信号与系统第四章第 4章 连续信号与系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换
4.2 典型信号的拉普拉斯变换
4.3 拉普拉斯变换的性质
4.4 拉普拉斯反变换
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
4.6 连续系统的复频域分析
4.7 系统函数
4.8 由系统函数的零,极点分析系统特性
4.9 连续系统的稳定性
4.10 系统的信号流图习题 4
第 4章 连续信号与系统的复频域分析傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面 （ 如分析谐波成分,系统的频率响应,波形失真,抽样,滤波等 ） 是十分有效的 。 但在应用这一方法时,信号 f(t)必须满足狄里赫勒条件 。 而实际中会遇到许多信号,例如阶跃信号?(t),斜坡信号 t?(t),单边正弦信号 sint?(t)等,它们并不满足绝对可积条件,从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换 。
虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换,但其变换式中常常含有冲激函数,使分析计算较为麻烦 。 此外,
还有一些信号,如单边指数信号 e?t?(t) (?>0),则根本不存在傅里叶变换,因此,傅里叶变换的运用便受到一定的限制,其次,求取傅里叶反变换有时也是比较困难的,此处尤其要指出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应,
这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的 。 因此,有必要寻求更有效而简便的方法,人们将傅里叶变换推广为拉普拉斯变换 （ LT,Laplace Transform） 。
本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换,对拉普拉斯变换给出一定的物理解释；然后讨论拉普拉斯正,反变换以及拉普拉斯变换的一些基本性质,并以此为基础,着重讨论线性系统的复频域分析法；应用系统函数及其零极点来分析系统的时域特性,频域特性等 。
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号 f(t)之所以不能满足绝对可积的条件,是由于当 t或
t? -?时,f ( t )不趋于零 。 如果用一个实指数函数 e-? t去乘
f(t),只要?的数值选择得适当,就可以克服这个困难 。 例如,对于信号
0e
0e
)(
t
t
tf
ta
tb
式中 a,b都是正实数,且 a > b 。 只要选择 a >? > b,就能保证当 t 和 t? －? 时,f ( t )e-?t 均趋于零 。 通常把 e-?t
称为收敛因子 。 f ( t )乘以收敛因子 e-?t 后的信号 f ( t )e-?t的傅里叶变换为它是 的函数,可写成
dteetfetf tjtt )(])([F
dtetf tj )()(
j?
F j f t e d tj t
( ) ( )
dtetfsF st)()(记为最后得到式 （ 4.1-5） 称为 f (t)的双边拉普拉斯变换 (bilateral Laplace
Transform),称 F(s） 是 f ( t )的象函数 。 而式 (4.1-6) 是 F（ s）
的双边拉普拉斯反变换,称 f (t) 是 F(s)的原函数 。
式 （ 4.1-5） 和 （ 4.1-6） 称为双边拉普拉斯变换对,可以用双箭头表示 f ( t )与 F(s)之间这种变换与反变换的关系其傅氏反变换为
desFetf tjt )(2 1)(
dtetfsF st)()(
f t j F s e d ss t
j
j
( )?
12?
（ 4.1-5）
（ 4.1-6）
)]([)()],([)( sFtftfsF -1LL记
)()( sFtf?
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出,f
( t ) 的双边拉普拉斯变换 F(s)=F( )是把 f ( t )乘以 e -? t之后再进行的傅里叶变换,或者说 F(s)是 f ( t ) 的广义傅里叶变换 。
而 f ( t )e -? t 较容易满足绝对可积的条件,这就意味着许多原来不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换,即双边拉普拉斯变换,于是,拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围 。
拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于：傅里叶变换是将时间域函数 f ( t )变换为频率域函数 F( )，或作相反的变换，此处时域变量 t 和频域变量 都是实数；而拉普拉斯变换则是将时间域函数 f ( t ) 变换为复频域函数 F(s)，或作相反的变换，
这里时域变量 t 是实数，复频变量 s 是复数。概括地说，傅里叶变换建立了时域和频域 ( 域 ) 间的联系，而拉普拉斯变换则建立了时域和复频域（ S域）间的联系。
j?
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域从以上讨论可知，当信号 f (t)乘以收敛因子 e-?t后，就有可能满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看 f (t)的性质与? 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数 f (t)，
通常并不是在所有的? 值上都能使式 (4.1-5)的积分收敛，
即并不是对所有的? 值而言，函数 f ( t )都存在拉普拉斯变换，而只是在? 值的一定范围内,f ( t )才存在拉普拉斯变换。通常把使 f (t)e-?t 满足绝对可积条件的? 值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域 ( ROC,region of convergence )。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完全不同的时间函数。因此，双边拉普拉斯变换必须标明收敛域。
4.1.3 （ 单边 ） 拉普拉斯变换考虑到实际中遇到的信号都是有始 （ 因果 ） 信号,即 t < 0 时
f ( t ) = 0,以及信号虽然不起始于 0,而问题的讨论只须考虑信号 的部分 。 在这两种情况下,式 （ 4.1-5） 可改写为：
（ 4.1-8）
上 式 称为 f(t) 的 单边 拉普 拉斯 变换 （ unilateral Laplace
Transform）,记为 ￡[ f (t) ]。 相应的反变换为：
t > 0 (4.1-9）
记为 ￡-1[ F(s)]。 即
F(s) =￡[ f (t) ] 和 f (t) = ￡–1 [ F (s) ]
0?
0 )()( dtetfsF st
f t j F s e d ss t
j
j
( )?
12?
式 （ 4.1-8） 中积分下限用 0－ 而不用 0＋,目的是可把 t = 0－
时出现的冲激考虑到变换中去,当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时,可以直接引用已知的起始状态 f (0－ )而求得全部结果,无需专门计算 0－ 到 0＋ 的跳变 。
由于在分析因果系统,特别是具有非零初始条件的线性常系数微分方程时,单边拉普拉斯变换具有重要价值,所以,我们在下文中讨论的拉普拉斯变换 （ 简称拉氏变换 ）
都是指单边拉普拉斯变换 。
如果因果信号 f ( t )满足,（ 1） 在有限区间 a < t < b内
（ 0? a < b <?） 可积； （ 2） 对于某个?0,有,
（ 4.1-10）
则对于 Re[s] =? >?0,拉普拉斯变换积分式 （ 4.1-8） 绝对且一致收敛 。 即 f ( t )存在拉普拉斯变换 。
)(0)(lim 0 tt etf
0 为 最 低 限 度 的? 值,称 为 收 敛 坐 标 ( abscissa of
convergence ),它的取值与函数 f ( t ) 的性质有关 。 经过?0的垂直线是收敛边界,或称为收敛轴 。 由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由 Re[s] =? >?0的半平面组成,因此其收敛域都位于收敛轴的右边 。 凡满足式 (4.1-10)的函数 f ( t )称为,指数阶函数,,意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数 f(t)
可能存在的发散性压下去,使之成为收敛函数 。
由于 (单边 )拉氏变换的收敛域是由 Re(s) >?0的半平面组成,
收敛域比较容易确定,故在一般情况下,不再加注其收敛域 。
我们在此再强调一下,以后讨论的拉普拉斯变换是指单边拉普拉斯变换 。
4.2 典型信号的拉普拉斯变换下面给出一些典型信号的拉氏变换 。 因为 f ( t )与 f ( t ) 的单边拉氏变换相同,因此假定这些信号都是有始信号 。
1,指数信号
2,单边阶跃信号
3,单边正弦信号
4,单边余弦信号 cost
)(t?
ste
t 1)(
2
0
2
0
0 )(s in?
stt
st
1)(
2
0
20 )(c o s s
stt
5,单边衰减正弦信号
6,单边衰减余弦信号
7,单位冲激信号
8,t的正幂信号 t n,（ n为正整数 ）
9,单边双曲正弦函数 sh和余弦函数 ch
e t t sts in ( ) ( )0 02
0
2
2
0
20 )()(c o s
s
stte t
1)(?t?
1
!)(
n
n
s
ntt?
