信号与系统第五章第 5章 离散信号与系统的时域分析
5.1 离散时间信号
5.2 离散系统的数学模型和模拟
5.3 离散系统的零输入响应
5.4 离散系统的零状态响应习题 5
第五章 离散信号与系统的时域分析在本章以前，我们所讨论的系统均属连续时间系统，
这类系统用于传输和处理连续时间信号。此外，还有一类用于传输和处理离散时间信号的系统称之为离散时间系统，简称离散系统。数字计算机以及数字通信系统和数字控制系统的主要部分均属于离散系统。鉴于离散系统在精度、抗干扰能力和可集成化等诸方面，比连续系统具有更大的优越性。随着数字技术和计算机技术的飞速发展，大量原属于连续信号和系统的问题，越来越多地转化成离散信号和系统的问题加以处理。
关于离散信号和系统的分析，在许多方面都与连续信号和系统的分析相类似，两者之间具有一定的平行关系。
在系统特性的描述方面，连续系统输入 -输出关系的数学模型是微分方程。离散时间系统输入 -输出关系的数学模型是差分方程；在系统分析方法方面，连续系统有时域、
频域和 S域分析法，离散系统有时域、频域和 Z域分析法；
在系统响应的分解方面，则都可以分解为零输入响应和零状态响应，等等。无疑，在进行离散信号与系统的学习时，
经常把它与连续信号与系统相对比，这对于其分析方法的理解、掌握和运用是很有帮助的。但应该指出，既然是两类不同的问题，离散信号与系统有自己的特殊性，必然存在一些差别，学习时也应该注意这些差别。
本章讨论离散信号与系统的时域分析。
5.1 离散时间信号
5.1.1 离散时间信号的时域描述连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量 t的函数，
除个别间断点外，这些信号的波形是光滑的曲线，如图 5.1-
1（ a）所示，这一类信号称为模拟信号（ analog signal），
大多数客观存在的信号都是属于这一类信号。还有一类信号
（如电报信号等），虽然它的时间取值是连续的，但它的幅度却只限于有限个数值，这一类信号称为量化信号（ quantized
signal），如图 5.1-1（ b）所示。以上两类信号都是连续时间信号。
离散时间信号（简称离散信号,discrete signal）与连续时间信号不同，它仅在一系列离散的时刻才有定义，因此它是离散时间变量 tk的函数，如图 5.1-1（ c）所示的离散信号只在 t1,t2、
t3… 时刻有定义，在 t1和 t2,t2和 t3… 之间则没有定义。如果信号不仅在时间取值是离散的，而且在幅度上又是量化的，则称为数字信号（ digital signal），如图 5.1-1（ d）所示，在数字通信和计算机中传输和处理的信号就是数字信号。今后所讨论的离散信号，可以是数字信号，也可以不是。两者在分析方法上并无区别。
有些信号尽管它们实际上是连续的，但是如果满足取样定理的要求，仅对它们的取样值感兴趣，或者由于无法或没有必要了解它们整个过程的连续变化情况，而只能或只需测得其取样值，也可以把它们当作离散时间信号来看待。所以离散时间信号可以是连续时间信号经过离散化（即取样）的结果。
用 f (tk)表示离散时间信号，其中 tk表示离散的时刻，通常离散时刻之间的间隔 T是均匀的，即 T= tk+1- tk为常量，故可以用 f (kT )来表示离散时间信号，简写为 f (k)。也就是说离散时间信号抽象为离散变量 k的函数，这里 k的取值为整数。
这样做不仅简便而且具有更为普遍的意义，即离散变量 k可以不限于代表时间。离散信号在数学上可以表示为数值的序列，为了方便，序列 f (k)与序列的第 k个值两者在符号上不加区别。
离散信号的函数值是一个序列 {…,3,1,0,0,1,3，
6,… } ( 下面画有短线的数值是序号 k = 0的数值 )。它的图形如图 5.1-2所示，为了醒目，这些离散值画成一条条不同高度的垂线，其中每条垂线的端点才是实际的函数值。
根据离散变量 k的取非零值范围，序列可分为以下三种情况：
若序列 f (k) 对所有的整数 )都存在非零确定值，称这类序列为双边序列。
若,则 f (k) 称为有始序列或右边序列，反之若,则 f (k) 称为有终序列或左边序列。而 的有始序列称为因果序列，
的有终序列称为反因果序列。统称为单边序列。
若 f (k)仅在,整数 )区间有非零确定值，称这类序列为有限序列。
0)(1 kfkk 时，当
0)(2 kfkk 时，当
01?k 01?k
1221 ( kkkkk
5.1.2 离散信号的一些基本运算在离散信号与系统分析中，常遇到序列的某些基本运算。
1,序列相加序列 f1(k) 与 f2(k)相加，是指两个序列同序号的数值逐项相应相加，而构成一个新的序列 f(k),即
（ 5.1-1）
2,序列相乘序列 f1(k) 与 f2(k)相乘，是指两个序列同序号的数值逐项相应相乘，而构成一个新的序列 f(k),即
)()()( 21 kfkfkf
)()()( 21 kfkfkf （ 5.1-2）
3,序列折叠与位移
f (k)的自变量 k如果用 -k代替，即得到一个新序列 f (-k)，
