第 4章 电路定理
(Circuit Theorems)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4.2 替代定理 (Substitution Theorem)
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
4.5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
4.6 对偶原理 (Dual Principle)
重点,
掌握各定理的内容、适用范围及如何应用；
1,叠加定理在线性电路中,任一支路的电流 (或电压 )可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时,在该支路产生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理
(Superposition Theorem)
2,定理的证明
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
用结点法：
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
32
1
32
33
32
22
1 GG
i
GG
uG
GG
uGu SSS
n
或表示为：
)()()( 3
3
2
2
1
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
支路电流为：
)()()(
)(
3
2
2
2
1
2332211
32
1
32
33
2
232
2
2
21
2
1
iiiububib
GG
i
GG
uG
u
RGG
G
R
uu
i
SSS
SS
S
Sn
)()()(
)()(
3
3
2
3
1
3
32
1
3
332
3
2
32
2
3
31
3
1
iii
GG
i
u
RGG
G
u
GG
G
R
uu
i SSSSn
结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
结论
3,几点说明
1,叠加定理只适用于线性电路。
2,一个电源作用，其余电源为零电压源为零 —短路。
电流源为零 —开路。
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
三个电源共同作用
R1
is1
R2 R3
1
)(12i )(1
3i
is1单独作用
=
+
us2单独作用 us3单独作用
+ R1 R2
us2
R3
+
–
1
)(23i)(22i R
1 R2
us3
R3
+
–
1
)(32i )(3
3i
3,功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数 )。
4,u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
5,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加,但叠加只适用于独立源,受控源应始终保留 。
4,叠加定理的应用例 1 求电压 U.
8?
12V
3A
+
– 6?
3?2?
+
－
U
8? 3A 6?
3?2?
+
－
U(2）
8?
12V
+
– 6?
3?2?
+
－
U(1)
画出分电路图
＋
12V电源作用,VU 43
9
12)1(
3A电源作用,VU 63)3//6()2( VU 264
解例 2 ＋
－
10V
2A＋
－
u
2?
3? 3?
2?求电流源的电压和发出的功率
＋
－
10V
＋
－
U（ 1）
2?
3? 3?
2? 2A＋
－
U（ 2）
2?
3? 3?
2?
＋
Vu 21052531 )()(
Vu 84225 322,)(
Vu 86,? WP 613286,,
画出分电路图为两个简单电路
10V电源作用：
2A电源作用：
例 3
u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A3?6?
6V
＋ －计算电压 u。
画出分电路图 1?
3A
3?6?
＋ －u（ 1）
＋
Vu 931361 )//()(
Viu 81266 22 )()(
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3?6?
6V
＋ －
u (2）i (2)
Ai 2361262 )/()()( Vuuu 178921 )()(
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，
也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
3A电流源作用：
其余电源作用：
例 4 计算电压 u电流 i。
画出分电路图 u（ 1）
＋
－
10V
2i (1)＋－
1?2? ＋
－
i（ 1） ＋
)/()( )()( 12210 11 ii
Viiiu 6321 1111 )()()()(
Ai 21?)(
Vu 826
u
＋
－
10V
2i＋－
1?i 2? ＋
－
5A
u(2)
2i (2)＋－
1?
i (2)
2? ＋
－
5A
)( )()()( 02512 222 iii Ai 12)(
Viu 2122 22 )()()(
Ai 112 )(
受控源始终保留
10V电源作用：
5A电源作用：
例 5
无源线性网络
uS
i
－＋
iS
封装好的电路如图，已知下列实验数据：
Ai
AiVu SS
2
11
,
响应时，当
Ai
AiVu SS
1
21
,
响应时，当
？响应时，－求 iAiVu SS,53
解 根据叠加定理，有：
SS ukiki 21
代入实验数据，得,221 kk
12 21 kk 1
1
2
1
k
k
Aiui SS 253
研究激励和响应关系的实验例 6.
采用倒推法：设 i'=1A。
则求电流 i 。RL=2? R1=1? R2=1? us=51V
+
–
2V2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–us'=34V
3A8A21A
5A13A
iR1 R1 R1
R2 RL+
–
us R2R2
i '=1A
Aiuuiuuii 5113451,' ' '
s
s
'
s
s 即解
5,齐性原理 （ homogeneity property)
齐性原理线性电路中,所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样的倍数,则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
可加性 (additivity property)。
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
对于给定的任意一个电路,若某一支路电压为 uk、
电流为 ik,那么这条支路就可以用一个电压等于 uk的独立电压源,或者用一个电流等于 ik的 独立电流源,
或用一 R=uk/ik的电阻 来替代,替代后电路中全部电压和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
ik
1.替代定理支路
k
ik +
–
uk
+
–
uk
ik
+
–
uk R=uk/ik
A
ik
+
–
uk 支路
k
A +
–
uk
uk
uk
uk
－
－
＋
＋A
ik
+
–
uk
支路
k
证毕 !
