1.1 基本概念特定功能输入 A 输出 F
◆ 逻辑（ A&F）,事物的因果关系，即输入、输出之间变化的因果关系。
◆ 逻辑事件 (A,F),有且仅有 两个 相互对立 的状态，且必定出现两个状态中的一个。
◆ 逻辑控制（ A<— >F）,A —〉 F,F—〉 A。
A F
闭合断开亮灭
A F
1
0
1
0
开关与灯
● 基本逻辑关系（逻辑函数）
非、与、与非、或、或非、同或和异或
1,非
（ 1） 实例 （ 2） 真值表
A F
0
1
1
0
（ 3） 逻辑符号 （ 4） 逻辑表达式
AF?
(“1”——真,” 0”——假 )
A F
断开闭合亮灭
A F
闭合断开亮灭
A F
1
0
1
0
2,与
（ 1） 实例 （ 2） 真值表
（ 3） 逻辑符号 （ 4） 逻辑表达式
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
F=A·B
（ 1） 真值表 （ 2） 逻辑符号 （ 3） 逻辑表达式
3,与非
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
ABF?
与非与非
4,或
（ 1） 实例 （ 2） 真值表
（ 3） 逻辑符号 （ 4） 逻辑表达式
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
F=A+B
4,或非
（ 1） 真值表 （ 2） 逻辑符号 （ 3） 逻辑表达式
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
BAF
非或或非
5,异或
（ 1） 真值表 （ 2） 逻辑符号 （ 3） 逻辑表达式
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
BABAF
BAF
6,同或
（ 1） 真值表 （ 2） 逻辑符号 （ 3） 逻辑表达式
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
1
ABBAF
F=A⊙ B
实训一是异或逻辑关系吗？
异或取非是什么？
◆ 多变量的函数表达式
● 与 F=A·B·C…
● 或 F=A+B+C…
● 与非 CBAF
● 或非
CBAF
● 与或非 CDABF 等 等
◆ 运算的优先级别括号 → 非运算 → 与运算 → 或运算
1.3 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量：字母 A,B,F……
逻辑函数：表达式 F=A+B……
F=A+B
◆ 逻辑代数的基本运算法则
1,公理和基本定律逻辑代数的公理有：
（ 1） 01? 10?
（ 2） 111 000
（ 3） 1·0=0·1=0 ； 1+0=0+1=1
（ 4） 0·0=0 ； 1+1=1
（ 5）如果 A≠0 则 A=1； 如果 A≠1 则 A=0。
)( GFAD EBCCBCAABF
逻辑代数的基本定律有：
（ 1）交换律 A·B = B·A； A+B = B+A
（ 2）结合律 A（ BC） =（ AB） C； A+（ B+C） =（ A+B） +C
（ 3）分配律 A（ B+C） =AB+AC； A+BC=（ A+B）（ A+C）
（ 4） 0 1 律 1·A=A ； A + 0 =A 0·A=0 ； A + 1 =1
（ 5）互补律
0 AA 1 AA
（ 6）重叠律 A · A = A ； A + A =A
（ 8）反演律 — 摩根定律 BABA
口诀：同一屋檐下，分开关系变。
（ 7）还原律 AA?
BABA
A B
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
反演律 — 摩根定律的证明
BABABABA
等式两边的真值表如表 1.3所示：
BA? BA?
利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用的公式。
2,常用公式
（ 1）吸收律 A+A·B = A
BABAA
（ 2）还原律
ABABA
ABAAB
)()(
（ 3）冗余律
CAABBCCAAB
证明：
CAAB
BCACAA B CAB
BCAA B CCAAB
AABCCAABBCCAAB
)()(
)(
BABAA )(
3,逻辑代数的三个基本规则
（ 1） 代入规则例：已知 B（ A+C） = BA+BC,现将 A用函数 （ A+D ）
代替，证明等式仍然成立。
证：等式左边 B [（ A+D ） +C ]= BA+BD+BC
B（ A+C） = BA+BC
B [（ A+D ） +C ]= B（ A+D） +BC
等式右边 B（ A+D） +BC = BA+BD+BC
(2)对偶规则例,F = A·（ B+C） 则对偶式 Fˊ= A+B· C
◆ 对偶规则：
是指当某个恒等式成立时，则其对偶式也成立；
如果两个逻辑表达式相等,F = G，
那么它们的对偶式也相等,Fˊ= Gˊ 。
· <——> + 1 <——>0
+ <——> · 0 <——>1F F ’
F = （ A+0） ·（ B·1）则对偶式 Fˊ= A · 1+（ B+0）
（ 3）反演规则
1,要 保持 原式中逻辑运算的 优先顺序 ；
2,不是一个变量 上的 反号 应保持 不变,否则就要出错。
例题：写出下列逻辑函数的反函数
1.
