信号与系统第三章第 3章 连续信号与系统的频域分析
3.1 周期信号分解为傅里叶级数
3.2 信号在正交函数空间的分解
3.3 周期信号的频谱
3.4 非周期信号的频谱
3.5一些常见信号的频域分析
3.6 傅里叶变换的性质及其应用
3.7 相关函数与谱密度
3.8 连续系统的频域分析
3.9 信号的无失真传输和理想滤波器
3.10 希尔伯特变换
3.11取样定理
3.12 多路复用习题 3
第 3章 连续信号与系统的频域分析上一章讨论了连续时间信号与系统的时域分析 。 它是以冲激函数为基本信号,任意信号可以分解为一系列加权的冲激信号之和,而系统的零状态响应是输入信号与冲激响应的卷积 。 本章将以正弦函数或虚指函数为基本信号,任意信号可以表示成一系列不同频率的正弦信号或虚指函数信号之和 。 连续信号与系统的频域分析就是将时间变量变换为频率变量的分析方法,
这种方法以傅里叶 （ Fourier） 变换理论为工具,将时间域映射到频率域,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频率特性之间的密切关系 。
3.1 周期信号分解为傅里叶级数一个连续时间信号若每隔一定的时间 T 按相同的变换规律重复变化,此信号称为周期信号 。
3.1.1 三角型傅里叶级数由高等数学知识,以 T 为周期的周期信号 f(t),若满足下列狄里赫利 （ Dirichlet） 条件：
1,在一个周期内满足绝对可积，即
2,在一个周期内只有有限个极大值和极小值；
3,在一个周期内只有有限个不连续点。则可展开为如下三角型傅里叶级数
(3.1-2)
式中，也称基本角频率,系数 a0,an,bn 称为三角型傅里叶级数的系数，它们分别为
f t dtT
T
( )
2
2
)s i nc o s()(
1
000?
n
nn tnbtnaatf
(3.1-3a)
(3.1-3b)
(3.1-3c)
T dttfTa )(10
Tn t d tntfTa 0c o s)(2?
,2,1s i n)(2 0 nt d tntfTb
Tn
利用信号波形的对称性，可以方便地求取傅里叶级数的系数。
1,f(t)为偶函数
2,f(t)为奇函数
3,f(t)为偶谐函数
4,f(t)为奇谐函数
，则 只含有常数项和余弦项；而 。f t f t( ) ( ) bn? 0
,则 只含正弦项；而 。f t f t( ) ( ) a a n0 0 0,
，偶半波对称,则 只含有偶次谐波 。f t T f t( ) ( )
2
)()2( tfTtf,奇半波对称,则 只含有 奇 次谐波 。
若将式 (3.1-2)中同频率项合并,即三角型傅里叶级数可写成工程上更为实用的形式：
3.1.2 指数型傅里叶级数三角函数与虚指数函数有着密切的关系，根据欧拉（ Eular）
公式，有故三角型傅里叶级数和指数型傅里叶级数实质上是同一级数的两种不同的表现形式。
a n t b n t A n tn n n nc o s s i n c o s ( )0 0 0
f t A A n tn n
n
( ) c o s ( )
0 0
1
tjntjntjntjn eetneejtn 0000 21c o s,2 1s i n 00
于是,可将原傅里叶级数写成紧凑的形式
(3.1-10)f t F en jn t
n
( )?
0
这就是指数型傅里叶级数 。 将式 (3.1-3)中的 an和 bn代入式
(3.1-9a)即可求得指数型傅里叶级数的系数
(3.1-11)
一般情况下,Fn是关于变量 n?0的复函数，故又称为指数型傅里叶级数的复系数,
当 f(t)是实周期信号时，其傅里叶复系数 Fn的模和实部是 n?0
偶函数； Fn的相角和虚部是 n?0的奇函数。
指数型傅里叶级数中出现负频率分量,这只是一种数学表达形式,没有太多的物理意义 。 实际上,正负频率分量总是共轭成对地出现 。 一对共轭的正负频率分量之和构成一个实际的谐波分量,
F
T
f t e dtn
T
T
j n t?
1
2
2
0( )?
3.2 信号在正交函数空间的分解傅里叶级数表明,满足狄里赫利条件的任意周期信号可以用一系列正,余弦函数或虚指数函数的线性组合来表示 。
本节试图探讨是否还可以用其他函数的线性组合来表示一个任意函数 。
把信号分解为某种基本信号的叠加是分析信号和系统的基本思想。信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。本节首先回顾矢量的正交分解，然后引入函数正交的概念，最后讨论任意信号分解为正交信号之和。
3.2.1 矢量的正交与分解
3.2.2 正交函数矢量正交的概念可以推广到函数或信号。
3.2.3 用正交函数表示信号由 n个正交矢量构成一个 n维矢量空间，该矢量空间中的任意矢量均可按式 (3.2-4)进行分解。这同样可以推广到函数空间。
对于某给定信号,可以选择各种可能的完备正交函数集来表示 。
但三角函数集和虚指数函数集是最重要,最方便的,这是因为它们具有一些显著的优点 。
（ 1） 三角函数和指数函数是自然界中最常见,最基本的函数 。
（ 2） 三角函数和虚指数函数是简谐函数,用它们表示信号,
就自然建立了时间和频率这两个基本物理量之间的联系 。 很多系统 （ 例如滤波器,信息传输信道等 ） 的特性主要是由频域特性来描述的 。
（ 3）简谐信号容易产生、传输和处理。
（ 4）三角函数（或指数函数）信号通过线性时不变系统后，
仍为三角函数（或指数函数）信号，其重复频率不变，只是幅度和相位发生变化，给计算带来方便。
（ 5） 三角函数和指数函数的加,减,乘,微分和积分运算后仍然是三角函数和指数函数 。
（ 6） 以后我们会看到,时域中的卷积运算在频域中会转变为乘积运算,从而找到了计算积分的一种新的简便方法 。
3.3 周期信号的频谱式（ 3.1-4）和式（ 3.1-10）说明，周期信号可分解为各次谐波频率分量的叠加，而傅里叶系数 或 反映了不同谐波分量的幅度,或 反映了不同谐波分量的相位。
将它们沿频率 （或 ）轴分布的图形画出来，就称为周期信号的频谱（ Spectrum）图。
这种图形清晰地表征了周期信号的频域特性,从频域角度反映了该信号携带的全部信息 。
3.3.1 周期信号的单边频谱和双边频谱周期信号的三角型傅里叶级数中,分量的形式
,为整数,故把 随 变化的图形 称为单边幅度频谱,把 随变化的图形称为单边相位频谱,两图合在一起称为的单边频谱 。
0?n
nA nF
n? n?
)c o s ( 0 nn tnA
0?n nA 0?n A nn ~? 0
n n~ 0
类此,周期信号的指数型傅里叶级数中,
把 随 变化的图形 称为双边幅度频谱,把随 变化的图形 称为双边相位频谱 。 两图合在一起称为的双边频谱 。
画频谱图时必须注意下面几点：
（ 1）,但当 时,;
（ 2） 三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；
（ 3） 由于 表示振幅,故 ；
（ 4） 当 f(t) 是实信号时,双边幅度频谱 是的偶函数,双边相位频谱 的奇函数；
（ 5） 为了使图形清晰,采用竖线代替点的办法来表示相应幅度或相位的数值,称为谱线,谱线只在基波的整倍数处出现 。
nF 0?n
0?nn?
F nn ~? 0
n n~ 0
nA 0?nA
00 AF?
2
n
n
AF?0?n
F nn ~? 0
n n~ 0
一般情况下,是关于 的复函数 。 但当 f(t) 是实偶函数,
也为实偶函数；而 f(t)为实奇函数时 为虚奇函数 。 故若将一般的实信号分解为偶分量和奇分量之和,由式 (2.3-6)和式
(3.1-12),有若 的频谱是,则 的偶分量 的频谱是的实部,即 ；而 的奇分量 的频谱是 的虚部乘以
j,即 。
nF 0?n
nF nF
nnn IRF j )()()( tftftf oe
)(tf nF )(tf )(tfe nF
nR )(tf )(tfo nF
nIj
信号的频谱图和信号的波形图同样都形象地描述了信号的全部特性,前者是信号的频域描述法,而后者是信号的时域描述法 。
周期信号的频谱有如下特点：
(1) 离散性：谱线沿频率呈离散分布,这种频谱称为离散频谱；
(2) 谐波性：各谱线间呈等距分布,相邻谱线间的距离正好等于基波频率,不可能包含不是基波整数倍的其它频率分量；
(3) 收敛性,（ 或 ） 一般随 总是趋于零 。?tnAnF
3.3.2 周期信号的功率谱周期信号属于功率信号 。 为了方便,研究周期信号在 1? 电阻上消耗的平均功率,称为归一化平均功率,如果 是实信号,无论它表示电压还是电流,其平均功率为
(3.3-2)
式中,T 为周期信号的周期 。
(3.3-6)
式 (3.3-6)称为帕什瓦尔 （ Parseval） 定理 。 也称功率等式 。 该式表明周期信号的平均功率不仅可以在时域中求取,
还可以在频域中确定 。
)(tf
)(tf
T dttfTP )(1 2
P F F A An
n
n
n
0
2 2
1
0
2
2
1
2 2
从式 (3.3-6b)右边两项分别就是周期信号的直流分量和各次谐波分量在 1?电阻上消耗的平均功率，因此，它表明了周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。把各平均功率分量即 随变化的图形 称为周期信号的功率频谱，简称功率谱（ Power spectrum ）。显然，周期信号的功率谱也是离散频谱。可见，功率谱是相应的双边幅度频谱的平方，而与相应的相位谱无关。从周期信号的功率谱中可以看出各平均功率分量的分布情况，另外还可以确定在周期信号的有效频带宽度内谐波分量所具有的平均功率占整个周期信号的平均功率之比。
2nF 0?n
02 ~?nF n
3.4 非周期信号的频谱前面几节讨论了周期信号的频谱,在自然界里除了周期信号外,还广泛存在着非周期信号 。 这些非周期信号能否分解为指数型级数,应该如何分解 。 这些就是本节要讨论的问题 。
3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换对于周期信号 可以表示成指数型傅里叶级数,即写成
(3.4-2)
和 (3.4-3)
)(tfT
n
tjn
nT eFtf
0)(?
dtetf
T
F tnj
T
T
Tn
0
2
2
)(
1
由上节对周期矩形脉冲信号的讨论已经知道,当 T变大时,
基本角频率 变小,相应的离散谱线变密,此时各频率分量的幅度也变小,频谱包络线的形状不变 。 当 T趋于无限大时,尽管频谱包络线的形状不变,但谱线都趋于无穷小 。
如果此时仍然讨论展开为傅里叶级数问题已经没有实际意义 。
为了描述非周期信号的频谱特性,考虑到 T非常大时,就变得非常小,可用 来表示 。 式 (3.4-3)可改写成
T
2
0?
0?
dtetfTF tnj
T
T
Tn
0
2
2
)(
(3.4-4)
当 时,,用 来表示；
用 来表示；离散变量变成连续变量；同时将求和改为积分；则非周期信号可表示为
T 0dn
f t F j e dj t( ) ( )?