2,定理的证明
＝
例 求图示电路的支路电压和电流。
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
10?
i2i1 ＋
－
u解
A
i
10
1010551 1 01
//)(/
Aii 653 12 / Aii 452 13 /
Viu 6010 2
替代
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2i1 ＋
－
60V
替代以后有：
Ai 105601 1 01 /)(
Ai 415603 /
替代后各支路电压和电流完全不变。
替代前后 KCL,KVL关系相同,其余支路的 u,i关系不变 。 用 uk替代后,其余支路电压不变 (KVL),其余支路电流也不变,故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,
其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变,故第 k条支路 uk也不变 (KVL)。
原因注：
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后其余支路及参数不能改变。
2,替代后电路必须有唯一解无电压源回路；
无电流源节点 (含广义节点 )。
1.5A
10V 5V
2?
5?
＋
－ －
＋
2.5A
1A
5V
+
－
？？
例 1 若要使试求 Rx。,II x 8
1?
3,替代定理的应用
0.5?
0.5?
+
10V
3? 1? R
x Ix
– +U
I0.5?
＋
－解 用替代：
=
+
0.5?
0.5?1?
– +U
I
0.5?
I81
0.5?
0.5?1?
– +U'
I
0.5?
0.5?
0.5?
1?
– +U''0.5?
I81
xIIIIU 8.01.05.05.2
5.11
5.2
1'
xIIIU 6.0075.018
1
5.2
5.1''
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2?
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压,电流或功率的问题 。 对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与 电阻并联支路 ),使分析和计算简化 。 戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法 。
1,戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络,对外电路来说,总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压 uoc,而电阻等于一端口的输入电阻 （ 或等效电阻 Req） 。
A
a
b
i
u
i a
b
Req
Uoc +
-
u
2.定理的证明
+
a
b
A
i
+
–u N
'
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Req
a
b
A i+
–
u
a
b
A +
–u'
a
b
P
i+
–
u''R
eq
则替代叠加
A中独立源置零
ocuu?' iRu eq''
iRu
uuu
eqoc
'''
3.定理的应用
(1) 开路电压 Uoc的计算等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源短路,电流源开路 )后,所得无源一端口网络的输入电阻 。
常用下列方法计算：
（ 2）等效电阻的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压 Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关 。 计算
Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法,使易于计算 。
2 3 方法更有一般性。
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y
互换的方法计算等效电阻；
1
开路电压，短路电流法。3
外加电源法（加压求流或加流求压）。2
a
b
P
i+
–
u
Req
a
b
P
i+
–
uR
eq i
uR
eq?
iSC
Uoc
a
b
+
–
Req
sc
oc
eq i
uR?
(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变 (伏
-安特性等效 )。
(2) 当一端口内部含有受控源时,控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中 。
注：
例 1,计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I；
IRx
a
b
+ –
10V
4?
6?
6?
4?
解保留 Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
I a
b
Uoc
+
–
RxReq
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
+
Uoc
_
(2) 求等效电阻 Req
Req=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
Rx =5.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A
计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。
求 负载 RL消耗的功率。例 3.
100?
50?
+
–
40V
RL
a
b
+ –
50V
I1
4I1
50?
5?
解
(1) 求开路电压 Uoc
100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
4I1
50? +
–
Uoc 100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
200I1
50? +
–
Uoc
–+
401 0 02 0 01 0 0 111 III
AI 1.01? VIU oc 10100 1
(2) 求等效电阻 Req
用开路电压、短路电流法
Isc
50?
+
–
40V
a
b
Isc50?
AI sc 4.0100/40 254.0/10
sc
oc
eq I
UR
a
b
Uoc
+
–
Req 5?25?
10V
＋
－
50V
IL A
UI oc
L 230
60
525
50
WIP LL 20455 2
任何一个含源线性一端口电路,对外电路来说,可以用一个电流源和电导 (电阻 )的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流,而电导 (电阻 )等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导 (电阻 )。
4,诺顿定理诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到 。 诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明 。 证明过程从略 。
A
a
b
a
b
Geq(Req)Isc
例 1 求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
(1) 求短路电流 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
解
Isc
I1
I2
(2) 求等效电阻 Req
Req =10//2=1.67?
(3) 诺顿等效电路,
Req 2?10?
a
b
应 用 分流公式
4?I
a
b
-9.6A
1.67?