2,
CDBAF
)()( DCBAF
EDCBAF
EDCBAF
· <——> + 1 <——>0
+ <——> · 0 <——>1
Z <——> Z
F F
BABAA
CAABBCCAAB
BABA
BABA
(4)对偶规则 · <——> + 1 <——>0+ <——> · 0 <——>1F F ’
（ 5）反演规则
· <——> + 1 <——>0
+ <——> · 0 <——>1
Z <——> Z
F F
（ 1）吸收律
（ 2）冗余律
（ 3）反演律 —摩根定律小结：
1,逻辑表达式例如,F = A+B,Y = AB+C+D 等。
◆ 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法主要有：
逻辑函数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图、波形图。
2,真值表例题 1：
两变量函数真值表
AB
变量 函 数
A B AB A+B
0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 1 1 1 0 0
BA?
解,该函数有 3个输入变量，共有 23=8种输入取值组合，分别将它们代入函数表达式，并进行求解，得到相应的输出函数值。
将输入、输出一一对应列出，即可得到真值表。
例 2,列出函数 的真值表CAABF
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1提示,在列真值表时，输入变量的取值组合应 按照二进制递增 的顺序排列，这样做既不容易遗漏，也不容易重复。
3,逻辑图例 3,逻辑函数 的逻辑图如下图所示。CABAF
01-2
BCCAABF1 CAABF2
例 4,根据逻辑图写出下列逻辑函数表达式,
4,卡诺图
1.4 逻辑函数的化简
◆ 问题的提出：
x=98+2+1 x=101
ABAF1 AF?2
A B F1
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
1
1
A F2
0
1
0
1
0 0
1 1
比较 1：
逻辑图、波形图、电路图、接线、硬件成本又有何差别呢？
◆ 判断与或表达式是否最简的条件是：
（ 1）逻辑乘积项最少；
（ 2）每个乘积项中变量最少。
BCCAABF1 CAABF2
比较 2：
1.4.1 逻辑函数的公式化简法
1.并项法
1 AA利用公式,将两项合并为一项，并消去一个变量，例如：
)()( CCBACCAB
BAAB
)( BBA
A?
BACCBACBACBA )(（ 1）
CABCBACBAA BCCBCBACBBCA )()(（ 2）
2,吸收法
ACBAA
BAEDCBABA )(
3,消去法
CBAABCBCAAB )(
CABAB
CAB
BABAA利用公式,消去多余的因子，例如：
AABA利用公式,吸收掉多余的项，例如：
4,配项法
)()( CCBAAACBCBBABACBCBBA
CBABCACBACBACBBA
)()()( BCACBACBACBCBABA
CACBBA
)( BBAA )( BB?利用公式,先添上 作配项用，以便消去更多的项。例如：
1.一般先用并项法（提取公因式），看看有没有公共项。
◆ 公式法化简的原则
2.再观察有没有可用消去法的消去项。
3.最后试试配项法例 1.4 用公式法化简逻辑函数 BCCAABF
BCCAABF
CAAB
BCACAA B CAB
AABCCAAB
)(
解：
化简前逻辑图 化简后逻辑图例 1.5 用公式法化简 )( GFAD EBDDBBCCBCAABF
CBACBACAAB )(
可得 )( GFA DEBDDBBCCBCBAF
根据公式 BABAA
得 CBACBCBA
即 )( GFAD EBDDBBCCBAF
根据公式 AABA
得 AGFAD EA )(
即 BDDBBCCBAF
解,根据摩根定律 利用配项法再进行化简，可得
BDDBBCCBAF
BCCDDBA
CBDBCBCDDCBDBCDBA
CBDBCDDBBCDCBCDBA
CCBDDBBCDDCBA
)()()(
)()(
1.4.2 逻辑函数的卡诺图化简法预备知识,最小项和最小项表达式
,
,
,
,
,
,
,
,
ABC
CAB
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CBA
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
记作 m0
记作 m1
记作 m2
记作 m3
记作 m4
记作 m5
记作 m6
记作 m7
0
1
2
3
4
5
6
7
① 每个乘积项包括三个变量，
分别是 A,B,C；
这八个乘积项具有以下特点：
② 每个变量都以原变量（ A,B、
C）或反变量（ ）的形式在每个乘积项中出现且仅出现一次。
CBA
③ 三个变量有 23个最小项,n个变量有 2n个最小项。
三变量（ A,B,C）表达式：
变 量
A B C
全 部 最 小 项
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
ABC
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
表 1.7 三变量所有最小项的真值表
CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB
（ 2） 对于同一个变量取值，任意两个最小项的乘积恒为 0。因为在相同的变量取值下，不可能使两个不相同的最小项同时取 1
值。
最小项具有下列性质：
（ 1） A,B,C任意取值,每一时刻只有一个最小项取值为 1，
而其他最小项为 0。也即,一个最小项，只有变量的一组取值使得它的值为 1，而取其他值时，这个最小项的值都为 0。不同的最小项，使它的值为 1 的那一组变量取值也不同。
（ 3） A,B,C任意取定一组值，全体最小项和为 1。
◆ 逻辑函数的最小项表达式
（ 1）从一般表达式求最小项表达式 (已知原始函数的情况下 )
例 1.6 写出 CBABCBAF),,( 的最小项表达式。
CBABF( A,B,C )
7651),,( mmmmCBAF
)7,6,5,1(),,( mCBAF )7,6,5,1(),,(CBAF
解：
CBAAAB )( )C(C)( CC? )( AA?
