信号与系统第七章第 7章 状态变量分析
7.1 状态与状态空间
7.2 连续系统状态方程的建立
7.3 连续系统状态方程的解
7.4 离散系统状态变量分析
7.5 系统的可控制性和可观测性习题 7
第 7章 状态变量分析分析一个物理系统,首先必须建立系统的数学模型,以便利用有效的数学工具解决实际问题 。 在系统分析中常用的系统描述方法有输入 -输出描述法和状态变量描述法两大类 。
前面几章讨论的信号与系统各种分析方法属于输入 -输出描述法 (input-output description),又称端口分析法,也称外部法 。
它强调用系统的输入,输出变量之间的关系来描述系统的特性 。 一旦系统的数学模型建立以后,就不再关心系统内部的情况,而只考虑系统的时间特性和频率特性对输出物理量的影响 。 这种分析法对于信号与系统基本理论的掌握,对于较为简单系统的分析是合适的 。 其相应的数学模型是 n 阶微分
(或差分 )方程 。
随着系统的复杂化,往往要遇到非线性,时变,多输入,多输出系统的情况 。 此外,许多情况下在研究其外部特性的同时,还需要研究与系统内部情况有关的问题,如复杂系统的稳定性分析,最佳控制,最优设计等等 。 这时,就需要采用以系统内部变量为基础的状态变量描述法 (state variable
description),这是一种内部法 。 它用状态变量描述系统内部变量的特性,并通过状态变量将系统的输入和输出变量联系起来,用于描述系统的外部特性 。 与输入 -输出描述法相比,
状态变量描述法具有以下主要优点：
(1) 可以有效地提供系统内部的信息,使人们较为容易地处理那些与系统内部情况有关的分析,设计问题；
(2) 状态变量分析法不仅适用于线性时不变的单输入 -单输出系统特性的描述,也适用于非线性,时变,多输入,多输出系统特性的描述；
(3) 便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计算 。
本章首先介绍状态和状态空间的概念和状态变量描述的方法,
然后给出连续和离散系统状态方程和输出方程的建立和求解的方法,最后简要地讨论状态空间中系统可控制性和可观测性的判定问题 。
7.1 状态与状态空间为了方便建立状态方程,下面先给出连续系统状态变量分析法中常用的几个名词的定义 。
1.状态 (state) 状态可理解为事物的某种特性 。 状态发生变化意味着事物有了发展和改变,所以,状态是研究事物的一类依据 。 系统的状态就是系统的过去,现在和将来的状况 。 从本质上说,系统的状态是指系统的储能状况 。
2.状态变量 (state variable) 用来描述系统状态的数目最少的一组变量 。 显然,状态变量实质上反映了系统内部储能状态的变化 。 常用 来表示 。x t x t
1 2( ),( ),?
这组状态变量可以完全唯一地确定系统 t>t0 任意时刻的运动状况 。 这种所谓,完全,表示反映了系统的全部状况,,最少,表示确定系统的状态没有多余的信息 。
3.状态矢量 (state vector)能够完全描述一个系统行为的 n 个状态变量，可以看成一个矢量的各个分量的坐标，此时矢量称为状态矢量，并可写成矩阵的形式
(7.1-1)
4,状态空间 (state space) 状态矢量所在的空间称为状态空间 。
状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的维数,也称系统的复杂度阶数 (order of complexity),简称系统的阶数 。
5,状态轨迹 (state orbit) 在状态空间中,系统在任意时刻的状态都可以用状态空间中的一点 (端点 )来表示 。 状态矢量的端点随时间变化而描述的路径,称为状态轨迹 。
x(t) x t x t T
1 2( ),( ),?
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。
当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时，一般分两步进行：一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特性的方程，一般是一阶微分 (或差分 )方程组，它建立了状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；二是利用系统的初始条件求取状态方程和输出方程的解。
可见,建立状态方程遇到的第一个问题是选定状态变量 。 若已知电路,最习惯选取的状态变量是电感的电流和电容的电压,
因为它们直接与系统的储能状态相联系 。 但也可以选择电感中的磁链或电容上的电荷 。 甚至有时可以选用不是系统中实际存在的物理量 。 但是状态变量必须是一组独立的变量,即所谓动态独立变量,即系统复杂度的阶数 n 。
7.2 连续系统状态方程的建立状态方程的建立主要有两大类：直接法和间接法 。 依据给定系统结构直接编写出系统的状态方程 。 这种方法直观,有很强的规律性,特别适用于电网络的分析计算 。 间接法常利用系统的输入 -输出方程,系统模拟图或信号流图编写状态方程 。 这种方法常用于系统模拟和系统控制的分析设计 。 本节主要讨论连续系统状态方程的建立 。
7.2.1连续系统状态方程的一般形式连续系统的状态方程是状态变量的一阶微分方程组,用矩阵形式来表示,为
vxx BA
输出方程为
vxy DC
上式中,系数矩阵 A为 n× n方阵,称为系统矩阵；系数矩阵
B为 n× m矩阵,称为控制矩阵；系数矩阵 C为 r× n矩阵,称为输出矩阵；系数矩阵 D为 r× m矩阵 。 对于线性时不变系统,
这些矩阵都是常数矩阵 。
7,2.2 由电路图建立状态方程为建立电路的状态方程,首先要选择状态变量,其中,电容和电感元件的 VCR在电压,电流关联参考方向下,有如下关系,即
,。
可见,若选择电容的电压和电感的电流作为状态变量很容易满足状态方程的形式 。 实际上,电容的电压和电感的电流正反映了电容和电感的储能状态 。 一般地说,由电路直接建立状态方程的步骤如下：
td
vdCi C
C? td
idLv L
L?
1,选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
2．对于电容 C应用 KCL写出该电容的电流与其它状态变量和输入变量的关系式；
3,对于电感 L应用 KVL写出该电感的电压与其它状态变量和输入变量的关系式；
4,消除非状态变量 (称为中间变量 )；
5,整理成状态方程和输出方程的标准形式 。
td
vdCi C
C?
td
idLv L
L?
为了叙述方便，如果定义不存在全电容回路和全电感割集的网络称为常态（ proper）网络。否则称为非常态网络。显然常态网络中全部的电容电压和电感电流均为状态变量。一般的常态网络还可以应用直流电路的知识列写状态方程。
从实例可以得到如下结论：
1.状态变量的选取并不是唯一的,选取不同的状态变量,
状态方程的形式会改变；
2.非常态网络的状态方程可能会出现激励的导数项,但只要改变状态变量的设置,总能使其导数项消失,使之成为标准的状态方程 。
另外,还应该指出的是,仅有 R,L,C组成的无受控源网络总能列写出标准的状态方程 。 如果电路含有受控源,由于多了一类约束关系,可能会使状态变量的个数 (状态矢量的维数 )减少,有时,对于少数特定的电路无法列写出标准的状态方程 。
7.2.2 从输入 -输出方程导出状态方程输入 -输出方程和状态方程是对同一系统的两种不同的描述方法 。 两者之间必然存在着一定的联系 。 由于状态变量更有利于计算机计算 。
7.2.3 从模拟图建立状态方程根据系统的输入 -输出微分方程或系统函数可以作出系统的模拟图或信号流图 。 然后依此选择每一个积分器的输出端信号为状态变量,最后得到状态方程和输出方程 。 由于系统函数可以写成不同的形式,所以模拟图或信号流图也可以有不同的结构,于是状态变量也可以有不同的描述方式,因而状态方程和输出方程也具有不同的参数 。
设已知三阶系统的微分方程为
d y t
d t
d y t
d t
d y t
d t y t
d v t
d t v t
3
3
2
28 19 12 4 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
则该系统的系统函数显然为
(7.2-24a)
当然,系统函数还可以写成如下形式
H s ss s s( )4 108 19 123 2
4
2
3
1
1
1)(
ssssH
4
1
3
2
1
1
1
4
4
1
3
2
5
1
4
)(
sss
ss
s
s
sH
(7.2-24c)
(7.2-24b)
故可分别画出级联,并联和串联等三类模拟图或信号流图 。
1,级联 (卡尔曼型 )模型级联模拟又称直接模拟,共有两种不同的形式 。 由式 7.2-
24(a),第一种直接模拟如图 7.2-7(a)所示 。 当然,也可画出相应的信号流图 。
)3(q
"q
'q q
)(ty?