I =2.83A
例 2 求电压 U。
3?
6?
+
–
24V
a
b
1A
3?
+
–
U
6?
6?
6?
(1) 求短路电流 Isc
Isc
解 本题用诺顿定理求比较方便。因 a,b
处的短路电流比开路电压容易求
AI sc 363 366//3 242136//6 24
(2) 求等效电阻 Req
Req
466//3//63//6eqR
(3) 诺顿等效电路,
Isc
a
b
1A
4?
＋
－
U
VU 164)13(
4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路,当所接负载不同时,一端口电路传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电路获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的 。
A
i +
–
u 负载
i
Uoc
+
–
u+
–
Req
RL应用戴维宁定理
2)(
Leq
oc
L RR
uRP
RL
P
0
P max
0
)(
)(2)(
4
2
2'?
Leq
LeqLLeq
oc RR
RRRRR
uP
eqL RR?
eq
oc
R
u
P
4
2
m a x?
最大功率匹配条件对 P求导：
例 RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率 。
20?
+
–20V
a
b
2A
+
–
UR
RL
10?
20
RU
(1) 求开路电压 Uoc
(2) 求等效电阻 Req
20IUR eq
＋
－
Uoc
I1 I2 2021 RUII AII 221
IIIU 202/2010
VIU oc 602020102 2
20?
+
–
I
a
b
+
–
UR
10?
20
RU
UI2I1
221 III
AII 121
(3) 由最大功率传输定理得,
20eqL RR 时其上可获得最大功率
WRUP
eq
oc 45
204
60
4
22
m a x
注 (1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定,
负载电阻可调的情况 ;
(2) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
(3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便,
4.5 特勒根定理
(Tellegen’s Theorem)
1,特勒根定理 1
任何时刻，对于一个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
b
k
kk iu
1
0
功率守恒定理证明：
表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。
46
5
1
2 3
4
2
3
1
应用
KCL,0
654 iii
0421 iii
0632 iii
1
2
3
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211?
63252421
3323111
)()(
)(
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
0)(
)(
)(
6323
6542
4211
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
支路电压用结点电压表示
1,特勒根定理 2
任何时刻，对于两个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
b
k
kk iu
1
0?
b
k
kk iu
1
0?
46
5
1
2 3
4
2
3
146
5
1
2 3
4
2
3
1
),( kk iu )?,?( kk iu拟功率定理定理证明：
对电路 2应用 KCL,0 654 iii
0 421 iii
0 632 iii
1
2
3
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211
63252421
3323111
)()(
)(?
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
0)(
)(
)(
6323
6542
4211
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
例 1 (1) R1=R2=2?,Us=8V 时,
I1=2A,U2 =2V
(2) R1=1.4?,R2=0.8?,Us=9V时,
I1=3A,求此时的 U2 。
解 把（ 1）、（ 2）两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理 2
由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
222211 ( 5 / 4 )/ A,3 V,8.44.139,( 2 )
URUIIU得由
),(
)(?)(
11
3
2211
3
2211
的方向不同负号是因为 IU
IIRIUIUIIRIUIU
b
k
kkk
b
k
kkk
128.425.1234 22 UU
无源电阻网络
P–
+
U1
+
–
Us
R1I1 I2
–
+
U2R2
V6.15.1/4.2 2U
例 2.
解
P
–
+
U1
–
+
U2 I2
I1
P
–
+
–
+
2?
1
U 2?U
1
I
2
I
已知,U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A V102U,1?U求
)()( 22112211 IUIUIUIU
11 2
IU
V.11U
)(2 221111 IUIUUU
110)5(
2
10 11
UU
应用特勒根定理需注意：
（ 1）电路中的支路电压必须满足 KVL;
（ 2）电路中的支路电流必须满足 KCL;
（ 3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；
（否则公式中加负号）
（ 4）定理的正确性与元件的特征全然无关。
4,5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
互易性是一类特殊的线性网络的重要性质 。 一个具有互易性的网络在输入端 （ 激励 ） 与输出端 （ 响应 ） 互换位置后,
同一激励所产生的响应并不改变 。 具有互易性的网络叫互易网络,互易定理是对电路的这种性质所进行的概括,它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面 。
1,互易定理对一个仅含电阻的二端口电路 NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
情况 1
i2
线性电阻网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
激励 电压源 电流响应
c
d
线性电阻网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
当 uS1 = uS2 时,i2 = i1
则两个支路中电压电流有如下关系：
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
或证明,由特勒根定理：
0? 0
11
b
k
kk
b
k
kk iuiu 和
0
3
2211
3
2211
1
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
即：
0
3
2211
3
2211
1
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得
22112211 iuiuiuiu
将图 (a)与图 (b)中支路 1,2的条件代入，即,
即,证毕！
,0,0,221211 SS uuuuuu
0?0 221211 iuiiiu SS
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
或
i2
线性电阻网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性电阻网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
2211
2
1
1
2
SS
SS
iuiu
i
u
i
u 或
情况 2 激励 电流源 电压响应
u2
线性电阻网络
NR
+
–
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性电阻网络
NR
u1+
–
iS2
a
b (b)
则两个支路中电压电流有如下关系：
当 iS1 = iS2 时,u2 = u1
2211
2
1
1
2 iuiu
u
u
i
i
SS
SS
或
情况 3
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：
当 iS1 = uS2 时,i2 = u1
激励电流源电压源图 b
图 a 电流响应 图 b
图 a
电压
i2
线性电阻网络
NR
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性电阻网络
NR
u1+
–
uS2
a
b (b)
+
–
(3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下,
两个支路电压电流关系 。
(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变,仅理想电源搬移；
(2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都关联，要么都非关联 )；
(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理分析电路时应注意：
例 1 求 (a)图电流 I,(b)图电压 U。
解 利用互易定理
1?
