第六章 一阶电路
2,一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；
重点
4,一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
3,稳态分量、暂态分量求解；
1,动态电路方程的建立及初始条件的确定；
含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。
特点：
1,动态电路
6.1 动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
例
+
-
us
R1
R2
（ t=0）i
0 t
i
2/ RUi S?
)( 21 RRUi S
过渡期为零电阻电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
K
+
–
uCUs R C
i(t = 0)
K接通电源后很长时间,电容充电完毕，电路达到新的稳定状态
+
–
uCUs R C
i(t →?)
初始状态过渡状态新稳态t1
USuc
t0
iR
US
有一过渡期电容电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uL = 0
uL= 0,i=Us /R
K接通电源后很长时间,电路达到新的稳定状态，电感视为短路初始状态过渡状态新稳态t1
US/Ri
t0
ULSU
有一过渡期
K
+
–
uLUs R L
i(t = 0)
+
–
uLUs R L
i(t →?)
电感电路过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件 L,C,电路在换路时能量发生变化，而 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
t
wp
电路结构、状态发生变化换路 支路接入或断开电路参数变化
2,动态电路的方程
Sc
c Uu
td
duRC
+
–
uCUs R C
i(t >0)
Sc UuRi
应用 KVL和元件的 VCA得：
+
–
uLUs R L
i(t >0)
SL UuRi
SUtd
diLRi
有源电阻电路一个动态元件一阶电路
+
–
uLUS R L
i(t >0)
C
uC＋－
＋
－
Sc
cc Uu
td
duRC
dt
udLC
2
2
ScL UuuRi
二阶电路一阶电路 描述电路的方程是一阶微分方程。
一阶电路中只有一个动态元件。
稳态分析和动态分析的区别稳态 动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的一般解任意激励
（ 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：
（ 2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
复频域分析法时域分析法动态电路的分析方法
0)(011
1
1
ttexadt
dxa
dt
xda
dt
xda
n
n
nn
n
n?
建立微分方程：
经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用
(1) t = 0＋ 与 t = 0－ 的概念认为换路在 t=0时刻进行
0－ 换路前一瞬间
0＋ 换路后一瞬间
3,电路的初始条件
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
初始条件为 t = 0＋ 时 u,i 及其各阶导数的值
0－ 0＋0
t
f(t)
)0()0( ff
)0()0( ff
图示为电容放电电路，电容原先带有电压 Uo,
求开关闭合后电容电压随时间的变化。
例
R
－
+
C
i
uC
(t=0)
解
0 cc utdduRC
)0( 0 tuRi c
特征根方程,01RCp RCp 1
得通解：
oUk?
RC
t
pt
c keketu
)(
代入初始条件得,RC
t
oc eUtu
)(
说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。
d)(1)(?
tC iCtu
d)(1d)(1
0
0
t i
CiC
d)(1)0(
0
tC iCu
t = 0+时刻 d)(1)0()0( 0
0?
i
Cuu CC
当 i(?)为有限值时
i u
c C
+
-
q (0+) = q (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
(2) 电容的初始条件
0
q=C uC
电荷守恒结论
d)(1)( tL uLti
d))(1d)(1
0
0
t u
LuL
du
L
ii LL )(1)0()0(
0
0?
当 u为有限值时
L(0＋ )=?L(0－ )
iL(0＋ )= iL(0－ )
i u L+
-
L
(3) 电感的初始条件
t = 0+时刻
0 duLi
t
L )(
1)0(
0
LLi
磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
结论
L(0+)=?L(0－ )
iL(0+)= iL(0－ )
qc (0+) = qc (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
（ 4）换路定律
（ 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意,
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
（ 2）换路定律反映了能量不能跃变。
5.电路初始值的确定
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0－ )=8V
+
- 10V
i
iC
+
8V
-
10k
0+等效电路
mA2.010 810)0(Ci
(1) 由 0－ 电路求 uC(0－ )或 iL(0－ )
+
- 10V
+
uC
-
10k40k
uC(0－ )=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+)
iC(0－ -)=0 iC(0+)
例 1 求 iC(0+)
+
- 10V
i i
C +u
C
-k
10k
40k
电容开路电容用 电压源 替代
0)0( 0)0( LL uu
iL(0+)= iL(0－ ) =2A
Vu L 842)0(
例 2 t = 0时闭合开关 k,求 uL(0+)
iL
+
uL
-
L
10V
K
1? 4?
+
uL
-10V
1? 4?
0+电路
2A
先求
Ai L 241 10)0(
由换路定律,
电感用 电流源 替代
)0(?Li
10V
1? 4?
解电感短路求初始值的步骤,
1,由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0－ )和 iL(0－ )；
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3,画 0+等效电路。
4,由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b,电容（电感）用电压源（电流源）替代。
a,换路后的电路
（取 0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。
iL(0+) = iL(0－ ) = IS
uC(0+) = uC(0－ ) = RIS
uL(0+)= - RIS
求 iC(0+),uL(0+)
0)0( RRIIi SsC
例 3
K(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
RIS
iC
解
0+电路
uL+ – iC
R
IS
R IS
+
–
0－ 电路RIS
由 0－ 电路得：
由 0＋ 电路得：
Vuu CC 24122)0()0(
Aii LL 124/48)0()0(
例 3
iL
+
uL
-
LK
2?
