（ 4） 功率
p1=G1u2,p2=G2u2,?,pn=Gnu2
p1,p2,?,pn= G1,G2,?,Gn
总功率 p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+ Gn ) u2
=G1u2+G2u2+? +Gnu2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各并连电阻消耗功率的总和表明
3,电阻的串并联例电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，
这种连接方式称电阻的串并联。
计算各支路的电压和电流。
i1
+
-
i2 i3
i4 i5
18?
6?
5?
4? 12?
165V 165V
i1
+
-
i2 i3
18? 9?
5?
6?
Ai 15111 6 51 Viu 901566 12
Ai 518902
Ai 105153
Viu 601066 33
Viu 303 34
Ai 574304, Ai 5257105,,
例解 ① 用分流方法做
② 用分压方法做
RRIIII 2
312
8
1
8
1
4
1
2
1
1234
V 3412 124 UUU
RI
12
1?
V 3244 RIU
RI 2
3
4
求,I1,I4,U4
+
_ 2R2R2R2R
R RI1 I2 I3 I4
12V _U4
+
_U2
+
_U1
+
从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：
（ 1） 求出等效电阻或等效电导；
（ 2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；
（ 3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！
例
6?
15?
5?
5?
dc
b
a
求,Rab,Rcd
1261555 //)(abR
45515 //)(cdR
等效电阻针对电路的某两端而言，否则无意义。
例
60?
100?
50?
10?
ba
40?
80?
20?
求,Rab
100?
60?
ba
40?
20?100?
100?
ba
20?
60?
100?
60?
ba
120?
20?
Rab＝ 70?
例
15?
20?
b
a5?
6? 6?
7?
求,Rab
15? b
a4?
3?
7?
15?
20?
b
a5?
6?
6?
7?
15? b
a4?
10?
Rab＝ 10?
缩短无电阻支路例
ba
c
d
R
RR
R
求,Rab 对称电路 c、
d等电位
ba
c
d
R
RR
R
ba
c
d
R
RR
R
i
i1
i
i2
21 2
1 iii
iRRiiRiRiu ab )( 212121
RiuR abab
RR ab?
短路根据电流分配
2.4 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换 (?—Y 变换 )
1,电阻的?,Y连接
Y型 网络?型 网络
R12 R31
R23
1
2 3
R1
R2 R3
1
2 3
ba
c
d
R1 R2
R3 R4
包含三端网络
,Y 网络的变形：
型电路 (? 型 ) T 型电路 (Y、星 型 )
这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效
u23?
R12 R31
R23
i3?i2?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1? =i1Y,i2? =i2Y,i3? =i3Y,
u12? =u12Y,u23? =u23Y,u31? =u31Y
2,?— Y 变换的等效条件等效条件：
Y接,用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
接,用电压表示电流
i1Y+i2Y+i3Y = 0
u31Y=R3i3Y – R1i1Y
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
u23?
R12 R31
R23
i3?i2?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
(2)(1)
133221
231Y312Y
1Y RRRRRR
RuRui
133221
3Y121Y23
Y2 RRRRRR
RuRui
133221
1Y232Y31
Y3 RRRRRR
RuRui
由式 (2)解得：
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
(1)(3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)，得 Y型型的变换条件：
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
321
13
31
321
32
23
321
21
12
GGG
GG
G
GGG
GG
G
GGG
GG
G
或类似可得到由?型? Y型的变换条件：
12
2331
23313
31
1223
12232
23
3112
31121
G
GG
GGG
G
GG
GGG
G
GG
GGG
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
或简记方法：
RR 相邻电阻乘积或
Y
YΔ
GG
相邻电导乘积
变 Y Y变?
特例：若三个电阻相等 (对称 )，则有
R = 3RY
注意
(1) 等效对外部 (端钮以外 )有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
R31
R23
R12
R3
R2
R1外大内小
(3) 用于简化电路桥 T 电路 1/3k? 1/3k?
1k?
RE
1/3k?
1k?
RE
3k? 3k?
3k?
例
1k?
1k? 1k?
1k? RE
例
1? 4?
1?
+
20V 90?
9? 9?9?
9?-
1? 4?
1?
+
20V 90?
3?3?