6? I+
– 12V
2?
(a)
4?
(b)
1?
2?
4? +
–
U6?
6A
I
＋
－
12V
+
－
U
6A
A5.1216//61 12I VU 623
例 2
2?1?
2?4? + –8V 2?
I
a b c
d
求电流 I 。
解 利用互易定理
I1 = I'?2/(4+2)=2/3A
I2 = I'?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
2?1?
2?4?
+
–8V
2?
I
a b c
d
I1
I2
I'
A24821242 8 ////'I
例 3 测得 a图中 U1＝ 10V,U2＝ 5V，求 b图中的电流 I 。
解 1
(1) 利用互易定理知 c 图的
u1
+
–
u2
线性电阻网络
NR
+
–
2A
a
b
c
d
(a)
c
d
线性电阻网络
NR
2A
a
b (b)
+
–
5? I
c
d
线性电阻网络
NR
2A
a
b (c)
+
–
+
–1?u
开路电压）(5? 1 Vu?
c
d
线性电阻网络
NR
Req
a
b (d)
5?
5? +
–5V
a
b
I
(2) 结合 a图，知 c 图的等效电阻,52102 1 uR eq
戴维宁等效电路
A5.055 5I
解 2 应用特勒根定理, 22112211 iuiuiuiu
0)2(?5 )2(5?10 211uii
AIi 5.0?1
例 4 问图示电路?与?取何关系时电路具有互易性。
解 在 a-b端口加电流源，解得：
1? 3?1?
+
–
U
I
a
b
c
d
I
+– U
IS IS
1? 3?1?
+
–
U
I
a
b
c
d
I
+– U
Scd IIIUIUU 3)1(3 )1( 3
在 c-d端口加电流源，解得：
S
Sab
I
IIIUIIU
)3(
) ( )3( 3
如要电路具有互易性，则：
cdab UU?
)3(3)1(
2
一般有受控源的电路不具有互易性。
例 5 图示线性电路,当 A支路中的电阻 R＝ 0时，测得 B支路电压 U=U
1,当 R＝?时,U＝ U2,已知 ab端口的等效电阻为 RA，求 R为任意值时的电压 U。
线性有源网络
U
–
+
RRA
a
b
AB
解线性有源网络
U
–
+
RRA
a
b
AB
（ 2）应用替代定理：
I
（ 1）应用戴维宁定理：
R
a
b
I
+
–
Uoc
RA
（ 3）应用叠加定理：
21 kIkU
220 UkUIR
211
0
k
R
U
kUU
RUIR
A
oc
Aoc
解得：
22
21
1 UkRU
UUk
A
oc
A
AA
oc
A
oc
RRR UUURR URU UUUU 212212
例 7 图 a为线性电路,N为相同的 电阻网络,对称连接,测得电流 i
1=I1,i2＝ I2,求 b图中的 i’1
N NUS
i2i1
b
a
+
-
(a)
NUS
i’1
b
a
+
-
(b)
解 对图 (c)应用叠加和互易定理
N NUS
i”1
b
a
+
-
(c)
US
+
-
21"1 IIi
对图 (c)应用戴维宁定理
N NUS
i”1
b
a
+
-
(c)
US
+
-
Uoc
i=0
b
a
+
-
Uoc
+
-
RR
=i’1
21'1"1 IIii
(Circuit Theorems)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4.2 替代定理 (Substitution Theorem)
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
4.5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
4.6 对偶原理 (Dual Principle)
重点,
掌握各定理的内容、适用范围及如何应用；
1,叠加定理在线性电路中,任一支路的电流 (或电压 )可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时,在该支路产生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理
(Superposition Theorem)
2,定理的证明
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
用结点法：
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
32
1
32
33
32
22
1 GG
i
GG
uG
GG
uGu SSS
n
或表示为：
)()()( 3
3
2
2
1
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
支路电流为：
)()()(
)(
3
2
2
2
1
2332211
32
1
32
33
2
232
2
2
21
2
1
iiiububib
GG
i
GG
uG
u
RGG
G
R
uu
i
SSS
SS
S
Sn
)()()(
)()(
3
3
2
3
1
3
32
1
3
332
3
2
32
2
3
31
3
1
iii
GG
i
u
RGG
G
u
GG
G
R
uu
i SSSSn
结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
结论
3,几点说明
