第 7章 二阶电路
2,二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念；
3,阶跃响应和冲激响应的概念 ;
重点：
1,用经典法分析二阶电路的过渡过程；
7.1 二阶电路的零输入响应
uc(0+)=U0 i(0+)=0
0
2
ccc udtduRCdt udLC
012 R CPLCP
L
CLRRP
2
/42
LCL
R
L
R 1)
2(2
2
已知：
1,二阶电路的零输入响应
R
L
C
+
-
i
uc
特征根：
特征方程：
电路方程：
2,零状态响应的三种情况二个不等负实根 2 CLR?
二个相等负实根 2 CLR?
二个共轭复根 2 CLR?
L
CLRRP
2
/42
过阻尼临界阻尼欠阻尼
2 )1( CLR? tptpc eAeAu 21 21
0210)0( UAAUu c
0
)0()0(
2211
APAP
dt
du
Ci c
0
12
1
2
0
12
2
1
U
PP
P
A
U
PP
P
A
)( 21 12
12
0 tPtP
c ePePPP
Uu?
)( 21 12
12
0 tt
c
PP ePeP
PP
Uu?
U0
t
uc tPe
PP
UP 1
12
02
tPe
PP
UP 2
12
01
设 |P2|>|P1|
)()( 21
12
0 ttcc pp ee
PPL
U
dt
duCi?
t=0+ ic=0,t=? i c=0
ic>0 t = tm 时 ic 最大
t
U0 uc
tm 2tm
uL
ic
0< t < tm i增加,uL>0
t > tm i减小,uL <0
t=2 tm时 uL 最大
)()( 21 21
12
0 ttL pp ePeP
PP
U
dt
diLu?
)( 21 12
12
0 ttc PP ePeP
PP
Uu?
0,,0 0 LL utUut
iC为极值时的 tm即 uL=0时的 t,计算如下,
0)( 21 21 tt pp ePeP
21
1
2
pp
p
p
n
t m
由 duL/dt可确定 uL为极小时的 t,
0)( 21 2221 tptp ePeP
mtt 2?
)()( 21 21
12
0 ttL pp ePeP
PP
U
dt
diLu?
21
1
22
pp
p
p
n
t
m
m
tP
tP
e
e
P
P
2
1
1
2?
能量转换关系
R
LC
+
-
R
LC
+
-
t
U0 uc
tm 2tm
uL
ic
0 < t < tm uc减小,i 增加。 t > tm uc减小,i 减小,
2 )2( CLR?
特征根为一对共轭复根
LCL
R
L
RP 1)
2(2
2
jP
)(
1
)(
2
0 谐振角频率衰减系数令：
LC
L
R
)(
220
固有振荡角频率则
uc的解答形式：
)( 21)(21 21 tjtjttptpc eAeAeeAeAu
经常写为：
)s in ( tAeu tc
A,?为待定常数
0c o ss i n)(0)0(
s i n)0( 00
AA
dt
du
UAUu
c
c
由初始条件
a r c t g
UA,
s i n
0
ω,ω０,δ间的关系,
0
s in
0
0 UA
δ
ωω0
)s i n( 00
teUu t
c
)s i n( 00 teUu tc
弦函数。为包线依指数衰减的正是其振幅以 00 Uu c
t=0时 uc=U0
uc零点,?t =?-?,2?-?,.,n?-?
uc极值点,?t =0,?,2?,.,n?
t?-? 2?-? 20
U0
uc teU?
0
0
teU?
0
0
t?-? 2?-? 20
U0
uc
ic
teLUdtduCi tcc s i n 0
)s i n( 00 teUdtdiLu tL
uL零点,?t =?,?+?,2?+?,.,n?+?
ic零点,?t =0,?,2?,.,n?，
ic极值点为 uL零点。
能量转换关系：
0 <?t <<?t <?--? <?t <?
t?-? 2?-? 20
U0
uc
ic
R
LC
+
-
R
LC
+
-
R
LC
+
-
特例,R=0时
2
1 0
0
,，则
LC
t
L
U
i
utUu Lc
s i n
)90s i n (
0
0
0
等幅振荡
t
LC
+
-
2 )3( CLR?