3?
9?-
计算 90?电阻吸收的功率
1?
10?
+
20V 90?
-
i1i
109010 90101eqR
Ai 21020 /
Ai 209010 2101,
WiP 63209090 221,).(
2.5 电压源和电流源的串联和并联
1,理想电压源的串联和并联相同的电压源才能并联,
电源中的电流不确定。
o
串联
sksss uuuu 21
等效电路
+
_
uS
o+
_uS2
+
_
+
_
uS1
o
o
+
_
uS
注意参考方向
并联
uS1
+
_
+
_
I
o
o
uS2
21 sss uuu
+ _uS
+ _
i
u
RuS2+ _ + _uS1
+ _
i uR1 R2
电压源与支路的串、并联等效
RiuiRRuuiRuiRuu SSSss )()( 21212211
uS
+
_
I
任意元件 u
+
_
R uS+_
I
u
+
_
对外等效！
2,理想电流源的串联并联相同的理想电流源才能串联,每个电流源的端电压不能确定
串联
并联
iS
o
o
sksnsss iiiii 21
iS1 iS2 iSn
o
o
iS
等效电路注意参考方向
i
iS2iS1
21 sss iii
电流源与支路的串、并联等效
iS1 iS2
o
o
i
R2R1
+
_
u
RuiuRRiiRuiRuii sssss )( 21212211 11
等效电路
R
iS
o
o
iS
o
o
任意元件
u
_
+ 等效电路
iS
o
o
R
对外等效！
2.6 电压源和电流源的等效变换实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，
所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
u=uS – Ri i i =iS – Giu
i = uS/Ri – u/Ri
比较 可 得等效的条件：
iS=uS /Ri
Gi=1/Ri
i
Gi
+
u_
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
实际电压源实际电流源端口特性由电压源变换为电流源：
转换由电流源变换为电压源：
iii
ss RGRui 1,
iii
ss GRGiu 1,
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
i
Gi
+
u_
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
(2) 等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。
注意开路的电流源可以有电流流过并联电导 Gi 。
电流源短路时,并联电导 Gi中无电流。
电压源短路时，电阻中 Ri有电流；
开路的电压源中无电流流过 Ri；
iS
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反 。
(1) 变换关系 数值关系,
iSi
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
表现在利用电源转换简化电路计算。
例 1.
I=0.5A
6A
+
_U
5?
5?
10V
10V +
_U 5∥ 5?
2A 6A
U=20V
例 2.
5A 3?
4?
7?
2A
I＝？ +
_15v_
+
8v
7?
7?
I
U=?
例 3,把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
10V
10?
10V
6A
++
__
70V
10?
+
_
6V
10?
2A
6A
+
_
66V
10?
+
_
例 4.
40V10?
4?
10?2A I=?
2A
6?
30V_
++
_
40V
4?10?2A
I=?
6?
30V_
++
_
60V
10?10?
I=?
30V_
++
_
AI 5120 6030,
例 5.
注,
受控源和独立源一样可以进行电源转换；转换过程中注意不要丢失控制量。
+
_
US
+
_
R3
R2
R1
i1 ri
1
求电流 i1
R1
US
+
_
R2//R3
i1 ri1/R3
R +
_
US
+
_
i1
(R2//R3)ri1/R3
32
32
1 RR
RRRR
SURriRRRi 31321 /)//(
332
1 /)//( RrRRR
Ui S
例 6.
10V
2k?
+
_U
+500I- I
o
o
1.5k?
10V +
_U
I o
o
1k?
1k?
10V
0.5I
+
_U
o
o
I
把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
101 5 0 0
102 0 0 05 0 0
I
IIU
理想电流源的转移
iS
iS
iS
iS
iS
iS
（ 1） 把理想电流源沿着包含它所在支路的任意回路转移到该回路的其他支路中去，得到电流源和电阻的并联结构。
（ 2） 原电流源支路去掉，
转移电流源的值等于原电流源值，方向保证各结点的 KCL
方程不变。
例
1?
I=?
3A
3?
2?
2?
1A
1?
I=?
3A
3?
2?
2?
1A
3A
1A
1?
I=?
6V
3?
2? 2?
