信号与系统 沈元隆 周井泉第一章第 1章 信号与系统的基本概念
1.1 信号的描述及分类
1.2 信号的运算
1.3 系统的数学模型及其分类
1.4 系统的模拟
1.5 线性时不变系统分析方法概述习题 1
第 1章 信号与系统的基本概念
1.1 信号的描述及其分类
1.1.1 信号及其描述什么是信号 （ signal）？ 广义地说,信号是随时间变化的某种物理量 。 在通信技术中,一般将语言,文字,图像或数据等统称为消息 （ message） 。 在消息中包含有一定数量的信息
（ information） 。 但是,信息的传送一般都不是直接的,它必须借助于一定形式的信号 （ 光信号,声信号,电信号等 ）,
才能远距离快速传输和进行各种处理 。 因而,信号是消息的表现形式,它是通信传输的客观对象,而消息则是信号的具体内容,它蕴藏在信号之中 。 本课程将只讨论应用广泛的电信号,它通常是随时间变化的电压或电流,在某些情况下,
也可以是电荷或磁通 。 由于信号是随时间而变化的,在数学上可以用时间 t 的函数 f ( t ) 来表示,因此,,信号,与,函数,两个名词常常通用 。
信号的特性可以从两个方面来描述,即时间特性和频率特性 。
信号可写成数学表达式,即是时间 t 的函数,它具有一定的波形,因而表现出一定波形的时间特性,如出现时间的先后,
持续时间的长短,重复周期的大小及随时间变化的快慢等 。
另一方面,任意信号在一定条件下总可以分解为许多不同频率的正弦分量,即具有一定的频率成份,因而表现为一定波形的频率特性,如含有大小不同频率分量,主要频率分量占有不同的范围等 。
信号的形式所以不同,就因为它们各自有不同的时间特性和频率特性,而信号的时间特性和频率特性有着对应的关系,
不同的时间特性将导致不同的频率特性的出现 。
1.1.2 信号的分类对于各种信号,可以从不同的角度进行分类 。
1,确定信号和随机信号按时间函数的确定性划分，信号可分为确定信号和随机信号两类。
确定信号（ determinate signal）是指一个可以表示为确定的时间函数的信号。对于指定的某一时刻，信号有确定的值。
如我们熟知的正弦信号、周期脉冲信号等。随机信号
（ random signal）则与之不同，它不是一个确定的时间函数，
通常只知道它取某一数值的概率，如噪音信号等。
实际传输的信号几乎都具有不可预知的不确定性，因而都是随机信号。如，通信系统中传输的信号带有不确定性，
接收者在收到所传送的消息之前，对信息源所发出的消息是不知道的，否则，接收者就不可能由它得知任何新的消息，也就失去通信的意义。另外，信号在传输过程中难免受各种干扰和噪声的影响，将使信号产生失真。所以，一般的通信信号都是随机信号。但是，在一定条件下，随机信号也表现出某些确定性，通常把在较长时间内比较确定的随机信号，近似地看成确定信号，以使分析简化。
2．连续信号和离散信号按照函数时间取值的连续性划分,确定信号可分为连续时间信号和离散时间信号,简称连续信号和离散信号 。
连续信号 （ continuous signal） 是指在所讨论的时间内,对任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号,通常用 f ( t )
表示 。
离散信号 （ discrete signal） 是指只在某些不连续规定的时刻有定义,而在其它时刻没有定义的信号 。 通常用 f(tk) 或 f(kT)
[简写 f(k )] 表示,如图 1.1-2所示 。 图中信号 f (tk) 只在 t k = － 2,
－ 1,0,1,2,3,… 等离散时刻才给出函数值 。
3,周期信号和非周期信号按信号 （ 函数 ） 的周期性划分,确定信号又可以分为周期信号与非周期信号 。
周期信号 （ periodic signal） 是指一个每隔一定时间 T,周而复始且无始无终的信号,它们的表达式可写为
f ( t ) = f ( t + n T ) n= 0,1,2,…
满足此关系式的最小 T 值称为信号的周期 。 只要给出此信号在任一周期内的变化过程,便可确知它在任一时刻的数值 。 非周期信号 （ aperiodic signal） 在时间上不具有周而复始的特性 。
非周期信号也可以看作为一个周期 T趋于无穷大时的周期信号 。
4,能量信号与功率信号信号按时间函数的可积性划分,可以分为能量信号,功率信号和非功非能信号 。
信号可看作是随时间变化的电压或电流,信号 f(t) 在 1欧姆的电阻上的瞬时功率为
| f ( t ) | 2,在时间区间 所消耗的总能量定义为：),(
（ 1.1-1）
其平均功率定义为：
（ 1.1-2 ）
上两式中,被积函数都是 f ( t )的绝对值平方,所以信号能量
E 和信号功率 P 都是非负实数 。
若信号 f ( t )的能量 0 < E <,此时 P = 0,则称此信号为能量有限信号,简称能量信号 （ energy signal） 。
若信号 f ( t )的功率 0 < P <,此时 E =,则称此信号为功率有限信号,简称功率信号 （ power signal） 。
信号 f ( t )可以是一个既非功率信号,又非能量信号,
如单位斜坡信号就是一个例子 。 但一个信号不可能同时既是功率信号,又是能量信号 。
dttfE T
TT
2
)(lim?