表示 f (k)相对于纵轴翻转，称为序列折叠。如图 5.1-3（ b）
所示。
序列向后（右）移位是指原序列 f (k)逐项依次后移或右移 m位，而得到一个新的序列 f (k-m)；序列向前（左）移位是指原序列 f (k)逐项前移或左移 m位，而得到一个新的序列 f(k+m)。分别如图 5.1-3（ c）、（ d）所示。
4,序列的差分序列 f (k)的一阶前向差分（ forward difference） Δf (k)定义为
（ 5.1-3） )()1()( kfkfkf
一阶后向差分（ backward difference）定义为
(5.1-4）
同理，可以定义二阶前向差分,二阶后向差分。
(5.1-5）
(5.1-6）
依次类推，可以得到更高阶的前向和后向差分。
差分与连续系统中的微分相对应。
2 1
2 1 2
f k f k f k
f k f k f k
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
)()1(2)2(
)()1()(2
kfkfkf
kfkfkf
)1()()( kfkfkf
5,序列求和（累加）
序列的求和定义为 （ 5.1-7）
这是与连续系统中的积分相对应的运算。
最后指出，对于离散信号，由于仅在为整数时才有意义，
进行尺度变换或波形的展缩时可能会使部分信号丢失或改变，
因此，一般情况下不研究离散信号的尺度变换。
5.1.3 常用的离散信号
1,单位函数单位函数的定义为
（ 5.1-8）
这个信号也称为单位样值信号和单位脉冲序列，必须注意在
k=0时的幅度为有限值 1，而不是象那样在 t=0时的幅度为 ∞。
)()(1 nfkf
k
n
0k
0k
0
1)k(
同理，可以定义延时单位脉冲序列。
（ 1）筛选特性
(5.1-10）
（ 2）加权特性
（ 5.1-11）
应用此性质，很容易理解把任意离散信号 f (k)表示为单位函数的延时加权和，即
（ 5.1-12）
)()()( nfnkkf
k
)()()()( nknfnkkf
)1()1()()0()1()1()2()2()( kfkfkfkfkf
n
nknf )()(?
2,单位阶跃序列单位阶跃序列定义为
（ 5.1-13）
的图形如图 5.1-6所示。
图 5.1-6 单位阶跃序列
0
0
0
1)(
k
kk?
0 1 2 3 4
1
k
…
)(k?
单位阶跃序列与单位函数有如下关系：
（ 5.1-16）
（ 5.1-17）
或 （ 5.1-18）
式（ 5.1-16）的成立是明显的，式（ 5.1-17）的正确性在于仅在 n=0时为 1，其余 n取值时为 0，所以当 k<0时，求和式为零，而当 时，求和式为 1，即
)()( nk
k
n
)()(
0
nkk
n
)1()()()( kkkk
0?n
)(
01
00
)( k
k
k
n
k
n
3,斜变序列
4,正弦序列正弦序列的表达式为
（ 5.1-19）
这里幅值 A、初相 φ的含义与模拟正弦信号相同，但正弦序列的数字角频率 Ω0的含义与一般模拟信号模拟角频率 ω0
的概念不同。由于离散信号定义的时间为 kT，显然有
Ω0 = ω0 T （ 5.1-20）
模拟角频率 ω0的单位是 rad/s，而数字角频 Ω0的单位为
rad/s ·s = rad。 Ω0表示相邻两个样值间弧度的变化量。
)()( kkkx
r a dTkAkx 单位000 )s i n ()(
5,指数序列指数序列的一般形式为式中,A和?可以是实常数，也可以是复常数。根据 A和?的取值不同，指数序列有下面几种情况：
(1) 若 A和?均为实数，则
(5.1-22)
为实指数序列。
(2) 若,A=1，,
(5.1-23)
为虚指数序列。
f k Ae k( )
f k Aa k( )?
j? 0
f k Ae j k( ) 0
根据欧拉公式，式 (5.1-23)可写成
(5.1-24)
可见，虚指数序列的实部和虚部都是正弦序列，只有其实部或虚部为周期序列时虚指数序列才是周期的。即只有满足 2?/ Ω0为有理数时，虚指数序列才是周期序列。
(3) 若 A和?均为复数，则为一般形式的复指数序列。
(5.1-25)
虚指数序列的实部和虚部的波形如图 5.1-10所示。
f k Ae k j kj k( ) c o s s i n0 0 0
f k Ae A e e
A e e e
A e r e A r e
k j j k
j k j k
j k j k k j k
( )
( )
( )
0
0
0 0
A r k j kk [c o s ( ) s i n ( )]0 0
6,Z序列
Z序列可表示为
(5.1-26)
式中,z为复数。通常称之为复序列。若取 z为极坐标的形式由欧拉公式，可写成
(5.1-28)
显然,Z序列与复指数序列只是表示形式不同，并无本质上的差别。
以后的讨论将会表明，在离散信号与系统的分析中，与连续时间基本信号相对应的离散时间基本信号也具有非常相似的地位和作用。
f k z k( )?
