第一章 几何空间中的向量
数域约定
2 阶行列式
3 阶行列式
小结第一节 数域与 2阶,3阶行列式数域与 2阶,3阶行列式一,数域数与数集的约定复数集。
实数集；
正实数集；
有理数集；
整数集；
正整数集；
）；自然数集（包括
C
R
R
Q
Z
Z
N
0
）是一个数域（则称
，
，恒有和中任意的于则运算是封闭的，即对
）四除数不为关于加、减、乘、除（，并且与中包含，如果设是复数集的一个子集：定义
f i el dN u m b erP
P
b
a
Pab
PbaPba
baP
P
P
,
010
11
数域、复数域。分别称为有理数域、实都是数域，、、都不是数域，而和显然,CRQZN
是一个数域。数集例 QbabaQ,|2)2(11
是封闭的。关于加法、减法、乘法所以，
）（）（）（
）（）（）（
，于是
，其中和中任取两个数在
。和包括所以，
证明：因为
)2(
)2(2)(222
)2(2)(22
,
,,22)2(
0)2(
)2(2011
)2(2000
Q
Qbcadbdacdcba
Qdbcadcba
Qdc
badcbaQ
Q
Q
Q
1
证明作为练习题是一个数域。数集例 QbabiaiQ,|)(21
是一个数域。对于除法是封闭的，即
）（）（
（）
所以
）（）（
且则不全为与，于是现设
)2()2(
)2(2
22
2
22
)22(
2
2
0222
,02,002
2222
22
Q
dc
adbc
dc
bdac
dcdc
dcba
dc
ba
dcdcdc
dcdcdc
定理 1-1 任何数域都包含有理数域,
注,有理数域 Q是最小的数域,
在任何数域 P中，加法与乘法满足如下运算
baab
aaaa
aaPa
aaa
cbacba
abba
Pcba
5
0)()
,,4
0003
)()(2
1
,,,
（
的相反数称为存在唯一的逆元对于
，使得存在唯一的零元有对于
bcaccba
acabcba
aaaa
aaP
aaa
bcacab
)(
)(
9
1
8
1117
)()(6
11
1
乘法关于加法的分配律
，使得，存在唯一的中任意非零元对于
，使得存在唯一的单位元用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa1
2
,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa
,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa
，得两式相减消去 2x
二,二阶行列式;212221121122211 baabxaaaa ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ）（
时，当 021122211 aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定,
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
)4(
2221
1211
aa
aa
定义 1--2
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式?
即,21122211
2221
1211 aaaa
aa
aaD
11a 12a
22a12a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112aa?
二阶行列式的计算若记,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x
注意 分母都为原方程组的系数行列式,
.
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x
例 1-3
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组解 12 23D )4(3,07
11
212
1
D
,14? 12
123
2?D,21
D
Dx 1
1,27
14
D
Dx 2
2?,37
21
三,三阶行列式定义 1-3
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式,
3231
2221
1211
aa
aa
aa
.312213332112322311 aaaaaaaaa
(1)沙路法三阶行列式的计算
322113312312332211 aaaaaaaaaD
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
列标行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?,
322311 aaa?
(2)对角线法则注意 红线 上三元素的乘积冠以正号,蓝线 上三元素的乘积冠以负号．
说明 1,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113 aaa? 312312 aaa?
312213 aaa? 332112 aaa?
如果三元线性方程组?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
,0?
利用三阶行列式求解三元线性方程组
2.三阶行列式包括 3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负,
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
若记
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
或
1
2
1
b
b
b
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
记
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
即
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.
33231
22221
11211
3
baa
baa
ba
D
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?,
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D?
则三元线性方程组的解为,
,11 DDx?,22 DDx?,33 DDx?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
2-43-
122-
4-21
D?计算三阶行列式例 1-4
解 按对角线法则，有
D 4)2()4()3(12)2(21
)3(2)4()2()2(2411
24843264
.14
.0
94
32
111
2
x
x求解方程例 3
解 方程左端
12291843 22 xxxxD
,652 xx
解得由 052 xx
3.2 xx 或例 4 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D
111132
121111122 131
5,0?
同理可得
110
311
122
1
D
,5
101
312
121
2
D
,10
011
112
221
3
D
,5
故方程组的解为,
,111 DDx,222 DDx,133 DDx
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的,
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
四、小结思考题
使求一个二次多项式,xf
,283,32,01 fff
思考题解答解 设所求的二次多项式为
,2 cbxaxxf
由题意得,01 cbaf
,3242 cbaf,28393 cbaf
得一个关于未知数 的线性方程组,cba,,
又,020D,20,60,40 321 DDD
得,21 DDa,32 DDb 13 DDc
故所求多项式为
,132 2 xxxf