12
这样,可以把非周期信号表示为无穷期指数信号的积分,
称为傅里叶积分,简称为傅氏积分 。
同时根据式 (3.4-4),(3.4-5)有
(3.4-7)
F j TF f t e dt
T n
j t( ) lim ( )
今后为了书写的简便,常将 写成 。
式 (3.4-7)和式 (3.4-8)称为傅里叶变换对,其中式 (3.4-8)称为傅里叶正变换,简称傅氏变换 。 而式 (3.4-7)称为傅里叶反变换,简称傅氏反变换 。 并采用下列记号：
(3.4-9)
与的对应关系还可简化为
(3.4-10)
(3.4-8) dtetfjF tj
)()(
)(?jF )(?F
)()(?Ftf?
)](F[)( tfF
)]([F)( 1?Ftf
3.4.2 频谱函数的物理意义及其自身特性周期信号的指数型傅里叶级数表明,周期信号可以分解为无限多个频率为,复振幅为 的指数分量 的离散和；
而非周期信号 的傅里叶积分则表明非周期信号可以分解为无限多个频率为,振幅为的指数分量 的连续和（积分）。这样，周期信号的分解就推广到非周期信号。
n
tjn
nT eFtf
0)(?
0?n
nF tjne 0?
)(tf
)(?F?
d2 )(F
从上式可以看出,是单位频带的复振幅 。 具有密度的概念,因此称为频谱密度函数 （ Spectrum density
function ）,简称为频谱函数或频谱密度,在与周期信号频谱不发生混淆的情况下也简称为频谱 。 由 3.3节可知,信号在时域中是连续,周期的,其频谱在频域中是离散,
非周期的；从本节傅里叶变换定义可知,信号在时域中是连续,非周期的,其频谱在频域中也是连续,非周期的 。 以后我们将会知道,信号在时域中是离散,非周期的,其频谱在频域中是连续,周期的；信号在时域中是离散,周期的,其频谱在频域中也是离散,周期的 。
一般是的复函数,可以写作
(3.4-13)
)(?F
)(je)()( FF?
式中 是 的模,它代表信号中各频率分量幅度的相对大小； 是 的幅角,它表示信号中各频率分量之间的相位关系 。 习惯上把和 的曲线也分别称为幅度频谱和相位频谱 。
非周期信号的频谱密度与相对应的周期信号的傅里叶复系数之间的关系是
)(?F
)(?F
)(?F
)(
~)(F
~)(
0
0
)(
lim)(
n
n
nnT
T
F
F
TFF
应用上述关系可以较方便地从周期信号的求取相应的非周期信号的,或者相反 。 在形状上与相应的周期信号的频谱包络线相同 。
3.4.3 傅里叶变换的存在性非周期信号 是否存在傅里叶变换,仍应满足类似于傅里叶级数的狄里赫利条件,不同之处仅仅在于一个周期的范围,即要求信号在无限区间内绝对可积 。 利用式 (3.4-8),有
(3.4-21)
上式表明，若 满足无限区间内绝对可积，则必然有界。但这仅是充分条件而不是必要条件。这意味着满足绝对可积条件的能量信号其 必然存在。但是，如果在频域内引入广义函数后，对于并不满足绝对可积条件的功率信号，甚至某些非功率非能量信号，其 也存在，
且有确定的表达式。这给信号的频域分析与系统的频域分析带来很大的方便。
f t dt( )
)(tf )(?F
)(tf )(?F
)(?F
)(?F
3.5 一些常见信号的频域分析常见信号是组成复杂信号的基础,如果再与下一节讨论的傅里叶变换性质结合起来,
几乎可以分析工程中遇到的所有信号的频谱 。 本节讨论的信号中,有的不满足绝对可积的条件,引入广义函数的概念以后,使许多不满足绝对可积条件的功率信号和某些非功率,
非能量信号也存在傅里叶变换,而且具有非常清楚的物理意义,这样就可以把周期信号和非周期信号的分析方法统一起来,使傅里叶变换应用更为广泛 。
1.矩形脉冲
A
t2?2
)(?F
2
2?
A
)2()( SaAF?
2,三角形脉冲
t0
A
A
2
2?
)(?F
)2()( 2 SaAF?
3.单边实指数脉冲
4,双边实指数脉冲
5.符号函数符号函数 (或称正负号函数 )如图 3.5-5(a)所示 。 显然这种信号不满足绝对可积的条件,直接用定义式也无法得到它的傅里叶变换 。 如果将看成是下列函数的极限
01
01)(
t
ttSgn
j
j 22lim
220
][lim)( 00
0
dteedteetSgn tjttjt
]11[lim
0 tjj
6.单位冲激函数单位冲激函数是实偶函数,其傅里叶变换也应是实偶函数,有
(3.5-14)
即单位冲激函数频谱是常数 1,其时域,频域图形如图所示 。
也就是说,在时域中变化异常剧烈的冲激信号包含幅度相等的所有频率分量,即其频谱密度在整个频率范围内是均匀分布的 。
这样的频谱常称为,均匀谱,或,白色频谱,。
1
)()(
0
t
tj
tj
e
dtett
)(?F
0
1
7.直流信号 1
根据傅里叶反变换定义,有得直流信号 1的傅氏变换
8.虚指数信号
( )t e dj t?
12
F e dtj t( ) ( )
2
)(2 00tje
考虑到冲激函数是偶函数，可得如下重要公式
e dx yj x y?
2 ( )
9.单位阶跃信号
n
n nFFtf )(2)()( 0
两边取傅里叶变换，得周期信号的频谱为
jt
1)()(
由此,可以得到周期信号的傅里叶变换公式：
周期信号的傅里叶级数
T
eFtf
n
tjn
nT
2)(
0
0
3.6 傅里叶变换的性质及其应用傅里叶变换建立了信号时域和频域的一一对应关系 。 也就是说任一信号可以有时域和频域两种描述方法 。 信号在一个域中所具有的特性,必然在另一个域中有其相对应的特性出现 。 为了进一步了解时域和频域之间的内在联系,当在某一个域中分析发生困难时,利用傅里叶变换的性质可以转换到另一个域中进行分析计算；另外,根据定义来求取傅里叶正,
反变换时,不可避免地会遇到繁杂的积分或不满足绝对可积而可能出现广义函数的麻烦 。 下面将系统地讨论傅里叶变换的性质及其应用,从而用简捷的方法求取傅里叶正,反变换 。
1,线性
2,对称性：
3,尺度变换
)(2)()()( ftFFtf 则若为实常数则若 aaFaatfFtf )(1)(),()(
尺度变换特性也称比例性。
4,时移性
5,频移性
0)()(),()( 0 tjeFttfFtf 则若
)()(),()( 00 FetfFtf tj则若由频移特性，
1 2( )
c o s [ ] [ ( ) ( )]0 0 012 0 0t e ej t j t
s in [ ] [ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
0 0 0
0 0
1
2
0 0t
j
e e
j
j
j t j t
由公式 可得
6,卷积定理有两个卷积定理,一个为时域卷积定理,另一个为频域卷积定理 。
时域卷积定理频域卷积定理卷积定理在信号和系统分析中占有重要的地位,它说明了两函数在时域 （ 或频域 ） 中的卷积积分,对应于频域 （ 或时域 ） 中两者的傅里叶变换 （ 或反变换 ） 应具有的关系 。
)()()()()()(
)()(),()(
GFYtgtfty
GtgFtf
则若
)()(2 1)()( GFtgtf
7,时域微分和积分则
8,频域微分和积分
)()(?Ftf?若
)()0()()( FjFdft
d
d t f t j F( ) ( )
d
dFtfjtFtf )()()()()( 则若
n
n
n
d
Fdtfjt
)()()(推广
(1) 频域微分
(2)频域积分
f t j f tt F d( ) ( ) ( ) ( )0
3.7 相关函数与谱密度信号的频谱是频域中描述信号特征的方法之一,此外,
还可以用能量谱密度或功率谱密度来描述信号 。 而相关是在时域中描述信号特征的重要方法 。 这一节中,将通过相关函数的傅里叶变换,从而找到从频域计算能量信号的能量谱密度和功率信号的功率谱密度的另一种方法 。 为了简便起见,我们只讨论实信号 。
3.7.1 能量谱密度 （ Energyspectral density）
第一章中已经定义了实能量信号的能量为
dttfE )(2
式 (3.7-1)表示电压或电流信号在 1?电阻上所消耗的能量。
（ 3.7-3）
上式也称为帕什瓦尔定理或非周期能量信号的能量等式 。
为了了解能量在频域中的分布情况,定义能量谱密度为
(3.7-4)
E F d?
12 2( )
E Ff ( ) ( ) 2
3.7.2 功率谱密度（ Power spectral density）
若是实功率信号,则其平均功率定义为
(3.7-7)
将式 (3.7-8)和式 (3.7-9)代入式 (3.7-7),可得到功率信号的平均功率为
(3.7-10)
式中
(3.7-11)
称为功率信号的功率谱密度 。
2
2
2 )(1lim
T
T
T
dttf
T
P
dPd
T
F
P f
T
T
T
T
)(
2
1)(
lim
2
1 2
2
2
T
FP T
Tf
2)(
lim)(
3.7.3 相关函数在很多情况下,需要比较两个信号的相似程度 。 相关函数是研究随机信号而引入的概念,但对确定信号同样适用 。
互相关函数定义：
自相关函数定义：
相关运算和卷积运算之间的关系。
3.7.4 相关函数的谱密度尽管相关函数的概念是建立在信号时域波形之间,但它却与能量谱密度函数或功率谱密度函数之间存在着确定的关系 。
dttftfR )()()( 2112
dttftfR )()()(
根据时域卷积定理可以证明
(3.7-21)
或 (3.7-22)
可见,互相关函数与是一对傅里叶变换,具有能量谱的性质,
通常称为能量信号和的互能量谱密度,简称互能量谱 。
如
)()()( 2112 FFR
)()(1lim)( 2112
TTT
FFTR
F( )? 2
A
)(tf
t
2
2
2
2
2
2?
F( )? 2
F( )?
同样,可得能量信号：
)()()()()( 2 fEFFFR
)()(
1
lim
)()(
1
lim)(
2
fT
T
TT
T
PF
T
FF
T
R
功率信号：
3.8 连续系统的频域分析方法系统的频域分析就是寻求不同信号激励下其响应随频率变化的规律 。
本节将以信号的频谱分析为基础,讨论信号作用于线性系统时在频域中求解零状态响应的方法,这种系统的频域分析法又称为傅里叶变换分析法 。
3.8.1 傅里叶变换分析法线性时不变系统的数学模型可以用一个 n阶常系数线性微分方程来描述,即
)()(')()(
)()(')()(
01
)1(
1
)(
01
)1(
1
)(
txbtxbtxbtxb
tyatyatyatya
m
m
m
m
n
n
n
n
对上式两边取傅里叶变换,由时域微分性质,可得可见,通过傅里叶变换,可以把常系数线性微分方程变成关于激励和响应的傅里叶变换的代数方程 。 从而使问题得以简化 。 于是得输出响应的傅里叶变换为
)(])()()([
)(])()()([
01
1
1
01
1
1
Xbjbjbjb
Yajajaja
m
m
m
m
n
n
n
n
)(
)()()(
)()()()(
01
1
1
01
1
1?