dttfTP T
TT
2
)(2 1lim?
一般说来周期信号都是功率信号，非周期信号或者是能量信号，或者是功率信号，或者既非能量信号又非功率信号。
属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号，它在有限时间范围内有一定的数值。
1.1.3 典型连续信号下面给出一些典型连续信号的表达式和波形,我们今后会经常遇到它们 。 典型离散信号的表达式及波形将在第五章中讨论 。
1,单位阶跃信号 （ unit step signal）
单位阶跃信号的定义为：
（ 1.1-3）
其波形在跃变点 t = 0处,函数值未定 。
0
0
1
0)(
t
tt?
0
0
1
0)(
t
tt?
若单位阶跃信号跃变点在 t = t 0处,则称其为延迟单位阶跃函数 。
2.单位冲激信号 （ unit impulse signal）
单位冲激信号 ( t )是一个特殊信号,它不是用普通的函数来定义 。 它的工程定义如式 （ 1.1-5） 描述 。 这个定义由狄拉克
(P.A.M,Dirac) 提出,故又称狄拉克函数 。 它除在原点以外,
处处为零,并且具有单位面积值 。 直观地看,这一函数可以设想为一列窄脉冲的极限 。 如一个矩形脉冲 。
3,复指数信号 （ complex exponential signal）
0
00)(
t
tt? 和
1)( dtt?
为复数，称复频率。f t e s js t( )
由于复指数信号能概括多种情况,所以可利用它来描述多种基本信号,如直流信号,指数信号,等幅,增幅或减幅正弦或余弦信号,因此,它是信号与系统分析中经常遇到的重要信号 。
上面我们介绍了几种最基本的信号,接着来介绍有关信号的各种运算 。
1.2 信号的运算
1.2.1 信号的相加与相乘两个信号相加 （ 相乘 ） 可得到一个新的信号,它在任意时刻的值等于两个信号在该时刻的值之和 （ 积 ） 。 信号相加与相乘运算可以通过信号的波形 ( 或信号的表达式 ) 进行 。
1.2.2 信号的导数与积分信号 f ( t )的导数是指 或记作 f ‘( t ),从波形看,它表示信号值随时间变化的变化率 。 当 f ( t ) 含有不连续点时,由于引入了冲激函数的概念,f ( t )在这些不连续点上仍有导数,
出现冲激,其强度为原函数在该处的跳变量 。
信号 f ( t )的积分是指或记作 f (-1)( t ),从波形看,它在任意时刻 t的值为从－到 t区间,f ( t )与时间轴所包围的面积 。
1.2.3 信号的时移和折叠信号 f（ t） 时移 (t0 > 0),就是将 f（ t） 表达式中所有自变量 t用 t 替换,成为 。 信号 f ( t )的折叠就是将
f ( t )表达式以及定义域中的变量 t 用 –t 替换,成为 f ( - t )。
1.2.4 信号的尺度变换尺度变换就是把信号 f ( t )以及定义域中自变量 t用 at去置换,
成为 f ( at )。
t
tf
d
)(d
0t?
0t? )( 0ttf?
