Chapter 4 连续时间系统的频域分析
东南大学移动通信国家重点实验室
§4-1 引言（从频域求响应）
本章重点：傅里叶变换分析法；
各种理想滤波器的频响与冲激响应；
调制与解调。
§ 4-2 信号通过系统的频域分析方法
东南大学移动通信国家重点实验室
I、周期信号通过系统的响应：正弦稳态响应
II、信号通过系统的频域分析法
－用傅里叶变换求零状态响应
东南大学移动通信国家重点实验室一、F.T.分析法
对零状态系统：
)()()()( tepNtrpD =
由
)()()()()()()( ωω=ωω?ωω? jEjNjRjDjFjtfp
nn
或
)()()(
)(
)(
)( ωωω
ω
ω
ω jEjHjE
jD
jN
jR
记
==
其中
)(
)(
)(
ω
ω
=ω
jD
jN
jH
为系统频响
得,
)]()([)]([)(
11
ωωω jEjHFjRFtr

==
二、F.T.分析法的含义
东南大学移动通信国家重点实验室
时域
)()()( thtetr?=
频域由,
ω
π
ω
π
ω
ωω
de
HE
de
jE
tjtj
22
)(?
→?
线性
则：
)(][
22
)(
1
trHEFde
HE
de
jE
tjtj
=?=
→?
+∞
∞?
+∞
∞?
∫∫
ω
π
ω
π
ω
ωω线性
东南大学移动通信国家重点实验室说明,
)()()( ωω=ω jHjEjR
时域卷积
频域乘积
代价：正反F.T 不方便求
三、关于频响
)( ωjH
1．
)(
)(
ω
ω
jD
jN
是频响
)( ωjH
的说明,
东南大学移动通信国家重点实验室令
tj
ete
ω
=)(
，则
tj
ejHtr
ω
ω)()( =
（由正弦稳态概念）
将
)(),( trte
代入方程
)()()()( tepNtrpD =
得,
)(
)(
)(
)()()(
ω
ω
ω
ωωω
ωω
jD
jN
jH
ejNejHjD
tjtj
=?
=
2．
)( ωjH
的几种定义与求法
东南大学移动通信国家重点实验室
=
==
==
=
=
)]([
)]([
)()(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)()()()()()(
.
teF
trF
jHc
pH
jE
jR
jHb
jD
jN
jHtepNtrpDa
zs
jp
sz
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
&
&
由电路直接得由
（1）
零状态下
)(
)(
)(
ω
ω
ω
jE
jR
jH =
（2）
)()(
..
ωjHth
TF
→←
即,
)]([)( thFjH
=ω
东南大学移动通信国家重点实验室
∵
)()()( thtetr
zs
=
∴
)()()]([)()( ωωωω jHjEthFjEjR
ZS
==?
∴
)()( thjH?ω
（3）
tj
tj
e
e
jH
ω
ω
=ω
下零状态响应
)(
东南大学移动通信国家重点实验室例1：图示电路
)()( tte ε=
，求
)(tU
R
。
解：1）
ω
+ωπδ=ω
j
jE
1
)()(
频谱如图
东南大学移动通信国家重点实验室
2）
)(
)(
2
1
1
1
1
1
1
1
1
)(
ω
ω
=
+ω
=
+
ω
ω
+
+
ω
ω
=ω
jE
jU
j
j
j
j
j
jH
R
&
&
东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室
3）
2
1
2
1
2
1
)(
2
]
1
)([
2
1
)()()(
+
+=+
+
=
=
ωω
ωδ
π
ω
ωπδ
ω
ωωω
jjjj
jEjHjU
R
∴
)(]1[
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
22
tetettU
tt
R
ε?=ε?ε=