10
)(tv
8
19
12
4
选取三个积分器输出为状态变量,则有写成矩阵形式,状态方程为
x q x q x q1 2 3,',' '
则状态方程为,?
x x
x x
x x x x v
1 2
2 3
3 1 2 312 19 8
输出方程为：
y x x10 41 2
x
x
x
x
x
x
v
1
2
3
1
2
3
0 1 0
0 0 1
12 19 8
0
0
1
矩阵形式为：
y
x
x
x
v?
10 4 0 0
1
2
3
第二种直接模拟如图 7.2-8(a)所示 。
2,并联模拟由式 (7.2-24b),可知此复杂系统可以用三个简单的子系统的并联来表示,其中,每一个简单子系统的系统函数为其模拟图如图 7.2-9(a)和 (b)所示 。
1
s a?
1
s aa
整个系统的模拟图如图 7.2-10(a)所示，相应的信号流图如图
7.2-10(b)所示。
1
3
4
v t( ) y t( )
1
1
2
x1
x2
x3
设状态变量如图。
得
x x v
x x v
x x v
y x x x
1 1
2 2
3 3
1 2 3
3
4
2
x
x
x
x
x
x
v
y
x
x
x
v
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1 0 0
0 3 0
0 0 4
1
1
1
1 1 2 0
应该注意到,系数矩阵 A是由系统的特征根－ 1,－ 3,－ 4
所构成的对角阵,所以,称这种状态变量为对角线状态变量 。
3,串联模拟由式 (7.2-24c),串联模拟图如图 7.2-11(a)所示 。 相应的信号流图如图 7.2-11(b)所示 。
1
3
4
124
v t( )
y t( )
x1x2x3
选取状态变量如图,状态方程为
x x x x
x x x
x x v
y x
1 1 2 3
2 2 3
3 3
1
4
1
2
4
3 4
x
x
x
x
x
x
v
y
x
x
x
v
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
4
0 3 4
0 0 1
0
0
1
1 0 0 0
矩阵形式为应该注意到，系数矩阵 A是一个上三角矩阵。
显然,上述三类通过模拟图列写状态方程的方法均可以推广到 n 阶系统的一般情况 。 从上面的讨论可知,状态变量是可以在系统内部选取,也可以人为地虚拟 。 对于同一个系统,
状态变量的选取不同,系统的状态方程和输出方程也将不同,
但它们所描述的系统的输入 -输出关系没有改变 。 容易理解,
由于同一系统的特征方程和特征根相同,各系数矩阵 A是相似的 (参见附录一的 F1.2)。
当系统的输入和输出都不止一个时,情况稍微复杂一些,但只要分别画出其相应的模拟图或信号流图,按照上述方法仍然能方便地列写出状态方程和输出方程 。
7.3 连续系统状态方程的解前面已经讨论了连续系统状态方程和输出方程的建立方法 。
接下来的问题是如何求解这些方程 。 一般来说,求解状态方程仍然有两种方法：一种基于拉普拉斯变换的复频域求解；
另一种是采用时域法求解 。 下面分别加以叙述 。
7.3.1 状态方程的复频域解如前所述,连续系统状态方程的标准形式为一阶常系数线性矢量微分方程,输出方程的标准形式为
vxx BA
vxy DC
方程两边进行拉氏变换
)()()0()( sBsAss VXxX
式中,I为 n× n单位矩阵 。
为了方便,定义,分解矩阵
(7.3-3)
)()0()()( sBsAsI VxX
(7.3-1)
将式 (7.3-1)改写为
(7.3-2)
( ) ( )s sI A 1
分解矩阵 (resolvent matrix)是一个由系统参数 A完全决定了的矩阵 。 它在状态方程的求解过程中起着非常重要的作用 。 这时式 (7.3-2)可表示为
(零输入 ) (零状态 )
这就是状态方程的拉氏变换解。
)()()0()()( sBsss VΦxΦX
分解矩阵的拉氏反变换为状态 状态转移矩阵。
( ) ( ) ( )t s sI A 1
对状态矢量的复频域解取拉氏反变换,为
(7.3-5)
零输入响应 零状态响应式 (7.3-5)就是状态矢量的时域解 。 式中,第一部分仅由系统的初始状态决定 。 故为零输入响应；第二部分是激励的函数,
故为零状态响应 。
在求得状态矢量的复频域解后,代入输出方程,即可得到响应的复频域解 。 由输出方程得到其拉氏变换的表达式为
)]()([)]0()([
)()(
11 sBss
st
VΦLxΦL
Xx
)(])([)0()[(
)()]()0()[(
)()()(
sDBsCsC
sDsBsC
sDsCs
VΦxΦ
VVxΦ
VXY
(7.3-6)
系统函数矩阵或称转移函数为
(7.3-9)
因此,零状态响应也可表示为
(7.3-10)
可见,系统函数矩阵 H(s)仅有系统的 A,B,C,D矩阵确定,
它是 r× m矩阵 ( r 为输出的数目,m 为输入的数目 ) 。 矩阵元素 Hij建立了状态方程中第个 i输出 yi(t)与第 j个输入 xj(t)之间的联系 。
DBsCs )()( ΦH
)()()( sssZS VHY?
7.3.2 状态方程的时域解矢量微分方程和标量微分方程的时域求解本质上同样是相同的 。 根据矩阵指数函数的定义和性质 (参见附录一的 F1.3)，
不难发现它与普通的 (标量 )指数函数的性质和运算方法也完全一样 。 下面,推导其求解的过程和解的形式对于状态方程将上式作时域运算,得
vxx BA
dBeet tAtA )()0()( )( vxx?
