Chapter 5 连续时间系统的复频域分析
东南大学移动通信国家重点实验室
§5-1 引言拉普拉斯变换（L.T.）分析法是常用的分析技术。
本章重点：（1）正反L.T.及其性质（含双边）；
（2）用L.T.求响应；
（3）系统函数H(s) -> 框图（流图）
§5-2 由傅里叶变换到拉普拉斯变换
1,正反拉氏变换的定义
傅里叶变换的不足：i）指数增长型信号不存在变换；
ii）反变换不易求。
东南大学移动通信国家重点实验室如
)()()( tetetf
tt
+= εε
βα
)0( >>αβ
f
1
(t)=f(t)e
-
σt
东南大学移动通信国家重点实验室令
t
etftf
σ?
= )()(
1
)( β<σ<α
则
)(
1
tf
可积，即其傅里叶变换存在。
记
)()(
11
ωjFtf?
即 ∫∫
+∞
∞?
+?
+∞
∞?
== dtetfdtetfjF
tjtj )(
11
)()()(
ωσω
ω
令
ω+σ= js
则
)(
1
ωjF
=∫
+∞
∞?
dtetf
st
)(
=
)(sF
d
东南大学移动通信国家重点实验室由,
∫
+∞
∞?
== ω
π
ωσ
desFetftf
tj
d
t
)(
2
1
)()(
1
∴
∫∫
∞+
∞?
+∞
∞?
+
==
j
j
st
d
tj
d
dsesF
j
desFtf
σ
σ
ωσ
π
ω
π
)(
2
1
)(
2
1
)(
)(
βσα <<
东南大学移动通信国家重点实验室东南大学移动通信国家重点实验室由上有,
)()( sFtf
d
其中,
∫
+∞
∞?
= dtetfsF
st
d
)()(
,
βσα <<
称为 双边正变换 或 象函数,
βσα <<
称为 双边拉氏变换的收敛域(ROC)。
而
∫
∞+σ
∞?σ
π
=
j
j
st
d
dsesF
j
tf )(
2
1
)(
称为 双边反变换 或 原函数。
注意：上述变换对中,
? s要在其收敛域（ROC）中,
? 若收敛域不包含虚轴，则信号x(t)的L.T.
存在，而F.T.不存在。
东南大学移动通信国家重点实验室对有始信号
)()()( ttftf ε=
,
变换对,
)()( sFtf?
有：
∫
+∞
=
0
)()( dtetfsF
st
，
ROCs∈
∫
∞+σ
∞?σ
π
=
j
j
st
d
dsesF
j
tf )(
2
1
)(
，
≥0t
单边拉氏正、反变换
东南大学移动通信国家重点实验室
2．L.T的含义,
分解成无穷多个 复指数分量 的迭加。
3,复频率
ω+σ= js
与单元信号
st
e
的关系。
（见书P209页图5-2）
注：（1）
σ
决定信号幅度的变化快慢,
ω
决定信号振荡的频率；
（2）一对共轭分量构成一个变幅（正弦）振荡。
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 5-3 拉氏变换的收敛域
若
)(tf
在任意一段区间上只含有有限个（取值为有限）
的极值点，且
±∞→t
时，
)(tf
是
0
σ
指数阶的,即
① 对有始信号，若
0)(lim →
∞→
t
t
etf
σ
，
)(
0
+
σ>σ；
② 对左边信号，若
0)(lim →
σ?
∞→
t
t
etf
，
)(
0
σ<σ；
③ 对双边信号,
0)(lim →
σ?
±∞→
t
t
etf
，
)(
00
+
σ<σ<σ
则其拉氏变换在以上区域（收敛域ROC）中收敛,
称
0
σ=s
为收敛轴（边界），注意：收敛域不包含边界。
东南大学移动通信国家重点实验室讨论,
1） 对有始信号
如：
)()( tetf
t
ε=
α
由：
α?
=
s
sF
1
)(
，得收敛域
]Re[]Re[ α>s
。
东南大学移动通信国家重点实验室再如：
∑
ε=
α
i
t
tetf
i
)()(
由：
∑
α?
=
i
i
s
sF
1
)(
，得收敛域
])max(Re[]Re[
i
s α>
。
有始信号收敛域的收敛轴由最右边极点决定，收敛域在收敛轴右边；
2）同理，对左边信号，结论相反。
如：
∑∑
β?
ε=
β
j
j
j
t
s
tetf
j
1
)()(
收敛域,
])min(Re[]Re[
j
s β<
。
左边信号收敛域的收敛轴由
最左边极点决定，收敛域在收敛轴左边。
东南大学移动通信国家重点实验室
3）双边信号，若存在收敛域，一般是带状区域。
若
+?
σ≤σ
00
，双边L.T.不存在。
如
ttf
c
ω= cos)(
，
+∞<<∞? t
0
00
==
+?
σσ
，不存在双边L.T.。
σ
0
-σ
0+
东南大学移动通信国家重点实验室
4）双边变换一定要标收敛域，否则原信号不能判断。
例：
s
t
1
)(?ε
，
0]Re[,>sROC
s
t
1
)(ε?