22)(s in h?
stt 22)(c o s h s
stt
4.3 拉普拉斯变换的性质在实际应用中,人们常常不是利用定义式计算拉氏变换,
而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质 。 这些性质与傅里叶变换性质极为相似,在某些性质中,只要把傅氏变换中的 j?用 s替代即可 。 但是,傅氏变换是双边的,而这里讨论的拉氏变换是单边的,所以某些性质又有差别 。 有些性质与傅氏变换相类似 。
1,线性
2,时移性
3,比例性 （ 尺度变换 ）
4,频移性
5,时域微分
6,时域积分
7,初值定理
8,终值定理拉氏变换还有一些其它性质,如时域卷积和复频域卷积等,
它们与傅氏变换的性质类似,不再重复 。 表 4-2列出了常用拉氏变换的性质 。
4.4 拉普拉斯反变换从象函数 F(s)求原函数 f (t)的过程称为拉普拉斯反变换 。
简单的拉普拉斯反变换只要应用表 4-1以及上节讨论的拉氏变换的性质便可得到相应的时间函数 。
求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式展开法和围线积分法 。 前者是将复杂变换式分解为许多简单变换式之和,然后分别查表即可求得原信号,它适合于
F(s)为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分,
它的适用范围更广 。
4.4.1部分分式展开法常见的拉氏变换式是 s的多项式之比 （ 有理函数 ）,一般形式是：
)(
)()(
sD
sNsF?
式中 N(s)和 D(s)分别为 F(s)的分子多项式和分母多项式 。 ai ( i=
0,1,…,n),bj (j = 0,1,…,m)均为实数 。 如果 N(s)的阶次比 D(s)的阶次高,则要用长除法将 F(s)化成多项式与真分式之和,即
（ 4.4-2 ）
由于商多项式的拉氏反变换是冲激函数及其各阶导数可由微分性质直接求得 。
所以只需讨论真分式多项式的拉氏反变换。下面着重讨论是真分式时的拉氏反变换，可以将其分为以下三种情况：
商 +真分式
)(
)()(
sD
sNsF
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
2
2
1
1
1,D(s) = 0的根都是相异实根因式分解为
)())(()( 21 nn ssssssasD
F(s)可表示为然后,由表 4－ 1进行反变换 。
2,D(s) = 0有复根且无重复根
)())((
)(
)(
)(
21 nn ssssssa
sN
sD
sN
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
2
2
1
1
))(())(()( 2221 cbssssssssasD nn
))(( 21 cbsssD
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
21
sD
sN
cbss
ksk
sD
sNsF?
的反变换可用配方法。cbss ksk2 21其中
3,D(s) = 0的根为重根同样,可求得反变换 。
4.4.2 围线积分法拉普拉斯反变换式是拉氏反变换的运算转换为求被积函数在各极点上的留数 。
可写成则重根只有一个若 )(,0)( sDpsD?
)()()()( 11 nppn ssssssasD
)(
)(
)()()()(
)(
1
1
1
11
2
1
12
1
1
)1(1
1
1
sD
sN
ss
k
ss
k
ss
k
ss
k
sF pppp?
f t j F s e d ss t
j
j
( )?
12?
0,]e)([sRe)( tsFtf kssts
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系由于拉氏变换是由傅氏变换推广而来,当?＝ 0 时,拉氏变换就是傅氏变换 。 对于有始信号,即 t < 0 时,f( t ) = 0,则 f ( t )
的拉氏变换即为单边拉氏变换 。 因而,单边拉氏变换与傅氏变换之间必有联系 。 本节讨论有始信号的傅氏变换与拉氏变换之关系,及由拉氏变换求取傅氏变换的方法 。 根据收敛坐标值,可分为三种情况 。
1,?0 > 0
傅氏变换不存在 。 不能由拉氏变换去求得其傅氏变换 。
2,?0 < 0
在拉氏变换式中令 s=j?,就可得到傅氏变换 。
3,?0 = 0
这时傅氏变换中必然包含有冲激函数或它们的导数 。
4.6 连续系统的复频域分析
4.6.1 微分方程的复频域分析法对于任何一个线性时不变系统都可用下列常系数线性微分方程来描述 。
对上式两边取拉氏变换,并假定为有始函数,即 t < 0时,
x(t)= 0,因而,x(0-)=x’(0-)=0 。
利用时域微分性质,有以二阶常系数线性微分方程为例
)()()()()( 01012 txbtxbtyatyatya
)()( 01 sXbssXb
)()]0()([)]0()0()([ 0122 sYayssYaysysYsa
由此可见,时域中的微分方程已转换为复频域中的代数方程,
并且自动地引入初始状态,这样十分便于直接求出全响应 。
全响应的象函数为上式表明响应由两部分组成 。 一部分是由激励产生的零状态响应；另一部分是系统的初始状态产生的零输入响应 。
01
2
2
122
01
2
2
01 )0()0()0()()(
asasa
yayasyasX
asasa
bsbsY
)()( sYsY zizs
)(
)()(
sX
sYsH zs?
系统函数的定义：
阶导数的初始状态的表示响应式中,ityy i )()0()(?
它是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,称为系统函数 。
对 Y(s) 进行反变换,可得全响应的时域表达式：
4.6.2 电路的复频域模型当人们在复频域内分析具体电路时,此时可不必先列写微分方程,再用拉氏变换进行分析,而是先根据复频域电路模型,
从电路中直接列写求解复频域响应的代数方程,然后求解复频域响应并进行拉氏反变换 。 下面先介绍电路元件的复频域模型 。
电阻元件的电压与电流的时域关系为
)()()]([)]([)]([)( 111 tytysYLsYLsYLty zizszizs
)()( tRit RR
将上式两边取拉氏变换,得
（ 4.6-9）
由式 （ 4.6-9） 可得到电阻元件的复频域模型如图 4.6-1所示 。
显然,电阻元件的复频域模型与时域模型具有相同的形式 。
)()( sRIsV RR?
+ -)(sV
R
)(sIR
+ -)(tv
R
)(tiR
电容元件的电压与电流的时域关系为
)0()(1)(
0
c
t
cC vdiCt
将上式两边取拉氏变换,得
（ 4.6-10）
或 （ 4.6-11）
上式表明,一个具有初始电压的电容元件,其复频域模型为一个复频容抗与一个大小为的电压源相串联,或者是与一个大小为的电流源并联,如图 4.6-2所示 。
)0(1)(1)( CcC ssIsCsV?
)0()()( ccc cvss c VsI
)(sIc
+ -
)(svc
)0(1?cvs
+ -
sc
1 )(sIc
+ -)(sv
c
)0(?ccv
sc
1
电感元件的电压与电流的时域关系为将上式两边取拉氏变换,得
（ 4.6-12）
或 （ 4.6-13）
上式表明,一个具有初始电流的电感元件,其复频域模型为一个复频感抗与一个大小为的电压源相串联,或者是与一个大小为的电流源相并联,如图 4.6-3所示 。
dt
tdiLt L
L
)()(
s
isV
sLsI
L
LL
)0()(1)(
)0()()( LLL Liss L IsV
sL
+ -
)(sVL
)0(?LLi)(sI
L
- +
sL
+ -)(sV
L
s
iL )0(?
)(sIL
把电路中每个元件都用它的复频域模型来代替,将信号源及各分析变量用其拉氏变换式代替,就可由时域电路模型得到复频域电路模型 。 在复频域电路中,电压 V(s)与电流 I ( s ) 的关系是代数关系,可以应用与电阻电路一样的分析方法与定理列写求解响应的变换式 。
4.7 系统函数
4.7.1系统函数与零状态响应系统函数 H(s)是在零状态条件下系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 。 式 （ 4.6-1） 表示的线性时不变系统,其系统函数由式 （ 4.6-7） 给出,即
（ 4.7-1）
可见,已知系统时域描述的微分方程就很容易直接写出系统复频域描述的系统函数,反之亦然 。
系统函数仅决定于系统本身的特性,与系统的激励无关,
它在系统分析与综合中占有重要地位 。
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
由于 YZS(s) = H(s) X(s)
当系统的激励为?(t) 时,零状态响应为 h(t),故
￡[h(t)] = H(s) ￡[?(t)] =H(s) ( 4.7-2）
即系统函数 H(s)与冲激响应 h(t)是一对拉氏变换 。 h(t)与 H(s)
分别从时域和复频域两个方面表征了同一系统的特性 。 在时域,频域和复频域,系统的输入和零状态输出的关系由频域和复频域卷积定理相联系 。
h t H s( ) ( )?