其中,零输入响应为
(7.3-19b))0()( xx tA
zi et
(7.3-19a)
零状态响应,为
(7.3-19c)
从上面的讨论中可以看到,在矢量微分方程的时域解中,
如何计算 是一个关键的问题 。 常用的计算方法有：
(1) 幂级数法 。 按照的定义展开成幂级数,然后求出其近似解 。
(2) 矩阵的相似变换法 。 将矩阵 A变换成相似的对角矩阵
,即
dBet tAzs )()( )( vx?
tAe
BPP 1
1 PAP
(3) 应用附录一 F1.4的凯来 -哈密尔顿定理，将表示成有限项之和，然后进行计算。
当然,在复频域中求分解矩阵,然后,反变换求就更好些 。
tAe
7.4 离散系统状态变量分析与连续系统一样,可以利用状态变量分析法来分析离散系统 。 离散系统是用差分方程来描述的,选择适当的状态变量可以把高阶差分方程化为关于状态变量的一阶差分方程组,这个差分方程组就是该离散系统的状态方程 。 输出方程是关于变量 k 的代数方程组 。
7.4.1 离散系统状态方程的一般形式如果是线性时不变离散系统,则状态方程是状态变量和输入序列的一阶线性常系数差分方程组,即式 (7.4-1)称为状态变量方程或状态空间方程,简称状态方程,式 (7.4-2)称为输出方程 。 它们同样可以用矩阵形式来表示 。 则状态方程式 (7.4-1)可以表示为如下的标准形式
(7.4-3)
为一阶常系数线性矢量差分方程,输出方程式 (7.4-2)的标准形式为
(7.4-4)
为变量为 k 的矢量代数方程 。
上式中,系数矩阵 A为 n× n方阵,称为系统矩阵；系数矩阵 B为 n× m矩阵,称为控制矩阵；系数矩阵 C为 r× n矩阵,称为输出矩阵；系数矩阵 D为 r× m矩阵 。 对于线性时不变系统,这些矩阵都是常数矩阵 。
)()()1( kBkAk vxx
)()()( kDkCk vxY
7.4.2 离散系统状态方程的建立建立离散系统的状态方程有多种方法 。 利用系统模拟图或信号流图建立状态方程是一种实用的方法 。 其建立过程与连续系统类似 。 首先,选取离散系统模拟图 (或信号流图 )
中的延时器输出端 (延时支路输出节点 )信号作为状态变量；
然后,用延时器的输入端 (延时支路输入节点 )写出相应的状态方程；最后,在系统的输出端 (输出节点 )列写系统的输出方程 。
第一种直接模拟与连续系统的情况类似,相应地,也有第二种直接模拟,并联模拟和串联模拟 。 这里,不多赘述 。
当系统的输入和输出都不止一个时,同样,只要画出其相应的模拟图或信号流图,按照上述方法仍然可以方便地列写出状态方程和输出方程 。
7.4.3 离散系统状态方程的解求解状态方程仍然有两种方法：一种基于 Z变换的变换域求解；另一种是采用时域法求解 。 下面分别加以叙述 。
一,离散系统状态方程的 Z域解用 Z变换求解一阶差分方程组与求解单个标量差分方程没有什么本质上的差异 。 对状态方程式 (7.4-3)两边取 Z变换,
根据 Z变换的微分性质,得
(7.4-5)
式中,X(z)和 F(z)分别表示状态矢量 x(k) 和输入矢量 f(k)的单边 Z变换,x(0)表示状态矢量的初始状态 。
相应地,输出方程式 (7.4-4)的 Z变换为
)()()0()( zBzAzzz VXxX
)()()( zDzCz VXY (7.4-6)
矩阵为离散系统的分解矩阵 。 显然,这是一个由系统参数 A
完全决定了的矩阵 。 这时式 (7.4-5)可表示为
(7.4-9)
这就是状态矢量的 Z域解 。 对上式取 Z反变换,有
(7.4-10)
式中第一项为状态矢量的零输入响应；第二项为零状态响应 。
在求得状态矢量的 Z域解后,代入输出方程式 (7.4-6),即可得到输出矢量的 Z域解,为
zAzIz 1)()(Φ (7.4-8)定义
)]()0()[()( 1 zBzzz VxΦX
)]()([)]0()([)( 111 zBzzzk VΦZxΦZx
在零状态条件下系统输出的 Z变换与输入的 Z变换之比定义为离散系统函数 。 由式 (7.4-11)可得系统函数矩阵或称转移函数矩阵为
(7.4-13)
系统函数矩阵的 Z反变换是离散系统的单位函数响应矩阵
h(k)。
)()]()0()[()( 1 zDzBzzCz VVxΦY
(7.4-11)
)(])([)]0()([)( 111 zDBzCzzCk VΦZxΦZy
对上式取 Z反变换，有
(7.4-12)
DBzCzz )()( 1 ΦH
可见,零状态响应的 Z变换也可表示为
(7.4-14)
从式 (7.4-13)中可以看到,系统函数矩阵 H(z)仅有系统的 A、
B,C,D矩阵确定,它是 r× m矩阵 (r为输出的数目,m为输入的数目 )。 矩阵元素 Hij建立了状态方程中第个 i输出 yi(k)与第 j个输入 xj(k)之间的联系 。
对于线性时不变系统,B,C,D都是常数矩阵,从式 (7.4-
13)中可以看出,系统函数矩阵 H(z)中只有矩阵含有变量 z 。
一般情况下,H(z)与?(z) 具有相同的分母,即行列式,它是一个 z的 n次多项式 。 方程
(7.4-15)
的根是 H(z)的极点，即系统的固有频率。因此，式 (7.4-15)称为系统的特征方程，它的根是特征根，或称矩阵 A的特征根。
判定离散系统是否稳定，也就是判定特征根是否位于单位圆
)()()( zzzzs VHY?
0 AzI
内,仍然可以用第 6章的裘利准则 。
二,状态方程的时域解矢量差分方程和标量差分方程的时域求解本质上同样是相同的 。 由于是一阶差分方程,只需采用叠代法求解就可以了 。 下面,推导其求解的过程和解的形式对于离散系统状态方程式 (7.4-3),当给定 k=0时的初始状态矢量 x(0)以及时的输入矢量 v(k)后,依次令状态方程中的
k =0,1,2,.,,,就可以得到相应状态矢量的解,为
(7.4-19)
由上面离散系统状态变量分析法变换域和时域的讨论中可以看到,它与连续时间系统变换域和时域解法是非常类似的 。
)()0()(
1
0
1 iBAAk
k
i
ikk vxx?