LRPP 221
ttc teAeAu 2 1
0)(0)0(
)0(
21
010
AA
dt
du
UAUu
c
c
由初始条件解出：
02
01
UA
UA
非振荡放电
) 1(
) 1(
0
0
0
teU
dt
di
Lu
te
L
U
dt
du
ci
teUu
t
L
tc
c
t
c
小结：
非振荡放电过阻尼,2 CLR? tptpc eAeAu 21 21
振荡放电欠阻尼,2 CLR? )si n ( tAeu tc
非振荡放电临界阻尼,2 CLR? ttc teAeAu 2 1
定常数?
)0(
)0(
dt
du
u
c
c
由初始条件可推广应用于一般二阶电路电路如图,t=0时打开开关。
求 uc,并画出其变化曲线。
解 （ 1） uc(0－ )=25V
iL(0－ )=5A
特征方程为,50P2+2500P+106=0
13 925 jP
例 1.
5Ω
μ F
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
100
50V
+
-uc
+ -
0LC
2
ccc u
dt
duRC
dt
ud
)139s i n (25 tAeu tc
iL
（ 2）开关打开为 RLC串联电路，方程为：
)139s i n (25 tAeu tc
(3)
5
25)0(
dt
du
c
u
c
c
410
5s i n25c o s1 3 9
25s i n
A
0176 355，A
Vteu tc )1 761 39si n (3 55 025
t0
uc
355
25
例 2
u2u
1 ku1
i2 i3
i1
R C
R
C
A
左图为 RC振荡电路，
讨论 k取不同值时 u2的零输入响应。
节点 A列写 KCL有,dt
duc
R
ui 11
1
12
1111 )(1)( uudt
dt
duC
R
u
Cdt
duC
R
uRKVL有：
01)3( 2212 1
2
CRdtduRC kdt ud两边微分整理得：
特征方程为,0
13
22
2
CRPRC
kP
01)3( 2212 1
2
CRdtduRC kdt ud
22 )1()
2
3(
2
3
RCRC
k
RC
kP
特征根为：
RCRC
k 1,
2
3
0?
令
202P则数时特征根为一对共轭复2 0 2 )1(
22 )1( )
2
3(
RCRC
k
|3 - k| < 2,1 < k < 5为振荡情况
)s i n( 1 tAeu t
1< k < 3? > 0 衰减振荡
3< k < 5? < 0 增幅振荡
k = 3? = 0 等幅振荡时特征根为两个负实根2 02 )2(
时为非振荡情况和即 5 1 23 kkk
7.2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
1,零状态响应 uc(0－ )=0,iL(0－ )=0
微分方程为：
EudtduRCdt ud ccc
2
LC
"' ccc uuu
特解通解特解,Eu c?"
求通解的特征方程为；
012 RCPL C P
R L
C
+
-
uC
iL
e(t)E
)( 2121 21 ppeAeAEu tptpc
) ( 21 2 1 PPteAeAEu ttc
)( )si n ( 21 jPtAeEu tc,
uc解答形式为：
确定二个常数由初值
)0(
)0(
dt
du
u
c
c
t
uc
E
例 求所示电路 i 的零状态响应。
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)?2 = 2i － 2
由 KVL,idt
didtiii 262)2(2
11
整理得,121282
2
idtdidt id 二阶非齐次常微分方程第一步列写微分方程2-i
i1
+u
1-
0.5 u1
2W 1/6F 1Hk
2W
2W2A i
解第二步求通解 i ‘
特征根为,P1= － 2,P2 = － 6
"' iii解答形式为：
121282
2
idtdidt id
第三步求特解 i”
+
u1
-
0.5u1
2W2W
i
2A
稳态模型由稳态模型有,i = 0.5 u1 u1=2(2－ 0.5u1)
i=1A
tt eAeAi 6221'
u1=2
第四步定常数
tt eAeAi 62211
由 0+电路模型：
)0()0(
0)0()0(
Ludt
di
L
ii
Vuu L 82225.0)0( 1
21
21
628
10
AA
AA
5.1
5.0
2
1
A
A
A 5.15.01 62 tt eei
+u
1-
0.5 u1
2W 1/6F 1Hk
2W
2W2A i
＋
－
)0(?Lu
有限值 有限值定量分析，方程为,
t 在 0－ 至 0＋ 间
)(2
2
tudtduRCdt udLC ccc
0
0
0
0
0
0
0
0 2
2
)( dttdtudt
dt
duRCdt
dt
udLC
c
cc?