z z e j 0
f k z k( )z k j kk [c o s ( ) s i n ( )]0 0
5.2 离散系统的数学模型和模拟
5.2.1 离散系统的数学模型 ----差分方程输入和输出都是离散信号的系统称为离散系统，设输入信号为 x(k)，输出信号为 y(k)，离散时间系统可用图 5.2-1表示。我们把输出 y(k)看作是系统对输入 x(k)作用或处理的结果，表示为
y(k)=S [x(k) ] （ 5.2-1）
在连续时间系统中，描述输入和输出关系的数学模型是微分方程。对于离散时间系统，由于变量 k (或 tk=kT )是离散的，因此必须采用另一种数学模型来描述，即差分方程来描述其输入和输出的关系。
与连续系统类似，离散系统同样可以分为线性与非线性系统；时变与时不变系统，本书只讨论线性时不变离散系统。
线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性差分方程，
具有如下两种形式：
)()1()1()( 011 kyakyankyankya nn
)()1()1()( 011 kxbkxbmkxbmkxb mm
a y k i b x k ji
i
n
j
j
m
( ) ( )
0 0
或写成
（ 5.2-2）
在式（ 5.2-2）的差分方程中，各序列的序号自 k以递增方式给出，称为前向 (或左移序 )差分方程。
式（ 5.2-3）中，各序列的序号自 k以递减方式给出，称为后向 (或右移序 )差分方程。
在常系数线性差分方程中，各序列的序号同时增加或减少同样的数目，该差分方程所描述系统的输入输出关系不变。
因此前向差分方程和后向差分方程的相互转换是非常容易的，
在应用中，究竟采用哪一种形式的差分方程比较方便，要根据具体情况来确定。
差分方程不仅仅用来描述离散系统，微分方程的数值解也往往可以借助于差分方程。
另一种形式
)()1()1()( 011 kyakyankyankya nn
)()1()1()( 011 kxbkxbmkxbmkxb mm
a y k i b x k ji
i
n
j
j
m
( ) ( )
0 0
（ 5.2-3）
5.2.2 离散时间系统的模拟既然差分方程与微分方程相似，则对于离散时间系统也可以象连续时间系统那样用适当的运算单元连接起来加以模拟。离散系统的模拟通常用延时器、加法器和标量乘法器组成。加法器和标量乘法器的功能和符号与连续系统相同，延时器则与积分器相对应，它实际上是一个存储器，它把信号存储一个取样时间 T，常采用延时线或移位寄存器。延时器的时域表示符号如图 5.2-4（ a）所示。若初始状态不为零，则于延时器的输出处用一加法器将初始状态引入，如图 5.2-4（ b）所示。
现在来讨论如何运用延时器、加法器和标量乘法器对离散时间系统进行模拟。
对于一般的二阶离散时间系统，若方程为
（ 5.2-8）
则与连续时间系统的模拟一样。引入辅助函数，使
（ 5.2-9）
应有
（ 5.2-10）
这样，式（ 5.2-8）就可以用式（ 5.2-9）和（ 5.2-10）两式来等效，式（ 5.2-8）差分方程所描述的系统就可以用下图来模拟。
)()1()()1()2( 0101 kxbkxbkyakyaky
)()()1()2( 01 kxkqakqakq
)()1()( 01 kqbkqbky
x(k) q(k)q(k＋ 1)
D?
1a?
0a?
D
q(k＋ 2)
0b
1b y(k)
5.3 离散系统的零输入响应与连续时间系统的时域分析法求解微分方程一样，在离散时间系统的时域分析法求解差分方程时，也可以分别求解相应的齐次差分方程，求出仅由初始储能引起的零输入响应和求解非齐次差分方程，求出仅由激励引起的零状态响应，然后叠加求得全响应。即从求解齐次差分方程的过程来看，差分方程和微分方程的求解有很多相类似的地方，所不同的是微分方程齐次解具有 est的形式，而差分方程的齐次解则有 rk的形式，其中 s
和 r分别是微分方程和差分方程的特征根；但在初始条件的描述方面，微分方程和差分方程有所不同。在计算差分方程的零输入响应时，必须判别已知初始条件哪些是仅由初始储能引起的，并递推出所需的零输入初始条件。
y k y k y kz i z s( ) ( ) ( )
5.4 离散系统的零状态响应离散时间系统求解零状态响应，可以直接求解非齐次差分方程得到。求解方法与经典法计算连续时间系统零状态响应相似。即首先求齐次解和特解，然后代入仅由激励引起的初始条件 [ 若激励在 k = 0时接系统，根据系统的因果性，零状态条件为 y(-1)=y(-2)=.,,=0 ] 确定待定系数。但当激励信号较复杂，且差分方程阶数较高时，上述求解非齐次差分方程的过程相当复杂，因此，与连续时间系统的时域分析一样，离散时间系统计算零状态响应也常用卷积分析法。
5.4.1 离散信号的分解与卷积和连续时间系统的卷积分析法其基本过程是：将激励信号 x(t)
分解为一系列加权的冲激信号，根据系统对各个冲激的响应，
叠加得到系统对激励信号 x(t)的零状态响应。这个叠加是连续叠加，表现为求卷积积分。在离散时间系统中，情况也大体相似，略有不同的是，激励信号本来就是一个离散的序列，
因此，第一步分解工作十分容易进行，离散的激励信号中的每一个离散量施加于系统，系统输出一个与之相应的响应，
每一响应也均是一个离散序列，最后把这些响应序列叠加起来，就得到系统对任意激励信号的零状态响应。这个叠加是离散叠加 (即求和运算，而不是积分运算 )，叠加的过程表现为求卷积和。
在连续时间系统中，用卷积分析法计算零状态响应时，单位冲激函数?(t)和单位冲激响应 h(t)起着十分关键的作用，在离散时间系统中，相应的单位函数和单位函数响应同样起着十分重要的作用。
)1()1()()0()1()1()2()2()( kxkxkxkxkx
n
nknx )()(?