离散系统状态方程求解中，状态转移矩阵的计算是非常重要的。在时域常用方法有：
(1) 矩阵的相似变换法。将矩阵 A变换成相似的对角矩阵
。
(2) 应用附录一 F1.4的凯来 -哈密尔顿定理，将表示成有限项之和，然后进行计算。
当然,通过式 (7.4-22),在 Z域中求分解矩阵,然后,Z反变换求,就更好些 。
7.5 系统的可控制性和可观测性作为系统状态变量描述的一个应用,这里简单地介绍系统可控制性与可观测性的初步概念 。
可控制性与可观测性是线性系统的两个基本问题,它与系统的稳定性一样,从不同侧面反映系统的特性 。 系统的可控制性反映着输入对于系统状态的控制能力；可观测性反映着系统的状态对于输出的影响能力 。 粗略地讲,对于一个线性时不变系统而言,如果其输入能够激发出系统的所有固有频率 (即在其输出中存在着与所有固有频率所对应的项 ),就称它是可控制的；如果其输入为零,在零输入响应中,它的全部固有频率项在输出中都可以观察到,则称为可观测的 。
在采用输入 -输出描述系统 (又称端口描述法 )时,输出量通过微分方程 (或差分方程 )直接与输入量相联系,这样,输出量既是被观测的量又是被控制的量,且输出量一定受输入量的控制,因此不存在可控制性与可观测性的问题 。 但是,
用状态变量描述系统时,人们将着眼于系统内部各个状态变量的变化,输入量与输出量通过系统内部的状态间接地相联系 。 实际上,可控制性是说明状态变量与输入量之间的联系；
可观测性是说明状态变量与输出量之间的联系 。
7.5.1 状态矢量的线性变换作为分析可控制性与可观测性的基础,先讨论状态矢量的线性变换 。 在状态方程建立过程中,同一个系统可以选择不同的状态矢量,从而列出不同的状态方程 。 这些状态方程既然是描述的是同一系统 。 则这些状态矢量之间应该有一定的关系 。 对于同一个系统而言,不同状态矢量之间存在着线性关系 。
对于式 (7.2-5)的状态方程和输出方程,若存在非奇异矩阵 P，
使状态矢量 x(t)经线性变换成为新状态矢量 w(t),即显然,新状态矢量下的系数矩阵 Aw与原系数矩阵 A是相似矩阵 。 它们具有相同的特征方程和特征根 。
)()( 1 tPt xw (7.5-1)
对式 (7.5-1)求导，并代入式 (7.2-5)的状态方程，可得
)()()()()( 11 tBtAtBPtAPPt ww vwvww
输出方程为
)()()()()( tDtCtDtCPt ww vwvwy
(7.5-3)
(7.5-4)
上述连续系统状态矢量线性变换的方法和结论同样适用于离散系统 。
当系统的特征根全部是单根时，常用的线性变换是将矩阵 A
变换成对角阵。
7.5.2 系统的可控制性系统的可控制性,是指输入信号对系统内部状态的控制能力 。
当系统用状态方程描述时,给定系统的初始状态值,若可以找到输入矢量 (即控制矢量 )能在有限的时间内把系统的所有状态引向状态空间的原点 (即零状态 ),则称该系统是完全可控制的
(简称可控系统 )。 如果只对部分状态变量做到这一点,则称此系统是不完全可控制的 (简称不可控系统 )。
在上述定义中,如果在有限时间内能把系统从状态空间的原点 (零状态 )引向预先指定的状态,这称该系统是完全可达的 (简称可达系统 )。 对于线性时不变系统来说,可控性和可达性是一致的 。 下面讨论两种可控制性的判定方法 。
(1)可控制性判则一若给定系统的状态方程,系数矩阵 A为对角阵,或能通过非奇异矩阵 P(这里,称其为模态矩阵 )将它化为对角阵时,
如果这时控制矩阵中没有任何一行元素全部为零,则该系统是可控制的 。
如例 7.5-1中,已知的状态方程式 (7.5-6)相应的模拟图如图
7.5-1(a)所示,它就很难判定输入对内部状态是否有影响力；
求得的对角化后的状态方程式 (7.5-8) 相应的模拟图如图
7.5-1(b)所示,由图可以清楚地看出,两个状态变量之间没有联系,而控制矩阵 Bw中有一行元素为零 (本例为单输入的情况,即一个零元素 )。 表现在模拟图中,第一个状态变量与输入无关,而且也与其它状态变量无关,因而它不受输入的控制 。 所以,该系统是不完全可控的 。 这里,同时也说明了为什么把矩阵 A化为对角阵的原因 。
离散系统可控制性判定类似于此,不再赘述 。
(2)可控性判则二若连续系统有 n个状态变量,其状态方程为通过求解,可得
vxx BA
)(
)(
)(
][)0(
11
11
10
12
tr
tr
tr
BABAABB
n
n
x
(7.5-13)
式 (7.5-13)是一个 n元一次代数方程组的矩阵形式 。 显然,欲使方程组存在 n个唯一的确定解,系数矩阵 M 中 n个列矢量必须线性无关,即 M 的秩为 n 。 或者说,对于给定的一组 x(0－ )，
若 M 的秩为 n,则总可以找到一组控制矢量 v(t)满足式 (7.5-13)。
因此,连续系统可控的充要条件是 M 满秩,即
][ 12 BABAABBM n(7.5-14)
nBABAABBM n ][r a n kr a n k 12?
(7.5-15)
记可控矩阵为
7.5.3 系统的可观测性所谓系统的可观测性是指根据系统的输出量来确定系统状态的能力 。 即通过观察有限时间内的输出量,能否识别 (或确定 )系统的初始状态 。 在给定有限时间 (0,t1)内根据系统的输出唯一确定出系统的所有初始状态,则称系统完全可观测；
若只能确定部分初始状态,则此系统不完全可观测 。 同样,
也讨论两种判则 。
(1) 可观测性判则一若连续系统具有各不相同的特征根，当状态方程对角化后
(这时，各状态变量间没有任何联系），输出方程为
)()()( tDtCt ww vwy
则此系统完全可观测的充要条件是矩阵 Cw = CP中没有任何一列元素全部为零。
如例 7.5-1中,从式 (7.5-9)可知,矩阵 Cw中有一列元素均为零
(本例为单输出的情况,即一个零元素 ),即表明输出无法识别 (或确定 )第二个状态变量 。 故该系统不是完全可观测的 。
对于离散系统,此判则同样适用 。
(2) 可观测性判则二在可观测性判则一的讨论过程中,利用凯来 -哈密尔顿定理可得 )0(][)(
1
2
1210
xy
n
n
CA
CA
CA
C
ggggt
(7.5-17)
满秩 。 即这是连续系统完全可观测的充要条件 。
上述判则对离散系统同样有效 。
1
2
n
CA
CA
CA
C
N
上式表明，输出 y(t) 是系统所有初始状态的线性组合，因而要求在（ 0,t1）时间内根据输出 y(t) 唯一确定 x(0-),则要求可观测矩阵
nN?r a n k (7.5-18)
7.5.4 系统函数与可控制性、可观测性在采用输入 -输出描述系统 (又称端口描述法 )时,输出量通过微分方程 (或差分方程 )直接与输入量相联系,系统函数表征了在这种描述时的系统特性 。 但应用系统函数来考虑系统的可控制性和可观测性有时会出问题 。 主要步骤为
(1) 检查系统的可控制性和可观测性；
(2) 求可控与可观测的状态变量的个数；
(3) 求系统的系统函数 H(s) 。
由实例的系统函数 H(s) 的计算结果可以看出：系统有唯一的极点 s = － 2，表明系统是稳定的。由于存在零、极点相消，
右半平面的极点 s = 3，在输出端是观测不到的。实际上，系统内部“潜藏”着不稳定因素。因此，当存在零、极点相消时系统函数不能反映系统的全部信息。显然，此时 H(s)只反映了对输入信号的零状态响应，而不能反映出系统的零输入响应。由此，可以得到结论：一个线性系统，如果其系统函数不存在零、极点相消的情况，那么系统既是可控制的又是可观测的；如果存在零、极点相消的情况，那么系统将是不可控制的或是不可观测的。用状态变量分析系统比输入 -输出法更能反映系统的全貌和系统内部的运动规律。
7.1 状态与状态空间
7.2 连续系统状态方程的建立
7.3 连续系统状态方程的解
7.4 离散系统状态变量分析
7.5 系统的可控制性和可观测性习题 7
第 7章 状态变量分析分析一个物理系统,首先必须建立系统的数学模型,以便利用有效的数学工具解决实际问题 。 在系统分析中常用的系统描述方法有输入 -输出描述法和状态变量描述法两大类 。
前面几章讨论的信号与系统各种分析方法属于输入 -输出描述法 (input-output description),又称端口分析法,也称外部法 。