当系统的激励为时,
系统的零状态响应由卷积积分可求得为
（ 4.7-3）
上式表明,若激励是无时限的复指数信号时,则因果系统的零状态响应也是全响应仍为相同复频率的指数信号,但被加权了 H(s)。 或者说,只要将激励乘以系统函数 H(s)便可求得响应 （ 条件是,s位于 H(s)的收敛域内,即位于 H(s)的最右极点的右边 ） 。
因此,用拉氏变换法分析系统的零状态响应,实质上就是将激励信号分解为许多不同复频率的复指数分量之和,即
)()( 1 tetx ts
)()( 10 111 sHedehe tssts
dehedehty ststszs 111 )()()( )(
其中每个复指数分量的响应由式（ 4.7-3）可得为，最后将这些响应分量迭加，即得系统的零状态响应
x t
j
X s e d s
j
j
s t( ) ( )?
1
2
即
y t
j
X s H s e d sZS
j
j
s t( ) ( ) ( )?
12?
y t
j
Y s e d sZS ZS
j
j
s t( ) ( )?
1
2
（ 4.7-4）
4.7.2 系统函数的求法综上所述,系统函数可以由零状态条件下从系统的微分方程经过拉氏变换求得,或从系统的冲激响应求拉氏变换而得到 。 对于具体的电路,系统函数还可以用零状态下的复频域等效电路 （ 模型 ） 求得 。
4.7.3 系统框图化简在工程分析中,人们较喜欢采用方框图的表示形式,因此系统可以用框图表示 。 一个大系统可以由许多子系统作适当联接组成,当各子系统的系统函数已知时,可通过框图化简求得总系统的系统函数 。 系统的基本联接方式有级联,
并联及反馈三种 。
1,级联如图 4.7-3所示 。 两个子系统的系统函数分别为 H1(s)和 H2(s)，
整个系统的系统函数为
（ 4.7-5）
即,子系统级联时,总系统函数为各个子系统函数之积
2,并联如图 4.7-4所示 。 图中表示加法器或称,和点,,在 X(s)后面的 A点叫做,分点,。
（ 4.7-6）
即,子系统并联时,总系统函数为各个子系统函数之和 。
)s(H)s(H)s(H 21?
)s(H1 )s(H2
X(s) Y(s)
2,并联如图 4.7-4所示 。 图中表示加法器或称,和点,,在 X(s)后面的 A点叫做,分点,。
（ 4.7-6）
即,子系统并联时,总系统函数为各个子系统函数之和 。
)s(H)s(H)s(H 21
X(s)
)s(H2
)s(H1 Y(s)
3,反馈图 4.7-5表示子系统 H1(s)的输出信号反馈到输入端的情况,
其中 H1(s)称为正向通路的系统函数,H2(s)称为反馈通路的系统函数,,+‖号表示正反馈,即输入信号与反馈信号相加,
―－”号表示负反馈，即输入信号与反馈信号相减。没有反馈通路的系统称为开环系统，有了反馈通路则成闭环系统。
在有反馈时的总系统函数为
（ 4.7-7）
对于负反馈的情况,上式分母中取正号； (对于正反馈的情况,上式分母中取负号 。 )
)()(1
)(
)(
)()(
21
1
sHsH
sH
sX
sYsH
)s(EX(s) Y(s)
)s(H2
)s(H1-
4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性
4.8.1系统函数的零点与极点一般来说,线性系统的系统函数是以多项式之比的形式出现的 。 将式 (4.7-1)给出的系统函数的分子,分母进行因式分解,
进一步可得
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0
1
1
0
为标量系数H
ps
zs
H
sD
sN
sH
n
k
k
m
j
j
当一个系统函数的全部零点,极点及确定后,这个系统函数也就可以完全确定 。 由于 H0只是一个比例常数,对的函数形式没有影响,所以一个系统随变量 s变化的特性可以完全由它的零点和极点表示 。 把系统函数的零点和极点绘在 S平面上的图形叫做系统函数的零,极点图 。 其中零点用,o‖表示,
极点用,,表示 。 若为 n重零点或极点,则注以 ( n )。
一个实际电系统的参数 （ 如 R,L,C等 ） 必为实数,
故系统函数的分子多项式和分母多项式系数 bj (j=0,1,…,m)和
ai ( i=0,1,…,n)必均为实数,因而实际系统的系统函数必定是复变量 s的实有理函数,它的零点或极点一定是实数或成对出现的共轭复数 。
借助系统函数在 S平面的零,极点分布的研究,可以简明,直观地给出系统响应的许多规律,以统一的观点阐明系统诸方面的性能 。 系统的时域,频域特性集中地以其系统的零,极点分布表现出来 。 从的零,极点的分布不仅可以揭示系统的时域特性的规律,而且还可用来阐明系统的频率响应特性和系统的稳定性等方面的性能 。
1,由系统函数的零、极点分布确定系统的冲激响应的模式系统函数 H(s) 与冲激响应 h ( t )是一对拉氏变换,因此根据
H(s)的零,极点分布就可以确定系统的冲激响应的模式 。
（ 1） 若的极点位于 S平面的原点,如,则 h ( t ) =?(t),
冲激响应的模式为阶跃函数 。
（ 2） 若的极点位于 S平面的正实轴上,
如,则 h ( t ) =e?t?(t),冲激响应的模式为增长指数函数；若的极点位于 S平面的负实轴上,如,则 h ( t ) = e-?t?(t),冲激响应的模式为衰减指数函数 。
（ 3） 若的极点位于 S平面的虚轴 （ 极点必以共轭形式出现 ） 上,如
,则,冲激响应的模式为等幅振荡 。
2
0
2
0)(
ssH
)(s in)( 0 ttth
（ 4） 若的共轭极点位于 S右半平面，
如则
，
冲激响应的模式为增幅或减幅振荡。
以上分析了的极点与冲激响应模式的关系。零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相位，而对冲激响应模式没有影响。
2
0
2
0
)()(
ssH
)(s in)( 0 tteth t
2,由系统函数的零极点分布确定系统全响应模式
)s(Y)s(Y)s(Y zizs
)s(Y)s(X)s(H zi
(1),零状态响应)t(yzs
H(s)与系统全响应模式之间的关系
H(s)的极点确定零状态响应中 自然 响应 的模式
X(s)的极点确定零状态响应中 强制 响应 的模式当的极点与的零点或的零点与的极点相消时,就会使的极点所对应的自然响应模式或的极点所对应的强制响应模式消失 。
(2),零输入响应)(tyzi
故零输入响应 （ 自然响应 ） 的模式由 D(s)=0的根确定,它的幅度和相位则与初始状态有关 。 这里 D(s)=0称为系统的特征方程,
其根称为特征根或系统的固有频率 。 可以说,零输入响应的模式由系统的固有频率确定 。 如果 H(s)没有零,极点相消,则特征方程 D(s)=0的根也就是 H(s)的极点,则零输入响应的模式由
H(s)的极点确定 。 但是,当 H(s)的零极点相消时,系统的某些固有频率在 H(s)的极点中将不再出现,这时零输入响应的模式不再由 H(s)的极点确定,但 H(s)的零极点是否相消,并不影响零状态响应的模式 。 这一现象说明,系统函数一般只用于研究系统 H(s)的零状态响应 。
系统的完全响应 y(t)也可以分为暂态响应和稳态响应。随着时间 t 的增大而衰减为零的部分为暂态响应，其余部分为稳态响应。暂态响应与 H(s)和 X(s)都有关系。当 H(s)和 X(s)的极点都在
S域左半平面时，暂态响应等于自然响应与强制响应之和，稳态响应等于零。若 X(s)的极点实部大于或等于零，即 Re[pi] ；
或者极点在原点，仍假定 H(s)的极点 Re[pi] <0，此情况下，自然响应就是暂态响应，强制响应就是稳态响应。 0?