X
ajajaja
bjbjbjbY
n
n
n
n
m
m
m
m
)()( XH?
是两个关于 的多项式之比,其中分母与分子多项式的系数分别是微分方程左边与右边相应项的系数 。
定义为系统在零状态条件下响应与激励的频谱之比,
称为系统的 （ 频域形式的 ） 系统函数 ( System function )，
也称为频率响应特性 （ 简称频率响应 ） 。 显然 是的复函数,它表征了系统的频率特性,是系统特性的频域描述 。 对于一个系统来说,如果已知,和中的两个,便可方便地确定第三个 。
)(?H
)(?H
j
)(?H
)(?H )(?X
)(?Y
1．求取激励的傅里叶变换，即
2,确定系统的系统函数 ；
3,求取响应的傅里叶变换 ；
4,再将从频域反变换到时域,从而求得零状态响应的时间函数 。
由于傅里叶变换的积分区间为,因此,
频域分析法求取的响应是零状态响应 。 或者说,由于无法表示系统的初始储能,频域分析法无法求得其零输入响应 。
在傅里叶变换分析法中,系统函数起着重要的作用,有必要进行进一步地讨论,以便更好地理解傅里叶变换分析法的实质 。
3.8.2 系统特性的频域表征
)()(?Xtx?
)(?H
)()()( XHY?
)(ty
),(
系统函数 描述了系统在零状态条件下响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之间的关系,可以按照式 (3.8-3)
由系统的微分方程求得 。 可见,系统函数只与系统本身的特性有关,而与激励无关 。
系统函数是系统的冲激响应的傅里叶变换,这是一个十分重要的变换对 。 系统的冲激响应和系统函数这一变换对分别从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性 。
)(?H
)()(?Hth?
当系统的激励为无时限虚指数信号时,系统的零状态响应由时域卷积积分可求得,为
(3.8-5)
上式表明,当一个无时限虚指数信号作用于线性系统时,
其输出的零状态响应仍为同频率的虚指数信号,不同的是响应比激励多乘一个与时间 t无关的系统函数 。
x t e tj t( ) ( )y t x t h t h e d
e h e d e H
j t
j t j j t
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
)(?H
根据式 (3.8-5),可以更深刻地理解傅里叶变换分析法的物理意义 。 它实质上就是把信号分解为无穷多个虚指数分量之和,
即其中在 范围内的分量为,
由式 (3.8-5),对应于这个分量的响应为
,当把无穷多个响应分量叠加起来,便得到了总响应,即
tjtj edXdeXtx ]2 )([)(2 1)(
d? X d e j t( )
2?
X d H e j t( ) ( )
2?
y t Y e dj t( ) ( )?
12(3.8-6)
这里可以看出,系统的频域分析法与时域分析法存在相似之处 。 在时域分析法中是把信号分解为无穷多个冲激信号之和,即把冲激信号作为单元信号,然后求取各单元信号作用于系统的响应,再进行叠加；而在频域分析法中则是把信号分解为无穷多个无时限虚指数信号之和 。
即把虚指数信号作为单元信号,然后求取各个单元信号作用于系统的响应,再进行叠加 。 因此,这两种分析法只不过是采用单元信号不同 。 另外,卷积分析法是直接在时域中求解系统的零状态响应,而傅里叶变换分析法则是在频域中求解系统的零状态响应的傅里叶变换后,再反变换到时域中去 。 这两种分析方法可以通过傅里叶变换的时域卷积定理联系起来 。
系统函数表征了系统的频域特性,是频域分析的关键,如上所述,系统函数有下列几种求解的方法：
1．当已知系统微分方程时，可以对微分方程两边取其傅里叶变换，按照式 (3.8-3)直接求取；
2,当已知系统的冲激响应时,可以对其求傅里叶变换来求取；
3,可假设时的零状态响应与的比来求取；
4,当已知具体电路的情况下,系统函数可以由电路的零状态响应频域等效电路模型来求取 。 而无需列写电路的微分方程 。
x t e tj t( ) ( )
3.8.3 傅里叶变换分析法举例这里我们先讨论系统的非周期信号的响应,然后讨论系统的正弦信号稳态响应,最后讨论系统的一般周期信号的响应 。
系统的正弦信号稳态响应：
激励下的稳态响应例：求系统在周期信号 ttx 0c o s)(
)](c o s [)()( 000 tHty
为
3.9 信号的无失真传输和理想滤波器由于表示信号的时间函数与其在频域中频域函数相互存在着一一对应关系 。 系统对于给定激励的响应问题,从信号分析的角度来看,就是对激励信号的频谱进行加工和改造,结果使响应信号的波形有别于激励信号 。
3.9.1 无失真传输条件信号通过系统后,有时不希望产生失真,例如通信系统中对信号的放大或衰减；有时希望产生预定的失真,例如脉冲技术中的整形电路 。 下面讨论系统对信号无失真传输时,应该具有怎样的时域和频域特性 。
从时域来看,无失真传输的条件是指响应与激励的相比只有幅度大小和出现时间先后的不同,而波形没有变化 。 如果激励信号为 x(t),无失真传输的响应为 y(t),应满足
(3.9-1)
式中,k 是一个与时间 t 无关的常数,是信号通过系统后的延迟时间 。 如果不满足式 (3.9-1)就称为有失真传输 。
)()( dttkxty
dtjekXY )()(
下面从频域来看,若对式 (3.9-1)两边取傅里叶变换,根据时移性质,可得
(3.9-2)
由上式可知,信号传输无失真,系统的频率响应函数应为
(3.9-3a)
系统幅度频谱和相位频谱分别为
(3.9-3b)
)()()( jtj eHkeH d
通频带为无穷大,)()1( kH
成正比相频特性与,)()2( dt
式 (3.9-3)就是为使信号无失真传输对系统频率响应函数提出的要求,（ 1） 在全部频率范围内,系统的幅频特性应为一常数,即系统的通频带应为无穷大； （ 2） 系统相频特性应为通过原点的直线,即应与成正比 。
系统无失真传输的频域特性如图 3.9-2所示 。
k )(?H
)(?H?
信号的无失真传输条件式 (3.9-3)是系统无失真传输的条件,根据信号与传输系统的具体情况或要求,以上条件可以适当放宽,如在传输有限带宽信号时,只要在信号所占有的频带范围内,系统的幅度,相位特性满足式 (3.9-3b)条件就可以了 。
对于线性系统来说,工程上其幅频特性和相位特性都可能不满足式 (3.9-3)的条件,或者说,幅度和相位都可能产生失真或崎变 。 而且幅度失真和相位失真起着相互不可替代的作用 。
在不同的应用场合,对幅度失真和相位失真的要求不尽相同 。
由于人耳对相位失真敏感度较差,因而在语言传输的场合,人们主要关注的是幅度失真 。 它会明显影响语音传输的音质,音调和保真度,而相位失真在很大程度上不会影响语音的可懂性 。
当然,如果相位失真过大也是不允许的 。
例如将一句话表示为 x(t),则 x(-t) 为一句话倒过来讲,两者的差别仅在于相位相差,但此时人们无法听懂这句话了 。 而对于图象传输的情况,由于人眼的视觉特性对相位失真十分敏感,
它会严重影响图象的轮廓和对比度,因此人们主要关注的是相位失真 。
最后指出,对于一个系统,如果输出信号中出现了输入信号所没有的新的频率分量,通常将系统这样的失真称为非线性失真 。
当然,在线性系统中不会出现非线性失真,上述幅度失真和相位失真统称为线性失真 。
3.9.2 理想滤波器前面已经指出,为使信号在传输过程中尽量不产生失真,要求系统的频率特性在信号的带宽范围内满足不失真传输的条件,而理想滤波器是能满足这种要求的系统,因此它在系统分析中得到广泛应用 。
理想低通滤波器 1
)(?H
)(?H?
理想低通滤波器的频率特性由于理想低通滤波器的通频带不为无穷大,而是有限值,故这一系统又称为带限系统,显然信号通过这种带限系统时,
还会产生失真,失真的大小一方面取决于带限系统的频带宽度,另一方面取决于信号的频带宽度 。
下面以理想低通滤波器为例,讨论该系统的单位冲激响应 。
设,则其频谱,理想低通滤波器的响应的频谱,得单位冲激响应为
h t k Sa t tC C d( ) [ ( )])(th
t
dts t h t( ) ( )( ) 1
t
st( )
C
C
定义：上升时间，为
t r
C
2?
可见，系统失真了。
再讨论其阶跃响应：
3.9.3 物理可实现系统对系统函数的要求从时域来讨论：
00)(
00)(
tts
tth
从频域来讨论：必须满足佩利－维纳准则：
21
)(ln
H
3.10 希尔伯特变换希尔伯特（ Hilbert）变换揭示了由傅里叶变换联系的时域和频域之间的一种等价互换关系，它与傅里叶变换的对称性有紧密的联系。希尔伯特变换所得到的概念和方法在信号与系统以及信号处理的理论和实践中有着重要的意义和实用价值。
3.10.1 希尔伯特变换的定义为了引出希尔伯特变换，首先考察因果系统的特性。由 3.9
节讨论可知，佩利－维纳准则只对系统的幅度频谱提出了约束条件，它只是系统物理可实现的必要条件，为此，还必须寻求对系统相位特性的约束条件。系统可实现性的实质是系统必须具有因果性。由于因果性的制约，系统函数的实部与虚部或模与相位之间会有某种相互制约的特性，这种特性以希尔伯特变换的形式表现出来。
式 (3.10-3a)和 (3.10-3b)称为希尔伯特变换对。由于这一对变换都是频率的函数,所以又称为频域希尔伯特变换。它表明一个具有因果性的系统函数 所具有的特性。换言之，
因果系统 的实部和虚部相互是不独立的，即实部可以由虚部唯一地确定，反之亦然。因此，因果系统的系统函数可以仅由其实部或虚部唯一地表示，即
H( )?
H( )?
d)(1j)()(
-
RRH
)(jd)(1)(
-
IIH
或
3.10.2 解析信号的希尔伯特变换表示法由傅里叶变换可知，实时间信号可以分解为偶分量和奇分量，其傅里叶变换在频域中表现为复值函数，但其实部和虚部，
或者模和相位分别是频域的实偶函数和实奇函数，这种特性称之为实信号在时域中表现为奇偶对称性，对应地其频谱在频域中表现为（复）共轭对称性。
由上一小节的讨论，当实时间信号是因果函数时，不仅满足上述时域奇偶对称性及其频域共轭对称性，而且其频谱的实部和虚部，还可以用希尔伯特变换来联系，或者说，频谱的实部和虚部只有一个是独立的。根据傅里叶变换时域和频域之间的对称特性可以想象，上述时域和 频域的这些特性可以有对等互换的关系，即若频谱是实因果函数，那么，其时域表达一定是复值函数，其时域复值函数的实部和虚部必然是共轭对称的，而且还必然满足希尔伯特变换。
3.10.3 希尔伯特变换的基本性质常见性质都可以用希尔伯特变换的定义和变量代换的方法加以证明。
3.11 取样定理前面主要讨论的是连续时间信号，除此之外，还有离散时间信号，离散时间信号可以从每隔一定时间对连续时间信号进行取样（也称抽样）来获得。
取样定理（也称抽样定理）论述在一定条件下连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（样本值）
来表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以没有失真地恢复原信号。取样定理为连续时间信号与离散时间信号相互转换提供了理论依据。
3.11.1 时域取样所谓“取样”就是利用取样脉冲序列 s(t),从连续信号
f(t) 中“抽取”一系列离散样本值的过程，这时所得到的离散信号称为取样信号。
不难看出，在数学上斩波实质上是连续信号 f(t) 与取样脉冲序列 s(t) 作相乘运算。取样信号 fS(t) 可写成
f t f t s tS ( ) ( ) ( )
其频谱分别为
n
sn nFS )(2)(
n
sns nFFSFF )()()(2
1)(
和
3.11.2 自然取样
n
tjn
n
seFts?)( )
2(
s
s
n
nSa
TF?