CBACBACABA B C
m7 m6 m5 m1
CBACBACABA B CF
（ 2）由真值表求最小项表达式
—— (不知函数表达式，但知真值表的情况下 )
例 1.7 一个三变量逻辑函数的真值表如表 1-8所示，写出其最小项表达式。
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
表 1-8
解,由表可写出其最小项表达式为
CBACBACBACBAF),,(
或写成
541),,( mmmCBAF
)5,4,1(),,( mCBAF
m1 m4 m5
2.卡诺图以二变量为例，画二变量卡诺图的步骤如下：
确定方格数用来描述逻辑函数的特殊方格图，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项,
填入变量及最小项
A
B 0 1
0
1
00 01
1110
0 1
2 3
m0 m1
m2 m3
方格数等于 2n,也即等于最小项个数，其中 n为变量的数目。
按一定顺序填入最小项。
32),,( mmCBAF
)3,2(),,( mCBAF
ABBAF
1 1
00
画三变量卡诺图的步骤：
确定方格数
填入变量及最小项方格数等于 2n,其中 n为变量的数目。
按一定顺序填入最小项。 CBACBACBACBAF),,(
541),,( mmmCBAF
)5,4,1(),,( mCBAF
1
1 1
0 0
00
0
图 1.13 四变量卡诺图 图 1.14 五变量卡诺图
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m8 m9 m11 m10
m12 m13 m15 m14
例 1.8 画出逻辑函数的卡诺图。
)15,14,11,10,8,7,5,2,1,0(),,,( mDCBAF
解：
3,逻辑函数的卡诺图化简法性质 1,卡诺图中 两 个相邻 1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去 一 个变量。
例：
CBACBAF
什么是卡诺图化简，它是在做一件什么事？？
CBCBAA )(
如何用看卡诺图的方法来化简？
去异，留同！ —— 寻找公共项左图圈中的,1”公共项为 B,C两项，且分别为 0,1，所以公共项为 CB公式法化简：
再如：
B C D
AAB C D
A B C DB C DA
)(
DBA
CCDBA
CDBADCBA
)(
DBA CDB
例：
CACCA
BBACBBCA
ABCCBABCACBA
)()(
A C
性质 2,卡诺图中 四 个相邻 1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去 两 个变量。
去异，留同！ —— 寻找公共项左图圈中的四个,1”公共项只有 C
项，且为 1，所以公共项为 C。
公式法化简：
再如：
DCAADC
BBDCABBDCA
DCBADCABDCBADCBA
)(
)()(
CA DB DB
1
1
1
1C
综上所述，在 n个变量卡诺图中，若有 2n（ n=0,1,2…,
k）个相邻 1格,可以圈在一起加以合并，合并时可消去 k个不同的变量，简化为一个具有 (n-k)个变量的与项。若 k =n，则合并时可消去全部变量，结果为 1。
性质 1,卡诺图中 两 个相邻 1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去 一 个变量。
性质 2,卡诺图中 四 个相邻 1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去 两 个变量。
性质 3,卡诺图中 八 个相邻 1格的最小项可以合并成一个与项，并消去 三 个变量。
小结：
卡诺图化简原则：
1）只能圈偶数个,1”；
2）圈越大越好，必要时可以重复圈,1”；
3）将所有的,1”项圈入圈中的前提下，圈的总个数越少越好。
例 1.9 用卡诺图化简法求逻辑函数的最简与或表达式
)7,6,3,2,1(),,,(CBAF
1 1 1
11
BCA
CABA B CCBABCABCACBAF
)()(
（ 1）画出函数的卡诺图；
（ 2）填写,1”项，即为,1”的最小项；
（ 4）寻找公共保留项。
（ 3）相邻偶数个,1”画在同一个圈内；
（ 5）写出最简与或表达式。
黄圈 公共保留项为 B，值为 1，所以公共项为 B。
绿圈 公共保留项为 A,C，值分别为 0,1，所以公共项为 AC。
BCAF
公式法化简：
例 1.10 用卡诺图化简函数
CDBADCABDCBACDBADCBAF),,,(
解,根据最小项的编号规则，得
131193 mmmmF
CDBDCAF
（ 1）画出函数的卡诺图；
（ 2）填写,1”项，即为,1”的最小项；
（ 4）寻找公共保留项。
（ 3）相邻偶数个,1”画在同一个圈内；
（ 5）写出最简与或表达式。
绿圈 公共保留项为 B,C,D，值为 0,1,1，所以公共项为 BCD。