1,叠加定理只适用于线性电路。
2,一个电源作用，其余电源为零电压源为零 —短路。
电流源为零 —开路。
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
三个电源共同作用
R1
is1
R2 R3
1
)(12i )(1
3i
is1单独作用
=
+
us2单独作用 us3单独作用
+ R1 R2
us2
R3
+
–
1
)(23i)(22i R
1 R2
us3
R3
+
–
1
)(32i )(3
3i
3,功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数 )。
4,u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
5,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加,但叠加只适用于独立源,受控源应始终保留 。
4,叠加定理的应用例 1 求电压 U.
8?
12V
3A
+
– 6?
3?2?
+
－
U
8? 3A 6?
3?2?
+
－
U(2）
8?
12V
+
– 6?
3?2?
+
－
U(1)
画出分电路图
＋
12V电源作用,VU 43
9
12)1(
3A电源作用,VU 63)3//6()2( VU 264
解例 2 ＋
－
10V
2A＋
－
u
2?
3? 3?
2?求电流源的电压和发出的功率
＋
－
10V
＋
－
U（ 1）
2?
3? 3?
2? 2A＋
－
U（ 2）
2?
3? 3?
2?
＋
Vu 21052531 )()(
Vu 84225 322,)(
Vu 86,? WP 613286,,
画出分电路图为两个简单电路
10V电源作用：
2A电源作用：
例 3
u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A3?6?
6V
＋ －计算电压 u。
画出分电路图 1?
3A
3?6?
＋ －u（ 1）
＋
Vu 931361 )//()(
Viu 81266 22 )()(
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3?6?
6V
＋ －
u (2）i (2)
Ai 2361262 )/()()( Vuuu 178921 )()(
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，
也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
3A电流源作用：
其余电源作用：
例 4 计算电压 u电流 i。
画出分电路图 u（ 1）
＋
－
10V
2i (1)＋－
1?2? ＋
－
i（ 1） ＋
)/()( )()( 12210 11 ii
Viiiu 6321 1111 )()()()(
Ai 21?)(
Vu 826
u
＋
－
10V
2i＋－
1?i 2? ＋
－
5A
u(2)
2i (2)＋－
1?
i (2)
2? ＋
－
5A
)( )()()( 02512 222 iii Ai 12)(
Viu 2122 22 )()()(
Ai 112 )(
受控源始终保留
10V电源作用：
5A电源作用：
例 5
无源线性网络
uS
i
－＋
iS
封装好的电路如图，已知下列实验数据：
Ai
AiVu SS
2
11
,
响应时，当
Ai
AiVu SS
1
21
,
响应时，当
？响应时，－求 iAiVu SS,53
解 根据叠加定理，有：
SS ukiki 21
代入实验数据，得,221 kk
12 21 kk 1
1
2
1
k
k
Aiui SS 253
研究激励和响应关系的实验例 6.
采用倒推法：设 i'=1A。
则求电流 i 。RL=2? R1=1? R2=1? us=51V
+
–
2V2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–us'=34V
3A8A21A
5A13A
iR1 R1 R1
R2 RL+
–
us R2R2
i '=1A
Aiuuiuuii 5113451,' ' '
s
s
'
s
s 即解
5,齐性原理 （ homogeneity property)
齐性原理线性电路中,所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样的倍数,则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
可加性 (additivity property)。
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
对于给定的任意一个电路,若某一支路电压为 uk、
电流为 ik,那么这条支路就可以用一个电压等于 uk的独立电压源,或者用一个电流等于 ik的 独立电流源,
或用一 R=uk/ik的电阻 来替代,替代后电路中全部电压和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
ik
1.替代定理支路
k
ik +
–
uk
+
–
uk
ik
+
–
uk R=uk/ik
A
ik
+
–
uk 支路
k
A +
–
uk
uk
uk
uk
－
－
＋
＋A
ik
+
–
uk
支路
k
证毕 !