它强调用系统的输入,输出变量之间的关系来描述系统的特性 。 一旦系统的数学模型建立以后,就不再关心系统内部的情况,而只考虑系统的时间特性和频率特性对输出物理量的影响 。 这种分析法对于信号与系统基本理论的掌握,对于较为简单系统的分析是合适的 。 其相应的数学模型是 n 阶微分
(或差分 )方程 。
随着系统的复杂化,往往要遇到非线性,时变,多输入,多输出系统的情况 。 此外,许多情况下在研究其外部特性的同时,还需要研究与系统内部情况有关的问题,如复杂系统的稳定性分析,最佳控制,最优设计等等 。 这时,就需要采用以系统内部变量为基础的状态变量描述法 (state variable
description),这是一种内部法 。 它用状态变量描述系统内部变量的特性,并通过状态变量将系统的输入和输出变量联系起来,用于描述系统的外部特性 。 与输入 -输出描述法相比,
状态变量描述法具有以下主要优点：
(1) 可以有效地提供系统内部的信息,使人们较为容易地处理那些与系统内部情况有关的分析,设计问题；
(2) 状态变量分析法不仅适用于线性时不变的单输入 -单输出系统特性的描述,也适用于非线性,时变,多输入,多输出系统特性的描述；
(3) 便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计算 。
本章首先介绍状态和状态空间的概念和状态变量描述的方法,
然后给出连续和离散系统状态方程和输出方程的建立和求解的方法,最后简要地讨论状态空间中系统可控制性和可观测性的判定问题 。
7.1 状态与状态空间为了方便建立状态方程,下面先给出连续系统状态变量分析法中常用的几个名词的定义 。
1.状态 (state) 状态可理解为事物的某种特性 。 状态发生变化意味着事物有了发展和改变,所以,状态是研究事物的一类依据 。 系统的状态就是系统的过去,现在和将来的状况 。 从本质上说,系统的状态是指系统的储能状况 。
2.状态变量 (state variable) 用来描述系统状态的数目最少的一组变量 。 显然,状态变量实质上反映了系统内部储能状态的变化 。 常用 来表示 。x t x t
1 2( ),( ),?
这组状态变量可以完全唯一地确定系统 t>t0 任意时刻的运动状况 。 这种所谓,完全,表示反映了系统的全部状况,,最少,表示确定系统的状态没有多余的信息 。
3.状态矢量 (state vector)能够完全描述一个系统行为的 n 个状态变量，可以看成一个矢量的各个分量的坐标，此时矢量称为状态矢量，并可写成矩阵的形式
(7.1-1)
4,状态空间 (state space) 状态矢量所在的空间称为状态空间 。
状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的维数,也称系统的复杂度阶数 (order of complexity),简称系统的阶数 。
5,状态轨迹 (state orbit) 在状态空间中,系统在任意时刻的状态都可以用状态空间中的一点 (端点 )来表示 。 状态矢量的端点随时间变化而描述的路径,称为状态轨迹 。
x(t) x t x t T
1 2( ),( ),?
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。
当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时，一般分两步进行：一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特性的方程，一般是一阶微分 (或差分 )方程组，它建立了状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；二是利用系统的初始条件求取状态方程和输出方程的解。
可见,建立状态方程遇到的第一个问题是选定状态变量 。 若已知电路,最习惯选取的状态变量是电感的电流和电容的电压,
因为它们直接与系统的储能状态相联系 。 但也可以选择电感中的磁链或电容上的电荷 。 甚至有时可以选用不是系统中实际存在的物理量 。 但是状态变量必须是一组独立的变量,即所谓动态独立变量,即系统复杂度的阶数 n 。
7.2 连续系统状态方程的建立状态方程的建立主要有两大类：直接法和间接法 。 依据给定系统结构直接编写出系统的状态方程 。 这种方法直观,有很强的规律性,特别适用于电网络的分析计算 。 间接法常利用系统的输入 -输出方程,系统模拟图或信号流图编写状态方程 。 这种方法常用于系统模拟和系统控制的分析设计 。 本节主要讨论连续系统状态方程的建立 。
7.2.1连续系统状态方程的一般形式连续系统的状态方程是状态变量的一阶微分方程组,用矩阵形式来表示,为
vxx BA
输出方程为
vxy DC
上式中,系数矩阵 A为 n× n方阵,称为系统矩阵；系数矩阵
B为 n× m矩阵,称为控制矩阵；系数矩阵 C为 r× n矩阵,称为输出矩阵；系数矩阵 D为 r× m矩阵 。 对于线性时不变系统,
这些矩阵都是常数矩阵 。
7,2.2 由电路图建立状态方程为建立电路的状态方程,首先要选择状态变量,其中,电容和电感元件的 VCR在电压,电流关联参考方向下,有如下关系,即
,。
可见,若选择电容的电压和电感的电流作为状态变量很容易满足状态方程的形式 。 实际上,电容的电压和电感的电流正反映了电容和电感的储能状态 。 一般地说,由电路直接建立状态方程的步骤如下：
td
vdCi C
C? td
idLv L
L?
1,选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
2．对于电容 C应用 KCL写出该电容的电流与其它状态变量和输入变量的关系式；
3,对于电感 L应用 KVL写出该电感的电压与其它状态变量和输入变量的关系式；
4,消除非状态变量 (称为中间变量 )；
5,整理成状态方程和输出方程的标准形式 。
td
vdCi C
C?
td
idLv L
L?
为了叙述方便，如果定义不存在全电容回路和全电感割集的网络称为常态（ proper）网络。否则称为非常态网络。显然常态网络中全部的电容电压和电感电流均为状态变量。一般的常态网络还可以应用直流电路的知识列写状态方程。
从实例可以得到如下结论：
1.状态变量的选取并不是唯一的,选取不同的状态变量,
状态方程的形式会改变；
2.非常态网络的状态方程可能会出现激励的导数项,但只要改变状态变量的设置,总能使其导数项消失,使之成为标准的状态方程 。
另外,还应该指出的是,仅有 R,L,C组成的无受控源网络总能列写出标准的状态方程 。 如果电路含有受控源,由于多了一类约束关系,可能会使状态变量的个数 (状态矢量的维数 )减少,有时,对于少数特定的电路无法列写出标准的状态方程 。
7.2.2 从输入 -输出方程导出状态方程输入 -输出方程和状态方程是对同一系统的两种不同的描述方法 。 两者之间必然存在着一定的联系 。 由于状态变量更有利于计算机计算 。
7.2.3 从模拟图建立状态方程根据系统的输入 -输出微分方程或系统函数可以作出系统的模拟图或信号流图 。 然后依此选择每一个积分器的输出端信号为状态变量,最后得到状态方程和输出方程 。 由于系统函数可以写成不同的形式,所以模拟图或信号流图也可以有不同的结构,于是状态变量也可以有不同的描述方式,因而状态方程和输出方程也具有不同的参数 。
设已知三阶系统的微分方程为
d y t
d t
d y t
d t
d y t
d t y t
d v t
d t v t
3
3
2
28 19 12 4 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
则该系统的系统函数显然为
(7.2-24a)
当然,系统函数还可以写成如下形式
H s ss s s( )4 108 19 123 2
4
2
3
1
1
1)(
ssssH
4
1
3
2
1
1
1
4
4
1
3
2
5
1
4
)(
sss
ss
s
s
sH
(7.2-24c)
(7.2-24b)
故可分别画出级联,并联和串联等三类模拟图或信号流图 。
1,级联 (卡尔曼型 )模型级联模拟又称直接模拟,共有两种不同的形式 。 由式 7.2-
24(a),第一种直接模拟如图 7.2-7(a)所示 。 当然,也可画出相应的信号流图 。
)3(q
"q
'q q
)(ty?