红圈 公共保留项为 A,C,D，值为 1,0,1，所以公共项为 ACD。
例 1.11 用卡诺图化简函数
CBADCBADCACBADCBAF),,,(
解,从表达式中可以看出此为四变量的逻辑函数，但是有的乘积项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘积项中都要将缺少的变量补上：
DCBADCBADDCBACBA )(
DCBADBCABBDCADCA )(
DCBADCBADDCBACBA )(
DCBADCBADCBADCBADBCADCBADCBADCBAF),,,(
则有将这七个最小项填入四变量卡诺图内
10986210 mmmmmmmF
化简得 DCADBCBF
提 示
（ 1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量的个数（如果最小项中缺少变量，应按例 1.11的方法补齐）。
（ 2）画出最小项表达式对应的卡诺图。
（ 3）将卡诺图中的 1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的表达式就会与所给函数不等； 1格允许被一个以上的圈所包围。
（ 4）圈的个数应尽可能得少。即在保证 1格一个也不漏圈的前提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈数越少，与或表达式的与项就越少。
（ 5）按照 2k个方格来组合（即圈内的 1格数必须为 1,2,4,8
等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多，
与项中的变量就越少。
（ 6）每个圈应至少包含一个新的 1格，否则这个圈是多余的。
（ 7） 用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。
练习,判断正确与错误正确错误 （多画一个圈）
DCADCACBABCF DBADCABCF
例 1
例 2
错误（圈的面积不够大） 正确
CBACF CACF
例 3
错误（圈的面积不够大） 正确
DBCCF DBCF
例 4
错误
（
有一个圈无新的1
格
）
正确
A C DBCADCACABBDF
A C DBCADCACABF
4,具有约束项的逻辑函数的卡诺图化简法
◆ 什么是约束项实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者说这些变量的取值根本不会出现。
例如：一个逻辑电路的输入为 8421-BCD码，显然信息中有六个变量组合（ 1010～ 1111）是不使用的，这些变量取值所对应的最小项称为约束项。
如果电路正常工作，这些约束项决不会出现，那么与这些约束项所对应的电路的输出是什么，也就无所谓了，可以假定为 1，也可以假定为 0。
约束项的意义在于，它的值可以取 0或取 1，具体取什么值，
可以根据使函数尽量得到简化而定。
◆ 约束项的表示方法
● 在逻辑函数表达式中用 表示约束项，例如,说明最小项 m2,m4,m5为约束项；
● 也用逻辑表达式表示函数中的约束项，例如说明 所包含的最小项为约束项。
● 约束项在真值表或卡诺图中用 × 来表示。
(......)d?
ACBAd
ACBA?
)5,4,2(d?
例 1.13 用卡诺图化简逻辑函数
)9,2,0()15,11,7,3,1(),,,( dmDCBAF
解：该逻辑函数的卡诺图如下图所示。
对该图可以有两种化简方案：
化简结果为
CDBAF
化简结果为
CDDBF
例 1.12 十字路口的红、绿、黄信号灯分别用 A,B,C来表示。
1 表示灯亮,0 表示灯灭。车辆的通行情况用 F 来表示,F=0表示停车,F=1表示通车。试用卡诺图化简表达该逻辑事件的逻辑表达式。
1) 真值表解：
A
红
B
绿
C
黄 F
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 X
1 0 0 0
1 0 1 X
1 1 0 X
1 1 1 X
2) 卡诺图
3) 最简逻辑表达式作 业P20
1.1 （ 3）
1.2 （ 2）
１,3 （ 2）
１,4 （ 2）、（ 3）（ 4）、（ 6）、（ 7）
１,5 （ 1）
1.6 （ 2）
P21
１,6 （ 1）、（ 2）
１,7 （ 1）、（ 2）、（ 3）
１,8 （ 2）、（ 4）、（ 6）、（ 8）
１,9 （ 1）、（ 2）
１,10、１,11
◆ 逻辑（ A&F）,事物的因果关系，即输入、输出之间变化的因果关系。
◆ 逻辑事件 (A,F),有且仅有 两个 相互对立 的状态，且必定出现两个状态中的一个。
◆ 逻辑控制（ A<— >F）,A —〉 F,F—〉 A。
A F
闭合断开亮灭
A F
1
0
1
0
开关与灯
● 基本逻辑关系（逻辑函数）
非、与、与非、或、或非、同或和异或
1,非
（ 1） 实例 （ 2） 真值表
A F
0
1
1
0
（ 3） 逻辑符号 （ 4） 逻辑表达式
AF?
