东南大学移动通信国家重点实验室
Chapter 3 信号分析
§3-6 常用信号的傅里叶变换（广义F.T,广义谱）
§3-7 周期信号的傅里叶变换（广义F.T,广义谱）
1．
1)(?δ t
（由
1)()( =δ=ω
∫
+∞
∞?
ω?
dtetjF
tj
，而
)(1
2
1
)( tdetf
tj
δω
π
ω
+∞
∞?
=?=
∫广义定义）
ωπδ=
πδ=ω
∫
∫
∞+
∞?
ω±
+∞
∞?
ω±
)(2
)(2
dte
tde
tj
tj
或或
广义定义
东南大学移动通信国家重点实验室
2．
ω
+ωπδ?ε
j
t
1
)()(
∫∫
+∞
ω?
+∞
∞?
ω?
=ε=ω
0
)()( dtedtetjF
tjtj
令
)(lim)(
0
tet
t
ε=ε
α?
→α
，则
ω+α
=ω
→α
j
jF
1
lim)(
0
,
而
ω
≠
ω+α
→α
jj
11
lim
0
（
)(tε
非奇函数）
东南大学移动通信国家重点实验室由
ω
+
ω+α
α
=
ω+α
ω
ω+α
α
=ω
→α→α
j
jjF
1
lim}{lim)(
22
0
2222
0
其中：
)(
0,0
0,
lim
22
0
ωδ=
≠ω
=ω∞
=
ω+α
α
→α
A
，而
π=ω
ω+α
α
=
∫
+∞
∞?
→α
dA
22
0
lim
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3．直流
)(2 ωδπ? AA
由
)(2)( ωδπω
ω
AdtAejF
tj
==
∫
+∞
∞?
注,
)(2
2
)( ωδπ
ω
π
ω
ω
π
A
d
A
jF
d
A
n
→→=
直流&
4,符号函数 1)(2)()(
0,1
0,1
)sgn(?==
<?
>
= ttt
t
t
t εεε
ω
=ωπδ?
ω
+ωπδ?
jj
t
2
)(2]
1
)([2)sgn(
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5．虚指数信号
)(2
)(2
c
tj
c
tj
c
c
e
e
ω+ωπδ?
ω?ωπδ?
ω?
ω
6．余弦（可用5推）
)]()([cos
ccc
t ω?ωδ+ω+ωδπ?ω
7．正弦（用5推）
)]()([)]()([sin
ccccc
jjt ω?ωδ?ω+ωδπ=ω+ωδ?ω?ωδπω
8,周期信号
T
e
A
tf
n
tjn
n
T
π
=?=
∑
+∞
∞=
2
,
2
)(
&
则
∑∑
+∞
∞=
+∞
∞=
ωδπ=ωπδ=ω
n
n
n
n
T
nAn
A
jF )()(2
2
)(
&
&
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9,周期性冲激序列
T
e
A
nTttf
n
tjnn
n
π
=?=?δ=
∑∑
+∞
∞=
+∞
∞=
2
,
2
)()(
&
其中，
L
&
2,1,0,
2
)(
2
±±===?= n
T
jF
T
A n
n
ωω
∴
∑∑
∑
∞+
∞=
∞+
∞=
+∞
∞=
==
=
nn
n
nT
nn
T
nAjF
)()(
2
)()(
ωδωδ
π
ωδπω
&
注：（1）有F.T.的表可查；
（2）常用F.T.性质求
)( ωjF
。
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§3-8 傅里叶变换性质——信号时域波形与频域频谱的关系
前提：设
)(
|)(|)()(
ω
ω=ω?
i
j
iii
ejFjFtf
1,线性性质：
∑∑
ω?
i
ii
i
ii
jFatfa )()(
2,延时特性：
])([
0
0
0
|)(|
)()(
tj
tj
ejF
ejFttf
ωω
ω
ω
ω
+Φ?
=

东南大学移动通信国家重点实验室例,
)]
2
()
2
([)(
τ
ε?
τ
+ε= ttAtf
门函数
∴
22
]
1
)([]
1
)([)(
τ
ω?
τ
ω
ω
+ωπδ?
ω
+ωπδ=ω
jj
e
j
Ae
j
AjF
)
2
()
2
sin(
2 ωτ
τ=
ωτ
ω
= SaA
A
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3,调制（移频）性质：
c
c
jFetf
tj
ω?ω=ω
ω
ω? |)()(
（仅是
ω
频移，而非
ωj
）。
或
ω+ω?ω?ω?ω
ω+ω+ω?ω?ω
)]()([
2
1
sin)(
)]()([
2
1
cos)(
ccc
ccc
jjFjjF
j
ttf
jjFjjFttf
例：已知：
)(21 ωπδ?
，则
)(2
c
tj
c
e ω+ωπδ?
ω?
东南大学移动通信国家重点实验室例：求
)()cos( tt
c
εω
的频谱
)(
1
ωjF
。
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}
)(
1
)({
2
1
}
)(
1
)({
2
1
)(
1
c
c
c
c
jj
jF
ωω
ωωπδ
ωω
ωωπδω
+?+
+
++=
)(
4
)}()({
2
22
c
cc
j ω?ω
ω
+ω?ωδ+ω+ωδ
π
=
4,尺度变换（比例）性质：
)(
||
1
0
)(
a
jF
a
a
atf
ω
≠
,
>=τ<常数B
例,
)(
0
tatf
东南大学移动通信国家重点实验室解：
0
1
0
10
)(
||
1
)()(
)()()(
t
a
j
atg
tj
tgttf
e
a
jF
a
ejFtf
ω
ω?
=?