+
-
48V
3?
2?
C
求 K闭合瞬间各支路电流和电感电压解 由 0－ 电路得：
12A 24V
+
-
48V
3?
2?
+
-
i i
C
+
-
uL
由 0+电路得：
Ai C 83/)2448()0(
Ai 20812)0(
Vu L 2412248)0(
iL
2?+
-
48V
3?
2? +
－
uC
例 4 求 K闭合瞬间流过它的电流值。
iL
+
200V
-
L
K
100?
+ uC
100? 100?
C
－
解 （ 1）确定 0－ 值
Aii LL 12 0 02 0 0)0()0(
Vuu CC 1 0 0)0()0(
（ 2）给出 0＋ 等效电路
Ai k 211 0 01 0 01 0 02 0 0)0(
1A
+
200V
-
100?
+100V
100? 100?
－
ki
+ uL －
iC
Viu LL 1 0 01 0 0)0()0(
Aui CC 11 0 0/)0()0(
6.2 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。
1,RC电路的零输入响应 已知 uC (0－ )=U0
iK(t=0)
+
–
uRC +
–
uC R
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
RC
p 1特征根特征方程 RCp+1=0
tRCe 1 Apt
C eu A?
则
0 CR uu
t
uCi C
d
d
uR= Ri
零输入响应代入初始值 uC (0+)=uC(0－ )=U0
A=U0
000
teIe
R
U
R
ui RC tRC tC
0
0
teUu RC
t
c
tRC
c Aeu
1?
RC
t
RC
t
C e
R
U
RCeCUt
uCi 0
0 )
1(
d
d 或
t
U0 uC
0
I0
t
i
0
令? =RC,称?为一阶电路的时间常数
秒伏安秒欧伏库欧法欧
RC?
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
从以上各式可以得出：
连续函数跃变
（ 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC有关；
时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
= R C
大 → 过渡过程时间长
小 → 过渡过程时间短电压初值一定：
R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小放电时间长
U0
t
uc
0?小
大
C 大（ R一定） W=Cu2/2 储能大
11
RCp
物理含义工程上认为,经过 3?－ 5?,过渡过程结束。
：电容电压衰减到原来电压 36.8%所需的时间。
＝ t2－ t1
t1时刻曲线的斜率等于
)(1dd 10
11
tueUtu Ct
t
t
C
I0
t
uc
0
t1 t2
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
t 0? 2? 3? 5?
t
c eUu
0
U
0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
)(3 6 8.0)( 12 tutu CC?
次切距的长度
（ 3）能量关系
Rd tiW R 0 2
电容 不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量,2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量：
R dteRU RC
t
2
0
0 )(
2
02
1 CU?
uC R
+
－
C
dte
R
U RC t2
0
2
0
0
2 2
0 |)
2(
RC
t
eRCRU
例 已知图示电路中的电容原本充有 24V电压，求 K
闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
解 这是一个求一阶 RC零输入响应问题，有：
i3
K
3?
+
uC
2?
6?
5F
－
i2
i1
+
uC 4?5F
－
i1
t >0等效电路
0 0 teUu RC
t
c
sRCVU 2045 24 0代入
0 24 20 tVeu
t
c
分流得：
Aeui
t
C
20
1 64
Aeii
t
20
12 43
2 Aeii t20
13 23
1
2,RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0
L
Rp特征根代入初始值 i(0+)= I0 A= i(0+)= I0
0
1
)0()0( IRR Uii SLL
00dd tRitiL
i
K(t=0)US L
+
–
uL
RR1
ptAeti?)(
0)( 00 teIeIti tL
R
pt得
t >0i
L
+
–
uL
R
RL
t
L
L eRIdt
diLtu /
0)(
0)( / 0 teIti RL
t
L
-RI0
uL
t
t
I0 iL
0
从以上式子可以得出：
连续函数 跃变
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
（ 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/R有关；
令? = L/R,称为一阶 RL电路时间常数
L大 W=Li2/2 起始能量大
R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小放电慢
大
][][][][][] [ 秒欧安 秒伏欧安 韦欧亨 RL?
大 → 过渡过程时间长?小 → 过渡过程时间短物理含义时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
= L/R
1
/
1
RL
p
电流初值 i(0)一定：
（ 3）能量关系
Rd tiW R 0 2
电感 不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕,
设 iL(0+)=I0
电感放出能量,2
02
1 LI
电阻吸收（消耗）能量：
R d teI RL
t
2/
0 0
)(
2
02
1 LI?
dteRI RL
t
/
2
0
2
0
0
2
2
0 |)2
/( RC teRLRI
i
L
+
–
uL
R
iL (0+) = iL(0－ ) = 1 A
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
例 1 t=0时,打开开关 K,求 uv。
现象,电压表坏了
0 / tei tL?