2,定理的证明
＝
例 求图示电路的支路电压和电流。
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
10?
i2i1 ＋
－
u解
A
i
10
1010551 1 01
//)(/
Aii 653 12 / Aii 452 13 /
Viu 6010 2
替代
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2i1 ＋
－
60V
替代以后有：
Ai 105601 1 01 /)(
Ai 415603 /
替代后各支路电压和电流完全不变。
替代前后 KCL,KVL关系相同,其余支路的 u,i关系不变 。 用 uk替代后,其余支路电压不变 (KVL),其余支路电流也不变,故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,
其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变,故第 k条支路 uk也不变 (KVL)。
原因注：
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后其余支路及参数不能改变。
2,替代后电路必须有唯一解无电压源回路；
无电流源节点 (含广义节点 )。
1.5A
10V 5V
2?
5?
＋
－ －
＋
2.5A
1A
5V
+
－
？？
例 1 若要使试求 Rx。,II x 8
1?
3,替代定理的应用
0.5?
0.5?
+
10V
3? 1? R
x Ix
– +U
I0.5?
＋
－解 用替代：
=
+
0.5?
0.5?1?
– +U
I
0.5?
I81
0.5?
0.5?1?
– +U'
I
0.5?
0.5?
0.5?
1?
– +U''0.5?
I81
xIIIIU 8.01.05.05.2
5.11
5.2
1'
xIIIU 6.0075.018
1
5.2
5.1''
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2?
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中,常常碰到只需研究某一支路的电压,电流或功率的问题 。 对所研究的支路来说,电路的其余部分就成为一个有源二端网络,可等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与 电阻并联支路 ),使分析和计算简化 。 戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法 。
1,戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络,对外电路来说,总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压 uoc,而电阻等于一端口的输入电阻 （ 或等效电阻 Req） 。
A
a
b
i
u
i a
b
Req
Uoc +
-
u
2.定理的证明
+
a
b
A
i
+
–u N
'
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Req
a
b
A i+
–
u
a
b
A +
–u'
a
b
P
i+
–
u''R
eq
则替代叠加
A中独立源置零
ocuu?' iRu eq''
iRu
uuu
eqoc
'''
3.定理的应用
(1) 开路电压 Uoc的计算等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源短路,电流源开路 )后,所得无源一端口网络的输入电阻 。
常用下列方法计算：
（ 2）等效电阻的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压 Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关 。 计算
Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法,使易于计算 。
2 3 方法更有一般性。
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y
互换的方法计算等效电阻；
1
开路电压，短路电流法。3
外加电源法（加压求流或加流求压）。2
a
b
P
i+
–
u
Req
a
b
P
i+
–
uR
eq i
uR
eq?
iSC
Uoc
a
b
+
–
Req
sc
oc
eq i
uR?
(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路,外电路发生改变时,含源一端口网络的等效电路不变 (伏
-安特性等效 )。
(2) 当一端口内部含有受控源时,控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中 。
注：
例 1,计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I；
IRx
a
b
+ –
10V
4?
6?
6?
4?
解保留 Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
I a
b
Uoc
+
–
RxReq
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
+
Uoc
_
(2) 求等效电阻 Req
Req=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
Rx =5.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A
计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。
求 负载 RL消耗的功率。例 3.
100?
50?
+
–
40V
RL
a
b
+ –
50V
I1
4I1
50?
5?
解
(1) 求开路电压 Uoc
100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
4I1
50? +
–
Uoc 100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
200I1
50? +
–
Uoc
–+
401 0 02 0 01 0 0 111 III
AI 1.01? VIU oc 10100 1
(2) 求等效电阻 Req
用开路电压、短路电流法
Isc
50?
+
–
40V
a
b
Isc50?
AI sc 4.0100/40 254.0/10
sc
oc
eq I
UR
a
b
Uoc
+
–
Req 5?25?
10V
＋
－
50V
IL A
UI oc
L 230
60
525
50
WIP LL 20455 2
任何一个含源线性一端口电路,对外电路来说,可以用一个电流源和电导 (电阻 )的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流,而电导 (电阻 )等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导 (电阻 )。
4,诺顿定理诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到 。 诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明 。 证明过程从略 。
A
a
b
a
b
Geq(Req)Isc
例 1 求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
(1) 求短路电流 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
解
Isc
I1
I2
(2) 求等效电阻 Req
Req =10//2=1.67?
(3) 诺顿等效电路,
Req 2?10?
a
b
应 用 分流公式
4?I
a
b
-9.6A
1.67?