1.3 系统的数学模型及其分类
1.3.1 系统的概念什么是系统 （ system）？ 广义地说,系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体 。 例如,
通信系统,自动控制系统,计算机网络系统,电力系统,水利灌溉系统等 。 通常将施加于系统的作用称为系统的输入激励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应 。
1.3.2 系统的数学模型分析一个实际系统,首先要对实际系统建立数学模型,在数学模型的基础上,再根据系统的初始状态和输入激励,运用数学方法求其解答,最后又回到实际系统,对结果作出物理解释,并赋予物理意义 。 所谓系统的模型是指系统物理特性的抽象,以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系统特性 。
系统模型的建立是有一定条件的,对于同一物理系统,在不同条件下可以得到不同形式的数学模型 。 另一方面,对于不同的物理系统,经过抽象和近似,有可能得到形式上完全相同的数学模型 。
1,3,3 系统的分类系统的分类比较复杂,我们主要考虑其数学模型的差异来划分不同的类型 。
1,连续时间系统和离散时间系统输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统 。 输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统 。 模拟通信系统是连续时间系统,而数字计算机就是离散时间系统 。
连续时间系统的数学模型是微分方程,而离散时间系统则用差分方程来描述 。
2,线性系统和非线性系统线性系统是指具有线性特性的系统 。 所谓线性特性 （ linearity）
系指齐次性与叠加性 。 若系统输入增加 k倍,输出也增加 k倍,
这就是齐次性 （ homogeneity） 。 若有几个输入同时作用于系统,而系统总的输出等于每一个输入单独作用所引起的输出之和,这就是叠加性 （ superposition Property） 。 系统同时具有齐次性和叠加性便呈现线性特性 。
一个系统的输出不仅与输入有关,还与系统的初始状态有关 。
设具有初始状态的系统加入激励时的总响应为 y ( t )；仅有激励而初始状态为零的响应为 y z s ( t ),称为零状态响应；仅有初始状态而激励为零时的响应为 y z i ( t ),称为零输入响应 。
若将系统的初始状态看成系统的另一种输入激励,则对于线性系统,根据系统的线性特性,其输出总响应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加 。
因此,一般线性系统必须具有：
a,分解性 （ decomposition property）,
即 y ( t )= y z s ( t )+ y z i ( t ) （ 1.3-6）
b,零输入线性 ——当系统有多个初始状态时,零输入响应对每个初始状态呈线性 。
c,零状态线性 ——当系统有多个输入时,零状态响应对每个输入呈线性 。
凡不具备上述特性的系统则称为非线性系统 。
3,时不变系统和时变系统只要初始状态不变,系统的输出仅取决于输入而与输入的起始作用时刻无关,这种特性称为时不变性 。 具有时不变特性的系统为时不变系统 （ time invariant system） 。 不具有时不变特性的系统为时变系统 （ time varying system） 。
对时不变系统,如果激励是 x(t),系统产生的响应是 y ( t )，
当激励延迟一段时间 td为 x ( t –td),则系统的响应也同样延迟
td时间为 y ( t –td),其波形形状不变 。 公式化地表示为：
若 x ( t ) y ( t )
则 x ( t – td) y ( t– td) (1.3-7)
系统的线性和时不变性是两个不同的概念,线性系统可以是时不变的,也可以是时变的,非线性系统也是如此 。 本课程只讨论线性时不变 （ LTI） 系统,简称线性系统 。 线性时不变连续 （ 离散 ） 系统的数学模型为常系数微分 （ 差分 ）
方程 。
4,因果系统和非因果系统因果系统（ Causal system）是响应不会超前激励的系统。
非因果系统（ noncausal system）是响应能领先于激励的系统。
1.4 系统的模拟如前所述,把一个实际系统抽象为数学模型,便于用数学方法进行分析 。 另外,还可借助简单而易于实现的物理装置,
用实验的方法来观察和研究系统参数和输入信号对于系统响应的影响 。 此时,需要对系统进行实验模拟 。 系统模拟
（ system simulation） 不需要仿制实际系统,而只需在数学意义上的等效,使模拟系统与实际系统具有相同的数学表达式 。
1.4.1 基本运算器连续系统的模拟一般需要三种基本的运算器：加法器,标量乘法器和积分器 。
模拟一个系统的微分方程不用微分器而用积分器,这是因为积分器对信号起,平滑,作用,甚至对短时间内信号的剧烈变化也不敏感,而微分器将会使信号的噪声大大增加,
因而使用较少,显然积分器的抗干扰性能比微分器好,运算精度高 。
1.4.2 连续系统的模拟图对于连续的线性时不变系统,可用线性常系数微分方程来描述,根据微分方程可作出相应的模拟图 。
构成系统模拟图的规则如下,(1)把微分方程输出函数的最高导数项保留在等式左边,把其它各项移到等式右边； (2)
将最高阶导数作为第一个积分器的输入,其输出作为第二个积分器的输入,以后每经过一个积分器,输出函数的导数阶数就降低一阶,直到获得输出函数为止； (3)把各个阶数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法器,
一齐送到第一个积分器前的加法器与输入函数相加,加法器的输出就是最高阶导数 。 这就构成了一个完整的模拟图 。
现在考虑更一般的情况，即微分方程右边含有输入函数导数的情况。例如，二阶微分方程
(1.4-8) )()(')()(')("
0101 txbtxbtyatyaty
则引入辅助函数，使 xqaqaq
01 '"
代入原方程
)'"()''"()()(')(" 01001101 qaqaqbqaqaqbtyatyaty
]'[]''[]"'[ 01001101 qbqbaqbqbaqbqb
qbqby 01 '
由此可见
1a?