取样脉冲序列 s(t)的频谱取样信号 fS(t)的频谱
)()
2
(
)(
)()(
2
1
)(
s
n
s
s
n
sn
s
nF
n
Sa
T
nFF
SFF
3.11.3 理想取样取样信号 fS(t)的频谱
)()(2 1)(?
n
sss nFF
)(1)()(1
n
s
sn
s
s
nF
T
nF
T
3.11.4 时域取样定理时域抽样定理可见，抽样定理必须满足两个条件：
一个在 频谱区间 ( )以外为零的频带有限信号 (带限信号 ),可以唯一地由其均匀时间间隔 上的抽样值 确定。
f t( )
m m,
f nTS( )
T T
fS S m
12
1,必须为 带限信号,即在f t( ) m 时，
其频谱 ；F ( ) 0
2,抽样频率不能过低,必须满足 。f fS m? 2
3.11.5 信号的恢复前面的讨论已经看到一个带限信号在满足取样定理的情况下，可以通过理想低通滤波器从取样信号 fS(t) 中恢复原来的连续信号 f(t) 。这一结论是从频域中考察取样信号的频谱直观的得到的，为了对从样本重建信号的过程有更深入的了解，这里再从时域的角度研究这一过程。
f t f nT Sa t n
f nT Sa f t nT
S
n
m
S
n
S S
( ) ( ) [ ]
( ) [ ( )]
结果为最后指出，上述用理想取样得到的结论，对于自然取样，
或其它实际脉冲序列所进行的取样，最后所得到的结论没有本质的差别。
3.11.6 频域取样通过前面的讨论可以看出，取样的本质是将一个连续变量的函数离散化的过程。因此不仅可以对时域的连续信号进行取样，也可以在频域对一个连续的频谱进行取样。通过取样将信号在时域或频域离散化，这对于应用数字技术分析和处理信号具有重要的意义。本小节将采取与上一小节对偶的方法来分析频域取样的情况。将会看到，频域取样所得到的所有结论与时域取样的结论是对偶的。这正是连续时间信号时域与频域存在对称性的体现。
)(1)(?
n
s
s
S nTtftf?
对偶地频域抽样定理一个在 时域区间 ( )以外为零的有限时间信号 (时限信号 ) 的频谱函数,可以唯一地由其均匀频率间隔f t( )
mm tt,?
)( SnF
m
SS tff 2
1
)(?F
上的抽样值 确定。
在讨论时域取样时，要求信号必须是带限的；在讨论频域取样时，要求信号必须是时限的。一切带限信号都可以看成是任意信号经过理想低通滤波器后所产生的；一切时限信号都可以看成是任意信号与矩形窗相乘而产生的。因此，
带限信号在时域中可以表示为任意信号与理想低通滤波器单位冲激响应的卷积积分；时限信号在频域中可以表示为任意信号的频谱与矩形窗频谱的卷积积分。由于理想低通滤波器的单位冲激响应和矩形窗的频谱都具有取样函数的形状，该函数非零区间都是无限的，因此可以得出以下重要的结论：一切带限信号在时域中都是非时限的；一切时限信号在频域中都是非带限的。这一结论对于今后利用数字信号处理技术处理连续时间信号具有重要的意义。
有关频域取样的进一步研究，有兴趣的读者可参阅有关文献。
3,12 多路复用在同一个传输频道内同时传送多路不同信号的概念和方法，
称为多路复用。多路复用是提高通信设备有效率和传输信道利用率的主要手段之一。目前，已被广泛采用的多路复用方法有频分复用（ FDM）、时分复用（ TDM）、正交复用
（ QDM）和码分复用（ CDM）等。本节仅对频分复用和时分复用作简单的原理性介绍。尽管多路复用的原理和方法有所不同，但都与调制与解调有直接的联系。
3.12.1 调制与解调在许多通信系统中，调制与解调是实现信号传递必不可少的重要手段。所谓调制就是用一个信号去控制另一个信号的某个参量，产生已调制信号；解调则是相反的过程，即从已调制信号中恢复出原信号。信号从发送端到接收端，为实现有效、可靠和远距离的信号传输，都需要调制与解调。
几乎所有要传送的信号都只占据有限的频带，且都位于低频或较低的频带上。同样地，许多用作传输的信道（例如架空明线、电缆、光缆和自由空间等），也都有其最合适于传输信号的频率范围，与信号的频带相比，一般都位于高频或很高的频率范围上，且实际信道有用的频带范围通常远宽于信号的带宽。要克服这两方面的不匹配，利用调制能很好地解决这两个问题。傅里叶变换中的调制定理是实现频谱搬移的理论基础，形成了所谓的正弦幅度调制，即一个信号的幅度参量受信号控制的一种调制方式。只要正弦信号（称为载波）
的频率落在适合信道传输的频率范围内就可以在信道中很好地传输。将频谱相同或不同的多个信号调制在不同频率的载波上，只要适当地安排各个载波频率，就可以使各个调制信号的频谱互不重叠，在接收端就可以用不同的滤波器把它们区分开来。在一个信道上互不干扰地传送多个信号，这就是多路复用的概念和方法。由此产生了多路通信复用技术，无论是在无线通信还是在有线通信中都被广泛地应用。
用正弦信号作为载波的一类调制称为正弦载波调制，除了正弦幅度调制和调幅（ AM）外，还有正弦频率调制（ FM)，和正弦相位调制（ PM）。它们是用信号分别去控制正弦载波的另外两个参量（瞬时频率和瞬时相位）的调制方式。上述调制中的正弦载波信号仅作为信息的载体，其本身并不包含任何需要传送的信息。
用非正弦周期信号作为载波的另一类调制称为脉冲调制，
用信号去控制周期脉冲序列的幅度称为称为脉冲幅度调制
（ PAM），此外，还有脉冲宽度调制（ PWM）和脉冲位置调制（ PPM）等等。它们是用信号分别去控制周期脉冲序列中脉冲的宽度和脉冲的位置的调制方式。显然，这里的周期脉冲序列相当于上述正弦载波，脉冲幅度、脉冲宽度和脉冲位置相当于正弦载波的振幅、频率和相位。这些不同的调制和解调在通信系统中都有重要的应用。此外，由 3.11节可知，脉冲调制与取样定理密切相关，它是连续时间和离散时间信号与系统之间的桥梁。
调制与解调在通信中的作用，不仅在于解决了信号和信道之间频带的匹配问题以及提高信道的利用率问题，而且还在于把调制和解调作为抗信道中干扰的一种重要手段，从而改善信号传输质量的问题。这些都是研究通信的永恒主题。
本节简要介绍有关正弦幅度调制和脉冲幅度调制的基本原理，详细深入的探讨有通信原理课程来完成。
一、正弦幅度调制与解调幅度调制是傅里叶变换中的调制定理（或频移性质或频域卷积定理）的直接应用。
1．正弦幅度调制和同步解调通常把这样的调制和解调称为同步调制和解调，或称相干调制和解调。它要求接收端的载波信号与发射端完全同频同相，
这将会一定程度增加接收机的复杂性。
2．调幅和非同步解调为了避免同步解调的麻烦，在发送已调信号的同时，把载波信号 也发送到接收端，这样可以代替在接收端产生本地的同步载波。人们熟悉的调幅（ AM）
广播就采用这种方法。
接收端常采用包络检波的方法，包络检波是一种比较简单效果比较好的解调方法。包络检波器电路如图 3.12-4 (a)所示，
它是一个电容器并接在输出端的整流电路，二极管 D在载波信号的负值期间阻断；在载波信号正值期间导通，并使电容
C迅速充电。电容 C慢慢向电阻 R放电。由于充电快而放电慢，
使电容两端保持了包络的形状，将调制信号恢复出来。包络检波器的输出如图 3.12-4 (c)所示。这种解调过程无需本地提供与发送端同步的正弦载波，且包络检波器本身是一个非线性系统，故把这种解调称为非同步（或非相干）解调。
ttx 0c o s)(?
t0cos?
3．单边带幅度调制除了上述两种调制、解调方法外，还有单边带（ SSB）
调制和残余边带（ VSB）调制。为了相互区别，工程上称上述第 1种方法为双边带抑制载波（ DSB-SC）调制，把单边带幅度调制称为单边带抑制载波（ SSB-SC）调制，以区别于第
2种调幅（ AM）方式。
与双边带抑制载波（ DSB-SC）系统的同步解调一样，单边带抑制载波（ SSB-SC）系统也必须采用同步解调，才能恢复出调制信号。为了单边带系统具有比双边带系统高一倍的频带利用率，同时发射功率也更为经济，付出的代价是增加了调制的复杂度。
二、脉冲幅度调制如果载波信号不是正弦信号，而是周期脉冲序列，则称为连续时间脉冲幅度调（ PAM）。
这些内容已经在 3.11节中详细讨论过了。脉冲幅度调制就是自然取样。从取样定理角度讲，自然取样具有多余性，但在实际中它易于实现。只要非常小，脉冲幅度调制或自然取样非常接近于理想取样的效果。
如果再引伸一步，只要满足取样定理的要求，任意形状的周期脉冲序列都可以作为脉冲幅度调制中的载波信号。
3.12.2 频分复用一个信道只传输一路信号是很不经济的。借助调制定理和调制解调技术，可实现一个信道同时传输多路信号，这就是频分复用。
假设有路信号，每路信号的带宽都为 (当然，各路信号的频谱可以不同 )。显然，直接在一个信道中同时传送这路信号，接收端无法将它们区分开来。为此，采用幅度调制，将各路信号分别调制到各自不同频率的载波上，
发射出去。然后，在接收端使用个带通滤波器，各滤波器的中心频率分别为载波频率，就可以将路已调信号分开，再分别解调和滤波，恢复出路信号。
3.12.3 时分复用借助取样定理和脉冲幅度调制技术，同样可实现一个信道同时传输多路信号，这就是时分复用。
频分复用与时分复用的区别可以用传输信号的通信时间－
频率空间图来表示。图 3.12-11(a)表示频分复用传输，每路信号在信道中占据所有的时间域，但占有不同的有限频率区间，此区间不被其它信号占用，信号之间要留有适当的防护频带。图 3.12-11(b)表示时分复用传输，每路信号在信道中占据所有的频率域，但占有不同的有限时间区间，此区间不被其它信号占用。信号之间要留有适当的防护时隙。从本质上讲，频分复用保留了信号频率域的个性；而时分复用保留了信号时间域的个性。由于信号不仅有其频域特性而且有其时域特性，因此，总可以在相应域中应用适当的技术将复用信号分离出来。
3.1 周期信号分解为傅里叶级数
3.2 信号在正交函数空间的分解
3.3 周期信号的频谱
3.4 非周期信号的频谱
3.5一些常见信号的频域分析
3.6 傅里叶变换的性质及其应用
3.7 相关函数与谱密度
3.8 连续系统的频域分析
3.9 信号的无失真传输和理想滤波器
3.10 希尔伯特变换
3.11取样定理
3.12 多路复用习题 3
第 3章 连续信号与系统的频域分析上一章讨论了连续时间信号与系统的时域分析 。 它是以冲激函数为基本信号,任意信号可以分解为一系列加权的冲激信号之和,而系统的零状态响应是输入信号与冲激响应的卷积 。 本章将以正弦函数或虚指函数为基本信号,任意信号可以表示成一系列不同频率的正弦信号或虚指函数信号之和 。 连续信号与系统的频域分析就是将时间变量变换为频率变量的分析方法,
这种方法以傅里叶 （ Fourier） 变换理论为工具,将时间域映射到频率域,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频率特性之间的密切关系 。
3.1 周期信号分解为傅里叶级数一个连续时间信号若每隔一定的时间 T 按相同的变换规律重复变化,此信号称为周期信号 。
3.1.1 三角型傅里叶级数由高等数学知识,以 T 为周期的周期信号 f(t),若满足下列狄里赫利 （ Dirichlet） 条件：
1,在一个周期内满足绝对可积，即
2,在一个周期内只有有限个极大值和极小值；
3,在一个周期内只有有限个不连续点。则可展开为如下三角型傅里叶级数
(3.1-2)
式中，也称基本角频率,系数 a0,an,bn 称为三角型傅里叶级数的系数，它们分别为
f t dtT
T
( )
2
2
)s i nc o s()(
1
000?