如果已知离散时间系统对单位函数?(k)的零状态响应为
h(k) 。根据线性时不变系统的零状态响应叠加性和时不变性，则系统对 x(n)?(k-n)的零状态响应为 y(n)?(k-n),则系统对任意激励信号的零状态响应为
（ 5.4-1）
式（ 5.4-1）称为和的卷积和（ convolution sum）或离散卷积（ discrete convolution），用卷积符号记为
（ 5.4-2）
显然，由式 (5.1-12)，与单位函数的卷积和仍然是本身，即
)1()1()()0()1()1()2()2()( khxkhxkhxkhxky
n
nkhnx )()(
n
zs nkhnxkhkxky )()()()()(
)()()( kkxkx
可见，离散时间系统的零状态响应可由激励信号 x(k)与系统的单位函数响应 h(k)的卷积和获得。这一点也与连续时间系统通过卷积积分求零状态响应相一致。同样可以证明卷积和的代数运算与卷积积分的代数运算亦相同，也服从交换律、分配律和结合律。
对于因果系统来说，由于单位函数?(k)仅存在于 k = 0时刻，
故当 k < 0时单位函数响应 h(k)=0； k < n时,h(k-n)=0 。若 x(k)
是有始信号，且 k < 0时,x(k)=0，则式（ 5.4-1）中求和取值区间只需从 0到 k即可，即
（ 5.4-6）
更一般的情况,k < k1时,x(k)=0 ；而 k < k2时,h(k)=0 。则有类似于式（ 2.3-14）的结论，即
k
nn
zs nkhnxnkhnxky
0
)()()()()(?( )k
计算卷积和也可以使用图解法，其运算过程与卷积积分的过程相似。只是求和运算代替了积分运算。设两个离散函数（序列）为 x(k)和 h(k)，则其卷积和计算步骤如下：
1,换元：将 x(k)和 h(k)中的变量 k更换成变量 n；
2,折叠：作出 h(n)相对于纵轴的镜象 h(-n )；
3,位移：将折叠后的 h(-n )沿 n轴平移一个 k值，得 h(k-n ) ；
4,相乘：将移位后的 h(k-n )序列乘以 x(k) ；
5,求和：把 h(k-n )和 x(k)相乘所得的序列相加，即为 k值下的卷积值。
)()()()( 21
2
1
kkknkhnxky
kk
kn
zs
（ 5.4-7）
例 5.4-2 离散时间系统的激励信号 x(k) ={2,1,5}，单位函数响应 h(k) ={3,1 4,2}，试求其零状态响应。
解,在这个例题中，两个序列都是有限序列，可以应用一种优于例 5.4-1的方法，即依照普通的乘法来计算它们的卷积和，只是不要进位，常称为不进位乘法。
所得零状态响应为
y(k)={6,5,24,13,22,10}
5.4.2,单位函数响应所谓单位函数响应，是单位函数信号?(k)作为离散时间系统的激励而产生的零状态响应。
用卷积分析法计算离散时间系统在任意信号激励下的零状态响应，首先需要求出单位函数响应。
对于激励信号为单位函数?(k)的零状态系统，因为激励仅在
k = 0时刻为非零值，在 k > 0之后激励为零，这时系统相当于一个零输入系统，可以理解为?(k)的作用已经转化为零输入系统的等效的初始条件。因此，系统的单位函数响应的形式必然与零输入响应的形式相同，且其等效的初始条件可以根据差分方程和零状态条件 y (－ n) = y(－ n+1)= … =
y (－ 1) = 0递推求出。
与连续时间系统的时域求解冲激响应相类似，离散时间系统求解单位函数响应也有两种方法。
1,直接求解法
2,简接求解法简接求解法对于前向差分方程或后向差分方程，其初始条件是确定的。
当求得单位函数响应后，零状态响应就可以求得。然后，与零输入响应相加，即得系统的全响应。
如果题目已知的是全响应初始条件时，必须把零输入初始条件和零状态初始条件分开（参见例 5.3-3），或者，先求零状态响应，从而得到零状态初始条件，然后代入式（ 5.3-2），
得到零输入初始条件，再求零输入响应。
与连续系统响应类似，差分方程的齐次解也称为系统的自然响应，或固有响应；与激励同模式的那部分响应或非齐次差分方程的特解称为强制响应，或强迫响应。本例中，由于特征根的模小于 1,其自然响应随着 k 的增大而逐渐衰减为零，
故自然响应也称为暂态响应；由于激励为阶跃序列，故强制响应也称为稳态响应。
5.1 离散时间信号
5.2 离散系统的数学模型和模拟
5.3 离散系统的零输入响应
5.4 离散系统的零状态响应习题 5
第五章 离散信号与系统的时域分析在本章以前，我们所讨论的系统均属连续时间系统，
这类系统用于传输和处理连续时间信号。此外，还有一类用于传输和处理离散时间信号的系统称之为离散时间系统，简称离散系统。数字计算机以及数字通信系统和数字控制系统的主要部分均属于离散系统。鉴于离散系统在精度、抗干扰能力和可集成化等诸方面，比连续系统具有更大的优越性。随着数字技术和计算机技术的飞速发展，大量原属于连续信号和系统的问题，越来越多地转化成离散信号和系统的问题加以处理。