4.8.3由系统函数的零、极点分布确定系统的频率响应特性系统函数 H(s)在 S平面的零,极点分布与其频率特性有直接关系 。 利用系统函数的零,极点分布就可以借助几何作图法确定系统的频率响应特性 （ 简称频响特性 ） 。
若系统函数的极点均位于 S左半平面,那么它在虚轴上 （ s
= j?） 也收敛,令 s = j?,也就是在 S平面中令 s只沿虚轴变化,
则 H(s)| s= j? =H(j?)或写作 H(?)即为系统的频响特性 。
在式 （ 4.8-1） 系统函数 H(s) 的表达式中,令 s = j?,则得：
)(
)j(
)j(
)(
0
1
1
0
为标量系数H
p
z
HH
n
k
k
m
j
j
可以看出,频响特性取决于系统的零,极点分布 。 即取决于 zj=pk
的位置,H0是系数,对频响特性无关紧要 。 式 （ 4.8-6） 分母中任一极点因子 （ j?-pk） 相当于由极点 pk引向虚轴上某点 j?的一个矢量,称为极点矢量；分子中任一零点因子 （ j?-zj） 相当于由零点
zj引向虚轴上某点 j?的一个矢量,称为零点矢量 。 图 4.8-5中画出了由零点 zj和极点 pk与虚轴上某点 j?联接构成的零点矢量 j? - zj和极点矢量 j? - pk 。 图中 Nj,Mk分别表示零点矢量和极点矢量的模,
j,?k分别表示零点矢量和极点矢量的辐角 。 即
j? - zj = Nj
j? - pk = Mk （ 4.8-7）
于是,幅频特性为
（ 4.8-9）
相频特性为
（ 4.8-10）
n
k
k
m
j
j
M
N
HH
1
1
0)(?
m
j
n
k
kj
1 1
)(
当?自原点沿虚轴运动并趋于无穷大时,各零点矢量和极点矢量的模和辐角都随之改变,于是得出幅频特性和相频特性曲线 。
讨论可知,如果系统函数的某一极点十分靠近虚轴时,则当角频率?在该极点虚部附近处时,幅频特性有一峰值,相频特性急剧减小 。 类似地,如果系统函数有一零点十分靠近虚轴时,则当角频率?在该零点虚部附近处时,幅频特性有一谷值,相频特性急剧增大 。
4,9 连续时间系统的稳定性
4.9.1 稳定系统稳定系统是指对于有界的激励产生有界的响应 （ BIBO） 的系统 。 如果对于有界的激励产生无限增大的响应,则系统是不稳定的 。 稳定性是系统本身特性的反映,系统是否稳定与激励今后的情况无关 。
设连续时间系统的输入信号 x(t)为有界,即,|x(t)|? Mx,Mx
为有界正值,由于零状态响应欲使 y(t)为有界输出,即 |y(t)| <?,则式 (4.9-1)必须是有界的,
也就是系统的冲激响应 h(t)必须满足绝对可积条件
(4.9-2)
对于因果系统的冲激响应,当 t < 0时,h(t) = 0,式 (4.9-2)可写为
(4.9-3)
dhty )(
0
)( dhty
dtxhtxthty )()()()()(
系统的冲激响应 h(t)和系统函数 H(s)从不同侧面表征系统的本性 。 判别系统是否稳定,既可从时域方面也可从 S域方面进行,
即通过研究 H(s)在 S平面中极点分布的位置,可很方便地给出有关系统稳定性的结论 。
从 4.8.2节中有关系统函数 H(s)的极点分布与冲激响应模式关系的分析中,可得出系统极点分布与稳定性的关系 。
（ 1） 若 H(s)的全部极点均位于 S左半平面 （ 不包括虚轴 ）,则在 t时,h(t)消失,系统是稳定系统 。
（ 2） 若在 H(s)的极点中,只要有一个位于 S右半平面或在虚轴
（ 包括原点 ） 上具有二重以上极点,则在 t时,h(t),系统是不稳定系统 。
（ 3） 若在 H(s)的极点中,除了位于 S左半平面外,还有一阶极点位于虚轴 （ 包括原点 ） 上,则 h(t)为有限值或为等幅振荡,系统是临界稳定系统 。
因此,系统稳定的充分必要条件是系统函数 H(s)的极点均位于 S
左半平面,或者说系统的特征方程 D(s) = 0的根都具有负的实部 。
4.9.2 连续系统的稳定性准则连续系统的稳定性准则也称为罗斯 ——霍尔维兹准则
（ Routh-Hurwitz criterion） 。
罗斯 ——霍尔维兹准则指出：多项式 D(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯表中第 1列的全部元素均大于 0,即如果罗斯表中第 1列的元素均为不等于 0的正值,则
D(s)=0的根全部位于 S平面的左半部,故系统稳定 。 如果罗斯表中第 1列元素的符号不完全相同,那么其符号改变次数恰恰就是具有正实部或位于 S右半平面的根的数目 。
4.10 系统的信号流图用方框图描述系统较直观,但是当系统很复杂时,方框图的化简过程是很繁杂的 。 此时,可以应用信号流图和梅森
（ Mason） 公式进行化简 。
4.10.1信号流图信号流图是用几何模型来描述线性方程组变量之间因果关系的一种表示方法,实际上是一种由点和标以方向的线构成的图形,它也是一种模拟图形,可以从方框图演变出来 。
图 4.10-1（ a） 所示是用系统函数表示的系统方框图,变成信号流图形式如图 4.10-1（ b） 所示,箭头指示信号流动方向,线段的权值就是该区间的系统函数 。
方框图描述了系统中各局部系统之间的连接关系，信号流图简化了方框图的表示形式，从而更醒目地表明系统中各信号（变量）之间的因果关系。
下面先定义信号流图中的一些术语 。
节点,表示信号或系统中变量的点 。
支路,连接两个节点之间的定向线段 。
支路系统函数,连接该支路节点之间系统函数 。
输入节点或源点,只有输出支路的节点,它对应的是输入信号 。
输出节点或阱点,只有输入支路的节点,它对应的是输出信号 。
混合节点,既有输入支路又有输出支路的节点 。 仅有一条输出支路的混合节点称为,和点,；仅有一条输入支路的混合节点称为,分点,。
信号流图说明了系统中各节点信号之间的代数运算关系,
或者说支路表示了系统中一个信号对另一个信号的函数关系 。
信号只能沿着支路的箭头方向通过 。 实际上每一支路相当于一个乘法器 。 混合节点信号就是该节点所有输入支路信号的总和,并把总和信号传向连接该节点的每一输出支路 。 例如图 4.10-1（ b） 中节点信号 X1的总和信号为 X1 = H1 X+ H3 X2,，
而节点信号 Y1 =X2 =H2 X1,由于同一系统可以写成不同形式的方程,因此,对于一个给定系统,画出的信号流图不是唯一的 。
4.10.2梅森公式信号流图用于系统分析的基本目的在于简化复杂系统,并确定系统输入和输出之间的关系式 。 信号流图也可以逐步简化,类似方框图的简化,以求出总系统函数 。 但这个过程仍嫌太繁琐 。 梅森公式是通过观察直接求得系统函数的一种方法 。
梅森公式表明在信号流图中,源点和阱点之间的系统函数为：
（ 4.10-1）?