I =2.83A
例 2 求电压 U。
3?
6?
+
–
24V
a
b
1A
3?
+
–
U
6?
6?
6?
(1) 求短路电流 Isc
Isc
解 本题用诺顿定理求比较方便。因 a,b
处的短路电流比开路电压容易求
AI sc 363 366//3 242136//6 24
(2) 求等效电阻 Req
Req
466//3//63//6eqR
(3) 诺顿等效电路,
Isc
a
b
1A
4?
＋
－
U
VU 164)13(
4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路,当所接负载不同时,一端口电路传输给负载的功率就不同,讨论负载为何值时能从电路获取最大功率,及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的 。
A
i +
–
u 负载
i
Uoc
+
–
u+
–
Req
RL应用戴维宁定理
2)(
Leq
oc
L RR
uRP
RL
P
0
P max
0
)(
)(2)(
4
2
2'?
Leq
LeqLLeq
oc RR
RRRRR
uP
eqL RR?
eq
oc
R
u
P
4
2
m a x?
最大功率匹配条件对 P求导：
例 RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率 。
20?
+
–20V
a
b
2A
+
–
UR
RL
10?
20
RU
(1) 求开路电压 Uoc
(2) 求等效电阻 Req
20IUR eq
＋
－
Uoc
I1 I2 2021 RUII AII 221
IIIU 202/2010
VIU oc 602020102 2
20?
+
–
I
a
b
+
–
UR
10?
20
RU
UI2I1
221 III
AII 121
(3) 由最大功率传输定理得,
20eqL RR 时其上可获得最大功率
WRUP
eq
oc 45
204
60
4
22
m a x
注 (1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定,
负载电阻可调的情况 ;
(2) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
(3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便,
4.5 特勒根定理
(Tellegen’s Theorem)
1,特勒根定理 1
任何时刻，对于一个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
b
k
kk iu
1
0
功率守恒定理证明：
表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。
46
5
1
2 3
4
2
3
1
应用
KCL,0
654 iii
0421 iii
0632 iii
1
2
3
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211?
63252421
3323111
)()(
)(
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
0)(
)(
)(
6323
6542
4211
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
支路电压用结点电压表示
1,特勒根定理 2
任何时刻，对于两个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
b
k
kk iu
1
0?
b
k
kk iu
1
0?
46
5
1
2 3
4
2
3
146
5
1
2 3
4
2
3
1
),( kk iu )?,?( kk iu拟功率定理定理证明：
对电路 2应用 KCL,0 654 iii
0 421 iii
0 632 iii
1
2
3
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211
63252421
3323111
)()(
)(?
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
0)(
)(
)(
6323
6542
4211
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
例 1 (1) R1=R2=2?,Us=8V 时,
I1=2A,U2 =2V
(2) R1=1.4?,R2=0.8?,Us=9V时,
I1=3A,求此时的 U2 。
解 把（ 1）、（ 2）两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理 2
由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
222211 ( 5 / 4 )/ A,3 V,8.44.139,( 2 )
URUIIU得由
),(
)(?)(
11
3
2211
3
2211
的方向不同负号是因为 IU
IIRIUIUIIRIUIU
b
k
kkk
b
k
kkk
128.425.1234 22 UU
无源电阻网络
P–
+
U1
+
–
Us
R1I1 I2
–
+
U2R2
V6.15.1/4.2 2U
例 2.
解
P
–
+
U1
–
+
U2 I2
I1
P
–
+
–
+
2?