ω
→ω→
或
0
0
2
2
)(
||
1
)(
||
1
)(
)(
)()(
t
a
j
a
t
tg
tgatf
e
a
jF
aa
jF
a
tf
ω
=
ω
→
ω
→
例：已知
)(tf
的带宽为B，求
)63(?tf
的带宽。
解：
)63(?tf
的带宽与
)3( tf
的带宽相等（相移不改变幅频）
∴
)63(?tf
的带宽为
B3
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解：
)63(?tf
的带宽与
)3( tf
的带宽相等
（相移不改变幅频）
∴
)63(?tf
的带宽为
B3
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5,互易（对称）性质,
若
)()( ω? jFtf
，则
)(2)( ω?π? fjtF
常用则也是实偶实偶若
)(2)(
,)()()(
ωπ
ωω
ftF
FjFtf
=
或 由 F
)(2)]([ ωπ= ftF
,
得
π
=
2
1
)(tf
F
t
tF
=ω
|)]([
东南大学移动通信国家重点实验室例1：由
1)(?tδ
，则
)(2)(21 ωπδωπδ AA
例2：求信号频谱，如
)
2
()(
2
t
SaAtf
τ
τ=
，求
)( ωjF
由
)
2
(2)
2
()(
22
τω
τπ=
τω
τ? SaASaBtF
∴
AB π= 2
得
)( ωjF
如图
东南大学移动通信国家重点实验室例3：求原信号
)(tf
。
解：由
)(2)
2
2
(2)(
1
1
ωπ=
ωω
ω? fSatF
则
)()(
1
1
tSatf ω
π
ω
=
{=
π2
1
F
t
tF
=ω
|)]([
}
东南大学移动通信国家重点实验室例4：求
)(
4
tf
。
解：与上例相比，
)]([|)()(
01
1
4
0
ttSatftf
ttt
ω
π
ω
==
=
东南大学移动通信国家重点实验室例5：求
)(
5
tf
。
解：法一：直接用互易定理。
东南大学移动通信国家重点实验室法二：（调制）
ttftf
c
ωcos2)()(
5
=
＝ttSa
c
ωω
π
ω
cos2)(
1
1
若再有
1
)
6
()( tcωωω=
则
)](cos[)]([
2
)()(
111
1
156
ttttSattftf
c
ω?ω
π
ω
=?=
若又有
27
)( tω=ω?
,
则
)cos()]([
2
cos)(2)(
21
1
47
tttSattftf
cc
ωω
π
ω
ω?==
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6,时域微积分性质
（1）
)()(
)(
ωω? jFj
dt
tfd
n
n
n；
（2）设
)()( ω? jGtg
，则
)()0(
)(
)( ωδπ+
ω
ω
ττ
∫
∞?
G
j
jG
dg
t
,
其中
∫
+∞
∞?
= dttgG )()0(；
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（3）
)()]()([
]
)(
[
)( ωδ?∞++∞π+
ω
ff
j
dt
tdf
F
tf
证：由（2），
)(
)(
)(?∞+τ
τ
τ
=
∫
∞?
fd
d
df
tf
t
则
)()(2)()
)(
(
]
)(
[
)( ωδ?∞π+ωδτ
τ
τ
π+
ω
=ω
∫
∞+
∞?
fd
d
df
j
dt
tdf
F
jF
)()]()([
]
)(
[
ωδ?∞++∞π+
ω
= ff
j
dt
tdf
F
东南大学移动通信国家重点实验室例：由
1)(?δ t
则
)(1
1
)()( ωδπ+
ω
δ=ε
∫
∞?
j
dttt
t
例：三角脉冲的
)( ωjF
)(
'
tf
A
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∴
22
)
2
()
2
()(
τ
ω?
τ
ω
ωτ
ωτ
=ω
jj
eASaeASajG
2
sin2)
2
(
ωτωτ
= jASa
∴
0)0( =G
∴
)
2
()(
1
)(
2
ωτ
τ=ω
ω
=ω SaAjG
j
jF
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7,频域微分性质,
n
n
n
d
jFd
tfjt
ω
ω

)(
)()(
特别,
1=n
时，
ω
ω
d
jdF
jttf
)(
)(
例：已知
)()( ω? jFtf
实偶，求
)1()1( tft
的F.T,
解：令
)()( tgttf =
，则
ω
ω
=ω
d
jdF
jjG
)(
)(
)
2
(
1
1
)()(
)(
||
1
)1()1()1(
0
0
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+?
=
=
=?
=
=
j
j
t
a
t
a
j
e
d
jdF
e
d
jdF
j
e
a
jG
a
tgtft
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8,卷积定理
（1） 时域卷积定理：
)()()(*)(
2121
ωω? jFjFtftf
（2） 频域卷积：
)(*)(
2
1
)()(
2121
ωω
π
jFjFtftf
例：
ω
ω
ωδπ
ω
ωπδω
εττ
j
jG
G
j
jG
ttgdg
t
)(
)()0(]
1
)()[(
)(*)()(
+=+=
=
∫
∞?
东南大学移动通信国家重点实验室例1：
)()(2*)(
2
1
)(
cc
tj
jjFjFetf
c
ω?ω=ω?ωπδω
π
ω
例2：已知
)(
1
tf
的带宽为
1
B
，
)(
2
tf
的带宽为
2
B
，求
)()(
21
tftf
的带宽。
解,
B=B1+ B2
东南大学移动通信国家重点实验室例3：已知
2
)(
1
)(
ω+α
=ω
j
jF
，求
)(tf
。
解：法一：
)(
1
)(
1
)(
ω+α
ω+α
=ω
jj
jF
,
∴
)()(*)()( ttetetetf
ttt
ε=εε=
α?α?α?
法二：∵
ω+α
ε
α?
j
te
t
1
)(
而
)(
)(
1
)
1
(
2
tte
jjd
d
j
t
ε?
ω+α
=
ω+αω
α?