n
nn tnbtnaatf
(3.1-3a)
(3.1-3b)
(3.1-3c)
T dttfTa )(10
Tn t d tntfTa 0c o s)(2?
,2,1s i n)(2 0 nt d tntfTb
Tn
利用信号波形的对称性，可以方便地求取傅里叶级数的系数。
1,f(t)为偶函数
2,f(t)为奇函数
3,f(t)为偶谐函数
4,f(t)为奇谐函数
，则 只含有常数项和余弦项；而 。f t f t( ) ( ) bn? 0
,则 只含正弦项；而 。f t f t( ) ( ) a a n0 0 0,
，偶半波对称,则 只含有偶次谐波 。f t T f t( ) ( )
2
)()2( tfTtf,奇半波对称,则 只含有 奇 次谐波 。
若将式 (3.1-2)中同频率项合并,即三角型傅里叶级数可写成工程上更为实用的形式：
3.1.2 指数型傅里叶级数三角函数与虚指数函数有着密切的关系，根据欧拉（ Eular）
公式，有故三角型傅里叶级数和指数型傅里叶级数实质上是同一级数的两种不同的表现形式。
a n t b n t A n tn n n nc o s s i n c o s ( )0 0 0
f t A A n tn n
n
( ) c o s ( )
0 0
1
tjntjntjntjn eetneejtn 0000 21c o s,2 1s i n 00
于是,可将原傅里叶级数写成紧凑的形式
(3.1-10)f t F en jn t
n
( )?
0
这就是指数型傅里叶级数 。 将式 (3.1-3)中的 an和 bn代入式
(3.1-9a)即可求得指数型傅里叶级数的系数
(3.1-11)
一般情况下,Fn是关于变量 n?0的复函数，故又称为指数型傅里叶级数的复系数,
当 f(t)是实周期信号时，其傅里叶复系数 Fn的模和实部是 n?0
偶函数； Fn的相角和虚部是 n?0的奇函数。
指数型傅里叶级数中出现负频率分量,这只是一种数学表达形式,没有太多的物理意义 。 实际上,正负频率分量总是共轭成对地出现 。 一对共轭的正负频率分量之和构成一个实际的谐波分量,
F
T
f t e dtn
T
T
j n t?
1
2
2
0( )?
3.2 信号在正交函数空间的分解傅里叶级数表明,满足狄里赫利条件的任意周期信号可以用一系列正,余弦函数或虚指数函数的线性组合来表示 。
本节试图探讨是否还可以用其他函数的线性组合来表示一个任意函数 。
把信号分解为某种基本信号的叠加是分析信号和系统的基本思想。信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。本节首先回顾矢量的正交分解，然后引入函数正交的概念，最后讨论任意信号分解为正交信号之和。
3.2.1 矢量的正交与分解
3.2.2 正交函数矢量正交的概念可以推广到函数或信号。
3.2.3 用正交函数表示信号由 n个正交矢量构成一个 n维矢量空间，该矢量空间中的任意矢量均可按式 (3.2-4)进行分解。这同样可以推广到函数空间。
对于某给定信号,可以选择各种可能的完备正交函数集来表示 。
但三角函数集和虚指数函数集是最重要,最方便的,这是因为它们具有一些显著的优点 。
（ 1） 三角函数和指数函数是自然界中最常见,最基本的函数 。
（ 2） 三角函数和虚指数函数是简谐函数,用它们表示信号,
就自然建立了时间和频率这两个基本物理量之间的联系 。 很多系统 （ 例如滤波器,信息传输信道等 ） 的特性主要是由频域特性来描述的 。
（ 3）简谐信号容易产生、传输和处理。
（ 4）三角函数（或指数函数）信号通过线性时不变系统后，
仍为三角函数（或指数函数）信号，其重复频率不变，只是幅度和相位发生变化，给计算带来方便。
（ 5） 三角函数和指数函数的加,减,乘,微分和积分运算后仍然是三角函数和指数函数 。
（ 6） 以后我们会看到,时域中的卷积运算在频域中会转变为乘积运算,从而找到了计算积分的一种新的简便方法 。
3.3 周期信号的频谱式（ 3.1-4）和式（ 3.1-10）说明，周期信号可分解为各次谐波频率分量的叠加，而傅里叶系数 或 反映了不同谐波分量的幅度,或 反映了不同谐波分量的相位。
将它们沿频率 （或 ）轴分布的图形画出来，就称为周期信号的频谱（ Spectrum）图。
这种图形清晰地表征了周期信号的频域特性,从频域角度反映了该信号携带的全部信息 。
3.3.1 周期信号的单边频谱和双边频谱周期信号的三角型傅里叶级数中,分量的形式
,为整数,故把 随 变化的图形 称为单边幅度频谱,把 随变化的图形称为单边相位频谱,两图合在一起称为的单边频谱 。
0?n
nA nF
n? n?
)c o s ( 0 nn tnA
0?n nA 0?n A nn ~? 0
n n~ 0
类此,周期信号的指数型傅里叶级数中,
把 随 变化的图形 称为双边幅度频谱,把随 变化的图形 称为双边相位频谱 。 两图合在一起称为的双边频谱 。
画频谱图时必须注意下面几点：
（ 1）,但当 时,;
（ 2） 三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；
（ 3） 由于 表示振幅,故 ；
（ 4） 当 f(t) 是实信号时,双边幅度频谱 是的偶函数,双边相位频谱 的奇函数；
（ 5） 为了使图形清晰,采用竖线代替点的办法来表示相应幅度或相位的数值,称为谱线,谱线只在基波的整倍数处出现 。
nF 0?n
0?nn?
F nn ~? 0
n n~ 0
nA 0?nA
00 AF?
2
n
n
AF?0?n
F nn ~? 0
n n~ 0
一般情况下,是关于 的复函数 。 但当 f(t) 是实偶函数,
也为实偶函数；而 f(t)为实奇函数时 为虚奇函数 。 故若将一般的实信号分解为偶分量和奇分量之和,由式 (2.3-6)和式
(3.1-12),有若 的频谱是,则 的偶分量 的频谱是的实部,即 ；而 的奇分量 的频谱是 的虚部乘以
j,即 。
nF 0?n
nF nF
nnn IRF j )()()( tftftf oe
)(tf nF )(tf )(tfe nF
nR )(tf )(tfo nF
nIj
信号的频谱图和信号的波形图同样都形象地描述了信号的全部特性,前者是信号的频域描述法,而后者是信号的时域描述法 。
周期信号的频谱有如下特点：
(1) 离散性：谱线沿频率呈离散分布,这种频谱称为离散频谱；
(2) 谐波性：各谱线间呈等距分布,相邻谱线间的距离正好等于基波频率,不可能包含不是基波整数倍的其它频率分量；
(3) 收敛性,（ 或 ） 一般随 总是趋于零 。?tnAnF
3.3.2 周期信号的功率谱周期信号属于功率信号 。 为了方便,研究周期信号在 1? 电阻上消耗的平均功率,称为归一化平均功率,如果 是实信号,无论它表示电压还是电流,其平均功率为
(3.3-2)
式中,T 为周期信号的周期 。
(3.3-6)
式 (3.3-6)称为帕什瓦尔 （ Parseval） 定理 。 也称功率等式 。 该式表明周期信号的平均功率不仅可以在时域中求取,
还可以在频域中确定 。
)(tf
)(tf
T dttfTP )(1 2
P F F A An
n
n
n
0
2 2
1
0
2
2
1
2 2
从式 (3.3-6b)右边两项分别就是周期信号的直流分量和各次谐波分量在 1?电阻上消耗的平均功率，因此，它表明了周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。把各平均功率分量即 随变化的图形 称为周期信号的功率频谱，简称功率谱（ Power spectrum ）。显然，周期信号的功率谱也是离散频谱。可见，功率谱是相应的双边幅度频谱的平方，而与相应的相位谱无关。从周期信号的功率谱中可以看出各平均功率分量的分布情况，另外还可以确定在周期信号的有效频带宽度内谐波分量所具有的平均功率占整个周期信号的平均功率之比。
2nF 0?n
02 ~?nF n
3.4 非周期信号的频谱前面几节讨论了周期信号的频谱,在自然界里除了周期信号外,还广泛存在着非周期信号 。 这些非周期信号能否分解为指数型级数,应该如何分解 。 这些就是本节要讨论的问题 。
3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换对于周期信号 可以表示成指数型傅里叶级数,即写成
(3.4-2)
和 (3.4-3)
)(tfT
n
tjn
nT eFtf
0)(?
dtetf
T
F tnj
T
T
Tn
0
2
2
)(
1
由上节对周期矩形脉冲信号的讨论已经知道,当 T变大时,
基本角频率 变小,相应的离散谱线变密,此时各频率分量的幅度也变小,频谱包络线的形状不变 。 当 T趋于无限大时,尽管频谱包络线的形状不变,但谱线都趋于无穷小 。
如果此时仍然讨论展开为傅里叶级数问题已经没有实际意义 。
为了描述非周期信号的频谱特性,考虑到 T非常大时,就变得非常小,可用 来表示 。 式 (3.4-3)可改写成
T
2
0?
0?
dtetfTF tnj
T
T
Tn
0
2
2
)(
(3.4-4)
当 时,,用 来表示；
用 来表示；离散变量变成连续变量；同时将求和改为积分；则非周期信号可表示为
T 0dn
f t F j e dj t( ) ( )?