电压表量程,50V
s
VRR
L 4104
1 0 0 0 0
4
010000 2500 teiRu tLVV
解
iL
L
R
10V
iL
K(t=0)
+
–
uV L=4H
R=10?
V RV
10k?10V
kR V 10
例 2 t=0时,开关 K由 1→2,求 电感电压和电流及开关两端电压 u12。
0V 12 A2 tedtdiLuei tLLtL
sRL 166
解
iL
K(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4?
4?
6?+
－
uL
2?
1 2
A
ii LL
2
63
6
6//324
24
)0()0(
t >0
i
L
+
–
uL
R
66//)42(3R
Veiu tL 424242412
小结
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
2,衰减快慢取决于时间常数?
RC电路? = RC,RL电路? = L/R
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
t
eyty )0()( iL(0+)= iL(0－ )
uC (0+) = uC (0－ )RC电路
RL电路动态元件初始能量为零，由 t >0电路中 外加输入激励作用所产生的响应。
SC
C Uu
t
uRC
d
d
列方程：
iK(t=0)
US
+ –uR
C
+
–
uC
R
uC (0－ )=0
6.3 一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为,"' ccc uuu
1,RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解 非齐次方程特解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解
RC
t
C Aeu
变化规律由电路参数和结构决定全解
uC (0+)=A+US= 0 A= － US
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
的通解 0
d
d
C
C u
t
uRC
SC Uu
RC
t
SCCC AeUuutu
)(
通解（自由分量，暂态分量）
Cu?
特解（强制分量，稳态分量）
Cu
SC
C Uu
t
uRC
d
d 的特解
)0( )1( teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
RC
t
S e
R
U
t
uCi
d
d C
-US uC‘
uC“U
S
t
iRUS
0
t
uc
0
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；
电容电压由两部分构成：
从以上式子可以得出：
连续函数跃变稳态分量（强制分量） 暫态分量（自由分量）+
（ 2）响应变化的快慢，由时间常数?＝ RC决定；?大，充电慢,?小充电就快。
（ 3）响应与外加激励成线性关系；
（ 4）能量关系
2
2
1
SCU
电容储存：
电源提供能量,2
0 d SSS CUqUtiU
2
2
1
SCU?
电阻消耗 tR
R
UtRi RCS te d)(d 2
00
2
R
C+
-
US
电源提供的能量一半消耗在电阻上，
一半转换成电场能量储存在电容中。
例 t=0时,开关 K闭合，已知 uC（ 0－ ） =0,求 （ 1）
电容电压和电流，（ 2） uC＝ 80V时的充电时间 t 。
解
500?
10?F+
-
100V
K
+
－
uC
i(1) 这是一个 RC电路零状态响应问题，有：
)0() V e-1 0 0 ( 1 )1( 200t- teUu RC
t
Sc
sRC 35 105105 0 0
Aee
R
U
t
uCi tRC tS 200C 2.0
d
d
（ 2）设经过 t1秒,uC＝ 80V
8,0 4 5 m st)e-1 0 0 ( 180 1- 2 0 0 t 1
2,RL电路的零状态响应
SL
L UiR
td
idL
)1(
t
L
R
S
L eR
Ui
t
L
R
S
L
L eUt
iLu
d
d
iLK(t=0)
US + –uRL +
–
uL
R
已知 iL(0－ )=0,电路方程为,
LLL iii
t
uL
US
t
iL
R
US
0
0 R
Ui S
L
A0)0(
tLRS Ae
R
U
例 1 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 iL,uL的变化规律 。
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iLK
+
–
uL2H
R 80?
10A 200
300
iL
+
–
uL2H
10A
Req
2 0 03 0 0//2 0 080eqR
Ai L 10)(
sRL eq 01.02 0 0/2/
Aeti tL )1(10)( 100
VeeRtu tteqL 100100 2 0 0 010)(
t>0
例 2 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 iL,uL的及电流源的端电压 。
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iL
K
+
–
uL2H
10?
2A 10?
5?
+
–
u
t>0
iL
+
–
uL2HU
S
Req+
－
201010eqR
VU S 20102
sRL eq 1.020/2/
Aeti tL )1()( 10
VeeUtu ttSL 1010 20)(
ARUi eqSL 1/)(
VeuiIu tLLS 101020105
6.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
SC
C Uu
t
uRC
d
d
解答为 uC(t) = uC' + uC" uC (0－ )=U0
以 RC电路为例，非齐次方程
=RC
1,全响应全响应稳态解 uC' = US
暂态解?t
C eu
A
uC (0+)=A+US=U0
A=U0 - US
由起始值定 A
2,全响应的两种分解方式
0)( 0
teUUUAeUu
t
SS
t
SC
强制分量 (稳态解 )自由分量 (暂态解 )
uC"
-USU0 暂态解
uC'US
稳态解
U0 uc 全解
t
uc
0
全响应 =
强制分量 (稳态解 )
+
自由分量 (暂态解 )
（ 1） 着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0－ )=U0
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
=
uC (0－ )=0
+
uC (0－ )=U0
C
+
–
uC
iK(t=0)
+ –uR
R
全响应 =零状态响应 + 零输入响应零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
(2),着眼于因果关系 便于叠加计算
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应全响应零输入响应
U0
例 1 t=0时,开关 K打开，求 t>0后的 iL,uL
解 这是一个 RL电路全响应问题，有,i
LK(t=0)
+
–
24V 0.6H
4?