1
U 2?U
1
I
2
I
已知,U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A V102U,1?U求
)()( 22112211 IUIUIUIU
11 2
IU
V.11U
)(2 221111 IUIUUU
110)5(
2
10 11
UU
应用特勒根定理需注意：
（ 1）电路中的支路电压必须满足 KVL;
（ 2）电路中的支路电流必须满足 KCL;
（ 3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；
（否则公式中加负号）
（ 4）定理的正确性与元件的特征全然无关。
4,5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
互易性是一类特殊的线性网络的重要性质 。 一个具有互易性的网络在输入端 （ 激励 ） 与输出端 （ 响应 ） 互换位置后,
同一激励所产生的响应并不改变 。 具有互易性的网络叫互易网络,互易定理是对电路的这种性质所进行的概括,它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面 。
1,互易定理对一个仅含电阻的二端口电路 NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
情况 1
i2
线性电阻网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
激励 电压源 电流响应
c
d
线性电阻网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
当 uS1 = uS2 时,i2 = i1
则两个支路中电压电流有如下关系：
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
或证明,由特勒根定理：
0? 0
11
b
k
kk
b
k
kk iuiu 和
0
3
2211
3
2211
1
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
即：
0
3
2211
3
2211
1
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得
22112211 iuiuiuiu
将图 (a)与图 (b)中支路 1,2的条件代入，即,
即,证毕！
,0,0,221211 SS uuuuuu
0?0 221211 iuiiiu SS
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
或
i2
线性电阻网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性电阻网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
2211
2
1
1
2
SS
SS
iuiu
i
u
i
u 或
情况 2 激励 电流源 电压响应
u2
线性电阻网络
NR
+
–
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性电阻网络
NR
u1+
–
iS2
a
b (b)
则两个支路中电压电流有如下关系：
当 iS1 = iS2 时,u2 = u1
2211
2
1
1
2 iuiu
u
u
i
i
SS
SS
或
情况 3
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：
当 iS1 = uS2 时,i2 = u1
激励电流源电压源图 b
图 a 电流响应 图 b
图 a
电压
i2
线性电阻网络
NR
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性电阻网络
NR
u1+
–
uS2
a
b (b)
+
–
(3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下,
两个支路电压电流关系 。
(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变,仅理想电源搬移；
(2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都关联，要么都非关联 )；
(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理分析电路时应注意：
例 1 求 (a)图电流 I,(b)图电压 U。
解 利用互易定理
1?
6? I+
– 12V
2?
(a)
4?
(b)
1?
2?
4? +
–
U6?
6A
I
＋
－
12V
+
－
U
6A
A5.1216//61 12I VU 623
例 2
2?1?
2?4? + –8V 2?
I
a b c
d
求电流 I 。
解 利用互易定理
I1 = I'?2/(4+2)=2/3A
I2 = I'?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
2?1?
2?4?
+
–8V
2?
I
a b c
d
I1
I2
I'
A24821242 8 ////'I
例 3 测得 a图中 U1＝ 10V,U2＝ 5V，求 b图中的电流 I 。
解 1
(1) 利用互易定理知 c 图的
u1
+
–
u2
线性电阻网络
NR
+
–
2A
a
b
c
d
(a)
c
d
线性电阻网络
NR
2A
a
b (b)
+
–
5? I
c
d
线性电阻网络
NR
2A
a
b (c)
+
–
+
–1?u
开路电压）(5? 1 Vu?
c
d
线性电阻网络
NR
Req
a
b (d)
5?
5? +
–5V
a
b
I
(2) 结合 a图，知 c 图的等效电阻,52102 1 uR eq
戴维宁等效电路
A5.055 5I
解 2 应用特勒根定理, 22112211 iuiuiuiu
0)2(?5 )2(5?10 211uii
AIi 5.0?1
例 4 问图示电路?与?取何关系时电路具有互易性。
解 在 a-b端口加电流源，解得：
1? 3?1?
+
–
U
I
a
b
c
d
I
+– U
IS IS
1? 3?1?
+
–
U
I
a
b
c
d
I
+– U
Scd IIIUIUU 3)1(3 )1( 3
在 c-d端口加电流源，解得：
S
Sab
I
IIIUIIU
)3(
) ( )3( 3
如要电路具有互易性，则：
cdab UU?
)3(3)1(
2
一般有受控源的电路不具有互易性。
例 5 图示线性电路,当 A支路中的电阻 R＝ 0时，测得 B支路电压 U=U
1,当 R＝?时,U＝ U2,已知 ab端口的等效电阻为 RA，求 R为任意值时的电压 U。
线性有源网络
U
–
+
RRA
a
b
AB
解线性有源网络
U
–
+
RRA
a
b
AB
（ 2）应用替代定理：
I
（ 1）应用戴维宁定理：
R
a
b
I
+
–
Uoc
RA
（ 3）应用叠加定理：
21 kIkU
220 UkUIR
211
0
k
R
U
kUU
RUIR
A
oc
Aoc
解得：
22
21
1 UkRU
UUk
A
oc
A
AA
oc
A
oc
RRR UUURR URU UUUU 212212
例 7 图 a为线性电路,N为相同的 电阻网络,对称连接,测得电流 i
1=I1,i2＝ I2,求 b图中的 i’1
N NUS
i2i1
b
a
+
-
(a)
NUS
i’1
b
a
+
-
(b)
解 对图 (c)应用叠加和互易定理
N NUS
i”1
b
a
+
-
(c)
US
+
-
21"1 IIi
对图 (c)应用戴维宁定理
N NUS
i”1
b
a
+
-
(c)
US
+
-
Uoc
i=0
b
a
+
-
Uoc
+
-
RR
=i’1
21'1"1 IIii