m
i
iiPsX
sYsH
1
1
)(
)()(
式中 Pi——第 i条前向通路的增益；
——信号流图的特征行列式
（ 4.10-2）
fed
fed
cb
cb
a
a LLLLLL
,,,
1
其中 ——所有不同环路的增益之和；
——所有两个互不接触环路增益乘积之和；
a
aL
cb
cb LL
,
——所有三个互不接触环路增益乘积之和；
i ——将第 i条前向通路除去后 （ 包括该前向通路经过的所有节点 ） 再计算的?。
fed
fed LLL
,,
4.1 拉普拉斯变换
4.2 典型信号的拉普拉斯变换
4.3 拉普拉斯变换的性质
4.4 拉普拉斯反变换
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
4.6 连续系统的复频域分析
4.7 系统函数
4.8 由系统函数的零,极点分析系统特性
4.9 连续系统的稳定性
4.10 系统的信号流图习题 4
第 4章 连续信号与系统的复频域分析傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面 （ 如分析谐波成分,系统的频率响应,波形失真,抽样,滤波等 ） 是十分有效的 。 但在应用这一方法时,信号 f(t)必须满足狄里赫勒条件 。 而实际中会遇到许多信号,例如阶跃信号?(t),斜坡信号 t?(t),单边正弦信号 sint?(t)等,它们并不满足绝对可积条件,从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换 。
虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换,但其变换式中常常含有冲激函数,使分析计算较为麻烦 。 此外,
还有一些信号,如单边指数信号 e?t?(t) (?>0),则根本不存在傅里叶变换,因此,傅里叶变换的运用便受到一定的限制,其次,求取傅里叶反变换有时也是比较困难的,此处尤其要指出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应,
这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的 。 因此,有必要寻求更有效而简便的方法,人们将傅里叶变换推广为拉普拉斯变换 （ LT,Laplace Transform） 。
本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换,对拉普拉斯变换给出一定的物理解释；然后讨论拉普拉斯正,反变换以及拉普拉斯变换的一些基本性质,并以此为基础,着重讨论线性系统的复频域分析法；应用系统函数及其零极点来分析系统的时域特性,频域特性等 。
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号 f(t)之所以不能满足绝对可积的条件,是由于当 t或
t? -?时,f ( t )不趋于零 。 如果用一个实指数函数 e-? t去乘
f(t),只要?的数值选择得适当,就可以克服这个困难 。 例如,对于信号
0e
0e
)(
t
t
tf
ta
tb
式中 a,b都是正实数,且 a > b 。 只要选择 a >? > b,就能保证当 t 和 t? －? 时,f ( t )e-?t 均趋于零 。 通常把 e-?t
称为收敛因子 。 f ( t )乘以收敛因子 e-?t 后的信号 f ( t )e-?t的傅里叶变换为它是 的函数,可写成
dteetfetf tjtt )(])([F
dtetf tj )()(
j?
F j f t e d tj t
( ) ( )
dtetfsF st)()(记为最后得到式 （ 4.1-5） 称为 f (t)的双边拉普拉斯变换 (bilateral Laplace
Transform),称 F(s） 是 f ( t )的象函数 。 而式 (4.1-6) 是 F（ s）
的双边拉普拉斯反变换,称 f (t) 是 F(s)的原函数 。
式 （ 4.1-5） 和 （ 4.1-6） 称为双边拉普拉斯变换对,可以用双箭头表示 f ( t )与 F(s)之间这种变换与反变换的关系其傅氏反变换为
desFetf tjt )(2 1)(
dtetfsF st)()(
f t j F s e d ss t
j
j
( )?
12?
（ 4.1-5）
（ 4.1-6）
)]([)()],([)( sFtftfsF -1LL记
)()( sFtf?
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出,f
( t ) 的双边拉普拉斯变换 F(s)=F( )是把 f ( t )乘以 e -? t之后再进行的傅里叶变换,或者说 F(s)是 f ( t ) 的广义傅里叶变换 。
而 f ( t )e -? t 较容易满足绝对可积的条件,这就意味着许多原来不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换,即双边拉普拉斯变换,于是,拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围 。
拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于：傅里叶变换是将时间域函数 f ( t )变换为频率域函数 F( )，或作相反的变换，此处时域变量 t 和频域变量 都是实数；而拉普拉斯变换则是将时间域函数 f ( t ) 变换为复频域函数 F(s)，或作相反的变换，
这里时域变量 t 是实数，复频变量 s 是复数。概括地说，傅里叶变换建立了时域和频域 ( 域 ) 间的联系，而拉普拉斯变换则建立了时域和复频域（ S域）间的联系。
j?
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域从以上讨论可知，当信号 f (t)乘以收敛因子 e-?t后，就有可能满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看 f (t)的性质与? 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数 f (t)，
通常并不是在所有的? 值上都能使式 (4.1-5)的积分收敛，
即并不是对所有的? 值而言，函数 f ( t )都存在拉普拉斯变换，而只是在? 值的一定范围内,f ( t )才存在拉普拉斯变换。通常把使 f (t)e-?t 满足绝对可积条件的? 值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域 ( ROC,region of convergence )。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完全不同的时间函数。因此，双边拉普拉斯变换必须标明收敛域。
4.1.3 （ 单边 ） 拉普拉斯变换考虑到实际中遇到的信号都是有始 （ 因果 ） 信号,即 t < 0 时
f ( t ) = 0,以及信号虽然不起始于 0,而问题的讨论只须考虑信号 的部分 。 在这两种情况下,式 （ 4.1-5） 可改写为：
（ 4.1-8）
上 式 称为 f(t) 的 单边 拉普 拉斯 变换 （ unilateral Laplace
Transform）,记为 ￡[ f (t) ]。 相应的反变换为：
t > 0 (4.1-9）
记为 ￡-1[ F(s)]。 即
F(s) =￡[ f (t) ] 和 f (t) = ￡–1 [ F (s) ]
0?
0 )()( dtetfsF st
f t j F s e d ss t
j
j
( )?
12?
式 （ 4.1-8） 中积分下限用 0－ 而不用 0＋,目的是可把 t = 0－
时出现的冲激考虑到变换中去,当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时,可以直接引用已知的起始状态 f (0－ )而求得全部结果,无需专门计算 0－ 到 0＋ 的跳变 。
由于在分析因果系统,特别是具有非零初始条件的线性常系数微分方程时,单边拉普拉斯变换具有重要价值,所以,我们在下文中讨论的拉普拉斯变换 （ 简称拉氏变换 ）
都是指单边拉普拉斯变换 。
如果因果信号 f ( t )满足,（ 1） 在有限区间 a < t < b内
（ 0? a < b <?） 可积； （ 2） 对于某个?0,有,
（ 4.1-10）
则对于 Re[s] =? >?0,拉普拉斯变换积分式 （ 4.1-8） 绝对且一致收敛 。 即 f ( t )存在拉普拉斯变换 。
)(0)(lim 0 tt etf
0 为 最 低 限 度 的? 值,称 为 收 敛 坐 标 ( abscissa of
convergence ),它的取值与函数 f ( t ) 的性质有关 。 经过?0的垂直线是收敛边界,或称为收敛轴 。 由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由 Re[s] =? >?0的半平面组成,因此其收敛域都位于收敛轴的右边 。 凡满足式 (4.1-10)的函数 f ( t )称为,指数阶函数,,意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数 f(t)
可能存在的发散性压下去,使之成为收敛函数 。
由于 (单边 )拉氏变换的收敛域是由 Re(s) >?0的半平面组成,
收敛域比较容易确定,故在一般情况下,不再加注其收敛域 。
我们在此再强调一下,以后讨论的拉普拉斯变换是指单边拉普拉斯变换 。
4.2 典型信号的拉普拉斯变换下面给出一些典型信号的拉氏变换 。 因为 f ( t )与 f ( t ) 的单边拉氏变换相同,因此假定这些信号都是有始信号 。
1,指数信号
2,单边阶跃信号
3,单边正弦信号
4,单边余弦信号 cost
)(t?
ste
t 1)(
2
0
2
0
0 )(s in?
stt
st
1)(
2
0
20 )(c o s s
stt
5,单边衰减正弦信号
6,单边衰减余弦信号
7,单位冲激信号
8,t的正幂信号 t n,（ n为正整数 ）
9,单边双曲正弦函数 sh和余弦函数 ch
e t t sts in ( ) ( )0 02
0
2
2
0
20 )()(c o s
s
stte t
1)(?t?
1
!)(
n
n
s
ntt?