+
－
uL
8?
sRL 20/112/6.0/
ARUii SLL 6/)0()0( 1
Aeti tL 206)(零输入响应：
Aeti tL )1(1224)( 20零状态响应：
Aeeeti tttL 202020 42)1(26)(
全响应：
或求出稳态分量,Ai
L 212/24)(
全响应,AAeti t
L 202)(
代入初值有,6＝ 2＋ A A=4
例 2 t=0时,开关 K闭合，求 t>0后的 iC,uC及电流源两端的电压。
解 这是一个 RC电路全响应问题，有,+
–
10V
1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
稳态分量,Vu C 11110)(
)1)0(( Vu C
全响应,VAetu t
C 5.011)(
sRC 21)11(
A=－ 10
Vetu tC 5.01011)(
Aedtduti tCC 5.05)(
+
–
24V
1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
Veuitu tCC 5.0512111)(
3,三要素法分析一阶电路
t
effftf ])()0([)()( 0
时间常数初始值稳态解三要素
)0(
)(
f
f
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
t
eftf A)()(
令 t = 0+ A)()0(
0
ff
0)()0( ffA
cbftd fda
其解答一般形式为：
分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用 0+等效电路求解用 t→?的稳态 电路求解
V2)0()0( CC uu
V6 6 7.01)1//2()(Cu
s2332 CR 等?
0 33.1667.0)667.02(667.0 5.05.0 teeu ttC
1A
2?
例 1
1?3F+- uC
已知,t=0时合开关，求换路后的 uC(t) 。
解
t
uc
2
(V)
0.667
0
t
cccc euuutu )]()0([)()(
例 2 t=0时,开关闭合，求 t>0后的 iL,i1,i2
解 三要素为：
sRL 5/1)5//5/(6.0/
Aii LL 25/10)0()0(
iL
+
–
20V0.5H
5? 5?
+
–10V
i2i1
Ai L 65/205/10)(
t
LcLLL eiiiti
)]()0([)()(应用三要素公式
0 46)62(6)( 55 teeti ttL
VeedtdiLtu ttLL 55 10)5()4(5.0)(
Aeuti tL 51 225/)10()(
Aeuti tL 52 245/)20()(
例 3 已知,t=0时开关由 1→2,求换路后的 uC(t) 。
2A 4?
1?
0.1F+
uC
－
+
－4?
i1
2i1 8V+
－
12解 三要素为：
10/
10
1
1
iuR
iu
eq
Viiiu C 12624)( 111 4?
+ －
4?
i1
2i1
u
+
－
Vuu CC 8)0()0(
sCR eq 11.010
t
cccc euuutu )]()0([)()(
Ve
etu
t
t
c
2012
]128[12)(
例 4
i
10V
1H
k1(t=0)
k2(t=0.2s)
3?
2?
已知：电感无初始储能
t = 0 时合 k1,t =0.2s时合 k2
求两次换路后的电感电流 i(t)。
0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti
t > 0.2s
A25/10)(
s2.05/1/
0)0()0(
1
i
RL
ii
Ai
RL
Ai
52/10)(
5.02/1/
26.1)2.0(
2
26.122)2.0( 2.05 ei
A74.35)( )2.0(2 teti
解
tei 522 (0 < t? 0.2s)
)2.0(274.35 tei
( t? 0.2s)
i
t(s)0.2
5
(A)
1.26
2
例 4,脉冲序列分析
1,RC电路在单个脉冲作用的响应
R
Cus
uR
uc
i
1
0 T t
us
)0(1 Ttu s
0?su 0?
t
Tt
(1) 0<t<T
RC
t
cccc euuutu
)]()0([)()(
1111
Vuu cc 0)0()0( 11
Vu c 1)(1 RC
0,1)(1 tVetu RC
t
c
0,)(1 tVetu RC
t
R
0,1)(1 tAeRti RC
t
(2) t >T
RC
Tt
cccc euuutu
)]()0([)()(
2222
VeTuu RC
T
cc
1)()0(
12
Vu c 0)(2 RC
TtVeetu RC
Tt
RC
T
c
,)1()(2
TtVtutu cR,)()( 22
TtAe
R
eti RC TtRC
T
,1)(2
uc(t )
uR(t )
t0
t0
(a)?<<T,uR为输出
uR
输出近似为输入的微分
(b)? >>T,uc为输出
t0
输出近似为输入的积分
R
Cus
uR
uc
i
uC
T
T
2,脉冲序列分析
t0
(a)?<<T
uR uc
R
Cus
uR
uc
i
t0
(b)? >T
U1
U2
uc
uR
R
Cus
uR
uc
i
2,一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；
重点
4,一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
3,稳态分量、暂态分量求解；
1,动态电路方程的建立及初始条件的确定；
含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。
特点：
1,动态电路
6.1 动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
例
+
-
us
R1
R2
（ t=0）i
0 t
i
2/ RUi S?