2V 2V
－
＋＋
＋
－ －
I=6/8=0.75A
理想电压源的转移
＋－ US
＋
－
US
＋US
－
＋
－
US
＋
＋
－
－
US
US
（ 1） 把理想电压源转移到邻近的支路，得到电压源和电阻的串联结构。
（ 2） 原电压源支路短接，
转移电压源的值等于原电压源值，方向保证各回路的 KVL方程不变。
例
2?
I=?
10V
2?
1?
1?
5V+
+
－
－
2?
I=?
10V
2?
1?
1?
5V
+
+
－
－
+－
10V 5V
+－
I=?
6V
2?
2/5?
+－
+－
15V
AI 75.32 5.74.02 615
例
2?
3V3?
1? 6V
+
+
－
－
2V
－
+
求图示△ 电路结构的等效 Y型电路
2?
3A
3?
1?
1A
2A
1/2?
3A
1?
1/3?
1A
2A
1/2?
3A
1?
1/3?
1A
2A
1/2?
1?1/3?
2A
1A
1/2?
1?1/3?
2A1A
1A
1/2?
1?1/3?
0.5V
－
+
+－
－
＋1/3V 2V
－ 1/6V 2.5V
2.6 输入电阻
1,定义无源
+
-
ui
输入电阻
i
u
R in?
2,计算方法
（ 1）如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串,并联和
— Y变换等方法求它的等效电阻；
（ 2）对含有受控源和电阻的两端电路，用电压、电流法求输入电阻，即在端口加电压源，求得电流，或在端口加电流源，求得电压，得其比值。
例 1.
US
+
_
R3
R2
R1
i1
计算下例一端口电路的输入电阻
R2
R3
R1
321 RRRR in //)(
有源网络先把独立源置零：电压源短路；电流源断路，再求输入电阻无源电阻网络例 2.
US
+
_
3?
i1
6? +－
6i1
U
+
_
3?
i1
6? +－
6i1
i
外加电压源
1
1
1 5.16
3 iiii
111 936 iiiU
6
51
9
1
1
i
i
i
UR
in,
例 3.
u1
+
_ 15?
0.1u1
5? +
－
i
ui1i2
11 15 iu? 112 51
10 i
ui,
121 52 iiii,
1
111
527
155255
i
iiuiu
,
.
1152 527
1
1
i
i
i
uR
in,
.
u1
+
_ 15?
5?
10?
111510 15105inR
等效例 4,求 Rab和 Rcd
2?
u1
+
_
3?
6u1
+ －
d
ca
b
+
_
u
i
111 5223 uuuu ab,/
306 62 11 /abab uuuui
abab uuu 40521,,
30iuR abab /
1
1
11 22
66 uuuuu
cd?
)(
+
_
u
i
632 11 /// uuui cd
12iuR cdcd /
6?
2,电阻的串、并联；
4,电压源和电流源的等效变换；
3,Y—? 变换 ;
重点：
1,电路等效的概念；
2.1 引言
电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路
分析方法
（ 1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据；
（ 2）等效变换的方法,也称化简的方法
2.2 电路的等效变换任何一个复杂的电路,向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电路为二端络网 (或一端口网络 )。
1,两端电路（网络）
无源无源一端口
2,两端电路等效的概念两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则称它们是等效的电路。
ii
B
+
-
ui C
+
-
ui
等效对 A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B A C A
明确
（ 1）电路等效变换的条件
（ 2）电路等效变换的对象
（ 3）电路等效变换的目的两电路具有相同的 VCR
未变化的外电路 A中的电压、电流和功率化简电路，方便计算
2.3 电阻的串联、并联和串并联
（ 1） 电路特点
1,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ _
R1 R n
+ _U ki + _u1 + _un
u
Rk
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
nk uuuu 1
由欧姆定律结论：
等效串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
(2) 等效电阻
u+ _
R e q
i
+ _
R1 R n
+ _U ki + _u1 + _un
u
Rk
iRiRRiRiRiRu eqnnK )( 11
k
n
k
knkeq RRRRRR
1
1
(3) 串联电阻的分压说明电压与电阻成正比，因此串连电阻电路可作分压电路
+
_
u
R1
R2
+
-u1
-
+u2
i
o
o
注意方向 !
uu
R
R
R
uRiRu
eq
k
eq
kkk
例 两个电阻的分压：
u
RR
Ru
21
1
1
u
RR
Ru
21
2
2?