100 2
2
dtdt udLC c 1)0()0( dtduLCdtduLC cc
7.3 二阶电路的冲激响应
R L
C
+
-
+
-
uC
iR
(t)
1)0()0( dtduLCdtduLC cc
Lii CL
1)0()0(
t>0+为零输入响应 02
2
ccc udtduRCdt udLC
2 CLR? tptpc eAeAu 21 21
LC
PAPA
AA
1
0
2211
21
12
12
1
PP
LCAA
2 CLR?
)()s i n(1 tteLCu tc e
)s i n ( tAeu tc
)( 21 jP、
)()()( 1 21
12
teePPLCu tptpc e
7.4 二阶电路的全响应已知,iL(0)=2A uc(0)=0
求,iL,iR 。
(1) 列微分方程
502
2
LL RidtdiLdt idRLC
(2)求特解
R
L C
iR
iL iC
50 V
50 W
μ F
1000.5H
0
50L
2
2
dt
idLCi
R
dt
di
L
L节点法：
AiL 1"?
解
(3)求通解
02 0 0 0 02 0 02 PP
特征根为,P= -100?j100
)100s i n (1 100 tAei t
502
2
LL Ri
dt
diL
dt
idR LC
(4)定常数
)0( 0s i n1 0 0c o s1 0 0
)0( 2s i n1
L
L
uAA
iA
2
45
A
)45 1 0 0s i n (21 100 tei tL
特征方程为：
(5)求 iR
)1 0 0s i n (1 100 tAei tR或设解答形式为：
定常数
)0(
1)0( 1)0(
dt
di
ii
R
CR
R
ui c
R
50
200)0(1)0(1)0( ccR iRCdtduRdtdi
CLR iii
R
L C
iR
iL iC
50 V
50 W
μ F
1000.5H
2
2
d
d
t
iLCi L
L
R iR
iC50 V
50W
2A
2 0 0s i n1 0 0c o s1 0 0
1s i n1
AA
A
2
0
A
)1 0 0s i n(1 100 tAei tR
小结：
(1)二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。
(2)二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。
非振荡放电过阻尼,0 tptpc eAeAu 21 21
振荡放电欠阻尼,0
非振荡放电临界阻尼,0 ttc teAeAu 2 1
202p
)s in ( tAeu tc
(3)求二阶电路全响应的步骤
(a)列写 t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应 =强制分量 +自由分量 定常数由初值
)0(
)0(
)(
dt
df
f
e
2,二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念；
3,阶跃响应和冲激响应的概念 ;
重点：
1,用经典法分析二阶电路的过渡过程；
7.1 二阶电路的零输入响应
uc(0+)=U0 i(0+)=0
0
2
ccc udtduRCdt udLC
012 R CPLCP
L
CLRRP
2
/42
LCL
R
L
R 1)
2(2
2
已知：
1,二阶电路的零输入响应
R
L
C
+
-
i
uc
特征根：
特征方程：
电路方程：
2,零状态响应的三种情况二个不等负实根 2 CLR?
二个相等负实根 2 CLR?
二个共轭复根 2 CLR?
L
CLRRP
2
/42
过阻尼临界阻尼欠阻尼
2 )1( CLR? tptpc eAeAu 21 21
0210)0( UAAUu c
0
)0()0(
2211
APAP
dt
du
Ci c
0
12
1
2
0
12
2
1
U
PP
P
A
U
PP
P
A
)( 21 12
12
0 tPtP
c ePePPP
Uu?
)( 21 12
12
0 tt
c
PP ePeP
PP
Uu?
U0
t
uc tPe
PP
UP 1
12
02
tPe
PP
UP 2
12
01
设 |P2|>|P1|
)()( 21
12
0 ttcc pp ee
PPL
U
dt
duCi?
t=0+ ic=0,t=? i c=0
ic>0 t = tm 时 ic 最大
t
U0 uc
tm 2tm
uL
ic
0< t < tm i增加,uL>0
t > tm i减小,uL <0
t=2 tm时 uL 最大
)()( 21 21
12
0 ttL pp ePeP
PP
U
dt
diLu?
)( 21 12
12
0 ttc PP ePeP
PP
Uu?
0,,0 0 LL utUut
iC为极值时的 tm即 uL=0时的 t,计算如下,
0)( 21 21 tt pp ePeP
21
1
2
pp
p
p
n
t m
由 duL/dt可确定 uL为极小时的 t,
0)( 21 2221 tptp ePeP
mtt 2?
)()( 21 21
12
0 ttL pp ePeP
PP
U
dt
diLu?
21
1
22
pp
p
p
n
t
m
m
tP
tP
e
e
P
P
2
1
1
2?
