Chapter 5 连续时间系统的复频域分析
§ 5-6 （单边）拉氏变换的主要性质
设
)()()( sFttf?ε
注意,
)(tf
本身不一定是单边
东南大学移动通信国家重点实验室
1,线性性质
22112211
FaFafafa +?+
收敛域一般情况下是公共部分
2,尺度变换
()()
ε
a
s
F
a
tatf
1
a>0
推广到双边,
0≠a
，
)(
1
)(
a
s
F
a
atf?
东南大学移动通信国家重点实验室
3,时移（延时）性质
00
)()()(
00
stt
esFttttf
→←
有限
ε
双边时：
0
)()(
0
st
esFttf

注意,
)()( ttf ε
两者都需延时
0
t
4,复频移
)()()(
0
0
ssFttfe
ts
ε
收敛轴平移
东南大学移动通信国家重点实验室
5,时域微分性
单边：
)0()()()(
ε
′
fssFttf
)0()0()()()(
2
′
ε
′′
fsfsFsttf
……
)0()0()0()()()(
)1(21)(
′
ε
nnnnn
ffsfssFsttfL
东南大学移动通信国家重点实验室
6,时域积分性
∫
t
s
sF
tdf
0
)(
)())(( εττ
注意：引入了s=0处的附加极点,收敛域
可能会变
一般情况下,
s
sF
s
df
tdfdftdf
tt
)(
)(
)()()()()(
0
0
0
+?
+=
∫
∫∫∫
∞?
∞?∞?
ττ
εττττεττ
东南大学移动通信国家重点实验室
7,复频域微积分
（1）微分
ds
sdF
ttft
)(
)()()( ε
一般
)(
)(
)(
)()()(
n
ds
sF
n
d
ttft
n
ε
（2）积分
∫
∞
s
dxxFt
t
tf
)()(
)(
ε
条件,
0)(lim
0
=
→
tf
t
东南大学移动通信国家重点实验室例1：
[ ]
3
)(
21
2
2
)(
2
)()(
2
α
α
ε
α
ε
α
+
=
+
=
s
s
ds
d
t
t
ett
t
et
例2：
∫
∞
=?=
+
=
s
s
tgarctgsdx
x
t
tt
ttSa
1
21
1
)(sin
)()(
1
2
π
ε
ε
例3,
s
tg
s
tdSattSi
t
11
)()()()(
1
0
=
∫
εττε
东南大学移动通信国家重点实验室
8,初值与终值定理
初值定理：已知
)(sF
求
)0(
+
f
,
)(lim)0( ssFf
s ∞→
+
=
条件：
)(sF
是真分式，否则去掉多项式部分。
如：
)(sin)(
1
1
1
1
)(
22
2
ttt
ss
s
sF εδ
+
=
+
=
有,
0)0( =
+
f
但,
∞→
+
=
∞→∞→
1
lim)(lim
2
3
s
s
ssF
ss
而,
0
1
lim)(lim
2
1 =
+
=
∞→∞→
s
s
ssF
ss
与时域结果一致
东南大学移动通信国家重点实验室终值定理：已知
)(sF
求
)(∞f
终值,
)(lim)(
0
ssFf
s→
=∞
条件,
)(tf
确实存在终值
即：
)(sF
极点均在s左半平面，最多还有在原点的单阶极点。
东南大学移动通信国家重点实验室例：
=∞?=
不存在
1
0
)()()( ftetf
t
ε
α
0
0
0
>α
=α
<α
而：
=
=
=
→
→
不存在
1)(lim
0)(lim
1
)(
0
0
ssF
ssF
s
sF
s
s
α
0
0
0
>α
=α
<α
（参考s平面极点分布）
东南大学移动通信国家重点实验室
9,卷积定理
时域卷积,
[ ] )()()()()(
2121
sFsFttftfε?