关于离散信号和系统的分析，在许多方面都与连续信号和系统的分析相类似，两者之间具有一定的平行关系。
在系统特性的描述方面，连续系统输入 -输出关系的数学模型是微分方程。离散时间系统输入 -输出关系的数学模型是差分方程；在系统分析方法方面，连续系统有时域、
频域和 S域分析法，离散系统有时域、频域和 Z域分析法；
在系统响应的分解方面，则都可以分解为零输入响应和零状态响应，等等。无疑，在进行离散信号与系统的学习时，
经常把它与连续信号与系统相对比，这对于其分析方法的理解、掌握和运用是很有帮助的。但应该指出，既然是两类不同的问题，离散信号与系统有自己的特殊性，必然存在一些差别，学习时也应该注意这些差别。
本章讨论离散信号与系统的时域分析。
5.1 离散时间信号
5.1.1 离散时间信号的时域描述连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量 t的函数，
除个别间断点外，这些信号的波形是光滑的曲线，如图 5.1-
1（ a）所示，这一类信号称为模拟信号（ analog signal），
大多数客观存在的信号都是属于这一类信号。还有一类信号
（如电报信号等），虽然它的时间取值是连续的，但它的幅度却只限于有限个数值，这一类信号称为量化信号（ quantized
signal），如图 5.1-1（ b）所示。以上两类信号都是连续时间信号。
离散时间信号（简称离散信号,discrete signal）与连续时间信号不同，它仅在一系列离散的时刻才有定义，因此它是离散时间变量 tk的函数，如图 5.1-1（ c）所示的离散信号只在 t1,t2、
t3… 时刻有定义，在 t1和 t2,t2和 t3… 之间则没有定义。如果信号不仅在时间取值是离散的，而且在幅度上又是量化的，则称为数字信号（ digital signal），如图 5.1-1（ d）所示，在数字通信和计算机中传输和处理的信号就是数字信号。今后所讨论的离散信号，可以是数字信号，也可以不是。两者在分析方法上并无区别。
有些信号尽管它们实际上是连续的，但是如果满足取样定理的要求，仅对它们的取样值感兴趣，或者由于无法或没有必要了解它们整个过程的连续变化情况，而只能或只需测得其取样值，也可以把它们当作离散时间信号来看待。所以离散时间信号可以是连续时间信号经过离散化（即取样）的结果。
用 f (tk)表示离散时间信号，其中 tk表示离散的时刻，通常离散时刻之间的间隔 T是均匀的，即 T= tk+1- tk为常量，故可以用 f (kT )来表示离散时间信号，简写为 f (k)。也就是说离散时间信号抽象为离散变量 k的函数，这里 k的取值为整数。
这样做不仅简便而且具有更为普遍的意义，即离散变量 k可以不限于代表时间。离散信号在数学上可以表示为数值的序列，为了方便，序列 f (k)与序列的第 k个值两者在符号上不加区别。
离散信号的函数值是一个序列 {…,3,1,0,0,1,3，
6,… } ( 下面画有短线的数值是序号 k = 0的数值 )。它的图形如图 5.1-2所示，为了醒目，这些离散值画成一条条不同高度的垂线，其中每条垂线的端点才是实际的函数值。
根据离散变量 k的取非零值范围，序列可分为以下三种情况：
若序列 f (k) 对所有的整数 )都存在非零确定值，称这类序列为双边序列。
若,则 f (k) 称为有始序列或右边序列，反之若,则 f (k) 称为有终序列或左边序列。而 的有始序列称为因果序列，
的有终序列称为反因果序列。统称为单边序列。
若 f (k)仅在,整数 )区间有非零确定值，称这类序列为有限序列。
0)(1 kfkk 时，当
0)(2 kfkk 时，当
01?k 01?k
1221 ( kkkkk
5.1.2 离散信号的一些基本运算在离散信号与系统分析中，常遇到序列的某些基本运算。
1,序列相加序列 f1(k) 与 f2(k)相加，是指两个序列同序号的数值逐项相应相加，而构成一个新的序列 f(k),即
（ 5.1-1）
2,序列相乘序列 f1(k) 与 f2(k)相乘，是指两个序列同序号的数值逐项相应相乘，而构成一个新的序列 f(k),即
)()()( 21 kfkfkf
)()()( 21 kfkfkf （ 5.1-2）
3,序列折叠与位移
f (k)的自变量 k如果用 -k代替，即得到一个新序列 f (-k)，
表示 f (k)相对于纵轴翻转，称为序列折叠。如图 5.1-3（ b）
所示。
序列向后（右）移位是指原序列 f (k)逐项依次后移或右移 m位，而得到一个新的序列 f (k-m)；序列向前（左）移位是指原序列 f (k)逐项前移或左移 m位，而得到一个新的序列 f(k+m)。分别如图 5.1-3（ c）、（ d）所示。