12
这样,可以把非周期信号表示为无穷期指数信号的积分,
称为傅里叶积分,简称为傅氏积分 。
同时根据式 (3.4-4),(3.4-5)有
(3.4-7)
F j TF f t e dt
T n
j t( ) lim ( )
今后为了书写的简便,常将 写成 。
式 (3.4-7)和式 (3.4-8)称为傅里叶变换对,其中式 (3.4-8)称为傅里叶正变换,简称傅氏变换 。 而式 (3.4-7)称为傅里叶反变换,简称傅氏反变换 。 并采用下列记号：
(3.4-9)
与的对应关系还可简化为
(3.4-10)
(3.4-8) dtetfjF tj
)()(
)(?jF )(?F
)()(?Ftf?
)](F[)( tfF
)]([F)( 1?Ftf
3.4.2 频谱函数的物理意义及其自身特性周期信号的指数型傅里叶级数表明,周期信号可以分解为无限多个频率为,复振幅为 的指数分量 的离散和；
而非周期信号 的傅里叶积分则表明非周期信号可以分解为无限多个频率为,振幅为的指数分量 的连续和（积分）。这样，周期信号的分解就推广到非周期信号。
n
tjn
nT eFtf
0)(?
0?n
nF tjne 0?
)(tf
)(?F?
d2 )(F
从上式可以看出,是单位频带的复振幅 。 具有密度的概念,因此称为频谱密度函数 （ Spectrum density
function ）,简称为频谱函数或频谱密度,在与周期信号频谱不发生混淆的情况下也简称为频谱 。 由 3.3节可知,信号在时域中是连续,周期的,其频谱在频域中是离散,
非周期的；从本节傅里叶变换定义可知,信号在时域中是连续,非周期的,其频谱在频域中也是连续,非周期的 。 以后我们将会知道,信号在时域中是离散,非周期的,其频谱在频域中是连续,周期的；信号在时域中是离散,周期的,其频谱在频域中也是离散,周期的 。
一般是的复函数,可以写作
(3.4-13)
)(?F
)(je)()( FF?
式中 是 的模,它代表信号中各频率分量幅度的相对大小； 是 的幅角,它表示信号中各频率分量之间的相位关系 。 习惯上把和 的曲线也分别称为幅度频谱和相位频谱 。
非周期信号的频谱密度与相对应的周期信号的傅里叶复系数之间的关系是
)(?F
)(?F
)(?F
)(
~)(F
~)(
0
0
)(
lim)(
n
n
nnT
T
F
F
TFF
应用上述关系可以较方便地从周期信号的求取相应的非周期信号的,或者相反 。 在形状上与相应的周期信号的频谱包络线相同 。
3.4.3 傅里叶变换的存在性非周期信号 是否存在傅里叶变换,仍应满足类似于傅里叶级数的狄里赫利条件,不同之处仅仅在于一个周期的范围,即要求信号在无限区间内绝对可积 。 利用式 (3.4-8),有
(3.4-21)
上式表明，若 满足无限区间内绝对可积，则必然有界。但这仅是充分条件而不是必要条件。这意味着满足绝对可积条件的能量信号其 必然存在。但是，如果在频域内引入广义函数后，对于并不满足绝对可积条件的功率信号，甚至某些非功率非能量信号，其 也存在，
且有确定的表达式。这给信号的频域分析与系统的频域分析带来很大的方便。
f t dt( )
)(tf )(?F
)(tf )(?F
)(?F
)(?F
3.5 一些常见信号的频域分析常见信号是组成复杂信号的基础,如果再与下一节讨论的傅里叶变换性质结合起来,
几乎可以分析工程中遇到的所有信号的频谱 。 本节讨论的信号中,有的不满足绝对可积的条件,引入广义函数的概念以后,使许多不满足绝对可积条件的功率信号和某些非功率,
非能量信号也存在傅里叶变换,而且具有非常清楚的物理意义,这样就可以把周期信号和非周期信号的分析方法统一起来,使傅里叶变换应用更为广泛 。
1.矩形脉冲
A
t2?2
)(?F
2
2?
A
)2()( SaAF?
2,三角形脉冲
t0
A
A
2
2?
)(?F
)2()( 2 SaAF?
3.单边实指数脉冲
4,双边实指数脉冲
5.符号函数符号函数 (或称正负号函数 )如图 3.5-5(a)所示 。 显然这种信号不满足绝对可积的条件,直接用定义式也无法得到它的傅里叶变换 。 如果将看成是下列函数的极限
01
01)(
t
ttSgn
j
j 22lim
220
][lim)( 00
0
dteedteetSgn tjttjt
]11[lim
0 tjj
6.单位冲激函数单位冲激函数是实偶函数,其傅里叶变换也应是实偶函数,有
(3.5-14)
即单位冲激函数频谱是常数 1,其时域,频域图形如图所示 。
也就是说,在时域中变化异常剧烈的冲激信号包含幅度相等的所有频率分量,即其频谱密度在整个频率范围内是均匀分布的 。
这样的频谱常称为,均匀谱,或,白色频谱,。
1
)()(
0
t
tj
tj
e
dtett
)(?F
0
1
7.直流信号 1
根据傅里叶反变换定义,有得直流信号 1的傅氏变换
8.虚指数信号
( )t e dj t?
12
F e dtj t( ) ( )
2
)(2 00tje
考虑到冲激函数是偶函数，可得如下重要公式
e dx yj x y?
2 ( )
9.单位阶跃信号
n
n nFFtf )(2)()( 0
两边取傅里叶变换，得周期信号的频谱为
jt
1)()(
由此,可以得到周期信号的傅里叶变换公式：
周期信号的傅里叶级数
T
eFtf
n
tjn
nT
2)(
0
0
3.6 傅里叶变换的性质及其应用傅里叶变换建立了信号时域和频域的一一对应关系 。 也就是说任一信号可以有时域和频域两种描述方法 。 信号在一个域中所具有的特性,必然在另一个域中有其相对应的特性出现 。 为了进一步了解时域和频域之间的内在联系,当在某一个域中分析发生困难时,利用傅里叶变换的性质可以转换到另一个域中进行分析计算；另外,根据定义来求取傅里叶正,
反变换时,不可避免地会遇到繁杂的积分或不满足绝对可积而可能出现广义函数的麻烦 。 下面将系统地讨论傅里叶变换的性质及其应用,从而用简捷的方法求取傅里叶正,反变换 。
1,线性
2,对称性：
3,尺度变换
)(2)()()( ftFFtf 则若为实常数则若 aaFaatfFtf )(1)(),()(
尺度变换特性也称比例性。
4,时移性
5,频移性
0)()(),()( 0 tjeFttfFtf 则若
)()(),()( 00 FetfFtf tj则若由频移特性，
1 2( )
c o s [ ] [ ( ) ( )]0 0 012 0 0t e ej t j t
s in [ ] [ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
0 0 0
0 0
1
2
0 0t
j
e e
j
j
j t j t
由公式 可得
6,卷积定理有两个卷积定理,一个为时域卷积定理,另一个为频域卷积定理 。
时域卷积定理频域卷积定理卷积定理在信号和系统分析中占有重要的地位,它说明了两函数在时域 （ 或频域 ） 中的卷积积分,对应于频域 （ 或时域 ） 中两者的傅里叶变换 （ 或反变换 ） 应具有的关系 。
)()()()()()(
)()(),()(
GFYtgtfty
GtgFtf
则若
)()(2 1)()( GFtgtf
7,时域微分和积分则
8,频域微分和积分
)()(?Ftf?若
)()0()()( FjFdft
d
d t f t j F( ) ( )
d
dFtfjtFtf )()()()()( 则若
n
n
n
d
Fdtfjt
)()()(推广
(1) 频域微分
(2)频域积分
f t j f tt F d( ) ( ) ( ) ( )0
3.7 相关函数与谱密度信号的频谱是频域中描述信号特征的方法之一,此外,
还可以用能量谱密度或功率谱密度来描述信号 。 而相关是在时域中描述信号特征的重要方法 。 这一节中,将通过相关函数的傅里叶变换,从而找到从频域计算能量信号的能量谱密度和功率信号的功率谱密度的另一种方法 。 为了简便起见,我们只讨论实信号 。
3.7.1 能量谱密度 （ Energyspectral density）
第一章中已经定义了实能量信号的能量为
dttfE )(2
式 (3.7-1)表示电压或电流信号在 1?电阻上所消耗的能量。
（ 3.7-3）
上式也称为帕什瓦尔定理或非周期能量信号的能量等式 。
为了了解能量在频域中的分布情况,定义能量谱密度为
(3.7-4)
E F d?
12 2( )
E Ff ( ) ( ) 2
3.7.2 功率谱密度（ Power spectral density）
若是实功率信号,则其平均功率定义为
(3.7-7)
将式 (3.7-8)和式 (3.7-9)代入式 (3.7-7),可得到功率信号的平均功率为
(3.7-10)
式中
(3.7-11)
称为功率信号的功率谱密度 。
2
2
2 )(1lim
T
T
T
dttf
T
P
dPd
T
F
P f
T
T
T
T
)(
2
1)(
lim
2
1 2
2
2
T
FP T
Tf
2)(
lim)(
3.7.3 相关函数在很多情况下,需要比较两个信号的相似程度 。 相关函数是研究随机信号而引入的概念,但对确定信号同样适用 。
互相关函数定义：
自相关函数定义：
相关运算和卷积运算之间的关系。
3.7.4 相关函数的谱密度尽管相关函数的概念是建立在信号时域波形之间,但它却与能量谱密度函数或功率谱密度函数之间存在着确定的关系 。
dttftfR )()()( 2112
dttftfR )()()(
根据时域卷积定理可以证明
(3.7-21)
或 (3.7-22)
可见,互相关函数与是一对傅里叶变换,具有能量谱的性质,
通常称为能量信号和的互能量谱密度,简称互能量谱 。
如
)()()( 2112 FFR
)()(1lim)( 2112
TTT
FFTR
F( )? 2
A
)(tf
t
2
2
2
2
2
2?
F( )? 2
F( )?
同样,可得能量信号：
)()()()()( 2 fEFFFR
)()(
1
lim
)()(
1
lim)(
2
fT
T
TT
T
PF
T
FF
T
R
功率信号：
3.8 连续系统的频域分析方法系统的频域分析就是寻求不同信号激励下其响应随频率变化的规律 。
本节将以信号的频谱分析为基础,讨论信号作用于线性系统时在频域中求解零状态响应的方法,这种系统的频域分析法又称为傅里叶变换分析法 。
3.8.1 傅里叶变换分析法线性时不变系统的数学模型可以用一个 n阶常系数线性微分方程来描述,即
)()(')()(
)()(')()(
01
)1(
1
)(
01
)1(
1
)(
txbtxbtxbtxb
tyatyatyatya
m
m
m
m
n
n
n
n
对上式两边取傅里叶变换,由时域微分性质,可得可见,通过傅里叶变换,可以把常系数线性微分方程变成关于激励和响应的傅里叶变换的代数方程 。 从而使问题得以简化 。 于是得输出响应的傅里叶变换为
)(])()()([
)(])()()([
01
1
1
01
1
1
Xbjbjbjb
Yajajaja
m
m
m
m
n
n
n
n
)(
)()()(
)()()()(
01
1
1
01
1
1?
X
ajajaja
bjbjbjbY
n
n
n
n
m
m
m
m
)()( XH?