0a?
)(tx "q
'q
)(ty
0b
1b
q
xqaqaq 01 '"
qbqby 01 '
完整的二阶系统模拟图：
根据系统模拟图列写微分方程的一般步骤：
（ 1） 选中间变量 q ( t ) 。 设系统最右端积分器的输出为 q ( t )；
（ 2） 写出各加法器输出信号的方程；
（ 3） 消去中间变量 q ( t ),可得微分方程 。
以上介绍了连续时间系统的时域模拟方法,关于离散时间系统的模拟将在第五章中介绍 。 它们的 S域 (复频域 )
或 Z域模拟将在第六章中介绍 。
1-5 线性时不变系统分析方法概述在系统分析中,线性时不变系统分析具有重要意义 。 这是因为：一方面,实际工作的多数系统在指定条件下可被近似为线性时不变系统；另一方面,线性时不变系统的分析方法已经比较成熟,形成了较为完善的体系 。 而非线性系统与时变系统的分析虽然已经发展了一些实用方法,但作为普通的理论,至今尚未达到成熟的阶段 。
分析线性系统一般必须首先建立描述系统的数学模型,然后再进一步求得系统数学模型的解 。 在建立系统模型方面,
系统的数学描述方法可分两类：一类称为输入 -输出描述法；
一类称为状态变量描述法 。
输入 -输出描述法着眼于系统激励与响应的关系,并不涉及系统内部变量的情况 。 因而,这种方法对于单输入,单输出系统较为方便 。 一般而言,描述线性时不变系统的输入 -
输出关系,对连续系统是常系数线性微分方程,对离散系统是常系数线性差分方程 。
状态变量描述法不仅可以给出系统的响应,还可提供系统内部各变量的情况,特别适用于多输入,多输出系统 。
用这种方法建立的数学式为一阶标准形式,便于计算机求解 。 状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统,
已成为系统理论与近代控制工程的基础 。
从系统数学模型的求解方法来讲,基本上可分为时域方法和变换域方法两类 。
时域法是直接分析时间变量的函数,研究系统的时域特性 。 对于输入 -输出描述的数学模型,可求解常系数线性微分方程或差分方程；对于状态变量描述的数学模型,
则需求解矩阵方程 。 在线性系统时域分析方法中,卷积方法非常重要,不管是连续系统中的卷积还是离散系统中的卷积和,都为分析线性系统提供了简单而有效的方法,本书中将详细讨论这种方法 。
变换域方法是将信号与系统的时间变量函数变换成相应变换域的某个变量函数 。 例如,傅里叶变换 （ FT） 是以频率作为变量的函数,利用 FT来研究系统的频率特性；拉普拉斯变换 （ LT）
与 Z变换 （ ZT） 则注重研究零点与极点分布,对系统进行 S（ 复频率 ） 域和 Z域分析 。 变换域方法可以将分析中的微分方程或差分方程转换为代数方程,或将卷积积分与卷积和转换为乘法运算,使信号与系统分析的求解过程变得简单而方便 。
在分析线性时不变系统中,时域法和变换域法都以叠加性,线性和时不变性为分析问题的基准 。 首先把激励信号分解为某种基本单元信号,然后求出在这些基本单元信号分别作用下系统的零状态响应,最后叠加 。
应该指出,卷积方法求得的是零状态响应 。 变换域方法不限于求零状态响应,也可用来求零输入响应或直接求全响应,它是求解数学模型的有力工具 。 状态变量分析法适用于时域法和变换域方法 。
本书按照先输入 -输出描述后介绍状态变量描述,先连续系统后离散系统,先时域后变换域的顺序,研究线性时不变系统的基本分析方法 。
1.1 信号的描述及分类
1.2 信号的运算
1.3 系统的数学模型及其分类
1.4 系统的模拟
1.5 线性时不变系统分析方法概述习题 1
第 1章 信号与系统的基本概念
1.1 信号的描述及其分类
1.1.1 信号及其描述什么是信号 （ signal）？ 广义地说,信号是随时间变化的某种物理量 。 在通信技术中,一般将语言,文字,图像或数据等统称为消息 （ message） 。 在消息中包含有一定数量的信息
（ information） 。 但是,信息的传送一般都不是直接的,它必须借助于一定形式的信号 （ 光信号,声信号,电信号等 ）,
才能远距离快速传输和进行各种处理 。 因而,信号是消息的表现形式,它是通信传输的客观对象,而消息则是信号的具体内容,它蕴藏在信号之中 。 本课程将只讨论应用广泛的电信号,它通常是随时间变化的电压或电流,在某些情况下,
也可以是电荷或磁通 。 由于信号是随时间而变化的,在数学上可以用时间 t 的函数 f ( t ) 来表示,因此,,信号,与,函数,两个名词常常通用 。
信号的特性可以从两个方面来描述,即时间特性和频率特性 。