)( 21 RRUi S
过渡期为零电阻电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
K
+
–
uCUs R C
i(t = 0)
K接通电源后很长时间,电容充电完毕，电路达到新的稳定状态
+
–
uCUs R C
i(t →?)
初始状态过渡状态新稳态t1
USuc
t0
iR
US
有一过渡期电容电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uL = 0
uL= 0,i=Us /R
K接通电源后很长时间,电路达到新的稳定状态，电感视为短路初始状态过渡状态新稳态t1
US/Ri
t0
ULSU
有一过渡期
K
+
–
uLUs R L
i(t = 0)
+
–
uLUs R L
i(t →?)
电感电路过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件 L,C,电路在换路时能量发生变化，而 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
t
wp
电路结构、状态发生变化换路 支路接入或断开电路参数变化
2,动态电路的方程
Sc
c Uu
td
duRC
+
–
uCUs R C
i(t >0)
Sc UuRi
应用 KVL和元件的 VCA得：
+
–
uLUs R L
i(t >0)
SL UuRi
SUtd
diLRi
有源电阻电路一个动态元件一阶电路
+
–
uLUS R L
i(t >0)
C
uC＋－
＋
－
Sc
cc Uu
td
duRC
dt
udLC
2
2
ScL UuuRi
二阶电路一阶电路 描述电路的方程是一阶微分方程。
一阶电路中只有一个动态元件。
稳态分析和动态分析的区别稳态 动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的一般解任意激励
（ 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：
（ 2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
复频域分析法时域分析法动态电路的分析方法
0)(011
1
1
ttexadt
dxa
dt
xda
dt
xda
n
n
nn
n
n?
建立微分方程：
经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用
(1) t = 0＋ 与 t = 0－ 的概念认为换路在 t=0时刻进行
0－ 换路前一瞬间
0＋ 换路后一瞬间
3,电路的初始条件
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
初始条件为 t = 0＋ 时 u,i 及其各阶导数的值
0－ 0＋0
t
f(t)
)0()0( ff
)0()0( ff
图示为电容放电电路，电容原先带有电压 Uo,
求开关闭合后电容电压随时间的变化。
例
R
－
+
C
i
uC
(t=0)
解
0 cc utdduRC
)0( 0 tuRi c
特征根方程,01RCp RCp 1
得通解：
oUk?
RC
t
pt
c keketu
)(
代入初始条件得,RC
t
oc eUtu
)(
说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。
d)(1)(?
tC iCtu
d)(1d)(1
0
0
t i
CiC
d)(1)0(
0
tC iCu
t = 0+时刻 d)(1)0()0( 0
0?
i
Cuu CC
当 i(?)为有限值时
i u
c C
+
-
q (0+) = q (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
(2) 电容的初始条件
0
q=C uC
电荷守恒结论
d)(1)( tL uLti
d))(1d)(1
0
0
t u
LuL
du
L
ii LL )(1)0()0(
0
0?
当 u为有限值时
L(0＋ )=?L(0－ )
iL(0＋ )= iL(0－ )
i u L+
-
L
(3) 电感的初始条件
t = 0+时刻
0 duLi
t
L )(
1)0(
0
LLi
磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
结论
L(0+)=?L(0－ )
iL(0+)= iL(0－ )
qc (0+) = qc (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
（ 4）换路定律
（ 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意,
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
（ 2）换路定律反映了能量不能跃变。
5.电路初始值的确定
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0－ )=8V
+
- 10V
i
iC
+
8V
-
10k
0+等效电路
mA2.010 810)0(Ci
(1) 由 0－ 电路求 uC(0－ )或 iL(0－ )
+
- 10V
+
uC
-
10k40k
uC(0－ )=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+)
iC(0－ -)=0 iC(0+)
例 1 求 iC(0+)
+
- 10V
i i
C +u
C
-k
10k
40k
电容开路电容用 电压源 替代
0)0( 0)0( LL uu
iL(0+)= iL(0－ ) =2A
Vu L 842)0(
例 2 t = 0时闭合开关 k,求 uL(0+)
iL
+
uL
-
L
10V
K
1? 4?
+
uL
-10V
1? 4?
0+电路
2A
先求
Ai L 241 10)0(
由换路定律,
电感用 电流源 替代
)0(?Li
10V
1? 4?
解电感短路求初始值的步骤,
1,由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0－ )和 iL(0－ )；
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3,画 0+等效电路。
4,由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b,电容（电感）用电压源（电流源）替代。
a,换路后的电路
（取 0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。
iL(0+) = iL(0－ ) = IS
uC(0+) = uC(0－ ) = RIS
uL(0+)= - RIS
求 iC(0+),uL(0+)
0)0( RRIIi SsC
例 3
K(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
RIS
iC
解
0+电路
uL+ – iC
R
IS
R IS
+
–
0－ 电路RIS
由 0－ 电路得：
由 0＋ 电路得：
Vuu CC 24122)0()0(
Aii LL 124/48)0()0(
例 3
iL
+
uL
-
LK
2?