是两个关于 的多项式之比,其中分母与分子多项式的系数分别是微分方程左边与右边相应项的系数 。
定义为系统在零状态条件下响应与激励的频谱之比,
称为系统的 （ 频域形式的 ） 系统函数 ( System function )，
也称为频率响应特性 （ 简称频率响应 ） 。 显然 是的复函数,它表征了系统的频率特性,是系统特性的频域描述 。 对于一个系统来说,如果已知,和中的两个,便可方便地确定第三个 。
)(?H
)(?H
j
)(?H
)(?H )(?X
)(?Y
1．求取激励的傅里叶变换，即
2,确定系统的系统函数 ；
3,求取响应的傅里叶变换 ；
4,再将从频域反变换到时域,从而求得零状态响应的时间函数 。
由于傅里叶变换的积分区间为,因此,
频域分析法求取的响应是零状态响应 。 或者说,由于无法表示系统的初始储能,频域分析法无法求得其零输入响应 。
在傅里叶变换分析法中,系统函数起着重要的作用,有必要进行进一步地讨论,以便更好地理解傅里叶变换分析法的实质 。
3.8.2 系统特性的频域表征
)()(?Xtx?
)(?H
)()()( XHY?
)(ty
),(
系统函数 描述了系统在零状态条件下响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之间的关系,可以按照式 (3.8-3)
由系统的微分方程求得 。 可见,系统函数只与系统本身的特性有关,而与激励无关 。
系统函数是系统的冲激响应的傅里叶变换,这是一个十分重要的变换对 。 系统的冲激响应和系统函数这一变换对分别从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性 。
)(?H
)()(?Hth?
当系统的激励为无时限虚指数信号时,系统的零状态响应由时域卷积积分可求得,为
(3.8-5)
上式表明,当一个无时限虚指数信号作用于线性系统时,
其输出的零状态响应仍为同频率的虚指数信号,不同的是响应比激励多乘一个与时间 t无关的系统函数 。
x t e tj t( ) ( )y t x t h t h e d
e h e d e H
j t
j t j j t
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
)(?H
根据式 (3.8-5),可以更深刻地理解傅里叶变换分析法的物理意义 。 它实质上就是把信号分解为无穷多个虚指数分量之和,
即其中在 范围内的分量为,
由式 (3.8-5),对应于这个分量的响应为
,当把无穷多个响应分量叠加起来,便得到了总响应,即
tjtj edXdeXtx ]2 )([)(2 1)(
d? X d e j t( )
2?
X d H e j t( ) ( )
2?
y t Y e dj t( ) ( )?
12(3.8-6)
这里可以看出,系统的频域分析法与时域分析法存在相似之处 。 在时域分析法中是把信号分解为无穷多个冲激信号之和,即把冲激信号作为单元信号,然后求取各单元信号作用于系统的响应,再进行叠加；而在频域分析法中则是把信号分解为无穷多个无时限虚指数信号之和 。
即把虚指数信号作为单元信号,然后求取各个单元信号作用于系统的响应,再进行叠加 。 因此,这两种分析法只不过是采用单元信号不同 。 另外,卷积分析法是直接在时域中求解系统的零状态响应,而傅里叶变换分析法则是在频域中求解系统的零状态响应的傅里叶变换后,再反变换到时域中去 。 这两种分析方法可以通过傅里叶变换的时域卷积定理联系起来 。
系统函数表征了系统的频域特性,是频域分析的关键,如上所述,系统函数有下列几种求解的方法：
1．当已知系统微分方程时，可以对微分方程两边取其傅里叶变换，按照式 (3.8-3)直接求取；
2,当已知系统的冲激响应时,可以对其求傅里叶变换来求取；
3,可假设时的零状态响应与的比来求取；
4,当已知具体电路的情况下,系统函数可以由电路的零状态响应频域等效电路模型来求取 。 而无需列写电路的微分方程 。
x t e tj t( ) ( )
3.8.3 傅里叶变换分析法举例这里我们先讨论系统的非周期信号的响应,然后讨论系统的正弦信号稳态响应,最后讨论系统的一般周期信号的响应 。
系统的正弦信号稳态响应：
激励下的稳态响应例：求系统在周期信号 ttx 0c o s)(
)](c o s [)()( 000 tHty
为
3.9 信号的无失真传输和理想滤波器由于表示信号的时间函数与其在频域中频域函数相互存在着一一对应关系 。 系统对于给定激励的响应问题,从信号分析的角度来看,就是对激励信号的频谱进行加工和改造,结果使响应信号的波形有别于激励信号 。
3.9.1 无失真传输条件信号通过系统后,有时不希望产生失真,例如通信系统中对信号的放大或衰减；有时希望产生预定的失真,例如脉冲技术中的整形电路 。 下面讨论系统对信号无失真传输时,应该具有怎样的时域和频域特性 。
从时域来看,无失真传输的条件是指响应与激励的相比只有幅度大小和出现时间先后的不同,而波形没有变化 。 如果激励信号为 x(t),无失真传输的响应为 y(t),应满足
(3.9-1)
式中,k 是一个与时间 t 无关的常数,是信号通过系统后的延迟时间 。 如果不满足式 (3.9-1)就称为有失真传输 。
)()( dttkxty
dtjekXY )()(
下面从频域来看,若对式 (3.9-1)两边取傅里叶变换,根据时移性质,可得
(3.9-2)
由上式可知,信号传输无失真,系统的频率响应函数应为
(3.9-3a)
系统幅度频谱和相位频谱分别为
(3.9-3b)
)()()( jtj eHkeH d
通频带为无穷大,)()1( kH
成正比相频特性与,)()2( dt
式 (3.9-3)就是为使信号无失真传输对系统频率响应函数提出的要求,（ 1） 在全部频率范围内,系统的幅频特性应为一常数,即系统的通频带应为无穷大； （ 2） 系统相频特性应为通过原点的直线,即应与成正比 。
系统无失真传输的频域特性如图 3.9-2所示 。
k )(?H
)(?H?
信号的无失真传输条件式 (3.9-3)是系统无失真传输的条件,根据信号与传输系统的具体情况或要求,以上条件可以适当放宽,如在传输有限带宽信号时,只要在信号所占有的频带范围内,系统的幅度,相位特性满足式 (3.9-3b)条件就可以了 。
对于线性系统来说,工程上其幅频特性和相位特性都可能不满足式 (3.9-3)的条件,或者说,幅度和相位都可能产生失真或崎变 。 而且幅度失真和相位失真起着相互不可替代的作用 。
在不同的应用场合,对幅度失真和相位失真的要求不尽相同 。
由于人耳对相位失真敏感度较差,因而在语言传输的场合,人们主要关注的是幅度失真 。 它会明显影响语音传输的音质,音调和保真度,而相位失真在很大程度上不会影响语音的可懂性 。
当然,如果相位失真过大也是不允许的 。
例如将一句话表示为 x(t),则 x(-t) 为一句话倒过来讲,两者的差别仅在于相位相差,但此时人们无法听懂这句话了 。 而对于图象传输的情况,由于人眼的视觉特性对相位失真十分敏感,
它会严重影响图象的轮廓和对比度,因此人们主要关注的是相位失真 。
最后指出,对于一个系统,如果输出信号中出现了输入信号所没有的新的频率分量,通常将系统这样的失真称为非线性失真 。
当然,在线性系统中不会出现非线性失真,上述幅度失真和相位失真统称为线性失真 。
3.9.2 理想滤波器前面已经指出,为使信号在传输过程中尽量不产生失真,要求系统的频率特性在信号的带宽范围内满足不失真传输的条件,而理想滤波器是能满足这种要求的系统,因此它在系统分析中得到广泛应用 。
理想低通滤波器 1
)(?H
)(?H?
理想低通滤波器的频率特性由于理想低通滤波器的通频带不为无穷大,而是有限值,故这一系统又称为带限系统,显然信号通过这种带限系统时,
还会产生失真,失真的大小一方面取决于带限系统的频带宽度,另一方面取决于信号的频带宽度 。
下面以理想低通滤波器为例,讨论该系统的单位冲激响应 。
设,则其频谱,理想低通滤波器的响应的频谱,得单位冲激响应为
h t k Sa t tC C d( ) [ ( )])(th
t
dts t h t( ) ( )( ) 1
t
st( )
C
C
定义：上升时间，为
t r
C
2?
可见，系统失真了。
再讨论其阶跃响应：
3.9.3 物理可实现系统对系统函数的要求从时域来讨论：
00)(
00)(
tts
tth
从频域来讨论：必须满足佩利－维纳准则：
21
)(ln
H
3.10 希尔伯特变换希尔伯特（ Hilbert）变换揭示了由傅里叶变换联系的时域和频域之间的一种等价互换关系，它与傅里叶变换的对称性有紧密的联系。希尔伯特变换所得到的概念和方法在信号与系统以及信号处理的理论和实践中有着重要的意义和实用价值。
3.10.1 希尔伯特变换的定义为了引出希尔伯特变换，首先考察因果系统的特性。由 3.9
节讨论可知，佩利－维纳准则只对系统的幅度频谱提出了约束条件，它只是系统物理可实现的必要条件，为此，还必须寻求对系统相位特性的约束条件。系统可实现性的实质是系统必须具有因果性。由于因果性的制约，系统函数的实部与虚部或模与相位之间会有某种相互制约的特性，这种特性以希尔伯特变换的形式表现出来。
式 (3.10-3a)和 (3.10-3b)称为希尔伯特变换对。由于这一对变换都是频率的函数,所以又称为频域希尔伯特变换。它表明一个具有因果性的系统函数 所具有的特性。换言之，
因果系统 的实部和虚部相互是不独立的，即实部可以由虚部唯一地确定，反之亦然。因此，因果系统的系统函数可以仅由其实部或虚部唯一地表示，即
H( )?
H( )?
d)(1j)()(
-
RRH
)(jd)(1)(
-
IIH
或
3.10.2 解析信号的希尔伯特变换表示法由傅里叶变换可知，实时间信号可以分解为偶分量和奇分量，其傅里叶变换在频域中表现为复值函数，但其实部和虚部，
或者模和相位分别是频域的实偶函数和实奇函数，这种特性称之为实信号在时域中表现为奇偶对称性，对应地其频谱在频域中表现为（复）共轭对称性。
由上一小节的讨论，当实时间信号是因果函数时，不仅满足上述时域奇偶对称性及其频域共轭对称性，而且其频谱的实部和虚部，还可以用希尔伯特变换来联系，或者说，频谱的实部和虚部只有一个是独立的。根据傅里叶变换时域和频域之间的对称特性可以想象，上述时域和 频域的这些特性可以有对等互换的关系，即若频谱是实因果函数，那么，其时域表达一定是复值函数，其时域复值函数的实部和虚部必然是共轭对称的，而且还必然满足希尔伯特变换。
3.10.3 希尔伯特变换的基本性质常见性质都可以用希尔伯特变换的定义和变量代换的方法加以证明。
3.11 取样定理前面主要讨论的是连续时间信号，除此之外，还有离散时间信号，离散时间信号可以从每隔一定时间对连续时间信号进行取样（也称抽样）来获得。
取样定理（也称抽样定理）论述在一定条件下连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（样本值）
来表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以没有失真地恢复原信号。取样定理为连续时间信号与离散时间信号相互转换提供了理论依据。
3.11.1 时域取样所谓“取样”就是利用取样脉冲序列 s(t),从连续信号
f(t) 中“抽取”一系列离散样本值的过程，这时所得到的离散信号称为取样信号。
不难看出，在数学上斩波实质上是连续信号 f(t) 与取样脉冲序列 s(t) 作相乘运算。取样信号 fS(t) 可写成
f t f t s tS ( ) ( ) ( )
其频谱分别为
n
sn nFS )(2)(
n
sns nFFSFF )()()(2
1)(
和
3.11.2 自然取样
n
tjn
n
seFts?)( )
2(
s
s
n
nSa
TF?