，
0]Re[,<sROC
5）收敛域内不存在极点。
6）工程上的信号一般是指数阶的有始信号
(时间起点t
0
可<0),
故:取
σ
足够大，则L.T.总存在，此时一般
不标出收敛区。
东南大学移动通信国家重点实验室
7）对有始信号,
① 若
0
0
<σ
+
，收敛区包括虚轴，则
sj
sFjF
=ω
=ω )()(
,
经典傅里叶变换
)( ωjF
存在；
② 若
0
0
>σ
+
，则
)(sF
存在，但收敛区不包括虚轴,
)( ωjF
不存在；
③ 若
0
0
=σ
+
，经典
)( ωjF
不存在，但广义
)( ωjF
存在,
此时注意：广义
ω=
≠ω
js
sFjF )()(
如
s
t
1
)(?ε
,
ω
ωπδε
j
jt
1
)()( +?
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 5-4 常用信号的单边拉氏变换
一,指数类
1．
α?
ε
α
s
te
t
1
)(
，
]Re[ α>σ
，
α=
1
p
s
t
1
)(?ε
，
0>σ
，
0
1
=p
2．
()
22
)(cos
c
c
s
s
tt
ω
εω
+
，
0>σ
，c
jp ω±=
2,1
()
22
)(sin
c
c
c
s
tt
ω
ω
εω
+
，
0>σ
，c
jp ω±=
2,1
东南大学移动通信国家重点实验室
3．
()
22
)(
)(cos
c
c
t
s
s
tte
ωα
α
εω
α
+?
，
]Re[α>σ
，
c
jp ω±α=
2,1；
()
22
)(
)(sin
c
c
c
t
s
tte
ωα
ω
εω
α
+?
，
]Re[α>σ
，
c
jp ω±α=
2,1；
4．22
2
)(
β?
+
=εβ
β?β
s
see
ttch
tt
，
)Re(βσ >
，
β±=
2,1
p；
22
2
)(
β?
β
=εβ
β?β
s
ee
ttsh
tt
，
)Re(βσ >
，
β±=
2,1
p；
东南大学移动通信国家重点实验室二、t的正幂函数类
1,
1
!
)(
+
ε
n
n
s
n
tt
，
0>σ
，
0=p
（n+1阶）；
常用
2
1
)(
s
tt?ε
，
0>σ
，
0=p
（2阶）；
2,
1
)(
!
)(
+
α
α?
ε
n
tn
s
n
tet
，
]Re[α>σ
，
α=p
（ n+1重）；
常用
2
)(
1
)(
α?
ε
α
s
tte
t
，
]Re[α>σ
，
α=p
（2重）；
东南大学移动通信国家重点实验室三、
)(tδ
及其导数
1)(?δ t
在s平面上皆收敛,
nn
st?δ )(
)(
极点在
∞→s
处。
东南大学移动通信国家重点实验室
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§5-1 引言拉普拉斯变换（L.T.）分析法是常用的分析技术。
本章重点：（1）正反L.T.及其性质（含双边）；
（2）用L.T.求响应；
（3）系统函数H(s) -> 框图（流图）
§5-2 由傅里叶变换到拉普拉斯变换
1,正反拉氏变换的定义
傅里叶变换的不足：i）指数增长型信号不存在变换；
ii）反变换不易求。
东南大学移动通信国家重点实验室如
)()()( tetetf
tt
+= εε
βα
)0( >>αβ
f
1
(t)=f(t)e
-
σt
东南大学移动通信国家重点实验室令
t
etftf
σ?
= )()(
1
)( β<σ<α
则
)(
1
tf
可积，即其傅里叶变换存在。
记
)()(
11
ωjFtf?
即 ∫∫
+∞
∞?
+?
+∞
∞?
== dtetfdtetfjF
tjtj )(
11
)()()(
ωσω
ω
令
ω+σ= js
则
)(
1
ωjF
=∫
+∞
∞?
dtetf
st
)(
=
)(sF
d
东南大学移动通信国家重点实验室由,
∫
+∞
∞?
== ω
π
ωσ
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tj
d
t
)(
2
1
)()(
1
∴
∫∫
∞+
∞?
+∞
∞?
+
==
j
j
st
d
tj
d
dsesF
j
desFtf
σ
σ
ωσ
π
ω
π
)(
2
1
)(
2
1
)(
)(
βσα <<
东南大学移动通信国家重点实验室东南大学移动通信国家重点实验室由上有,
)()( sFtf
d
其中,
∫
+∞
∞?
= dtetfsF
st
d
)()(
,
βσα <<
称为 双边正变换 或 象函数,
βσα <<
称为 双边拉氏变换的收敛域(ROC)。
而
∫
∞+σ
∞?σ
π
=
j
j
st
d
dsesF
j
tf )(
2
1
)(
称为 双边反变换 或 原函数。
注意：上述变换对中,
? s要在其收敛域（ROC）中,
? 若收敛域不包含虚轴，则信号x(t)的L.T.
存在，而F.T.不存在。
东南大学移动通信国家重点实验室对有始信号
)()()( ttftf ε=
,
变换对,
)()( sFtf?