信号可写成数学表达式,即是时间 t 的函数,它具有一定的波形,因而表现出一定波形的时间特性,如出现时间的先后,
持续时间的长短,重复周期的大小及随时间变化的快慢等 。
另一方面,任意信号在一定条件下总可以分解为许多不同频率的正弦分量,即具有一定的频率成份,因而表现为一定波形的频率特性,如含有大小不同频率分量,主要频率分量占有不同的范围等 。
信号的形式所以不同,就因为它们各自有不同的时间特性和频率特性,而信号的时间特性和频率特性有着对应的关系,
不同的时间特性将导致不同的频率特性的出现 。
1.1.2 信号的分类对于各种信号,可以从不同的角度进行分类 。
1,确定信号和随机信号按时间函数的确定性划分，信号可分为确定信号和随机信号两类。
确定信号（ determinate signal）是指一个可以表示为确定的时间函数的信号。对于指定的某一时刻，信号有确定的值。
如我们熟知的正弦信号、周期脉冲信号等。随机信号
（ random signal）则与之不同，它不是一个确定的时间函数，
通常只知道它取某一数值的概率，如噪音信号等。
实际传输的信号几乎都具有不可预知的不确定性，因而都是随机信号。如，通信系统中传输的信号带有不确定性，
接收者在收到所传送的消息之前，对信息源所发出的消息是不知道的，否则，接收者就不可能由它得知任何新的消息，也就失去通信的意义。另外，信号在传输过程中难免受各种干扰和噪声的影响，将使信号产生失真。所以，一般的通信信号都是随机信号。但是，在一定条件下，随机信号也表现出某些确定性，通常把在较长时间内比较确定的随机信号，近似地看成确定信号，以使分析简化。
2．连续信号和离散信号按照函数时间取值的连续性划分,确定信号可分为连续时间信号和离散时间信号,简称连续信号和离散信号 。
连续信号 （ continuous signal） 是指在所讨论的时间内,对任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号,通常用 f ( t )
表示 。
离散信号 （ discrete signal） 是指只在某些不连续规定的时刻有定义,而在其它时刻没有定义的信号 。 通常用 f(tk) 或 f(kT)
[简写 f(k )] 表示,如图 1.1-2所示 。 图中信号 f (tk) 只在 t k = － 2,
－ 1,0,1,2,3,… 等离散时刻才给出函数值 。
3,周期信号和非周期信号按信号 （ 函数 ） 的周期性划分,确定信号又可以分为周期信号与非周期信号 。
周期信号 （ periodic signal） 是指一个每隔一定时间 T,周而复始且无始无终的信号,它们的表达式可写为
f ( t ) = f ( t + n T ) n= 0,1,2,…
满足此关系式的最小 T 值称为信号的周期 。 只要给出此信号在任一周期内的变化过程,便可确知它在任一时刻的数值 。 非周期信号 （ aperiodic signal） 在时间上不具有周而复始的特性 。
非周期信号也可以看作为一个周期 T趋于无穷大时的周期信号 。
4,能量信号与功率信号信号按时间函数的可积性划分,可以分为能量信号,功率信号和非功非能信号 。
信号可看作是随时间变化的电压或电流,信号 f(t) 在 1欧姆的电阻上的瞬时功率为
| f ( t ) | 2,在时间区间 所消耗的总能量定义为：),(
（ 1.1-1）
其平均功率定义为：
（ 1.1-2 ）
上两式中,被积函数都是 f ( t )的绝对值平方,所以信号能量
E 和信号功率 P 都是非负实数 。
若信号 f ( t )的能量 0 < E <,此时 P = 0,则称此信号为能量有限信号,简称能量信号 （ energy signal） 。
若信号 f ( t )的功率 0 < P <,此时 E =,则称此信号为功率有限信号,简称功率信号 （ power signal） 。
信号 f ( t )可以是一个既非功率信号,又非能量信号,
如单位斜坡信号就是一个例子 。 但一个信号不可能同时既是功率信号,又是能量信号 。
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一般说来周期信号都是功率信号，非周期信号或者是能量信号，或者是功率信号，或者既非能量信号又非功率信号。
属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号，它在有限时间范围内有一定的数值。
1.1.3 典型连续信号下面给出一些典型连续信号的表达式和波形,我们今后会经常遇到它们 。 典型离散信号的表达式及波形将在第五章中讨论 。