22)(s in h?
stt 22)(c o s h s
stt
4.3 拉普拉斯变换的性质在实际应用中,人们常常不是利用定义式计算拉氏变换,
而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质 。 这些性质与傅里叶变换性质极为相似,在某些性质中,只要把傅氏变换中的 j?用 s替代即可 。 但是,傅氏变换是双边的,而这里讨论的拉氏变换是单边的,所以某些性质又有差别 。 有些性质与傅氏变换相类似 。
1,线性
2,时移性
3,比例性 （ 尺度变换 ）
4,频移性
5,时域微分
6,时域积分
7,初值定理
8,终值定理拉氏变换还有一些其它性质,如时域卷积和复频域卷积等,
它们与傅氏变换的性质类似,不再重复 。 表 4-2列出了常用拉氏变换的性质 。
4.4 拉普拉斯反变换从象函数 F(s)求原函数 f (t)的过程称为拉普拉斯反变换 。
简单的拉普拉斯反变换只要应用表 4-1以及上节讨论的拉氏变换的性质便可得到相应的时间函数 。
求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式展开法和围线积分法 。 前者是将复杂变换式分解为许多简单变换式之和,然后分别查表即可求得原信号,它适合于
F(s)为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分,
它的适用范围更广 。
4.4.1部分分式展开法常见的拉氏变换式是 s的多项式之比 （ 有理函数 ）,一般形式是：
)(
)()(
sD
sNsF?
式中 N(s)和 D(s)分别为 F(s)的分子多项式和分母多项式 。 ai ( i=
0,1,…,n),bj (j = 0,1,…,m)均为实数 。 如果 N(s)的阶次比 D(s)的阶次高,则要用长除法将 F(s)化成多项式与真分式之和,即
（ 4.4-2 ）
由于商多项式的拉氏反变换是冲激函数及其各阶导数可由微分性质直接求得 。
所以只需讨论真分式多项式的拉氏反变换。下面着重讨论是真分式时的拉氏反变换，可以将其分为以下三种情况：
商 +真分式
)(
)()(
sD
sNsF
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
2
2
1
1
1,D(s) = 0的根都是相异实根因式分解为
)())(()( 21 nn ssssssasD
F(s)可表示为然后,由表 4－ 1进行反变换 。
2,D(s) = 0有复根且无重复根
)())((
)(
)(
)(
21 nn ssssssa
sN
sD
sN
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
2
2
1
1
))(())(()( 2221 cbssssssssasD nn
))(( 21 cbsssD
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
21
sD
sN
cbss
ksk
sD
sNsF?
的反变换可用配方法。cbss ksk2 21其中
3,D(s) = 0的根为重根同样,可求得反变换 。
4.4.2 围线积分法拉普拉斯反变换式是拉氏反变换的运算转换为求被积函数在各极点上的留数 。
可写成则重根只有一个若 )(,0)( sDpsD?
)()()()( 11 nppn ssssssasD
)(
)(
)()()()(
)(
1
1
1
11
2
1
12
1
1
)1(1
1
1
sD
sN
ss
k
ss
k
ss
k
ss
k
sF pppp?
f t j F s e d ss t
j
j
( )?
12?
0,]e)([sRe)( tsFtf kssts
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系由于拉氏变换是由傅氏变换推广而来,当?＝ 0 时,拉氏变换就是傅氏变换 。 对于有始信号,即 t < 0 时,f( t ) = 0,则 f ( t )
的拉氏变换即为单边拉氏变换 。 因而,单边拉氏变换与傅氏变换之间必有联系 。 本节讨论有始信号的傅氏变换与拉氏变换之关系,及由拉氏变换求取傅氏变换的方法 。 根据收敛坐标值,可分为三种情况 。
1,?0 > 0
傅氏变换不存在 。 不能由拉氏变换去求得其傅氏变换 。
2,?0 < 0
在拉氏变换式中令 s=j?,就可得到傅氏变换 。
3,?0 = 0
这时傅氏变换中必然包含有冲激函数或它们的导数 。
4.6 连续系统的复频域分析
4.6.1 微分方程的复频域分析法对于任何一个线性时不变系统都可用下列常系数线性微分方程来描述 。
对上式两边取拉氏变换,并假定为有始函数,即 t < 0时,
x(t)= 0,因而,x(0-)=x’(0-)=0 。
利用时域微分性质,有以二阶常系数线性微分方程为例
)()()()()( 01012 txbtxbtyatyatya
)()( 01 sXbssXb
)()]0()([)]0()0()([ 0122 sYayssYaysysYsa
由此可见,时域中的微分方程已转换为复频域中的代数方程,
并且自动地引入初始状态,这样十分便于直接求出全响应 。
全响应的象函数为上式表明响应由两部分组成 。 一部分是由激励产生的零状态响应；另一部分是系统的初始状态产生的零输入响应 。
01
2
2
122
01
2
2
01 )0()0()0()()(
asasa
yayasyasX
asasa
bsbsY
)()( sYsY zizs
)(
)()(
sX
sYsH zs?
系统函数的定义：
阶导数的初始状态的表示响应式中,ityy i )()0()(?
它是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,称为系统函数 。
对 Y(s) 进行反变换,可得全响应的时域表达式：
4.6.2 电路的复频域模型当人们在复频域内分析具体电路时,此时可不必先列写微分方程,再用拉氏变换进行分析,而是先根据复频域电路模型,
从电路中直接列写求解复频域响应的代数方程,然后求解复频域响应并进行拉氏反变换 。 下面先介绍电路元件的复频域模型 。
电阻元件的电压与电流的时域关系为
)()()]([)]([)]([)( 111 tytysYLsYLsYLty zizszizs
)()( tRit RR
将上式两边取拉氏变换,得
（ 4.6-9）
由式 （ 4.6-9） 可得到电阻元件的复频域模型如图 4.6-1所示 。
显然,电阻元件的复频域模型与时域模型具有相同的形式 。
)()( sRIsV RR?
+ -)(sV
R
)(sIR
+ -)(tv
R
)(tiR
电容元件的电压与电流的时域关系为
)0()(1)(
0
c
t
cC vdiCt
将上式两边取拉氏变换,得
（ 4.6-10）
或 （ 4.6-11）
上式表明,一个具有初始电压的电容元件,其复频域模型为一个复频容抗与一个大小为的电压源相串联,或者是与一个大小为的电流源并联,如图 4.6-2所示 。
)0(1)(1)( CcC ssIsCsV?
)0()()( ccc cvss c VsI
)(sIc
+ -
)(svc
)0(1?cvs
+ -
sc
1 )(sIc
+ -)(sv
c
)0(?ccv
sc
1
电感元件的电压与电流的时域关系为将上式两边取拉氏变换,得
（ 4.6-12）
或 （ 4.6-13）
上式表明,一个具有初始电流的电感元件,其复频域模型为一个复频感抗与一个大小为的电压源相串联,或者是与一个大小为的电流源相并联,如图 4.6-3所示 。
dt
tdiLt L
L
)()(
s
isV
sLsI
L
LL
)0()(1)(
)0()()( LLL Liss L IsV
sL
+ -
)(sVL
)0(?LLi)(sI
L
- +
sL
+ -)(sV
L
s
iL )0(?
)(sIL
把电路中每个元件都用它的复频域模型来代替,将信号源及各分析变量用其拉氏变换式代替,就可由时域电路模型得到复频域电路模型 。 在复频域电路中,电压 V(s)与电流 I ( s ) 的关系是代数关系,可以应用与电阻电路一样的分析方法与定理列写求解响应的变换式 。
4.7 系统函数
4.7.1系统函数与零状态响应系统函数 H(s)是在零状态条件下系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 。 式 （ 4.6-1） 表示的线性时不变系统,其系统函数由式 （ 4.6-7） 给出,即
（ 4.7-1）
可见,已知系统时域描述的微分方程就很容易直接写出系统复频域描述的系统函数,反之亦然 。
系统函数仅决定于系统本身的特性,与系统的激励无关,
它在系统分析与综合中占有重要地位 。
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
由于 YZS(s) = H(s) X(s)
当系统的激励为?(t) 时,零状态响应为 h(t),故
￡[h(t)] = H(s) ￡[?(t)] =H(s) ( 4.7-2）
即系统函数 H(s)与冲激响应 h(t)是一对拉氏变换 。 h(t)与 H(s)
分别从时域和复频域两个方面表征了同一系统的特性 。 在时域,频域和复频域,系统的输入和零状态输出的关系由频域和复频域卷积定理相联系 。
h t H s( ) ( )?