4,序列的差分序列 f (k)的一阶前向差分（ forward difference） Δf (k)定义为
（ 5.1-3） )()1()( kfkfkf
一阶后向差分（ backward difference）定义为
(5.1-4）
同理，可以定义二阶前向差分,二阶后向差分。
(5.1-5）
(5.1-6）
依次类推，可以得到更高阶的前向和后向差分。
差分与连续系统中的微分相对应。
2 1
2 1 2
f k f k f k
f k f k f k
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
)()1(2)2(
)()1()(2
kfkfkf
kfkfkf
)1()()( kfkfkf
5,序列求和（累加）
序列的求和定义为 （ 5.1-7）
这是与连续系统中的积分相对应的运算。
最后指出，对于离散信号，由于仅在为整数时才有意义，
进行尺度变换或波形的展缩时可能会使部分信号丢失或改变，
因此，一般情况下不研究离散信号的尺度变换。
5.1.3 常用的离散信号
1,单位函数单位函数的定义为
（ 5.1-8）
这个信号也称为单位样值信号和单位脉冲序列，必须注意在
k=0时的幅度为有限值 1，而不是象那样在 t=0时的幅度为 ∞。
)()(1 nfkf
k
n
0k
0k
0
1)k(
同理，可以定义延时单位脉冲序列。
（ 1）筛选特性
(5.1-10）
（ 2）加权特性
（ 5.1-11）
应用此性质，很容易理解把任意离散信号 f (k)表示为单位函数的延时加权和，即
（ 5.1-12）
)()()( nfnkkf
k
)()()()( nknfnkkf
)1()1()()0()1()1()2()2()( kfkfkfkfkf
n
nknf )()(?
2,单位阶跃序列单位阶跃序列定义为
（ 5.1-13）
的图形如图 5.1-6所示。
图 5.1-6 单位阶跃序列
0
0
0
1)(
k
kk?
0 1 2 3 4
1
k
…
)(k?
单位阶跃序列与单位函数有如下关系：
（ 5.1-16）
（ 5.1-17）
或 （ 5.1-18）
式（ 5.1-16）的成立是明显的，式（ 5.1-17）的正确性在于仅在 n=0时为 1，其余 n取值时为 0，所以当 k<0时，求和式为零，而当 时，求和式为 1，即
)()( nk
k
n
)()(
0
nkk
n
)1()()()( kkkk
0?n
)(
01
00
)( k
k
k
n
k
n
3,斜变序列
4,正弦序列正弦序列的表达式为
（ 5.1-19）
这里幅值 A、初相 φ的含义与模拟正弦信号相同，但正弦序列的数字角频率 Ω0的含义与一般模拟信号模拟角频率 ω0
的概念不同。由于离散信号定义的时间为 kT，显然有
Ω0 = ω0 T （ 5.1-20）
模拟角频率 ω0的单位是 rad/s，而数字角频 Ω0的单位为
rad/s ·s = rad。 Ω0表示相邻两个样值间弧度的变化量。
)()( kkkx
r a dTkAkx 单位000 )s i n ()(
5,指数序列指数序列的一般形式为式中,A和?可以是实常数，也可以是复常数。根据 A和?的取值不同，指数序列有下面几种情况：
(1) 若 A和?均为实数，则
(5.1-22)
为实指数序列。
(2) 若,A=1，,
(5.1-23)
为虚指数序列。
f k Ae k( )
f k Aa k( )?
j? 0
f k Ae j k( ) 0
根据欧拉公式，式 (5.1-23)可写成
(5.1-24)
可见，虚指数序列的实部和虚部都是正弦序列，只有其实部或虚部为周期序列时虚指数序列才是周期的。即只有满足 2?/ Ω0为有理数时，虚指数序列才是周期序列。
(3) 若 A和?均为复数，则为一般形式的复指数序列。
(5.1-25)
虚指数序列的实部和虚部的波形如图 5.1-10所示。
f k Ae k j kj k( ) c o s s i n0 0 0
f k Ae A e e
A e e e
A e r e A r e
k j j k
j k j k
j k j k k j k
( )
( )
( )
0
0
0 0
A r k j kk [c o s ( ) s i n ( )]0 0
6,Z序列
Z序列可表示为
(5.1-26)
式中,z为复数。通常称之为复序列。若取 z为极坐标的形式由欧拉公式，可写成
(5.1-28)
显然,Z序列与复指数序列只是表示形式不同，并无本质上的差别。
以后的讨论将会表明，在离散信号与系统的分析中，与连续时间基本信号相对应的离散时间基本信号也具有非常相似的地位和作用。
f k z k( )?