1,单位阶跃信号 （ unit step signal）
单位阶跃信号的定义为：
（ 1.1-3）
其波形在跃变点 t = 0处,函数值未定 。
0
0
1
0)(
t
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若单位阶跃信号跃变点在 t = t 0处,则称其为延迟单位阶跃函数 。
2.单位冲激信号 （ unit impulse signal）
单位冲激信号 ( t )是一个特殊信号,它不是用普通的函数来定义 。 它的工程定义如式 （ 1.1-5） 描述 。 这个定义由狄拉克
(P.A.M,Dirac) 提出,故又称狄拉克函数 。 它除在原点以外,
处处为零,并且具有单位面积值 。 直观地看,这一函数可以设想为一列窄脉冲的极限 。 如一个矩形脉冲 。
3,复指数信号 （ complex exponential signal）
0
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t
tt? 和
1)( dtt?
为复数，称复频率。f t e s js t( )
由于复指数信号能概括多种情况,所以可利用它来描述多种基本信号,如直流信号,指数信号,等幅,增幅或减幅正弦或余弦信号,因此,它是信号与系统分析中经常遇到的重要信号 。
上面我们介绍了几种最基本的信号,接着来介绍有关信号的各种运算 。
1.2 信号的运算
1.2.1 信号的相加与相乘两个信号相加 （ 相乘 ） 可得到一个新的信号,它在任意时刻的值等于两个信号在该时刻的值之和 （ 积 ） 。 信号相加与相乘运算可以通过信号的波形 ( 或信号的表达式 ) 进行 。
1.2.2 信号的导数与积分信号 f ( t )的导数是指 或记作 f ‘( t ),从波形看,它表示信号值随时间变化的变化率 。 当 f ( t ) 含有不连续点时,由于引入了冲激函数的概念,f ( t )在这些不连续点上仍有导数,
出现冲激,其强度为原函数在该处的跳变量 。
信号 f ( t )的积分是指或记作 f (-1)( t ),从波形看,它在任意时刻 t的值为从－到 t区间,f ( t )与时间轴所包围的面积 。
1.2.3 信号的时移和折叠信号 f（ t） 时移 (t0 > 0),就是将 f（ t） 表达式中所有自变量 t用 t 替换,成为 。 信号 f ( t )的折叠就是将
f ( t )表达式以及定义域中的变量 t 用 –t 替换,成为 f ( - t )。
1.2.4 信号的尺度变换尺度变换就是把信号 f ( t )以及定义域中自变量 t用 at去置换,
成为 f ( at )。
t
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1.3 系统的数学模型及其分类
1.3.1 系统的概念什么是系统 （ system）？ 广义地说,系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体 。 例如,
通信系统,自动控制系统,计算机网络系统,电力系统,水利灌溉系统等 。 通常将施加于系统的作用称为系统的输入激励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应 。
1.3.2 系统的数学模型分析一个实际系统,首先要对实际系统建立数学模型,在数学模型的基础上,再根据系统的初始状态和输入激励,运用数学方法求其解答,最后又回到实际系统,对结果作出物理解释,并赋予物理意义 。 所谓系统的模型是指系统物理特性的抽象,以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系统特性 。
系统模型的建立是有一定条件的,对于同一物理系统,在不同条件下可以得到不同形式的数学模型 。 另一方面,对于不同的物理系统,经过抽象和近似,有可能得到形式上完全相同的数学模型 。
1,3,3 系统的分类系统的分类比较复杂,我们主要考虑其数学模型的差异来划分不同的类型 。
1,连续时间系统和离散时间系统输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统 。 输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统 。 模拟通信系统是连续时间系统,而数字计算机就是离散时间系统 。
连续时间系统的数学模型是微分方程,而离散时间系统则用差分方程来描述 。
2,线性系统和非线性系统线性系统是指具有线性特性的系统 。 所谓线性特性 （ linearity）