+
-
48V
3?
2?
C
求 K闭合瞬间各支路电流和电感电压解 由 0－ 电路得：
12A 24V
+
-
48V
3?
2?
+
-
i i
C
+
-
uL
由 0+电路得：
Ai C 83/)2448()0(
Ai 20812)0(
Vu L 2412248)0(
iL
2?+
-
48V
3?
2? +
－
uC
例 4 求 K闭合瞬间流过它的电流值。
iL
+
200V
-
L
K
100?
+ uC
100? 100?
C
－
解 （ 1）确定 0－ 值
Aii LL 12 0 02 0 0)0()0(
Vuu CC 1 0 0)0()0(
（ 2）给出 0＋ 等效电路
Ai k 211 0 01 0 01 0 02 0 0)0(
1A
+
200V
-
100?
+100V
100? 100?
－
ki
+ uL －
iC
Viu LL 1 0 01 0 0)0()0(
Aui CC 11 0 0/)0()0(
6.2 一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。
1,RC电路的零输入响应 已知 uC (0－ )=U0
iK(t=0)
+
–
uRC +
–
uC R
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
RC
p 1特征根特征方程 RCp+1=0
tRCe 1 Apt
C eu A?
则
0 CR uu
t
uCi C
d
d
uR= Ri
零输入响应代入初始值 uC (0+)=uC(0－ )=U0
A=U0
000
teIe
R
U
R
ui RC tRC tC
0
0
teUu RC
t
c
tRC
c Aeu
1?
RC
t
RC
t
C e
R
U
RCeCUt
uCi 0
0 )
1(
d
d 或
t
U0 uC
0
I0
t
i
0
令? =RC,称?为一阶电路的时间常数
秒伏安秒欧伏库欧法欧
RC?
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
从以上各式可以得出：
连续函数跃变
（ 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC有关；
时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
= R C
大 → 过渡过程时间长
小 → 过渡过程时间短电压初值一定：
R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小放电时间长
U0
t
uc
0?小
大
C 大（ R一定） W=Cu2/2 储能大
11
RCp
物理含义工程上认为,经过 3?－ 5?,过渡过程结束。
：电容电压衰减到原来电压 36.8%所需的时间。
＝ t2－ t1
t1时刻曲线的斜率等于
)(1dd 10
11
tueUtu Ct
t
t
C
I0
t
uc
0
t1 t2
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
t 0? 2? 3? 5?
t
c eUu
0
U
0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
)(3 6 8.0)( 12 tutu CC?
次切距的长度
（ 3）能量关系
Rd tiW R 0 2
电容 不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量,2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量：
R dteRU RC
t
2
0
0 )(
2
02
1 CU?
uC R
+
－
C
dte
R
U RC t2
0
2
0
0
2 2
0 |)
2(
RC
t
eRCRU
例 已知图示电路中的电容原本充有 24V电压，求 K
闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
解 这是一个求一阶 RC零输入响应问题，有：
i3
K
3?
+
uC
2?
6?
5F
－
i2
i1
+
uC 4?5F
－
i1
t >0等效电路
0 0 teUu RC
t
c
sRCVU 2045 24 0代入
0 24 20 tVeu
t
c
分流得：
Aeui
t
C
20
1 64
Aeii
t
20
12 43
2 Aeii t20
13 23
1
2,RL电路的零输入响应特征方程 Lp+R=0
L
Rp特征根代入初始值 i(0+)= I0 A= i(0+)= I0
0
1
)0()0( IRR Uii SLL
00dd tRitiL
i
K(t=0)US L
+
–
uL
RR1
ptAeti?)(
0)( 00 teIeIti tL
R
pt得
t >0i
L
+
–
uL
R
RL
t
L
L eRIdt
diLtu /
0)(
0)( / 0 teIti RL
t
L
-RI0
uL
t
t
I0 iL
0
从以上式子可以得出：
连续函数 跃变
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
（ 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/R有关；
令? = L/R,称为一阶 RL电路时间常数
L大 W=Li2/2 起始能量大
R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小放电慢
大
][][][][][] [ 秒欧安 秒伏欧安 韦欧亨 RL?
大 → 过渡过程时间长?小 → 过渡过程时间短物理含义时间常数? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
= L/R
1
/
1
RL
p
电流初值 i(0)一定：
（ 3）能量关系
Rd tiW R 0 2
电感 不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕,
设 iL(0+)=I0
电感放出能量,2
02
1 LI
电阻吸收（消耗）能量：
R d teI RL
t
2/
0 0
)(
2
02
1 LI?
dteRI RL
t
/
2
0
2
0
0
2
2
0 |)2
/( RC teRLRI
i
L
+
–
uL
R
iL (0+) = iL(0－ ) = 1 A
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
例 1 t=0时,打开开关 K,求 uv。
现象,电压表坏了
0 / tei tL?