例2：若
)()()(
0
tttte?ε?ε=
，求
)(
2
tU
R
。
东南大学移动通信国家重点实验室解,
)()()(
02
ttUtUtU
RRR
=
由上例
注：（1）若直接求取,
2
1
)
2
(
)()()(
2
0
0
2
0
+
=
=
ω
ω
ωωω
ω
j
e
t
Sat
jHjEjU
t
j
R
反变换不易！
（2）输出失真的判定与解决（见4.8节）
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 4-8 信号通过系统的不失真条件
东南大学移动通信国家重点实验室
若
)()(
0
ttKetr?=
K为常数,
0
t
为群时延（常数）,
则 输出不失真。
才不失真？
由
)()()()(
0
ωω=ω=ω
ω?
jHjEejKEjR
tj
记
得 对系统频响的要求为,
)(
)()(
0
ω?
ωω
ω
j
ejHKejH
tj
==
东南大学移动通信国家重点实验室具体说来：（1）幅频是常数；
（2）相频是过原点的斜线。
注,实用中，只需在输入信号频带范围内满足上述特性即可；
（图 示 于 黑 板）
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 4-3 理想低通滤波器的冲激与阶跃响应
东南大学移动通信国家重点实验室一,理想低通的频率特性
设
)(
)()(
ω
ω=ω
j
ejHjH
则 理想低通频率特性为,
0
)]()([)(
00
tj
cc
eKjH
ω
ωωεωωεω
+=
如图所示
东南大学移动通信国家重点实验室二、冲激响应
)(th
东南大学移动通信国家重点实验室设
)()]()([)(
1001
thKH
cc
+= ωωεωωεω
即暂不考虑相频特性，则,
)()(2
2
1
)]([
2
1
)(
0
0
00
11
tSa
K
tKSa
tHFth
c
c
cc
t
ω
π
ω
ωω
π
π
ω
==
=
=
∴
)]([)(
00
0
ttSa
K
th
c
c
ω
π
ω
=
东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室结论：
1）信号缓变。上升时间
0c
ω
π
≈
2）与原激励信号相比有延时t
0
3）非因果系统。
三,阶跃响应
)(tr
ε
东南大学移动通信国家重点实验室由 时域法可得,
))]((
2
1[
2
)()()(
00
ttSi
K
thttr
c
ω
π
+=?ε=
ε
其中,
∫∫
λ
λ
λ
=λλ=
xx
ddSaxSi
00
sin
)()(
称为,正弦积分函数”
x
东南大学移动通信国家重点实验室波形如图,
ππ 2
x
频域法验证,
由
)(]
1
)([)( ω?
ω
+ωπδ=ω
ε
jH
j
jR
∴
∫
∫
+

+∞
∞?
+=
=
0
0
0
]
1
)([
2
1
)(
2
1
)(
c
c
deKe
j
dejRtr
tjtj
tj
ω
ω
ωω
ω
εε
ω
ω
ωπδ
π
ωω
π
]
11
1[
2
0
0
0
)(
∫
ω+
ω?
ω
ω?
ωπ
+=
c
c
de
j
K
ttj
东南大学移动通信国家重点实验室
])(
)(
)(sin
2
1[
2
0
0
0
0
0
∫
ω+
ω
ω
ω
π
+=
c
ttd
tt
tt
K
])()]([
2
1[
2
0
0
00
∫
ω+
ω?ω
π
+=
c
ttdttSa
K
]
2
1[
2
)(
0
00
∫
+
+=
tt
c
dSa
K
ω
λλ
π
[]
+= )(
2
1
2
00
ttSi
K
c
ω
π
东南大学移动通信国家重点实验室理想低通滤波器的阶跃响应如图所示
讨论：（1）缓变。上升时间
00
284.3
cc
r
t
ω
π
≈
ω
=；
（2）延时
0
t；
（3）非因果系统。
2
K
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§4-4佩里－维纳准则
因果系统须满足Paley-Wiener条件,
1,Paley-Wiener准则（必要条件）,
∞<ω
ω+
ω
∫
∞+
∞?
d
jH
2
1
)(ln
即 幅频不存在零频带；亦不得超过
指数0阶。
东南大学移动通信国家重点实验室
2,（原型低通）能量有限，即
∞<=ω
π
ω
∫∫
∞+
∞?
∞+
dtthd
jH
)(
)(
2
0
2
。
东南大学移动通信国家重点实验室注1：理想滤波器（除全通或全电阻网络）,
即理想低通、理想高通、理想带通,
理想带阻 均为非因果。
注2：理想滤波器的逼近。