系指齐次性与叠加性 。 若系统输入增加 k倍,输出也增加 k倍,
这就是齐次性 （ homogeneity） 。 若有几个输入同时作用于系统,而系统总的输出等于每一个输入单独作用所引起的输出之和,这就是叠加性 （ superposition Property） 。 系统同时具有齐次性和叠加性便呈现线性特性 。
一个系统的输出不仅与输入有关,还与系统的初始状态有关 。
设具有初始状态的系统加入激励时的总响应为 y ( t )；仅有激励而初始状态为零的响应为 y z s ( t ),称为零状态响应；仅有初始状态而激励为零时的响应为 y z i ( t ),称为零输入响应 。
若将系统的初始状态看成系统的另一种输入激励,则对于线性系统,根据系统的线性特性,其输出总响应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加 。
因此,一般线性系统必须具有：
a,分解性 （ decomposition property）,
即 y ( t )= y z s ( t )+ y z i ( t ) （ 1.3-6）
b,零输入线性 ——当系统有多个初始状态时,零输入响应对每个初始状态呈线性 。
c,零状态线性 ——当系统有多个输入时,零状态响应对每个输入呈线性 。
凡不具备上述特性的系统则称为非线性系统 。
3,时不变系统和时变系统只要初始状态不变,系统的输出仅取决于输入而与输入的起始作用时刻无关,这种特性称为时不变性 。 具有时不变特性的系统为时不变系统 （ time invariant system） 。 不具有时不变特性的系统为时变系统 （ time varying system） 。
对时不变系统,如果激励是 x(t),系统产生的响应是 y ( t )，
当激励延迟一段时间 td为 x ( t –td),则系统的响应也同样延迟
td时间为 y ( t –td),其波形形状不变 。 公式化地表示为：
若 x ( t ) y ( t )
则 x ( t – td) y ( t– td) (1.3-7)
系统的线性和时不变性是两个不同的概念,线性系统可以是时不变的,也可以是时变的,非线性系统也是如此 。 本课程只讨论线性时不变 （ LTI） 系统,简称线性系统 。 线性时不变连续 （ 离散 ） 系统的数学模型为常系数微分 （ 差分 ）
方程 。
4,因果系统和非因果系统因果系统（ Causal system）是响应不会超前激励的系统。
非因果系统（ noncausal system）是响应能领先于激励的系统。
1.4 系统的模拟如前所述,把一个实际系统抽象为数学模型,便于用数学方法进行分析 。 另外,还可借助简单而易于实现的物理装置,
用实验的方法来观察和研究系统参数和输入信号对于系统响应的影响 。 此时,需要对系统进行实验模拟 。 系统模拟
（ system simulation） 不需要仿制实际系统,而只需在数学意义上的等效,使模拟系统与实际系统具有相同的数学表达式 。
1.4.1 基本运算器连续系统的模拟一般需要三种基本的运算器：加法器,标量乘法器和积分器 。
模拟一个系统的微分方程不用微分器而用积分器,这是因为积分器对信号起,平滑,作用,甚至对短时间内信号的剧烈变化也不敏感,而微分器将会使信号的噪声大大增加,
因而使用较少,显然积分器的抗干扰性能比微分器好,运算精度高 。
1.4.2 连续系统的模拟图对于连续的线性时不变系统,可用线性常系数微分方程来描述,根据微分方程可作出相应的模拟图 。
构成系统模拟图的规则如下,(1)把微分方程输出函数的最高导数项保留在等式左边,把其它各项移到等式右边； (2)
将最高阶导数作为第一个积分器的输入,其输出作为第二个积分器的输入,以后每经过一个积分器,输出函数的导数阶数就降低一阶,直到获得输出函数为止； (3)把各个阶数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法器,
一齐送到第一个积分器前的加法器与输入函数相加,加法器的输出就是最高阶导数 。 这就构成了一个完整的模拟图 。
现在考虑更一般的情况，即微分方程右边含有输入函数导数的情况。例如，二阶微分方程
(1.4-8) )()(')()(')("
0101 txbtxbtyatyaty
则引入辅助函数，使 xqaqaq
01 '"
代入原方程
)'"()''"()()(')(" 01001101 qaqaqbqaqaqbtyatyaty
]'[]''[]"'[ 01001101 qbqbaqbqbaqbqb
qbqby 01 '
由此可见
1a?