(“1”——真,” 0”——假 )
A F
断开闭合亮灭
A F
闭合断开亮灭
A F
1
0
1
0
2,与
（ 1） 实例 （ 2） 真值表
（ 3） 逻辑符号 （ 4） 逻辑表达式
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
F=A·B
（ 1） 真值表 （ 2） 逻辑符号 （ 3） 逻辑表达式
3,与非
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
ABF?
与非与非
4,或
（ 1） 实例 （ 2） 真值表
（ 3） 逻辑符号 （ 4） 逻辑表达式
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
F=A+B
4,或非
（ 1） 真值表 （ 2） 逻辑符号 （ 3） 逻辑表达式
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
BAF
非或或非
5,异或
（ 1） 真值表 （ 2） 逻辑符号 （ 3） 逻辑表达式
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
BABAF
BAF
6,同或
（ 1） 真值表 （ 2） 逻辑符号 （ 3） 逻辑表达式
A B F
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
1
ABBAF
F=A⊙ B
实训一是异或逻辑关系吗？
异或取非是什么？
◆ 多变量的函数表达式
● 与 F=A·B·C…
● 或 F=A+B+C…
● 与非 CBAF
● 或非
CBAF
● 与或非 CDABF 等 等
◆ 运算的优先级别括号 → 非运算 → 与运算 → 或运算
1.3 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量：字母 A,B,F……
逻辑函数：表达式 F=A+B……
F=A+B
◆ 逻辑代数的基本运算法则
1,公理和基本定律逻辑代数的公理有：
（ 1） 01? 10?
（ 2） 111 000
（ 3） 1·0=0·1=0 ； 1+0=0+1=1
（ 4） 0·0=0 ； 1+1=1
（ 5）如果 A≠0 则 A=1； 如果 A≠1 则 A=0。
)( GFAD EBCCBCAABF
逻辑代数的基本定律有：
（ 1）交换律 A·B = B·A； A+B = B+A
（ 2）结合律 A（ BC） =（ AB） C； A+（ B+C） =（ A+B） +C
（ 3）分配律 A（ B+C） =AB+AC； A+BC=（ A+B）（ A+C）
（ 4） 0 1 律 1·A=A ； A + 0 =A 0·A=0 ； A + 1 =1
（ 5）互补律
0 AA 1 AA
（ 6）重叠律 A · A = A ； A + A =A
（ 8）反演律 — 摩根定律 BABA
口诀：同一屋檐下，分开关系变。
（ 7）还原律 AA?
BABA
A B
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
反演律 — 摩根定律的证明
BABABABA
等式两边的真值表如表 1.3所示：
BA? BA?
利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用的公式。
2,常用公式
（ 1）吸收律 A+A·B = A
BABAA
（ 2）还原律
ABABA
ABAAB
)()(
（ 3）冗余律
CAABBCCAAB
证明：
CAAB
BCACAA B CAB
BCAA B CCAAB
AABCCAABBCCAAB
)()(
)(
BABAA )(
3,逻辑代数的三个基本规则
（ 1） 代入规则例：已知 B（ A+C） = BA+BC,现将 A用函数 （ A+D ）
代替，证明等式仍然成立。
证：等式左边 B [（ A+D ） +C ]= BA+BD+BC
B（ A+C） = BA+BC
B [（ A+D ） +C ]= B（ A+D） +BC
等式右边 B（ A+D） +BC = BA+BD+BC
(2)对偶规则例,F = A·（ B+C） 则对偶式 Fˊ= A+B· C
◆ 对偶规则：
是指当某个恒等式成立时，则其对偶式也成立；
如果两个逻辑表达式相等,F = G，
那么它们的对偶式也相等,Fˊ= Gˊ 。
· <——> + 1 <——>0
+ <——> · 0 <——>1F F ’
F = （ A+0） ·（ B·1）则对偶式 Fˊ= A · 1+（ B+0）
（ 3）反演规则
1,要 保持 原式中逻辑运算的 优先顺序 ；
2,不是一个变量 上的 反号 应保持 不变,否则就要出错。
例题：写出下列逻辑函数的反函数
1.