(4) 功率
p1=R1i2,p2=R2i2,?,pn=Rni2
p1,p2,?,pn= R1,R2,?,Rn
总功率 p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+ Rn ) i2
=R1i2+R2i2+? +Rni2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和表明
2,电阻并联 (Parallel Connection)
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
(1) 电路特点
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
等效由 KCL,i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
=u/R1 +u/R2 + … +u/Rn=u(1/R1+1/R2+… +1/Rn)=uGeq
G =1 / R为电导
(2) 等效电阻
+
u
_
i
Req
等效电导等于并联的各电导之和
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
k
n
k
kneq GGGGGG
1
21?
keq
n
eq
eq
RRRRRGR 即1111
21
（ 3） 并联电阻的电流分配
eqeq/
/
G
G
Ru
Ru
i
i kkk
对于两电阻并联，有：
R1 R2
i1 i2
i
o
o
电流分配与电导成正比
iGGi kk
eq
21
2
21
1
1 11
1
RR
iRi
RR
Ri
)(
11
1
1
21
1
21
2
2 iiRR
iRi
RR
Ri
21
21
21
21
11
11
RR
RR
RR
RRR
eq
（ 4） 功率
p1=G1u2,p2=G2u2,?,pn=Gnu2
p1,p2,?,pn= G1,G2,?,Gn
总功率 p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+ Gn ) u2
=G1u2+G2u2+? +Gnu2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各并连电阻消耗功率的总和表明
3,电阻的串并联例电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，
这种连接方式称电阻的串并联。
计算各支路的电压和电流。
i1
+
-
i2 i3
i4 i5
18?
6?
5?
4? 12?
165V 165V
i1
+
-
i2 i3
18? 9?
5?
6?
Ai 15111 6 51 Viu 901566 12
Ai 518902
Ai 105153
Viu 601066 33
Viu 303 34
Ai 574304, Ai 5257105,,
例解 ① 用分流方法做
② 用分压方法做
RRIIII 2
312
8
1
8
1
4
1
2
1
1234
V 3412 124 UUU
RI
12
1?
V 3244 RIU
RI 2
3
4
求,I1,I4,U4
+
_ 2R2R2R2R
R RI1 I2 I3 I4
12V _U4
+
_U2
+
_U1
+
从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：
（ 1） 求出等效电阻或等效电导；
（ 2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；
（ 3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！
例
6?
15?
5?
5?
dc
b
a
求,Rab,Rcd
1261555 //)(abR
45515 //)(cdR
等效电阻针对电路的某两端而言，否则无意义。
例
60?
100?
50?
10?
ba
40?
80?
20?
求,Rab
100?
60?
ba
40?
20?100?
100?
ba
20?
60?
100?
60?
ba
120?
20?
Rab＝ 70?
例
15?
20?
b
a5?
6? 6?
7?
求,Rab
15? b
a4?
3?
7?
15?
20?
b
a5?
6?
6?
7?
15? b
a4?
10?
Rab＝ 10?
缩短无电阻支路例
ba
c
d
R
RR
R
求,Rab 对称电路 c、
d等电位
ba
c
d
R
RR
R
ba
c
d
R
RR
R
i
i1
i
i2
21 2
1 iii
iRRiiRiRiu ab )( 212121
RiuR abab
RR ab?
短路根据电流分配
2.4 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换 (?—Y 变换 )
1,电阻的?,Y连接
Y型 网络?型 网络
R12 R31
R23
1
2 3
R1
R2 R3
1
2 3
ba
c
d
R1 R2
R3 R4
包含三端网络
,Y 网络的变形：
型电路 (? 型 ) T 型电路 (Y、星 型 )
这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效
u23?
R12 R31
R23
i3?i2?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1? =i1Y,i2? =i2Y,i3? =i3Y,
u12? =u12Y,u23? =u23Y,u31? =u31Y
2,?— Y 变换的等效条件等效条件：
Y接,用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
接,用电压表示电流
i1Y+i2Y+i3Y = 0
u31Y=R3i3Y – R1i1Y
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
u23?