电压表量程,50V
s
VRR
L 4104
1 0 0 0 0
4
010000 2500 teiRu tLVV
解
iL
L
R
10V
iL
K(t=0)
+
–
uV L=4H
R=10?
V RV
10k?10V
kR V 10
例 2 t=0时,开关 K由 1→2,求 电感电压和电流及开关两端电压 u12。
0V 12 A2 tedtdiLuei tLLtL
sRL 166
解
iL
K(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4?
4?
6?+
－
uL
2?
1 2
A
ii LL
2
63
6
6//324
24
)0()0(
t >0
i
L
+
–
uL
R
66//)42(3R
Veiu tL 424242412
小结
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
2,衰减快慢取决于时间常数?
RC电路? = RC,RL电路? = L/R
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
t
eyty )0()( iL(0+)= iL(0－ )
uC (0+) = uC (0－ )RC电路
RL电路动态元件初始能量为零，由 t >0电路中 外加输入激励作用所产生的响应。
SC
C Uu
t
uRC
d
d
列方程：
iK(t=0)
US
+ –uR
C
+
–
uC
R
uC (0－ )=0
6.3 一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为,"' ccc uuu
1,RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解 非齐次方程特解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解
RC
t
C Aeu
变化规律由电路参数和结构决定全解
uC (0+)=A+US= 0 A= － US
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
的通解 0
d
d
C
C u
t
uRC
SC Uu
RC
t
SCCC AeUuutu
)(
通解（自由分量，暂态分量）
Cu?
特解（强制分量，稳态分量）
Cu
SC
C Uu
t
uRC
d
d 的特解
)0( )1( teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
RC
t
S e
R
U
t
uCi
d
d C
-US uC‘
uC“U
S
t
iRUS
0
t
uc
0
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；
电容电压由两部分构成：
从以上式子可以得出：
连续函数跃变稳态分量（强制分量） 暫态分量（自由分量）+
（ 2）响应变化的快慢，由时间常数?＝ RC决定；?大，充电慢,?小充电就快。
（ 3）响应与外加激励成线性关系；
（ 4）能量关系
2
2
1
SCU
电容储存：
电源提供能量,2
0 d SSS CUqUtiU
2
2
1
SCU?
电阻消耗 tR
R
UtRi RCS te d)(d 2
00
2
R
C+
-
US
电源提供的能量一半消耗在电阻上，
一半转换成电场能量储存在电容中。
例 t=0时,开关 K闭合，已知 uC（ 0－ ） =0,求 （ 1）
电容电压和电流，（ 2） uC＝ 80V时的充电时间 t 。
解
500?
10?F+
-
100V
K
+
－
uC
i(1) 这是一个 RC电路零状态响应问题，有：
)0() V e-1 0 0 ( 1 )1( 200t- teUu RC
t
Sc
sRC 35 105105 0 0
Aee
R
U
t
uCi tRC tS 200C 2.0
d
d
（ 2）设经过 t1秒,uC＝ 80V
8,0 4 5 m st)e-1 0 0 ( 180 1- 2 0 0 t 1
2,RL电路的零状态响应
SL
L UiR
td
idL
)1(
t
L
R
S
L eR
Ui
t
L
R
S
L
L eUt
iLu
d
d
iLK(t=0)
US + –uRL +
–
uL
R
已知 iL(0－ )=0,电路方程为,
LLL iii
t
uL
US
t
iL
R
US
0
0 R
Ui S
L
A0)0(
tLRS Ae
R
U
例 1 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 iL,uL的变化规律 。
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iLK
+
–
uL2H
R 80?
10A 200
300
iL
+
–
uL2H
10A
Req
2 0 03 0 0//2 0 080eqR
Ai L 10)(
sRL eq 01.02 0 0/2/
Aeti tL )1(10)( 100
VeeRtu tteqL 100100 2 0 0 010)(
t>0
例 2 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 iL,uL的及电流源的端电压 。
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iL
K
+
–
uL2H
10?
2A 10?
5?
+
–
u
t>0
iL
+
–
uL2HU
S
Req+
－
201010eqR
VU S 20102
sRL eq 1.020/2/
Aeti tL )1()( 10
VeeUtu ttSL 1010 20)(
ARUi eqSL 1/)(
VeuiIu tLLS 101020105
6.4 一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
SC
C Uu
t
uRC
d
d
解答为 uC(t) = uC' + uC" uC (0－ )=U0
以 RC电路为例，非齐次方程
=RC
1,全响应全响应稳态解 uC' = US
暂态解?t
C eu
A
uC (0+)=A+US=U0
A=U0 - US
由起始值定 A
2,全响应的两种分解方式
0)( 0
teUUUAeUu
t
SS
t
SC
强制分量 (稳态解 )自由分量 (暂态解 )
uC"
-USU0 暂态解
uC'US
稳态解
U0 uc 全解
t
uc
0
全响应 =
强制分量 (稳态解 )
+
自由分量 (暂态解 )
（ 1） 着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0－ )=U0
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
=
uC (0－ )=0
+
uC (0－ )=U0
C
+
–
uC
iK(t=0)
+ –uR
R
全响应 =零状态响应 + 零输入响应零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
(2),着眼于因果关系 便于叠加计算
)0()1( 0 teUeUu
tt
SC
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应全响应零输入响应
U0
例 1 t=0时,开关 K打开，求 t>0后的 iL,uL
解 这是一个 RL电路全响应问题，有,i
LK(t=0)
+
–
24V 0.6H
4?