能量转换关系
R
LC
+
-
R
LC
+
-
t
U0 uc
tm 2tm
uL
ic
0 < t < tm uc减小,i 增加。 t > tm uc减小,i 减小,
2 )2( CLR?
特征根为一对共轭复根
LCL
R
L
RP 1)
2(2
2
jP
)(
1
)(
2
0 谐振角频率衰减系数令：
LC
L
R
)(
220
固有振荡角频率则
uc的解答形式：
)( 21)(21 21 tjtjttptpc eAeAeeAeAu
经常写为：
)s in ( tAeu tc
A,?为待定常数
0c o ss i n)(0)0(
s i n)0( 00
AA
dt
du
UAUu
c
c
由初始条件
a r c t g
UA,
s i n
0
ω,ω０,δ间的关系,
0
s in
0
0 UA
δ
ωω0
)s i n( 00
teUu t
c
)s i n( 00 teUu tc
弦函数。为包线依指数衰减的正是其振幅以 00 Uu c
t=0时 uc=U0
uc零点,?t =?-?,2?-?,.,n?-?
uc极值点,?t =0,?,2?,.,n?
t?-? 2?-? 20
U0
uc teU?
0
0
teU?
0
0
t?-? 2?-? 20
U0
uc
ic
teLUdtduCi tcc s i n 0
)s i n( 00 teUdtdiLu tL
uL零点,?t =?,?+?,2?+?,.,n?+?
ic零点,?t =0,?,2?,.,n?，
ic极值点为 uL零点。
能量转换关系：
0 <?t <<?t <?--? <?t <?
t?-? 2?-? 20
U0
uc
ic
R
LC
+
-
R
LC
+
-
R
LC
+
-
特例,R=0时
2
1 0
0
,，则
LC
t
L
U
i
utUu Lc
s i n
)90s i n (
0
0
0
等幅振荡
t
LC
+
-
2 )3( CLR?
LRPP 221
ttc teAeAu 2 1
0)(0)0(
)0(
21
010
AA
dt
du
UAUu
c
c
由初始条件解出：
02
01
UA
UA
非振荡放电
) 1(
) 1(
0
0
0
teU
dt
di
Lu
te
L
U
dt
du
ci
teUu
t
L
tc
c
t
c
小结：
非振荡放电过阻尼,2 CLR? tptpc eAeAu 21 21
振荡放电欠阻尼,2 CLR? )si n ( tAeu tc
非振荡放电临界阻尼,2 CLR? ttc teAeAu 2 1
定常数?
)0(
)0(
dt
du
u
c
c
由初始条件可推广应用于一般二阶电路电路如图,t=0时打开开关。
求 uc,并画出其变化曲线。
解 （ 1） uc(0－ )=25V
iL(0－ )=5A
特征方程为,50P2+2500P+106=0
13 925 jP
例 1.
5Ω
μ F
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
100
50V
+
-uc
+ -
0LC
2
ccc u
dt
duRC
dt
ud
)139s i n (25 tAeu tc
iL
（ 2）开关打开为 RLC串联电路，方程为：
)139s i n (25 tAeu tc
(3)
5
25)0(
dt
du
c
u
c
c
410
5s i n25c o s1 3 9
25s i n
A
0176 355，A
Vteu tc )1 761 39si n (3 55 025
t0
uc
355
25
例 2
u2u
1 ku1
i2 i3
i1
R C
R
C
A
左图为 RC振荡电路，
讨论 k取不同值时 u2的零输入响应。
节点 A列写 KCL有,dt
duc
R
ui 11
1
12
1111 )(1)( uudt
dt
duC
R
u
Cdt
duC
R
uRKVL有：
01)3( 2212 1
2
CRdtduRC kdt ud两边微分整理得：
特征方程为,0
13
22
2
CRPRC
kP
01)3( 2212 1
2
CRdtduRC kdt ud
22 )1()
2
3(
2
3
RCRC
k
RC
kP
特征根为：
RCRC
k 1,
2
3
0?
令
202P则数时特征根为一对共轭复2 0 2 )1(
22 )1( )
2
3(
RCRC
k
|3 - k| < 2,1 < k < 5为振荡情况
)s i n( 1 tAeu t
1< k < 3? > 0 衰减振荡
3< k < 5? < 0 增幅振荡
k = 3? = 0 等幅振荡时特征根为两个负实根2 02 )2(
时为非振荡情况和即 5 1 23 kkk
7.2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
1,零状态响应 uc(0－ )=0,iL(0－ )=0
微分方程为：
EudtduRCdt ud ccc
2
LC
"' ccc uuu
特解通解特解,Eu c?"