10
)(tv
8
19
12
4
选取三个积分器输出为状态变量,则有写成矩阵形式,状态方程为
x q x q x q1 2 3,',' '
则状态方程为,?
x x
x x
x x x x v
1 2
2 3
3 1 2 312 19 8
输出方程为：
y x x10 41 2
x
x
x
x
x
x
v
1
2
3
1
2
3
0 1 0
0 0 1
12 19 8
0
0
1
矩阵形式为：
y
x
x
x
v?
10 4 0 0
1
2
3
第二种直接模拟如图 7.2-8(a)所示 。
2,并联模拟由式 (7.2-24b),可知此复杂系统可以用三个简单的子系统的并联来表示,其中,每一个简单子系统的系统函数为其模拟图如图 7.2-9(a)和 (b)所示 。
1
s a?
1
s aa
整个系统的模拟图如图 7.2-10(a)所示，相应的信号流图如图
7.2-10(b)所示。
1
3
4
v t( ) y t( )
1
1
2
x1
x2
x3
设状态变量如图。
得
x x v
x x v
x x v
y x x x
1 1
2 2
3 3
1 2 3
3
4
2
x
x
x
x
x
x
v
y
x
x
x
v
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1 0 0
0 3 0
0 0 4
1
1
1
1 1 2 0
应该注意到,系数矩阵 A是由系统的特征根－ 1,－ 3,－ 4
所构成的对角阵,所以,称这种状态变量为对角线状态变量 。
3,串联模拟由式 (7.2-24c),串联模拟图如图 7.2-11(a)所示 。 相应的信号流图如图 7.2-11(b)所示 。
1
3
4
124
v t( )
y t( )
x1x2x3
选取状态变量如图,状态方程为
x x x x
x x x
x x v
y x
1 1 2 3
2 2 3
3 3
1
4
1
2
4
3 4
x
x
x
x
x
x
v
y
x
x
x
v
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
4
0 3 4
0 0 1
0
0
1
1 0 0 0
矩阵形式为应该注意到，系数矩阵 A是一个上三角矩阵。
显然,上述三类通过模拟图列写状态方程的方法均可以推广到 n 阶系统的一般情况 。 从上面的讨论可知,状态变量是可以在系统内部选取,也可以人为地虚拟 。 对于同一个系统,
状态变量的选取不同,系统的状态方程和输出方程也将不同,
但它们所描述的系统的输入 -输出关系没有改变 。 容易理解,
由于同一系统的特征方程和特征根相同,各系数矩阵 A是相似的 (参见附录一的 F1.2)。
当系统的输入和输出都不止一个时,情况稍微复杂一些,但只要分别画出其相应的模拟图或信号流图,按照上述方法仍然能方便地列写出状态方程和输出方程 。
7.3 连续系统状态方程的解前面已经讨论了连续系统状态方程和输出方程的建立方法 。
接下来的问题是如何求解这些方程 。 一般来说,求解状态方程仍然有两种方法：一种基于拉普拉斯变换的复频域求解；
另一种是采用时域法求解 。 下面分别加以叙述 。
7.3.1 状态方程的复频域解如前所述,连续系统状态方程的标准形式为一阶常系数线性矢量微分方程,输出方程的标准形式为
vxx BA
vxy DC
方程两边进行拉氏变换
)()()0()( sBsAss VXxX
式中,I为 n× n单位矩阵 。
为了方便,定义,分解矩阵
(7.3-3)
)()0()()( sBsAsI VxX
(7.3-1)
将式 (7.3-1)改写为
(7.3-2)
( ) ( )s sI A 1
分解矩阵 (resolvent matrix)是一个由系统参数 A完全决定了的矩阵 。 它在状态方程的求解过程中起着非常重要的作用 。 这时式 (7.3-2)可表示为
(零输入 ) (零状态 )
这就是状态方程的拉氏变换解。
)()()0()()( sBsss VΦxΦX
分解矩阵的拉氏反变换为状态 状态转移矩阵。
( ) ( ) ( )t s sI A 1
对状态矢量的复频域解取拉氏反变换,为
(7.3-5)
零输入响应 零状态响应式 (7.3-5)就是状态矢量的时域解 。 式中,第一部分仅由系统的初始状态决定 。 故为零输入响应；第二部分是激励的函数,
故为零状态响应 。
在求得状态矢量的复频域解后,代入输出方程,即可得到响应的复频域解 。 由输出方程得到其拉氏变换的表达式为
)]()([)]0()([
)()(
11 sBss
st
VΦLxΦL
Xx
)(])([)0()[(
)()]()0()[(
)()()(
sDBsCsC
sDsBsC
sDsCs
VΦxΦ
VVxΦ
VXY
(7.3-6)
系统函数矩阵或称转移函数为
(7.3-9)
因此,零状态响应也可表示为
(7.3-10)
可见,系统函数矩阵 H(s)仅有系统的 A,B,C,D矩阵确定,
它是 r× m矩阵 ( r 为输出的数目,m 为输入的数目 ) 。 矩阵元素 Hij建立了状态方程中第个 i输出 yi(t)与第 j个输入 xj(t)之间的联系 。
DBsCs )()( ΦH
)()()( sssZS VHY?
7.3.2 状态方程的时域解矢量微分方程和标量微分方程的时域求解本质上同样是相同的 。 根据矩阵指数函数的定义和性质 (参见附录一的 F1.3)，
不难发现它与普通的 (标量 )指数函数的性质和运算方法也完全一样 。 下面,推导其求解的过程和解的形式对于状态方程将上式作时域运算,得
vxx BA
dBeet tAtA )()0()( )( vxx?