0a?
)(tx "q
'q
)(ty
0b
1b
q
xqaqaq 01 '"
qbqby 01 '
完整的二阶系统模拟图：
根据系统模拟图列写微分方程的一般步骤：
（ 1） 选中间变量 q ( t ) 。 设系统最右端积分器的输出为 q ( t )；
（ 2） 写出各加法器输出信号的方程；
（ 3） 消去中间变量 q ( t ),可得微分方程 。
以上介绍了连续时间系统的时域模拟方法,关于离散时间系统的模拟将在第五章中介绍 。 它们的 S域 (复频域 )
或 Z域模拟将在第六章中介绍 。
1-5 线性时不变系统分析方法概述在系统分析中,线性时不变系统分析具有重要意义 。 这是因为：一方面,实际工作的多数系统在指定条件下可被近似为线性时不变系统；另一方面,线性时不变系统的分析方法已经比较成熟,形成了较为完善的体系 。 而非线性系统与时变系统的分析虽然已经发展了一些实用方法,但作为普通的理论,至今尚未达到成熟的阶段 。
分析线性系统一般必须首先建立描述系统的数学模型,然后再进一步求得系统数学模型的解 。 在建立系统模型方面,
系统的数学描述方法可分两类：一类称为输入 -输出描述法；
一类称为状态变量描述法 。
输入 -输出描述法着眼于系统激励与响应的关系,并不涉及系统内部变量的情况 。 因而,这种方法对于单输入,单输出系统较为方便 。 一般而言,描述线性时不变系统的输入 -
输出关系,对连续系统是常系数线性微分方程,对离散系统是常系数线性差分方程 。
状态变量描述法不仅可以给出系统的响应,还可提供系统内部各变量的情况,特别适用于多输入,多输出系统 。
用这种方法建立的数学式为一阶标准形式,便于计算机求解 。 状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统,
已成为系统理论与近代控制工程的基础 。
从系统数学模型的求解方法来讲,基本上可分为时域方法和变换域方法两类 。
时域法是直接分析时间变量的函数,研究系统的时域特性 。 对于输入 -输出描述的数学模型,可求解常系数线性微分方程或差分方程；对于状态变量描述的数学模型,
则需求解矩阵方程 。 在线性系统时域分析方法中,卷积方法非常重要,不管是连续系统中的卷积还是离散系统中的卷积和,都为分析线性系统提供了简单而有效的方法,本书中将详细讨论这种方法 。
变换域方法是将信号与系统的时间变量函数变换成相应变换域的某个变量函数 。 例如,傅里叶变换 （ FT） 是以频率作为变量的函数,利用 FT来研究系统的频率特性；拉普拉斯变换 （ LT）
与 Z变换 （ ZT） 则注重研究零点与极点分布,对系统进行 S（ 复频率 ） 域和 Z域分析 。 变换域方法可以将分析中的微分方程或差分方程转换为代数方程,或将卷积积分与卷积和转换为乘法运算,使信号与系统分析的求解过程变得简单而方便 。
在分析线性时不变系统中,时域法和变换域法都以叠加性,线性和时不变性为分析问题的基准 。 首先把激励信号分解为某种基本单元信号,然后求出在这些基本单元信号分别作用下系统的零状态响应,最后叠加 。
应该指出,卷积方法求得的是零状态响应 。 变换域方法不限于求零状态响应,也可用来求零输入响应或直接求全响应,它是求解数学模型的有力工具 。 状态变量分析法适用于时域法和变换域方法 。
本书按照先输入 -输出描述后介绍状态变量描述,先连续系统后离散系统,先时域后变换域的顺序,研究线性时不变系统的基本分析方法 。