收敛域一般情况下是两者公共区域
双边
)()()()(
2121
sFsFtftf
ROC一般情况下是两者公共区域
注：求一般激励下任意系统的响应时,
)()( sHsEhe
ROC
均求双边变换，即考虑双边信号和系统
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 5-5 拉普拉斯反变换
一,查表+性质
二,部分分式展开法（要求F(s)有理函数）
1．
nm ≥
，
)(sF
=真分式+多项式；
2．
nm <
，
)(sF
真分式分解,
①
i
ss =
单阶,
)()()(
11
teKtf
ss
K
sF
n
i
ts
i
n
i
i
i
i
ε=?
=
∑∑
==
其中，
i
ssii
sFssK
=
= |)()(
东南大学移动通信国家重点实验室
②
1
ss =
l
重根，其余单根,
∑
+=
+
++
+
=
n
lj
j
j
l
ll
ss
K
ss
K
ss
K
ss
K
sF
1
1
1
1
1
12
1
11
)()(
)(L
注,
1）一对共轭分量用配方法，或合并成变幅振荡,
)()(
)(
teeKteeK
js
eK
js
eK
tjjtjtj
jj
ε+ε?
β+α?
+
β?α?
β?αθ?β+αθ
θ?θ
=
)()cos(2 tteK
t
εβ+θ
α
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2）若有重根，至少二重根对应项要会算,
)(][
)(
11
1211
1
12
2
1
11
teKteK
ss
K
ss
K
tsts
ε+?
+
其中,
1
|)()(
2
111 ss
sFssK
=
=
1
|)]()[(
)!12(
1
2
112 ss
sFss
ds
d
K
=
=
东南大学移动通信国家重点实验室三、围线积分法（留数法）
∫
∞+σ
∞?σ
π
=
j
j
st
dsesF
j
tf )(
2
1
)(
，
0>t
1,留数定理
设
)(sG
在闭合区域D上，除了有限个极点外,
处处解析，则
∑
∫
=π=
i
i
C
sssGsjdssG ]),([Re)2()(
东南大学移动通信国家重点实验室
2,约当引理
（布洛维奇围道 图略）
若
0|)(|lim →
∞→=
sF
Rs
（即
)(sF
为真分式），
则
0)( =
∫
CR
st
dsesF
东南大学移动通信国家重点实验室
3,围线积分法
对有始信号,
∫
∞+σ
∞?σ
π
=
j
j
st
dsesF
j
tf )(
2
1
)(
∑
∫
==
π
=
i
i
stst
ssesFsdsesF
j
],)([Re)(
2
1
，
0>t
同理，若
)(tf
为左边信号
)(sF?
,
则
∑
=?=
i
i
st
ssesFstf ],)([Re)(
，
0<t
。
东南大学移动通信国家重点实验室
*注,左边信号求反变换的简便方法,
如

=
=
)(
)(
1
)(
te
te
s
sF
t
t
ε
ε
α
α
α
，左
，右
α<σ
α>σ
（条件：
)(sF
为真分式）
东南大学移动通信国家重点实验室
4．留数计算
1）
i
ss =
单根,
i
ss
st
ii
esFsss
=
= |)()(Re
，
0>t；
2）
1
ss =
，
l
重根,
1
|])()[(
)!1(
1
Re
1
1
ss
stl
i
l
l
i
esFss
ds
d
l
s
=
=
，
0>t
东南大学移动通信国家重点实验室
例：
)4(3
1
)(
22
+
=
ss
sF
，
0
1
=s
（二重），
2
3,2
js ±=
。
解：
12
|]
)4(3
1
[Re
0
2
1
t
e
sds
d
s
s
st
=
+
=
=，
0>t
tj
jss
st
e
j
esFsss
2
222
48
1
|)()(Re
2
=?=
==
，
0>t
tj
e
j
s
2
3
48
1
Re
=
，
0>t
∴
)()2sin
24
1
12
()( tt
t
tf ε?=
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