2,
CDBAF
)()( DCBAF
EDCBAF
EDCBAF
· <——> + 1 <——>0
+ <——> · 0 <——>1
Z <——> Z
F F
BABAA
CAABBCCAAB
BABA
BABA
(4)对偶规则 · <——> + 1 <——>0+ <——> · 0 <——>1F F ’
（ 5）反演规则
· <——> + 1 <——>0
+ <——> · 0 <——>1
Z <——> Z
F F
（ 1）吸收律
（ 2）冗余律
（ 3）反演律 —摩根定律小结：
1,逻辑表达式例如,F = A+B,Y = AB+C+D 等。
◆ 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法主要有：
逻辑函数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图、波形图。
2,真值表例题 1：
两变量函数真值表
AB
变量 函 数
A B AB A+B
0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 1 1 1 0 0
BA?
解,该函数有 3个输入变量，共有 23=8种输入取值组合，分别将它们代入函数表达式，并进行求解，得到相应的输出函数值。
将输入、输出一一对应列出，即可得到真值表。
例 2,列出函数 的真值表CAABF
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1提示,在列真值表时，输入变量的取值组合应 按照二进制递增 的顺序排列，这样做既不容易遗漏，也不容易重复。
3,逻辑图例 3,逻辑函数 的逻辑图如下图所示。CABAF
01-2
BCCAABF1 CAABF2
例 4,根据逻辑图写出下列逻辑函数表达式,
4,卡诺图
1.4 逻辑函数的化简
◆ 问题的提出：
x=98+2+1 x=101
ABAF1 AF?2
A B F1
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
1
1
A F2
0
1
0
1
0 0
1 1
比较 1：
逻辑图、波形图、电路图、接线、硬件成本又有何差别呢？
◆ 判断与或表达式是否最简的条件是：
（ 1）逻辑乘积项最少；
（ 2）每个乘积项中变量最少。
BCCAABF1 CAABF2
比较 2：
1.4.1 逻辑函数的公式化简法
1.并项法
1 AA利用公式,将两项合并为一项，并消去一个变量，例如：
)()( CCBACCAB
BAAB
)( BBA
A?
BACCBACBACBA )(（ 1）
CABCBACBAA BCCBCBACBBCA )()(（ 2）
2,吸收法
ACBAA
BAEDCBABA )(
3,消去法
CBAABCBCAAB )(
CABAB
CAB
BABAA利用公式,消去多余的因子，例如：
AABA利用公式,吸收掉多余的项，例如：
4,配项法
)()( CCBAAACBCBBABACBCBBA
CBABCACBACBACBBA
)()()( BCACBACBACBCBABA
CACBBA
)( BBAA )( BB?利用公式,先添上 作配项用，以便消去更多的项。例如：
1.一般先用并项法（提取公因式），看看有没有公共项。
◆ 公式法化简的原则
2.再观察有没有可用消去法的消去项。
3.最后试试配项法例 1.4 用公式法化简逻辑函数 BCCAABF
BCCAABF
CAAB
BCACAA B CAB
AABCCAAB
)(
解：
化简前逻辑图 化简后逻辑图例 1.5 用公式法化简 )( GFAD EBDDBBCCBCAABF
CBACBACAAB )(
可得 )( GFA DEBDDBBCCBCBAF
根据公式 BABAA
得 CBACBCBA
即 )( GFAD EBDDBBCCBAF
根据公式 AABA
得 AGFAD EA )(
即 BDDBBCCBAF
解,根据摩根定律 利用配项法再进行化简，可得
BDDBBCCBAF
BCCDDBA
CBDBCBCDDCBDBCDBA
CBDBCDDBBCDCBCDBA
CCBDDBBCDDCBA
)()()(
)()(
1.4.2 逻辑函数的卡诺图化简法预备知识,最小项和最小项表达式
,
,
,
,
,
,
,
,
ABC
CAB
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CBA
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
记作 m0
记作 m1
记作 m2
记作 m3
记作 m4
记作 m5
记作 m6
记作 m7
0
1
2
3
4
5
6
7
① 每个乘积项包括三个变量，
分别是 A,B,C；
这八个乘积项具有以下特点：
② 每个变量都以原变量（ A,B、
C）或反变量（ ）的形式在每个乘积项中出现且仅出现一次。
CBA
③ 三个变量有 23个最小项,n个变量有 2n个最小项。
三变量（ A,B,C）表达式：
变 量
A B C
全 部 最 小 项
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
ABC
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
表 1.7 三变量所有最小项的真值表
CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB
（ 2） 对于同一个变量取值，任意两个最小项的乘积恒为 0。因为在相同的变量取值下，不可能使两个不相同的最小项同时取 1
值。
最小项具有下列性质：
（ 1） A,B,C任意取值,每一时刻只有一个最小项取值为 1，
而其他最小项为 0。也即,一个最小项，只有变量的一组取值使得它的值为 1，而取其他值时，这个最小项的值都为 0。不同的最小项，使它的值为 1 的那一组变量取值也不同。
（ 3） A,B,C任意取定一组值，全体最小项和为 1。
◆ 逻辑函数的最小项表达式
（ 1）从一般表达式求最小项表达式 (已知原始函数的情况下 )
例 1.6 写出 CBABCBAF),,( 的最小项表达式。
CBABF( A,B,C )
7651),,( mmmmCBAF
)7,6,5,1(),,( mCBAF )7,6,5,1(),,(CBAF
解：
CBAAAB )( )C(C)( CC? )( AA?