取样脉冲序列 s(t)的频谱取样信号 fS(t)的频谱
)()
2
(
)(
)()(
2
1
)(
s
n
s
s
n
sn
s
nF
n
Sa
T
nFF
SFF
3.11.3 理想取样取样信号 fS(t)的频谱
)()(2 1)(?
n
sss nFF
)(1)()(1
n
s
sn
s
s
nF
T
nF
T
3.11.4 时域取样定理时域抽样定理可见，抽样定理必须满足两个条件：
一个在 频谱区间 ( )以外为零的频带有限信号 (带限信号 ),可以唯一地由其均匀时间间隔 上的抽样值 确定。
f t( )
m m,
f nTS( )
T T
fS S m
12
1,必须为 带限信号,即在f t( ) m 时，
其频谱 ；F ( ) 0
2,抽样频率不能过低,必须满足 。f fS m? 2
3.11.5 信号的恢复前面的讨论已经看到一个带限信号在满足取样定理的情况下，可以通过理想低通滤波器从取样信号 fS(t) 中恢复原来的连续信号 f(t) 。这一结论是从频域中考察取样信号的频谱直观的得到的，为了对从样本重建信号的过程有更深入的了解，这里再从时域的角度研究这一过程。
f t f nT Sa t n
f nT Sa f t nT
S
n
m
S
n
S S
( ) ( ) [ ]
( ) [ ( )]
结果为最后指出，上述用理想取样得到的结论，对于自然取样，
或其它实际脉冲序列所进行的取样，最后所得到的结论没有本质的差别。
3.11.6 频域取样通过前面的讨论可以看出，取样的本质是将一个连续变量的函数离散化的过程。因此不仅可以对时域的连续信号进行取样，也可以在频域对一个连续的频谱进行取样。通过取样将信号在时域或频域离散化，这对于应用数字技术分析和处理信号具有重要的意义。本小节将采取与上一小节对偶的方法来分析频域取样的情况。将会看到，频域取样所得到的所有结论与时域取样的结论是对偶的。这正是连续时间信号时域与频域存在对称性的体现。
)(1)(?
n
s
s
S nTtftf?
对偶地频域抽样定理一个在 时域区间 ( )以外为零的有限时间信号 (时限信号 ) 的频谱函数,可以唯一地由其均匀频率间隔f t( )
mm tt,?
)( SnF
m
SS tff 2
1
)(?F
上的抽样值 确定。
在讨论时域取样时，要求信号必须是带限的；在讨论频域取样时，要求信号必须是时限的。一切带限信号都可以看成是任意信号经过理想低通滤波器后所产生的；一切时限信号都可以看成是任意信号与矩形窗相乘而产生的。因此，
带限信号在时域中可以表示为任意信号与理想低通滤波器单位冲激响应的卷积积分；时限信号在频域中可以表示为任意信号的频谱与矩形窗频谱的卷积积分。由于理想低通滤波器的单位冲激响应和矩形窗的频谱都具有取样函数的形状，该函数非零区间都是无限的，因此可以得出以下重要的结论：一切带限信号在时域中都是非时限的；一切时限信号在频域中都是非带限的。这一结论对于今后利用数字信号处理技术处理连续时间信号具有重要的意义。
有关频域取样的进一步研究，有兴趣的读者可参阅有关文献。
3,12 多路复用在同一个传输频道内同时传送多路不同信号的概念和方法，
称为多路复用。多路复用是提高通信设备有效率和传输信道利用率的主要手段之一。目前，已被广泛采用的多路复用方法有频分复用（ FDM）、时分复用（ TDM）、正交复用
（ QDM）和码分复用（ CDM）等。本节仅对频分复用和时分复用作简单的原理性介绍。尽管多路复用的原理和方法有所不同，但都与调制与解调有直接的联系。
3.12.1 调制与解调在许多通信系统中，调制与解调是实现信号传递必不可少的重要手段。所谓调制就是用一个信号去控制另一个信号的某个参量，产生已调制信号；解调则是相反的过程，即从已调制信号中恢复出原信号。信号从发送端到接收端，为实现有效、可靠和远距离的信号传输，都需要调制与解调。
几乎所有要传送的信号都只占据有限的频带，且都位于低频或较低的频带上。同样地，许多用作传输的信道（例如架空明线、电缆、光缆和自由空间等），也都有其最合适于传输信号的频率范围，与信号的频带相比，一般都位于高频或很高的频率范围上，且实际信道有用的频带范围通常远宽于信号的带宽。要克服这两方面的不匹配，利用调制能很好地解决这两个问题。傅里叶变换中的调制定理是实现频谱搬移的理论基础，形成了所谓的正弦幅度调制，即一个信号的幅度参量受信号控制的一种调制方式。只要正弦信号（称为载波）
的频率落在适合信道传输的频率范围内就可以在信道中很好地传输。将频谱相同或不同的多个信号调制在不同频率的载波上，只要适当地安排各个载波频率，就可以使各个调制信号的频谱互不重叠，在接收端就可以用不同的滤波器把它们区分开来。在一个信道上互不干扰地传送多个信号，这就是多路复用的概念和方法。由此产生了多路通信复用技术，无论是在无线通信还是在有线通信中都被广泛地应用。
用正弦信号作为载波的一类调制称为正弦载波调制，除了正弦幅度调制和调幅（ AM）外，还有正弦频率调制（ FM)，和正弦相位调制（ PM）。它们是用信号分别去控制正弦载波的另外两个参量（瞬时频率和瞬时相位）的调制方式。上述调制中的正弦载波信号仅作为信息的载体，其本身并不包含任何需要传送的信息。
用非正弦周期信号作为载波的另一类调制称为脉冲调制，
用信号去控制周期脉冲序列的幅度称为称为脉冲幅度调制
（ PAM），此外，还有脉冲宽度调制（ PWM）和脉冲位置调制（ PPM）等等。它们是用信号分别去控制周期脉冲序列中脉冲的宽度和脉冲的位置的调制方式。显然，这里的周期脉冲序列相当于上述正弦载波，脉冲幅度、脉冲宽度和脉冲位置相当于正弦载波的振幅、频率和相位。这些不同的调制和解调在通信系统中都有重要的应用。此外，由 3.11节可知，脉冲调制与取样定理密切相关，它是连续时间和离散时间信号与系统之间的桥梁。
调制与解调在通信中的作用，不仅在于解决了信号和信道之间频带的匹配问题以及提高信道的利用率问题，而且还在于把调制和解调作为抗信道中干扰的一种重要手段，从而改善信号传输质量的问题。这些都是研究通信的永恒主题。
本节简要介绍有关正弦幅度调制和脉冲幅度调制的基本原理，详细深入的探讨有通信原理课程来完成。
一、正弦幅度调制与解调幅度调制是傅里叶变换中的调制定理（或频移性质或频域卷积定理）的直接应用。
1．正弦幅度调制和同步解调通常把这样的调制和解调称为同步调制和解调，或称相干调制和解调。它要求接收端的载波信号与发射端完全同频同相，
这将会一定程度增加接收机的复杂性。
2．调幅和非同步解调为了避免同步解调的麻烦，在发送已调信号的同时，把载波信号 也发送到接收端，这样可以代替在接收端产生本地的同步载波。人们熟悉的调幅（ AM）
广播就采用这种方法。
接收端常采用包络检波的方法，包络检波是一种比较简单效果比较好的解调方法。包络检波器电路如图 3.12-4 (a)所示，
它是一个电容器并接在输出端的整流电路，二极管 D在载波信号的负值期间阻断；在载波信号正值期间导通，并使电容
C迅速充电。电容 C慢慢向电阻 R放电。由于充电快而放电慢，
使电容两端保持了包络的形状，将调制信号恢复出来。包络检波器的输出如图 3.12-4 (c)所示。这种解调过程无需本地提供与发送端同步的正弦载波，且包络检波器本身是一个非线性系统，故把这种解调称为非同步（或非相干）解调。
ttx 0c o s)(?
t0cos?
3．单边带幅度调制除了上述两种调制、解调方法外，还有单边带（ SSB）
调制和残余边带（ VSB）调制。为了相互区别，工程上称上述第 1种方法为双边带抑制载波（ DSB-SC）调制，把单边带幅度调制称为单边带抑制载波（ SSB-SC）调制，以区别于第
2种调幅（ AM）方式。
与双边带抑制载波（ DSB-SC）系统的同步解调一样，单边带抑制载波（ SSB-SC）系统也必须采用同步解调，才能恢复出调制信号。为了单边带系统具有比双边带系统高一倍的频带利用率，同时发射功率也更为经济，付出的代价是增加了调制的复杂度。
二、脉冲幅度调制如果载波信号不是正弦信号，而是周期脉冲序列，则称为连续时间脉冲幅度调（ PAM）。
这些内容已经在 3.11节中详细讨论过了。脉冲幅度调制就是自然取样。从取样定理角度讲，自然取样具有多余性，但在实际中它易于实现。只要非常小，脉冲幅度调制或自然取样非常接近于理想取样的效果。
如果再引伸一步，只要满足取样定理的要求，任意形状的周期脉冲序列都可以作为脉冲幅度调制中的载波信号。
3.12.2 频分复用一个信道只传输一路信号是很不经济的。借助调制定理和调制解调技术，可实现一个信道同时传输多路信号，这就是频分复用。
假设有路信号，每路信号的带宽都为 (当然，各路信号的频谱可以不同 )。显然，直接在一个信道中同时传送这路信号，接收端无法将它们区分开来。为此，采用幅度调制，将各路信号分别调制到各自不同频率的载波上，
发射出去。然后，在接收端使用个带通滤波器，各滤波器的中心频率分别为载波频率，就可以将路已调信号分开，再分别解调和滤波，恢复出路信号。
3.12.3 时分复用借助取样定理和脉冲幅度调制技术，同样可实现一个信道同时传输多路信号，这就是时分复用。
频分复用与时分复用的区别可以用传输信号的通信时间－
频率空间图来表示。图 3.12-11(a)表示频分复用传输，每路信号在信道中占据所有的时间域，但占有不同的有限频率区间，此区间不被其它信号占用，信号之间要留有适当的防护频带。图 3.12-11(b)表示时分复用传输，每路信号在信道中占据所有的频率域，但占有不同的有限时间区间，此区间不被其它信号占用。信号之间要留有适当的防护时隙。从本质上讲，频分复用保留了信号频率域的个性；而时分复用保留了信号时间域的个性。由于信号不仅有其频域特性而且有其时域特性，因此，总可以在相应域中应用适当的技术将复用信号分离出来。