有：
∫
+∞
=
0
)()( dtetfsF
st
，
ROCs∈
∫
∞+σ
∞?σ
π
=
j
j
st
d
dsesF
j
tf )(
2
1
)(
，
≥0t
单边拉氏正、反变换
东南大学移动通信国家重点实验室
2．L.T的含义,
分解成无穷多个 复指数分量 的迭加。
3,复频率
ω+σ= js
与单元信号
st
e
的关系。
（见书P209页图5-2）
注：（1）
σ
决定信号幅度的变化快慢,
ω
决定信号振荡的频率；
（2）一对共轭分量构成一个变幅（正弦）振荡。
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 5-3 拉氏变换的收敛域
若
)(tf
在任意一段区间上只含有有限个（取值为有限）
的极值点，且
±∞→t
时，
)(tf
是
0
σ
指数阶的,即
① 对有始信号，若
0)(lim →
∞→
t
t
etf
σ
，
)(
0
+
σ>σ；
② 对左边信号，若
0)(lim →
σ?
∞→
t
t
etf
，
)(
0
σ<σ；
③ 对双边信号,
0)(lim →
σ?
±∞→
t
t
etf
，
)(
00
+
σ<σ<σ
则其拉氏变换在以上区域（收敛域ROC）中收敛,
称
0
σ=s
为收敛轴（边界），注意：收敛域不包含边界。
东南大学移动通信国家重点实验室讨论,
1） 对有始信号
如：
)()( tetf
t
ε=
α
由：
α?
=
s
sF
1
)(
，得收敛域
]Re[]Re[ α>s
。
东南大学移动通信国家重点实验室再如：
∑
ε=
α
i
t
tetf
i
)()(
由：
∑
α?
=
i
i
s
sF
1
)(
，得收敛域
])max(Re[]Re[
i
s α>
。
有始信号收敛域的收敛轴由最右边极点决定，收敛域在收敛轴右边；
2）同理，对左边信号，结论相反。
如：
∑∑
β?
ε=
β
j
j
j
t
s
tetf
j
1
)()(
收敛域,
])min(Re[]Re[
j
s β<
。
左边信号收敛域的收敛轴由
最左边极点决定，收敛域在收敛轴左边。
东南大学移动通信国家重点实验室
3）双边信号，若存在收敛域，一般是带状区域。
若
+?
σ≤σ
00
，双边L.T.不存在。
如
ttf
c
ω= cos)(
，
+∞<<∞? t
0
00
==
+?
σσ
，不存在双边L.T.。
σ
0
-σ
0+
东南大学移动通信国家重点实验室
4）双边变换一定要标收敛域，否则原信号不能判断。
例：
s
t
1
)(?ε
，
0]Re[,>sROC
s
t
1
)(ε?
，
0]Re[,<sROC
5）收敛域内不存在极点。
6）工程上的信号一般是指数阶的有始信号
(时间起点t
0
可<0),
故:取
σ
足够大，则L.T.总存在，此时一般
不标出收敛区。
东南大学移动通信国家重点实验室
7）对有始信号,
① 若
0
0
<σ
+
，收敛区包括虚轴，则
sj
sFjF
=ω
=ω )()(
,
经典傅里叶变换
)( ωjF
存在；
② 若
0
0
>σ
+
，则
)(sF
存在，但收敛区不包括虚轴,
)( ωjF
不存在；
③ 若
0
0
=σ
+
，经典
)( ωjF
不存在，但广义
)( ωjF
存在,
此时注意：广义
ω=
≠ω
js
sFjF )()(
如
s
t
1
)(?ε
,
ω
ωπδε
j
jt
1
)()( +?
东南大学移动通信国家重点实验室
§ 5-4 常用信号的单边拉氏变换
一,指数类
1．
α?
ε
α
s
te
t
1
)(
，
]Re[ α>σ
，
α=
1
p
s
t
1
)(?ε
，
0>σ
，
0
1
=p
2．
()
22
)(cos
c
c
s
s
tt
ω
εω
+
，
0>σ
，c
jp ω±=
2,1
()
22
)(sin
c
c
c
s
tt
ω
ω
εω
+
，
0>σ
，c
jp ω±=
2,1
东南大学移动通信国家重点实验室
3．
()
22
)(
)(cos
c
c
t
s
s
tte
ωα
α
εω
α
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，
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，
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2,1；
()
22
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s
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ωα
ω
εω
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4．22
2
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+
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，
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)Re(βσ >
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2,1
p；
东南大学移动通信国家重点实验室二、t的正幂函数类
1,
1
!
)(
+
ε
n
n
s
n
tt
，
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，
0=p
（n+1阶）；
常用
2
1
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s
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0=p
（2阶）；
2,
1
)(
!
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+
α
α?
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tet
，
]Re[α>σ
，
α=p
（ n+1重）；
常用
2
)(
1
)(
α?
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α
s
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t
，
]Re[α>σ
，
α=p
（2重）；
东南大学移动通信国家重点实验室三、
)(tδ
及其导数
1)(?δ t
在s平面上皆收敛,
nn
st?δ )(
)(
极点在
∞→s
处。
东南大学移动通信国家重点实验室