当系统的激励为时,
系统的零状态响应由卷积积分可求得为
（ 4.7-3）
上式表明,若激励是无时限的复指数信号时,则因果系统的零状态响应也是全响应仍为相同复频率的指数信号,但被加权了 H(s)。 或者说,只要将激励乘以系统函数 H(s)便可求得响应 （ 条件是,s位于 H(s)的收敛域内,即位于 H(s)的最右极点的右边 ） 。
因此,用拉氏变换法分析系统的零状态响应,实质上就是将激励信号分解为许多不同复频率的复指数分量之和,即
)()( 1 tetx ts
)()( 10 111 sHedehe tssts
dehedehty ststszs 111 )()()( )(
其中每个复指数分量的响应由式（ 4.7-3）可得为，最后将这些响应分量迭加，即得系统的零状态响应
x t
j
X s e d s
j
j
s t( ) ( )?
1
2
即
y t
j
X s H s e d sZS
j
j
s t( ) ( ) ( )?
12?
y t
j
Y s e d sZS ZS
j
j
s t( ) ( )?
1
2
（ 4.7-4）
4.7.2 系统函数的求法综上所述,系统函数可以由零状态条件下从系统的微分方程经过拉氏变换求得,或从系统的冲激响应求拉氏变换而得到 。 对于具体的电路,系统函数还可以用零状态下的复频域等效电路 （ 模型 ） 求得 。
4.7.3 系统框图化简在工程分析中,人们较喜欢采用方框图的表示形式,因此系统可以用框图表示 。 一个大系统可以由许多子系统作适当联接组成,当各子系统的系统函数已知时,可通过框图化简求得总系统的系统函数 。 系统的基本联接方式有级联,
并联及反馈三种 。
1,级联如图 4.7-3所示 。 两个子系统的系统函数分别为 H1(s)和 H2(s)，
整个系统的系统函数为
（ 4.7-5）
即,子系统级联时,总系统函数为各个子系统函数之积
2,并联如图 4.7-4所示 。 图中表示加法器或称,和点,,在 X(s)后面的 A点叫做,分点,。
（ 4.7-6）
即,子系统并联时,总系统函数为各个子系统函数之和 。
)s(H)s(H)s(H 21?
)s(H1 )s(H2
X(s) Y(s)
2,并联如图 4.7-4所示 。 图中表示加法器或称,和点,,在 X(s)后面的 A点叫做,分点,。
（ 4.7-6）
即,子系统并联时,总系统函数为各个子系统函数之和 。
)s(H)s(H)s(H 21
X(s)
)s(H2
)s(H1 Y(s)
3,反馈图 4.7-5表示子系统 H1(s)的输出信号反馈到输入端的情况,
其中 H1(s)称为正向通路的系统函数,H2(s)称为反馈通路的系统函数,,+‖号表示正反馈,即输入信号与反馈信号相加,
―－”号表示负反馈，即输入信号与反馈信号相减。没有反馈通路的系统称为开环系统，有了反馈通路则成闭环系统。
在有反馈时的总系统函数为
（ 4.7-7）
对于负反馈的情况,上式分母中取正号； (对于正反馈的情况,上式分母中取负号 。 )
)()(1
)(
)(
)()(
21
1
sHsH
sH
sX
sYsH
)s(EX(s) Y(s)
)s(H2
)s(H1-
4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性
4.8.1系统函数的零点与极点一般来说,线性系统的系统函数是以多项式之比的形式出现的 。 将式 (4.7-1)给出的系统函数的分子,分母进行因式分解,
进一步可得
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0
1
1
0
为标量系数H
ps
zs
H
sD
sN
sH
n
k
k
m
j
j
当一个系统函数的全部零点,极点及确定后,这个系统函数也就可以完全确定 。 由于 H0只是一个比例常数,对的函数形式没有影响,所以一个系统随变量 s变化的特性可以完全由它的零点和极点表示 。 把系统函数的零点和极点绘在 S平面上的图形叫做系统函数的零,极点图 。 其中零点用,o‖表示,
极点用,,表示 。 若为 n重零点或极点,则注以 ( n )。
一个实际电系统的参数 （ 如 R,L,C等 ） 必为实数,
故系统函数的分子多项式和分母多项式系数 bj (j=0,1,…,m)和
ai ( i=0,1,…,n)必均为实数,因而实际系统的系统函数必定是复变量 s的实有理函数,它的零点或极点一定是实数或成对出现的共轭复数 。
借助系统函数在 S平面的零,极点分布的研究,可以简明,直观地给出系统响应的许多规律,以统一的观点阐明系统诸方面的性能 。 系统的时域,频域特性集中地以其系统的零,极点分布表现出来 。 从的零,极点的分布不仅可以揭示系统的时域特性的规律,而且还可用来阐明系统的频率响应特性和系统的稳定性等方面的性能 。
1,由系统函数的零、极点分布确定系统的冲激响应的模式系统函数 H(s) 与冲激响应 h ( t )是一对拉氏变换,因此根据
H(s)的零,极点分布就可以确定系统的冲激响应的模式 。
（ 1） 若的极点位于 S平面的原点,如,则 h ( t ) =?(t),
冲激响应的模式为阶跃函数 。
（ 2） 若的极点位于 S平面的正实轴上,
如,则 h ( t ) =e?t?(t),冲激响应的模式为增长指数函数；若的极点位于 S平面的负实轴上,如,则 h ( t ) = e-?t?(t),冲激响应的模式为衰减指数函数 。
（ 3） 若的极点位于 S平面的虚轴 （ 极点必以共轭形式出现 ） 上,如
,则,冲激响应的模式为等幅振荡 。
2
0
2
0)(
ssH
)(s in)( 0 ttth
（ 4） 若的共轭极点位于 S右半平面，
如则
，
冲激响应的模式为增幅或减幅振荡。
以上分析了的极点与冲激响应模式的关系。零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相位，而对冲激响应模式没有影响。
2
0
2
0
)()(
ssH
)(s in)( 0 tteth t
2,由系统函数的零极点分布确定系统全响应模式
)s(Y)s(Y)s(Y zizs
)s(Y)s(X)s(H zi
(1),零状态响应)t(yzs
H(s)与系统全响应模式之间的关系
H(s)的极点确定零状态响应中 自然 响应 的模式
X(s)的极点确定零状态响应中 强制 响应 的模式当的极点与的零点或的零点与的极点相消时,就会使的极点所对应的自然响应模式或的极点所对应的强制响应模式消失 。
(2),零输入响应)(tyzi
故零输入响应 （ 自然响应 ） 的模式由 D(s)=0的根确定,它的幅度和相位则与初始状态有关 。 这里 D(s)=0称为系统的特征方程,
其根称为特征根或系统的固有频率 。 可以说,零输入响应的模式由系统的固有频率确定 。 如果 H(s)没有零,极点相消,则特征方程 D(s)=0的根也就是 H(s)的极点,则零输入响应的模式由
H(s)的极点确定 。 但是,当 H(s)的零极点相消时,系统的某些固有频率在 H(s)的极点中将不再出现,这时零输入响应的模式不再由 H(s)的极点确定,但 H(s)的零极点是否相消,并不影响零状态响应的模式 。 这一现象说明,系统函数一般只用于研究系统 H(s)的零状态响应 。
系统的完全响应 y(t)也可以分为暂态响应和稳态响应。随着时间 t 的增大而衰减为零的部分为暂态响应，其余部分为稳态响应。暂态响应与 H(s)和 X(s)都有关系。当 H(s)和 X(s)的极点都在
S域左半平面时，暂态响应等于自然响应与强制响应之和，稳态响应等于零。若 X(s)的极点实部大于或等于零，即 Re[pi] ；
或者极点在原点，仍假定 H(s)的极点 Re[pi] <0，此情况下，自然响应就是暂态响应，强制响应就是稳态响应。 0?