R12 R31
R23
i3?i2?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
(2)(1)
133221
231Y312Y
1Y RRRRRR
RuRui
133221
3Y121Y23
Y2 RRRRRR
RuRui
133221
1Y232Y31
Y3 RRRRRR
RuRui
由式 (2)解得：
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
(1)(3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)，得 Y型型的变换条件：
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
321
13
31
321
32
23
321
21
12
GGG
GG
G
GGG
GG
G
GGG
GG
G
或类似可得到由?型? Y型的变换条件：
12
2331
23313
31
1223
12232
23
3112
31121
G
GG
GGG
G
GG
GGG
G
GG
GGG
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
或简记方法：
RR 相邻电阻乘积或
Y
YΔ
GG
相邻电导乘积
变 Y Y变?
特例：若三个电阻相等 (对称 )，则有
R = 3RY
注意
(1) 等效对外部 (端钮以外 )有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
R31
R23
R12
R3
R2
R1外大内小
(3) 用于简化电路桥 T 电路 1/3k? 1/3k?
1k?
RE
1/3k?
1k?
RE
3k? 3k?
3k?
例
1k?
1k? 1k?
1k? RE
例
1? 4?
1?
+
20V 90?
9? 9?9?
9?-
1? 4?
1?
+
20V 90?
3?3?
3?
9?-
计算 90?电阻吸收的功率
1?
10?
+
20V 90?
-
i1i
109010 90101eqR
Ai 21020 /
Ai 209010 2101,
WiP 63209090 221,).(
2.5 电压源和电流源的串联和并联
1,理想电压源的串联和并联相同的电压源才能并联,
电源中的电流不确定。
o
串联
sksss uuuu 21
等效电路
+
_
uS
o+
_uS2
+
_
+
_
uS1
o
o
+
_
uS
注意参考方向
并联
uS1
+
_
+
_
I
o
o
uS2
21 sss uuu
+ _uS
+ _
i
u
RuS2+ _ + _uS1
+ _
i uR1 R2
电压源与支路的串、并联等效
RiuiRRuuiRuiRuu SSSss )()( 21212211
uS
+
_
I
任意元件 u
+
_
R uS+_
I
u
+
_
对外等效！
2,理想电流源的串联并联相同的理想电流源才能串联,每个电流源的端电压不能确定
串联
并联
iS
o
o
sksnsss iiiii 21
iS1 iS2 iSn
o
o
iS
等效电路注意参考方向
i
iS2iS1
21 sss iii
电流源与支路的串、并联等效
iS1 iS2
o
o
i
R2R1
+
_
u
RuiuRRiiRuiRuii sssss )( 21212211 11
等效电路
R
iS
o
o
iS
o
o
任意元件
u
_
+ 等效电路
iS
o
o
R
对外等效！
2.6 电压源和电流源的等效变换实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，
所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
u=uS – Ri i i =iS – Giu
i = uS/Ri – u/Ri
比较 可 得等效的条件：
iS=uS /Ri
Gi=1/Ri
i
Gi
+
u_
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
实际电压源实际电流源端口特性由电压源变换为电流源：
转换由电流源变换为电压源：
iii
ss RGRui 1,
iii
ss GRGiu 1,
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
i
Gi
+
u_
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
(2) 等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。
注意开路的电流源可以有电流流过并联电导 Gi 。
电流源短路时,并联电导 Gi中无电流。
电压源短路时，电阻中 Ri有电流；
开路的电压源中无电流流过 Ri；
iS
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反 。
(1) 变换关系 数值关系,
iSi
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
表现在利用电源转换简化电路计算。
例 1.
I=0.5A
6A
+
_U
5?
5?
10V
10V +
_U 5∥ 5?
2A 6A
U=20V
例 2.
5A 3?
4?
7?
2A
I＝？ +
_15v_
+
8v
7?
7?
I
U=?
例 3,把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
10V
10?
10V
6A
++
__
70V
10?
+
_
6V
10?
2A
6A
+
_
66V
10?
+
_
例 4.
40V10?
4?
10?2A I=?
2A
6?