z z e j 0
f k z k( )z k j kk [c o s ( ) s i n ( )]0 0
5.2 离散系统的数学模型和模拟
5.2.1 离散系统的数学模型 ----差分方程输入和输出都是离散信号的系统称为离散系统，设输入信号为 x(k)，输出信号为 y(k)，离散时间系统可用图 5.2-1表示。我们把输出 y(k)看作是系统对输入 x(k)作用或处理的结果，表示为
y(k)=S [x(k) ] （ 5.2-1）
在连续时间系统中，描述输入和输出关系的数学模型是微分方程。对于离散时间系统，由于变量 k (或 tk=kT )是离散的，因此必须采用另一种数学模型来描述，即差分方程来描述其输入和输出的关系。
与连续系统类似，离散系统同样可以分为线性与非线性系统；时变与时不变系统，本书只讨论线性时不变离散系统。
线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性差分方程，
具有如下两种形式：
)()1()1()( 011 kyakyankyankya nn
)()1()1()( 011 kxbkxbmkxbmkxb mm
a y k i b x k ji
i
n
j
j
m
( ) ( )
0 0
或写成
（ 5.2-2）
在式（ 5.2-2）的差分方程中，各序列的序号自 k以递增方式给出，称为前向 (或左移序 )差分方程。
式（ 5.2-3）中，各序列的序号自 k以递减方式给出，称为后向 (或右移序 )差分方程。
在常系数线性差分方程中，各序列的序号同时增加或减少同样的数目，该差分方程所描述系统的输入输出关系不变。
因此前向差分方程和后向差分方程的相互转换是非常容易的，
在应用中，究竟采用哪一种形式的差分方程比较方便，要根据具体情况来确定。
差分方程不仅仅用来描述离散系统，微分方程的数值解也往往可以借助于差分方程。
另一种形式
)()1()1()( 011 kyakyankyankya nn
)()1()1()( 011 kxbkxbmkxbmkxb mm
a y k i b x k ji
i
n
j
j
m
( ) ( )
0 0
（ 5.2-3）
5.2.2 离散时间系统的模拟既然差分方程与微分方程相似，则对于离散时间系统也可以象连续时间系统那样用适当的运算单元连接起来加以模拟。离散系统的模拟通常用延时器、加法器和标量乘法器组成。加法器和标量乘法器的功能和符号与连续系统相同，延时器则与积分器相对应，它实际上是一个存储器，它把信号存储一个取样时间 T，常采用延时线或移位寄存器。延时器的时域表示符号如图 5.2-4（ a）所示。若初始状态不为零，则于延时器的输出处用一加法器将初始状态引入，如图 5.2-4（ b）所示。
现在来讨论如何运用延时器、加法器和标量乘法器对离散时间系统进行模拟。
对于一般的二阶离散时间系统，若方程为
（ 5.2-8）
则与连续时间系统的模拟一样。引入辅助函数，使
（ 5.2-9）
应有
（ 5.2-10）
这样，式（ 5.2-8）就可以用式（ 5.2-9）和（ 5.2-10）两式来等效，式（ 5.2-8）差分方程所描述的系统就可以用下图来模拟。
)()1()()1()2( 0101 kxbkxbkyakyaky
)()()1()2( 01 kxkqakqakq
)()1()( 01 kqbkqbky
x(k) q(k)q(k＋ 1)
D?
1a?
0a?
D
q(k＋ 2)
0b
1b y(k)
5.3 离散系统的零输入响应与连续时间系统的时域分析法求解微分方程一样，在离散时间系统的时域分析法求解差分方程时，也可以分别求解相应的齐次差分方程，求出仅由初始储能引起的零输入响应和求解非齐次差分方程，求出仅由激励引起的零状态响应，然后叠加求得全响应。即从求解齐次差分方程的过程来看，差分方程和微分方程的求解有很多相类似的地方，所不同的是微分方程齐次解具有 est的形式，而差分方程的齐次解则有 rk的形式，其中 s
和 r分别是微分方程和差分方程的特征根；但在初始条件的描述方面，微分方程和差分方程有所不同。在计算差分方程的零输入响应时，必须判别已知初始条件哪些是仅由初始储能引起的，并递推出所需的零输入初始条件。
y k y k y kz i z s( ) ( ) ( )
5.4 离散系统的零状态响应离散时间系统求解零状态响应，可以直接求解非齐次差分方程得到。求解方法与经典法计算连续时间系统零状态响应相似。即首先求齐次解和特解，然后代入仅由激励引起的初始条件 [ 若激励在 k = 0时接系统，根据系统的因果性，零状态条件为 y(-1)=y(-2)=.,,=0 ] 确定待定系数。但当激励信号较复杂，且差分方程阶数较高时，上述求解非齐次差分方程的过程相当复杂，因此，与连续时间系统的时域分析一样，离散时间系统计算零状态响应也常用卷积分析法。
5.4.1 离散信号的分解与卷积和连续时间系统的卷积分析法其基本过程是：将激励信号 x(t)
分解为一系列加权的冲激信号，根据系统对各个冲激的响应，
叠加得到系统对激励信号 x(t)的零状态响应。这个叠加是连续叠加，表现为求卷积积分。在离散时间系统中，情况也大体相似，略有不同的是，激励信号本来就是一个离散的序列，
因此，第一步分解工作十分容易进行，离散的激励信号中的每一个离散量施加于系统，系统输出一个与之相应的响应，
每一响应也均是一个离散序列，最后把这些响应序列叠加起来，就得到系统对任意激励信号的零状态响应。这个叠加是离散叠加 (即求和运算，而不是积分运算 )，叠加的过程表现为求卷积和。
在连续时间系统中，用卷积分析法计算零状态响应时，单位冲激函数?(t)和单位冲激响应 h(t)起着十分关键的作用，在离散时间系统中，相应的单位函数和单位函数响应同样起着十分重要的作用。
)1()1()()0()1()1()2()2()( kxkxkxkxkx
n
nknx )()(?