CBACBACABA B C
m7 m6 m5 m1
CBACBACABA B CF
（ 2）由真值表求最小项表达式
—— (不知函数表达式，但知真值表的情况下 )
例 1.7 一个三变量逻辑函数的真值表如表 1-8所示，写出其最小项表达式。
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
表 1-8
解,由表可写出其最小项表达式为
CBACBACBACBAF),,(
或写成
541),,( mmmCBAF
)5,4,1(),,( mCBAF
m1 m4 m5
2.卡诺图以二变量为例，画二变量卡诺图的步骤如下：
确定方格数用来描述逻辑函数的特殊方格图，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项,
填入变量及最小项
A
B 0 1
0
1
00 01
1110
0 1
2 3
m0 m1
m2 m3
方格数等于 2n,也即等于最小项个数，其中 n为变量的数目。
按一定顺序填入最小项。
32),,( mmCBAF
)3,2(),,( mCBAF
ABBAF
1 1
00
画三变量卡诺图的步骤：
确定方格数
填入变量及最小项方格数等于 2n,其中 n为变量的数目。
按一定顺序填入最小项。 CBACBACBACBAF),,(
541),,( mmmCBAF
)5,4,1(),,( mCBAF
1
1 1
0 0
00
0
图 1.13 四变量卡诺图 图 1.14 五变量卡诺图
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m8 m9 m11 m10
m12 m13 m15 m14
例 1.8 画出逻辑函数的卡诺图。
)15,14,11,10,8,7,5,2,1,0(),,,( mDCBAF
解：
3,逻辑函数的卡诺图化简法性质 1,卡诺图中 两 个相邻 1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去 一 个变量。
例：
CBACBAF
什么是卡诺图化简，它是在做一件什么事？？
CBCBAA )(
如何用看卡诺图的方法来化简？
去异，留同！ —— 寻找公共项左图圈中的,1”公共项为 B,C两项，且分别为 0,1，所以公共项为 CB公式法化简：
再如：
B C D
AAB C D
A B C DB C DA
)(
DBA
CCDBA
CDBADCBA
)(
DBA CDB
例：
CACCA
BBACBBCA
ABCCBABCACBA
)()(
A C
性质 2,卡诺图中 四 个相邻 1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去 两 个变量。
去异，留同！ —— 寻找公共项左图圈中的四个,1”公共项只有 C
项，且为 1，所以公共项为 C。
公式法化简：
再如：
DCAADC
BBDCABBDCA
DCBADCABDCBADCBA
)(
)()(
CA DB DB
1
1
1
1C
综上所述，在 n个变量卡诺图中，若有 2n（ n=0,1,2…,
k）个相邻 1格,可以圈在一起加以合并，合并时可消去 k个不同的变量，简化为一个具有 (n-k)个变量的与项。若 k =n，则合并时可消去全部变量，结果为 1。
性质 1,卡诺图中 两 个相邻 1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去 一 个变量。
性质 2,卡诺图中 四 个相邻 1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去 两 个变量。
性质 3,卡诺图中 八 个相邻 1格的最小项可以合并成一个与项，并消去 三 个变量。
小结：
卡诺图化简原则：
1）只能圈偶数个,1”；
2）圈越大越好，必要时可以重复圈,1”；
3）将所有的,1”项圈入圈中的前提下，圈的总个数越少越好。
例 1.9 用卡诺图化简法求逻辑函数的最简与或表达式
)7,6,3,2,1(),,,(CBAF
1 1 1
11
BCA
CABA B CCBABCABCACBAF
)()(
（ 1）画出函数的卡诺图；
（ 2）填写,1”项，即为,1”的最小项；
（ 4）寻找公共保留项。
（ 3）相邻偶数个,1”画在同一个圈内；
（ 5）写出最简与或表达式。
黄圈 公共保留项为 B，值为 1，所以公共项为 B。
绿圈 公共保留项为 A,C，值分别为 0,1，所以公共项为 AC。
BCAF
公式法化简：
例 1.10 用卡诺图化简函数
CDBADCABDCBACDBADCBAF),,,(
解,根据最小项的编号规则，得
131193 mmmmF
CDBDCAF
（ 1）画出函数的卡诺图；