30V_
++
_
40V
4?10?2A
I=?
6?
30V_
++
_
60V
10?10?
I=?
30V_
++
_
AI 5120 6030,
例 5.
注,
受控源和独立源一样可以进行电源转换；转换过程中注意不要丢失控制量。
+
_
US
+
_
R3
R2
R1
i1 ri
1
求电流 i1
R1
US
+
_
R2//R3
i1 ri1/R3
R +
_
US
+
_
i1
(R2//R3)ri1/R3
32
32
1 RR
RRRR
SURriRRRi 31321 /)//(
332
1 /)//( RrRRR
Ui S
例 6.
10V
2k?
+
_U
+500I- I
o
o
1.5k?
10V +
_U
I o
o
1k?
1k?
10V
0.5I
+
_U
o
o
I
把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
101 5 0 0
102 0 0 05 0 0
I
IIU
理想电流源的转移
iS
iS
iS
iS
iS
iS
（ 1） 把理想电流源沿着包含它所在支路的任意回路转移到该回路的其他支路中去，得到电流源和电阻的并联结构。
（ 2） 原电流源支路去掉，
转移电流源的值等于原电流源值，方向保证各结点的 KCL
方程不变。
例
1?
I=?
3A
3?
2?
2?
1A
1?
I=?
3A
3?
2?
2?
1A
3A
1A
1?
I=?
6V
3?
2? 2?
2V 2V
－
＋＋
＋
－ －
I=6/8=0.75A
理想电压源的转移
＋－ US
＋
－
US
＋US
－
＋
－
US
＋
＋
－
－
US
US
（ 1） 把理想电压源转移到邻近的支路，得到电压源和电阻的串联结构。
（ 2） 原电压源支路短接，
转移电压源的值等于原电压源值，方向保证各回路的 KVL方程不变。
例
2?
I=?
10V
2?
1?
1?
5V+
+
－
－
2?
I=?
10V
2?
1?
1?
5V
+
+
－
－
+－
10V 5V
+－
I=?
6V
2?
2/5?
+－
+－
15V
AI 75.32 5.74.02 615
例
2?
3V3?
1? 6V
+
+
－
－
2V
－
+
求图示△ 电路结构的等效 Y型电路
2?
3A
3?
1?
1A
2A
1/2?
3A
1?
1/3?
1A
2A
1/2?
3A
1?
1/3?
1A
2A
1/2?
1?1/3?
2A
1A
1/2?
1?1/3?
2A1A
1A
1/2?
1?1/3?
0.5V
－
+
+－
－
＋1/3V 2V
－ 1/6V 2.5V
2.6 输入电阻
1,定义无源
+
-
ui
输入电阻
i
u
R in?
2,计算方法
（ 1）如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串,并联和
— Y变换等方法求它的等效电阻；
（ 2）对含有受控源和电阻的两端电路，用电压、电流法求输入电阻，即在端口加电压源，求得电流，或在端口加电流源，求得电压，得其比值。
例 1.
US
+
_
R3
R2
R1
i1
计算下例一端口电路的输入电阻
R2
R3
R1
321 RRRR in //)(
有源网络先把独立源置零：电压源短路；电流源断路，再求输入电阻无源电阻网络例 2.
US
+
_
3?
i1
6? +－
6i1
U
+
_
3?
i1
6? +－
6i1
i
外加电压源
1
1
1 5.16
3 iiii
111 936 iiiU
6
51
9
1
1
i
i
i
UR
in,
例 3.
u1
+
_ 15?
0.1u1
5? +
－
i
ui1i2
11 15 iu? 112 51
10 i
ui,
121 52 iiii,
1
111
527
155255
i
iiuiu
,
.
1152 527
1
1
i
i
i
uR
in,
.
u1
+
_ 15?
5?
10?
111510 15105inR
等效例 4,求 Rab和 Rcd
2?
u1
+
_
3?
6u1
+ －
d
ca
b
+
_
u
i
111 5223 uuuu ab,/
306 62 11 /abab uuuui
abab uuu 40521,,
30iuR abab /
1
1
11 22
66 uuuuu
cd?
)(
+
_
u
i
632 11 /// uuui cd
12iuR cdcd /
6?