求通解的特征方程为；
012 RCPL C P
R L
C
+
-
uC
iL
e(t)E
)( 2121 21 ppeAeAEu tptpc
) ( 21 2 1 PPteAeAEu ttc
)( )si n ( 21 jPtAeEu tc,
uc解答形式为：
确定二个常数由初值
)0(
)0(
dt
du
u
c
c
t
uc
E
例 求所示电路 i 的零状态响应。
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)?2 = 2i － 2
由 KVL,idt
didtiii 262)2(2
11
整理得,121282
2
idtdidt id 二阶非齐次常微分方程第一步列写微分方程2-i
i1
+u
1-
0.5 u1
2W 1/6F 1Hk
2W
2W2A i
解第二步求通解 i ‘
特征根为,P1= － 2,P2 = － 6
"' iii解答形式为：
121282
2
idtdidt id
第三步求特解 i”
+
u1
-
0.5u1
2W2W
i
2A
稳态模型由稳态模型有,i = 0.5 u1 u1=2(2－ 0.5u1)
i=1A
tt eAeAi 6221'
u1=2
第四步定常数
tt eAeAi 62211
由 0+电路模型：
)0()0(
0)0()0(
Ludt
di
L
ii
Vuu L 82225.0)0( 1
21
21
628
10
AA
AA
5.1
5.0
2
1
A
A
A 5.15.01 62 tt eei
+u
1-
0.5 u1
2W 1/6F 1Hk
2W
2W2A i
＋
－
)0(?Lu
有限值 有限值定量分析，方程为,
t 在 0－ 至 0＋ 间
)(2
2
tudtduRCdt udLC ccc
0
0
0
0
0
0
0
0 2
2
)( dttdtudt
dt
duRCdt
dt
udLC
c
cc?
100 2
2
dtdt udLC c 1)0()0( dtduLCdtduLC cc
7.3 二阶电路的冲激响应
R L
C
+
-
+
-
uC
iR
(t)
1)0()0( dtduLCdtduLC cc
Lii CL
1)0()0(
t>0+为零输入响应 02
2
ccc udtduRCdt udLC
2 CLR? tptpc eAeAu 21 21
LC
PAPA
AA
1
0
2211
21
12
12
1
PP
LCAA
2 CLR?
)()s i n(1 tteLCu tc e
)s i n ( tAeu tc
)( 21 jP、
)()()( 1 21
12
teePPLCu tptpc e
7.4 二阶电路的全响应已知,iL(0)=2A uc(0)=0
求,iL,iR 。
(1) 列微分方程
502
2
LL RidtdiLdt idRLC
(2)求特解
R
L C
iR
iL iC
50 V
50 W
μ F
1000.5H
0
50L
2
2
dt
idLCi
R
dt
di
L
L节点法：
AiL 1"?
解
(3)求通解
02 0 0 0 02 0 02 PP
特征根为,P= -100?j100
)100s i n (1 100 tAei t
502
2
LL Ri
dt
diL
dt
idR LC
(4)定常数
)0( 0s i n1 0 0c o s1 0 0
)0( 2s i n1
L
L
uAA
iA
2
45
A
)45 1 0 0s i n (21 100 tei tL
特征方程为：
(5)求 iR
)1 0 0s i n (1 100 tAei tR或设解答形式为：
定常数
)0(
1)0( 1)0(
dt
di
ii
R
CR
R
ui c
R
50
200)0(1)0(1)0( ccR iRCdtduRdtdi
CLR iii
R
L C
iR
iL iC
50 V
50 W
μ F
1000.5H
2
2
d
d
t
iLCi L
L
R iR
iC50 V
50W
2A
2 0 0s i n1 0 0c o s1 0 0
1s i n1
AA
A
2
0
A
)1 0 0s i n(1 100 tAei tR
小结：
(1)二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。
(2)二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。
非振荡放电过阻尼,0 tptpc eAeAu 21 21
振荡放电欠阻尼,0
非振荡放电临界阻尼,0 ttc teAeAu 2 1
202p
)s in ( tAeu tc
(3)求二阶电路全响应的步骤
(a)列写 t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应 =强制分量 +自由分量 定常数由初值
)0(
)0(
)(
dt
df
f
e