（ 2）填写,1”项，即为,1”的最小项；
（ 4）寻找公共保留项。
（ 3）相邻偶数个,1”画在同一个圈内；
（ 5）写出最简与或表达式。
绿圈 公共保留项为 B,C,D，值为 0,1,1，所以公共项为 BCD。
红圈 公共保留项为 A,C,D，值为 1,0,1，所以公共项为 ACD。
例 1.11 用卡诺图化简函数
CBADCBADCACBADCBAF),,,(
解,从表达式中可以看出此为四变量的逻辑函数，但是有的乘积项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘积项中都要将缺少的变量补上：
DCBADCBADDCBACBA )(
DCBADBCABBDCADCA )(
DCBADCBADDCBACBA )(
DCBADCBADCBADCBADBCADCBADCBADCBAF),,,(
则有将这七个最小项填入四变量卡诺图内
10986210 mmmmmmmF
化简得 DCADBCBF
提 示
（ 1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量的个数（如果最小项中缺少变量，应按例 1.11的方法补齐）。
（ 2）画出最小项表达式对应的卡诺图。
（ 3）将卡诺图中的 1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的表达式就会与所给函数不等； 1格允许被一个以上的圈所包围。
（ 4）圈的个数应尽可能得少。即在保证 1格一个也不漏圈的前提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈数越少，与或表达式的与项就越少。
（ 5）按照 2k个方格来组合（即圈内的 1格数必须为 1,2,4,8
等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多，
与项中的变量就越少。
（ 6）每个圈应至少包含一个新的 1格，否则这个圈是多余的。
（ 7） 用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。
练习,判断正确与错误正确错误 （多画一个圈）
DCADCACBABCF DBADCABCF
例 1
例 2
错误（圈的面积不够大） 正确
CBACF CACF
例 3
错误（圈的面积不够大） 正确
DBCCF DBCF
例 4
错误
（
有一个圈无新的1
格
）
正确
A C DBCADCACABBDF
A C DBCADCACABF
4,具有约束项的逻辑函数的卡诺图化简法
◆ 什么是约束项实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者说这些变量的取值根本不会出现。
例如：一个逻辑电路的输入为 8421-BCD码，显然信息中有六个变量组合（ 1010～ 1111）是不使用的，这些变量取值所对应的最小项称为约束项。
如果电路正常工作，这些约束项决不会出现，那么与这些约束项所对应的电路的输出是什么，也就无所谓了，可以假定为 1，也可以假定为 0。
约束项的意义在于，它的值可以取 0或取 1，具体取什么值，
可以根据使函数尽量得到简化而定。
◆ 约束项的表示方法
● 在逻辑函数表达式中用 表示约束项，例如,说明最小项 m2,m4,m5为约束项；
● 也用逻辑表达式表示函数中的约束项，例如说明 所包含的最小项为约束项。
● 约束项在真值表或卡诺图中用 × 来表示。
(......)d?
ACBAd
ACBA?
)5,4,2(d?
例 1.13 用卡诺图化简逻辑函数
)9,2,0()15,11,7,3,1(),,,( dmDCBAF
解：该逻辑函数的卡诺图如下图所示。
对该图可以有两种化简方案：
化简结果为
CDBAF
化简结果为
CDDBF
例 1.12 十字路口的红、绿、黄信号灯分别用 A,B,C来表示。
1 表示灯亮,0 表示灯灭。车辆的通行情况用 F 来表示,F=0表示停车,F=1表示通车。试用卡诺图化简表达该逻辑事件的逻辑表达式。
1) 真值表解：
A
红
B
绿
C
黄 F
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 X
1 0 0 0
1 0 1 X
1 1 0 X
1 1 1 X
2) 卡诺图
3) 最简逻辑表达式作 业P20
1.1 （ 3）
1.2 （ 2）
１,3 （ 2）
１,4 （ 2）、（ 3）（ 4）、（ 6）、（ 7）
１,5 （ 1）
1.6 （ 2）
P21
１,6 （ 1）、（ 2）
１,7 （ 1）、（ 2）、（ 3）
１,8 （ 2）、（ 4）、（ 6）、（ 8）
１,9 （ 1）、（ 2）
１,10、１,11