其中,零输入响应为
(7.3-19b))0()( xx tA
zi et
(7.3-19a)
零状态响应,为
(7.3-19c)
从上面的讨论中可以看到,在矢量微分方程的时域解中,
如何计算 是一个关键的问题 。 常用的计算方法有：
(1) 幂级数法 。 按照的定义展开成幂级数,然后求出其近似解 。
(2) 矩阵的相似变换法 。 将矩阵 A变换成相似的对角矩阵
,即
dBet tAzs )()( )( vx?
tAe
BPP 1
1 PAP
(3) 应用附录一 F1.4的凯来 -哈密尔顿定理，将表示成有限项之和，然后进行计算。
当然,在复频域中求分解矩阵,然后,反变换求就更好些 。
tAe
7.4 离散系统状态变量分析与连续系统一样,可以利用状态变量分析法来分析离散系统 。 离散系统是用差分方程来描述的,选择适当的状态变量可以把高阶差分方程化为关于状态变量的一阶差分方程组,这个差分方程组就是该离散系统的状态方程 。 输出方程是关于变量 k 的代数方程组 。
7.4.1 离散系统状态方程的一般形式如果是线性时不变离散系统,则状态方程是状态变量和输入序列的一阶线性常系数差分方程组,即式 (7.4-1)称为状态变量方程或状态空间方程,简称状态方程,式 (7.4-2)称为输出方程 。 它们同样可以用矩阵形式来表示 。 则状态方程式 (7.4-1)可以表示为如下的标准形式
(7.4-3)
为一阶常系数线性矢量差分方程,输出方程式 (7.4-2)的标准形式为
(7.4-4)
为变量为 k 的矢量代数方程 。
上式中,系数矩阵 A为 n× n方阵,称为系统矩阵；系数矩阵 B为 n× m矩阵,称为控制矩阵；系数矩阵 C为 r× n矩阵,称为输出矩阵；系数矩阵 D为 r× m矩阵 。 对于线性时不变系统,这些矩阵都是常数矩阵 。
)()()1( kBkAk vxx
)()()( kDkCk vxY
7.4.2 离散系统状态方程的建立建立离散系统的状态方程有多种方法 。 利用系统模拟图或信号流图建立状态方程是一种实用的方法 。 其建立过程与连续系统类似 。 首先,选取离散系统模拟图 (或信号流图 )
中的延时器输出端 (延时支路输出节点 )信号作为状态变量；
然后,用延时器的输入端 (延时支路输入节点 )写出相应的状态方程；最后,在系统的输出端 (输出节点 )列写系统的输出方程 。
第一种直接模拟与连续系统的情况类似,相应地,也有第二种直接模拟,并联模拟和串联模拟 。 这里,不多赘述 。
当系统的输入和输出都不止一个时,同样,只要画出其相应的模拟图或信号流图,按照上述方法仍然可以方便地列写出状态方程和输出方程 。
7.4.3 离散系统状态方程的解求解状态方程仍然有两种方法：一种基于 Z变换的变换域求解；另一种是采用时域法求解 。 下面分别加以叙述 。
一,离散系统状态方程的 Z域解用 Z变换求解一阶差分方程组与求解单个标量差分方程没有什么本质上的差异 。 对状态方程式 (7.4-3)两边取 Z变换,
根据 Z变换的微分性质,得
(7.4-5)
式中,X(z)和 F(z)分别表示状态矢量 x(k) 和输入矢量 f(k)的单边 Z变换,x(0)表示状态矢量的初始状态 。
相应地,输出方程式 (7.4-4)的 Z变换为
)()()0()( zBzAzzz VXxX
)()()( zDzCz VXY (7.4-6)
矩阵为离散系统的分解矩阵 。 显然,这是一个由系统参数 A
完全决定了的矩阵 。 这时式 (7.4-5)可表示为
(7.4-9)
这就是状态矢量的 Z域解 。 对上式取 Z反变换,有
(7.4-10)
式中第一项为状态矢量的零输入响应；第二项为零状态响应 。
在求得状态矢量的 Z域解后,代入输出方程式 (7.4-6),即可得到输出矢量的 Z域解,为
zAzIz 1)()(Φ (7.4-8)定义
)]()0()[()( 1 zBzzz VxΦX
)]()([)]0()([)( 111 zBzzzk VΦZxΦZx
在零状态条件下系统输出的 Z变换与输入的 Z变换之比定义为离散系统函数 。 由式 (7.4-11)可得系统函数矩阵或称转移函数矩阵为
(7.4-13)
系统函数矩阵的 Z反变换是离散系统的单位函数响应矩阵
h(k)。
)()]()0()[()( 1 zDzBzzCz VVxΦY
(7.4-11)
)(])([)]0()([)( 111 zDBzCzzCk VΦZxΦZy
对上式取 Z反变换，有
(7.4-12)
DBzCzz )()( 1 ΦH
可见,零状态响应的 Z变换也可表示为
(7.4-14)
从式 (7.4-13)中可以看到,系统函数矩阵 H(z)仅有系统的 A、
B,C,D矩阵确定,它是 r× m矩阵 (r为输出的数目,m为输入的数目 )。 矩阵元素 Hij建立了状态方程中第个 i输出 yi(k)与第 j个输入 xj(k)之间的联系 。
对于线性时不变系统,B,C,D都是常数矩阵,从式 (7.4-
13)中可以看出,系统函数矩阵 H(z)中只有矩阵含有变量 z 。
一般情况下,H(z)与?(z) 具有相同的分母,即行列式,它是一个 z的 n次多项式 。 方程
(7.4-15)
的根是 H(z)的极点，即系统的固有频率。因此，式 (7.4-15)称为系统的特征方程，它的根是特征根，或称矩阵 A的特征根。
判定离散系统是否稳定，也就是判定特征根是否位于单位圆
)()()( zzzzs VHY?
0 AzI
内,仍然可以用第 6章的裘利准则 。
二,状态方程的时域解矢量差分方程和标量差分方程的时域求解本质上同样是相同的 。 由于是一阶差分方程,只需采用叠代法求解就可以了 。 下面,推导其求解的过程和解的形式对于离散系统状态方程式 (7.4-3),当给定 k=0时的初始状态矢量 x(0)以及时的输入矢量 v(k)后,依次令状态方程中的
k =0,1,2,.,,,就可以得到相应状态矢量的解,为
(7.4-19)
由上面离散系统状态变量分析法变换域和时域的讨论中可以看到,它与连续时间系统变换域和时域解法是非常类似的 。
)()0()(
1
0
1 iBAAk
k
i
ikk vxx?