+
－
uL
8?
sRL 20/112/6.0/
ARUii SLL 6/)0()0( 1
Aeti tL 206)(零输入响应：
Aeti tL )1(1224)( 20零状态响应：
Aeeeti tttL 202020 42)1(26)(
全响应：
或求出稳态分量,Ai
L 212/24)(
全响应,AAeti t
L 202)(
代入初值有,6＝ 2＋ A A=4
例 2 t=0时,开关 K闭合，求 t>0后的 iC,uC及电流源两端的电压。
解 这是一个 RC电路全响应问题，有,+
–
10V
1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
稳态分量,Vu C 11110)(
)1)0(( Vu C
全响应,VAetu t
C 5.011)(
sRC 21)11(
A=－ 10
Vetu tC 5.01011)(
Aedtduti tCC 5.05)(
+
–
24V
1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
Veuitu tCC 5.0512111)(
3,三要素法分析一阶电路
t
effftf ])()0([)()( 0
时间常数初始值稳态解三要素
)0(
)(
f
f
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
t
eftf A)()(
令 t = 0+ A)()0(
0
ff
0)()0( ffA
cbftd fda
其解答一般形式为：
分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用 0+等效电路求解用 t→?的稳态 电路求解
V2)0()0( CC uu
V6 6 7.01)1//2()(Cu
s2332 CR 等?
0 33.1667.0)667.02(667.0 5.05.0 teeu ttC
1A
2?
例 1
1?3F+- uC
已知,t=0时合开关，求换路后的 uC(t) 。
解
t
uc
2
(V)
0.667
0
t
cccc euuutu )]()0([)()(
例 2 t=0时,开关闭合，求 t>0后的 iL,i1,i2
解 三要素为：
sRL 5/1)5//5/(6.0/
Aii LL 25/10)0()0(
iL
+
–
20V0.5H
5? 5?
+
–10V
i2i1
Ai L 65/205/10)(
t
LcLLL eiiiti
)]()0([)()(应用三要素公式
0 46)62(6)( 55 teeti ttL
VeedtdiLtu ttLL 55 10)5()4(5.0)(
Aeuti tL 51 225/)10()(
Aeuti tL 52 245/)20()(
例 3 已知,t=0时开关由 1→2,求换路后的 uC(t) 。
2A 4?
1?
0.1F+
uC
－
+
－4?
i1
2i1 8V+
－
12解 三要素为：
10/
10
1
1
iuR
iu
eq
Viiiu C 12624)( 111 4?
+ －
4?
i1
2i1
u
+
－
Vuu CC 8)0()0(
sCR eq 11.010
t
cccc euuutu )]()0([)()(
Ve
etu
t
t
c
2012
]128[12)(
例 4
i
10V
1H
k1(t=0)
k2(t=0.2s)
3?
2?
已知：电感无初始储能
t = 0 时合 k1,t =0.2s时合 k2
求两次换路后的电感电流 i(t)。
0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti
t > 0.2s
A25/10)(
s2.05/1/
0)0()0(
1
i
RL
ii
Ai
RL
Ai
52/10)(
5.02/1/
26.1)2.0(
2
26.122)2.0( 2.05 ei
A74.35)( )2.0(2 teti
解
tei 522 (0 < t? 0.2s)
)2.0(274.35 tei
( t? 0.2s)
i
t(s)0.2
5
(A)
1.26
2
例 4,脉冲序列分析
1,RC电路在单个脉冲作用的响应
R
Cus
uR
uc
i
1
0 T t
us
)0(1 Ttu s
0?su 0?
t
Tt
(1) 0<t<T
RC
t
cccc euuutu
)]()0([)()(
1111
Vuu cc 0)0()0( 11
Vu c 1)(1 RC
0,1)(1 tVetu RC
t
c
0,)(1 tVetu RC
t
R
0,1)(1 tAeRti RC
t
(2) t >T
RC
Tt
cccc euuutu
)]()0([)()(
2222
VeTuu RC
T
cc
1)()0(
12
Vu c 0)(2 RC
TtVeetu RC
Tt
RC
T
c
,)1()(2
TtVtutu cR,)()( 22
TtAe
R
eti RC TtRC
T
,1)(2
uc(t )
uR(t )
t0
t0
(a)?<<T,uR为输出
uR
输出近似为输入的微分
(b)? >>T,uc为输出
t0
输出近似为输入的积分
R
Cus
uR
uc
i
uC
T
T
2,脉冲序列分析
t0
(a)?<<T
uR uc
R
Cus
uR
uc
i
t0
(b)? >T
U1
U2
uc
uR
R
Cus
uR
uc
i