如果已知离散时间系统对单位函数?(k)的零状态响应为
h(k) 。根据线性时不变系统的零状态响应叠加性和时不变性，则系统对 x(n)?(k-n)的零状态响应为 y(n)?(k-n),则系统对任意激励信号的零状态响应为
（ 5.4-1）
式（ 5.4-1）称为和的卷积和（ convolution sum）或离散卷积（ discrete convolution），用卷积符号记为
（ 5.4-2）
显然，由式 (5.1-12)，与单位函数的卷积和仍然是本身，即
)1()1()()0()1()1()2()2()( khxkhxkhxkhxky
n
nkhnx )()(
n
zs nkhnxkhkxky )()()()()(
)()()( kkxkx
可见，离散时间系统的零状态响应可由激励信号 x(k)与系统的单位函数响应 h(k)的卷积和获得。这一点也与连续时间系统通过卷积积分求零状态响应相一致。同样可以证明卷积和的代数运算与卷积积分的代数运算亦相同，也服从交换律、分配律和结合律。
对于因果系统来说，由于单位函数?(k)仅存在于 k = 0时刻，
故当 k < 0时单位函数响应 h(k)=0； k < n时,h(k-n)=0 。若 x(k)
是有始信号，且 k < 0时,x(k)=0，则式（ 5.4-1）中求和取值区间只需从 0到 k即可，即
（ 5.4-6）
更一般的情况,k < k1时,x(k)=0 ；而 k < k2时,h(k)=0 。则有类似于式（ 2.3-14）的结论，即
k
nn
zs nkhnxnkhnxky
0
)()()()()(?( )k
计算卷积和也可以使用图解法，其运算过程与卷积积分的过程相似。只是求和运算代替了积分运算。设两个离散函数（序列）为 x(k)和 h(k)，则其卷积和计算步骤如下：
1,换元：将 x(k)和 h(k)中的变量 k更换成变量 n；
2,折叠：作出 h(n)相对于纵轴的镜象 h(-n )；
3,位移：将折叠后的 h(-n )沿 n轴平移一个 k值，得 h(k-n ) ；
4,相乘：将移位后的 h(k-n )序列乘以 x(k) ；
5,求和：把 h(k-n )和 x(k)相乘所得的序列相加，即为 k值下的卷积值。
)()()()( 21
2
1
kkknkhnxky
kk
kn
zs
（ 5.4-7）
例 5.4-2 离散时间系统的激励信号 x(k) ={2,1,5}，单位函数响应 h(k) ={3,1 4,2}，试求其零状态响应。
解,在这个例题中，两个序列都是有限序列，可以应用一种优于例 5.4-1的方法，即依照普通的乘法来计算它们的卷积和，只是不要进位，常称为不进位乘法。
所得零状态响应为
y(k)={6,5,24,13,22,10}
5.4.2,单位函数响应所谓单位函数响应，是单位函数信号?(k)作为离散时间系统的激励而产生的零状态响应。
用卷积分析法计算离散时间系统在任意信号激励下的零状态响应，首先需要求出单位函数响应。
对于激励信号为单位函数?(k)的零状态系统，因为激励仅在
k = 0时刻为非零值，在 k > 0之后激励为零，这时系统相当于一个零输入系统，可以理解为?(k)的作用已经转化为零输入系统的等效的初始条件。因此，系统的单位函数响应的形式必然与零输入响应的形式相同，且其等效的初始条件可以根据差分方程和零状态条件 y (－ n) = y(－ n+1)= … =
y (－ 1) = 0递推求出。
与连续时间系统的时域求解冲激响应相类似，离散时间系统求解单位函数响应也有两种方法。
1,直接求解法
2,简接求解法简接求解法对于前向差分方程或后向差分方程，其初始条件是确定的。
当求得单位函数响应后，零状态响应就可以求得。然后，与零输入响应相加，即得系统的全响应。
如果题目已知的是全响应初始条件时，必须把零输入初始条件和零状态初始条件分开（参见例 5.3-3），或者，先求零状态响应，从而得到零状态初始条件，然后代入式（ 5.3-2），
得到零输入初始条件，再求零输入响应。
与连续系统响应类似，差分方程的齐次解也称为系统的自然响应，或固有响应；与激励同模式的那部分响应或非齐次差分方程的特解称为强制响应，或强迫响应。本例中，由于特征根的模小于 1,其自然响应随着 k 的增大而逐渐衰减为零，
故自然响应也称为暂态响应；由于激励为阶跃序列，故强制响应也称为稳态响应。