离散系统状态方程求解中，状态转移矩阵的计算是非常重要的。在时域常用方法有：
(1) 矩阵的相似变换法。将矩阵 A变换成相似的对角矩阵
。
(2) 应用附录一 F1.4的凯来 -哈密尔顿定理，将表示成有限项之和，然后进行计算。
当然,通过式 (7.4-22),在 Z域中求分解矩阵,然后,Z反变换求,就更好些 。
7.5 系统的可控制性和可观测性作为系统状态变量描述的一个应用,这里简单地介绍系统可控制性与可观测性的初步概念 。
可控制性与可观测性是线性系统的两个基本问题,它与系统的稳定性一样,从不同侧面反映系统的特性 。 系统的可控制性反映着输入对于系统状态的控制能力；可观测性反映着系统的状态对于输出的影响能力 。 粗略地讲,对于一个线性时不变系统而言,如果其输入能够激发出系统的所有固有频率 (即在其输出中存在着与所有固有频率所对应的项 ),就称它是可控制的；如果其输入为零,在零输入响应中,它的全部固有频率项在输出中都可以观察到,则称为可观测的 。
在采用输入 -输出描述系统 (又称端口描述法 )时,输出量通过微分方程 (或差分方程 )直接与输入量相联系,这样,输出量既是被观测的量又是被控制的量,且输出量一定受输入量的控制,因此不存在可控制性与可观测性的问题 。 但是,
用状态变量描述系统时,人们将着眼于系统内部各个状态变量的变化,输入量与输出量通过系统内部的状态间接地相联系 。 实际上,可控制性是说明状态变量与输入量之间的联系；
可观测性是说明状态变量与输出量之间的联系 。
7.5.1 状态矢量的线性变换作为分析可控制性与可观测性的基础,先讨论状态矢量的线性变换 。 在状态方程建立过程中,同一个系统可以选择不同的状态矢量,从而列出不同的状态方程 。 这些状态方程既然是描述的是同一系统 。 则这些状态矢量之间应该有一定的关系 。 对于同一个系统而言,不同状态矢量之间存在着线性关系 。
对于式 (7.2-5)的状态方程和输出方程,若存在非奇异矩阵 P，
使状态矢量 x(t)经线性变换成为新状态矢量 w(t),即显然,新状态矢量下的系数矩阵 Aw与原系数矩阵 A是相似矩阵 。 它们具有相同的特征方程和特征根 。
)()( 1 tPt xw (7.5-1)
对式 (7.5-1)求导，并代入式 (7.2-5)的状态方程，可得
)()()()()( 11 tBtAtBPtAPPt ww vwvww
输出方程为
)()()()()( tDtCtDtCPt ww vwvwy
(7.5-3)
(7.5-4)
上述连续系统状态矢量线性变换的方法和结论同样适用于离散系统 。
当系统的特征根全部是单根时，常用的线性变换是将矩阵 A
变换成对角阵。
7.5.2 系统的可控制性系统的可控制性,是指输入信号对系统内部状态的控制能力 。
当系统用状态方程描述时,给定系统的初始状态值,若可以找到输入矢量 (即控制矢量 )能在有限的时间内把系统的所有状态引向状态空间的原点 (即零状态 ),则称该系统是完全可控制的
(简称可控系统 )。 如果只对部分状态变量做到这一点,则称此系统是不完全可控制的 (简称不可控系统 )。
在上述定义中,如果在有限时间内能把系统从状态空间的原点 (零状态 )引向预先指定的状态,这称该系统是完全可达的 (简称可达系统 )。 对于线性时不变系统来说,可控性和可达性是一致的 。 下面讨论两种可控制性的判定方法 。
(1)可控制性判则一若给定系统的状态方程,系数矩阵 A为对角阵,或能通过非奇异矩阵 P(这里,称其为模态矩阵 )将它化为对角阵时,
如果这时控制矩阵中没有任何一行元素全部为零,则该系统是可控制的 。
如例 7.5-1中,已知的状态方程式 (7.5-6)相应的模拟图如图
7.5-1(a)所示,它就很难判定输入对内部状态是否有影响力；
求得的对角化后的状态方程式 (7.5-8) 相应的模拟图如图
7.5-1(b)所示,由图可以清楚地看出,两个状态变量之间没有联系,而控制矩阵 Bw中有一行元素为零 (本例为单输入的情况,即一个零元素 )。 表现在模拟图中,第一个状态变量与输入无关,而且也与其它状态变量无关,因而它不受输入的控制 。 所以,该系统是不完全可控的 。 这里,同时也说明了为什么把矩阵 A化为对角阵的原因 。
离散系统可控制性判定类似于此,不再赘述 。
(2)可控性判则二若连续系统有 n个状态变量,其状态方程为通过求解,可得
vxx BA
)(
)(
)(
][)0(
11
11
10
12
tr
tr
tr
BABAABB
n
n
x
(7.5-13)
式 (7.5-13)是一个 n元一次代数方程组的矩阵形式 。 显然,欲使方程组存在 n个唯一的确定解,系数矩阵 M 中 n个列矢量必须线性无关,即 M 的秩为 n 。 或者说,对于给定的一组 x(0－ )，
若 M 的秩为 n,则总可以找到一组控制矢量 v(t)满足式 (7.5-13)。
因此,连续系统可控的充要条件是 M 满秩,即
][ 12 BABAABBM n(7.5-14)
nBABAABBM n ][r a n kr a n k 12?
(7.5-15)
记可控矩阵为
7.5.3 系统的可观测性所谓系统的可观测性是指根据系统的输出量来确定系统状态的能力 。 即通过观察有限时间内的输出量,能否识别 (或确定 )系统的初始状态 。 在给定有限时间 (0,t1)内根据系统的输出唯一确定出系统的所有初始状态,则称系统完全可观测；
若只能确定部分初始状态,则此系统不完全可观测 。 同样,
也讨论两种判则 。
(1) 可观测性判则一若连续系统具有各不相同的特征根，当状态方程对角化后
(这时，各状态变量间没有任何联系），输出方程为
)()()( tDtCt ww vwy
则此系统完全可观测的充要条件是矩阵 Cw = CP中没有任何一列元素全部为零。
如例 7.5-1中,从式 (7.5-9)可知,矩阵 Cw中有一列元素均为零
(本例为单输出的情况,即一个零元素 ),即表明输出无法识别 (或确定 )第二个状态变量 。 故该系统不是完全可观测的 。
对于离散系统,此判则同样适用 。
(2) 可观测性判则二在可观测性判则一的讨论过程中,利用凯来 -哈密尔顿定理可得 )0(][)(
1
2
1210
xy
n
n
CA
CA
CA
C
ggggt
(7.5-17)
满秩 。 即这是连续系统完全可观测的充要条件 。
上述判则对离散系统同样有效 。
1
2
n
CA
CA
CA
C
N
上式表明，输出 y(t) 是系统所有初始状态的线性组合，因而要求在（ 0,t1）时间内根据输出 y(t) 唯一确定 x(0-),则要求可观测矩阵
nN?r a n k (7.5-18)
7.5.4 系统函数与可控制性、可观测性在采用输入 -输出描述系统 (又称端口描述法 )时,输出量通过微分方程 (或差分方程 )直接与输入量相联系,系统函数表征了在这种描述时的系统特性 。 但应用系统函数来考虑系统的可控制性和可观测性有时会出问题 。 主要步骤为
(1) 检查系统的可控制性和可观测性；
(2) 求可控与可观测的状态变量的个数；
(3) 求系统的系统函数 H(s) 。
由实例的系统函数 H(s) 的计算结果可以看出：系统有唯一的极点 s = － 2，表明系统是稳定的。由于存在零、极点相消，
右半平面的极点 s = 3，在输出端是观测不到的。实际上，系统内部“潜藏”着不稳定因素。因此，当存在零、极点相消时系统函数不能反映系统的全部信息。显然，此时 H(s)只反映了对输入信号的零状态响应，而不能反映出系统的零输入响应。由此，可以得到结论：一个线性系统，如果其系统函数不存在零、极点相消的情况，那么系统既是可控制的又是可观测的；如果存在零、极点相消的情况，那么系统将是不可控制的或是不可观测的。用状态变量分析系统比输入 -输出法更能反映系统的全貌和系统内部的运动规律。