4.8.3由系统函数的零、极点分布确定系统的频率响应特性系统函数 H(s)在 S平面的零,极点分布与其频率特性有直接关系 。 利用系统函数的零,极点分布就可以借助几何作图法确定系统的频率响应特性 （ 简称频响特性 ） 。
若系统函数的极点均位于 S左半平面,那么它在虚轴上 （ s
= j?） 也收敛,令 s = j?,也就是在 S平面中令 s只沿虚轴变化,
则 H(s)| s= j? =H(j?)或写作 H(?)即为系统的频响特性 。
在式 （ 4.8-1） 系统函数 H(s) 的表达式中,令 s = j?,则得：
)(
)j(
)j(
)(
0
1
1
0
为标量系数H
p
z
HH
n
k
k
m
j
j
可以看出,频响特性取决于系统的零,极点分布 。 即取决于 zj=pk
的位置,H0是系数,对频响特性无关紧要 。 式 （ 4.8-6） 分母中任一极点因子 （ j?-pk） 相当于由极点 pk引向虚轴上某点 j?的一个矢量,称为极点矢量；分子中任一零点因子 （ j?-zj） 相当于由零点
zj引向虚轴上某点 j?的一个矢量,称为零点矢量 。 图 4.8-5中画出了由零点 zj和极点 pk与虚轴上某点 j?联接构成的零点矢量 j? - zj和极点矢量 j? - pk 。 图中 Nj,Mk分别表示零点矢量和极点矢量的模,
j,?k分别表示零点矢量和极点矢量的辐角 。 即
j? - zj = Nj
j? - pk = Mk （ 4.8-7）
于是,幅频特性为
（ 4.8-9）
相频特性为
（ 4.8-10）
n
k
k
m
j
j
M
N
HH
1
1
0)(?
m
j
n
k
kj
1 1
)(
当?自原点沿虚轴运动并趋于无穷大时,各零点矢量和极点矢量的模和辐角都随之改变,于是得出幅频特性和相频特性曲线 。
讨论可知,如果系统函数的某一极点十分靠近虚轴时,则当角频率?在该极点虚部附近处时,幅频特性有一峰值,相频特性急剧减小 。 类似地,如果系统函数有一零点十分靠近虚轴时,则当角频率?在该零点虚部附近处时,幅频特性有一谷值,相频特性急剧增大 。
4,9 连续时间系统的稳定性
4.9.1 稳定系统稳定系统是指对于有界的激励产生有界的响应 （ BIBO） 的系统 。 如果对于有界的激励产生无限增大的响应,则系统是不稳定的 。 稳定性是系统本身特性的反映,系统是否稳定与激励今后的情况无关 。
设连续时间系统的输入信号 x(t)为有界,即,|x(t)|? Mx,Mx
为有界正值,由于零状态响应欲使 y(t)为有界输出,即 |y(t)| <?,则式 (4.9-1)必须是有界的,
也就是系统的冲激响应 h(t)必须满足绝对可积条件
(4.9-2)
对于因果系统的冲激响应,当 t < 0时,h(t) = 0,式 (4.9-2)可写为
(4.9-3)
dhty )(
0
)( dhty
dtxhtxthty )()()()()(
系统的冲激响应 h(t)和系统函数 H(s)从不同侧面表征系统的本性 。 判别系统是否稳定,既可从时域方面也可从 S域方面进行,
即通过研究 H(s)在 S平面中极点分布的位置,可很方便地给出有关系统稳定性的结论 。
从 4.8.2节中有关系统函数 H(s)的极点分布与冲激响应模式关系的分析中,可得出系统极点分布与稳定性的关系 。
（ 1） 若 H(s)的全部极点均位于 S左半平面 （ 不包括虚轴 ）,则在 t时,h(t)消失,系统是稳定系统 。
（ 2） 若在 H(s)的极点中,只要有一个位于 S右半平面或在虚轴
（ 包括原点 ） 上具有二重以上极点,则在 t时,h(t),系统是不稳定系统 。
（ 3） 若在 H(s)的极点中,除了位于 S左半平面外,还有一阶极点位于虚轴 （ 包括原点 ） 上,则 h(t)为有限值或为等幅振荡,系统是临界稳定系统 。
因此,系统稳定的充分必要条件是系统函数 H(s)的极点均位于 S
左半平面,或者说系统的特征方程 D(s) = 0的根都具有负的实部 。
4.9.2 连续系统的稳定性准则连续系统的稳定性准则也称为罗斯 ——霍尔维兹准则
（ Routh-Hurwitz criterion） 。
罗斯 ——霍尔维兹准则指出：多项式 D(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯表中第 1列的全部元素均大于 0,即如果罗斯表中第 1列的元素均为不等于 0的正值,则
D(s)=0的根全部位于 S平面的左半部,故系统稳定 。 如果罗斯表中第 1列元素的符号不完全相同,那么其符号改变次数恰恰就是具有正实部或位于 S右半平面的根的数目 。
4.10 系统的信号流图用方框图描述系统较直观,但是当系统很复杂时,方框图的化简过程是很繁杂的 。 此时,可以应用信号流图和梅森
（ Mason） 公式进行化简 。
4.10.1信号流图信号流图是用几何模型来描述线性方程组变量之间因果关系的一种表示方法,实际上是一种由点和标以方向的线构成的图形,它也是一种模拟图形,可以从方框图演变出来 。
图 4.10-1（ a） 所示是用系统函数表示的系统方框图,变成信号流图形式如图 4.10-1（ b） 所示,箭头指示信号流动方向,线段的权值就是该区间的系统函数 。
方框图描述了系统中各局部系统之间的连接关系，信号流图简化了方框图的表示形式，从而更醒目地表明系统中各信号（变量）之间的因果关系。
下面先定义信号流图中的一些术语 。
节点,表示信号或系统中变量的点 。
支路,连接两个节点之间的定向线段 。
支路系统函数,连接该支路节点之间系统函数 。
输入节点或源点,只有输出支路的节点,它对应的是输入信号 。
输出节点或阱点,只有输入支路的节点,它对应的是输出信号 。
混合节点,既有输入支路又有输出支路的节点 。 仅有一条输出支路的混合节点称为,和点,；仅有一条输入支路的混合节点称为,分点,。
信号流图说明了系统中各节点信号之间的代数运算关系,
或者说支路表示了系统中一个信号对另一个信号的函数关系 。
信号只能沿着支路的箭头方向通过 。 实际上每一支路相当于一个乘法器 。 混合节点信号就是该节点所有输入支路信号的总和,并把总和信号传向连接该节点的每一输出支路 。 例如图 4.10-1（ b） 中节点信号 X1的总和信号为 X1 = H1 X+ H3 X2,，
而节点信号 Y1 =X2 =H2 X1,由于同一系统可以写成不同形式的方程,因此,对于一个给定系统,画出的信号流图不是唯一的 。
4.10.2梅森公式信号流图用于系统分析的基本目的在于简化复杂系统,并确定系统输入和输出之间的关系式 。 信号流图也可以逐步简化,类似方框图的简化,以求出总系统函数 。 但这个过程仍嫌太繁琐 。 梅森公式是通过观察直接求得系统函数的一种方法 。
梅森公式表明在信号流图中,源点和阱点之间的系统函数为：
（ 4.10-1）?
m
i
iiPsX
sYsH
1
1
)(
)()(
式中 Pi——第 i条前向通路的增益；
——信号流图的特征行列式
（ 4.10-2）
fed
fed
cb
cb
a
a LLLLLL
,,,
1
其中 ——所有不同环路的增益之和；
——所有两个互不接触环路增益乘积之和；
a
aL
cb
cb LL
,
——所有三个互不接触环路增益乘积之和；
i ——将第 i条前向通路除去后 （ 包括该前向通路经过的所有节点 ） 再计算的?。
fed
fed LLL
,,
