第一章 几何空间中的向量
直线方程
两直线的位置关系
直线与平面的位置关系
线线夹角与线面夹角
点线距离与线面距离第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、直线方程
1,一般式方程
x
y
z
o
1?
2?
定义 空间直线可看成两平面的交线．
0,11111 DzCyBxA
0,22222 DzCyBxA
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
空间直线的一般方程
L
x
y
z
o
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的 方向向量,
s? L
),,,( 0000 zyxM
0M?
M?
,LM
),,,( zyxM
sMM?0 //
},,,{ pnms },,{ 0000 zzyyxxMM
2,空间直线的对称式方程与参数方程
p
zz
n
yy
m
xx 000
直线的对称式方程
tp zzn yym xx 000令
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
直线的一组 方向数方向向量的余弦称为直线的 方向余弦,
直线的参数方程例 1 用对称式方程及参数方程表示直线
.0432 01
zyx
zyx
解 在直线上任取一点 ),,( 000 zyx
取 10?x,063
02
00
00
zy
zy
解得 2,0 00 zy
点坐标 ),2,0,1(?
因所求直线与两平面的法向量都垂直取 21 nns },3,1,4{
对称式方程,3 21 04 1 zyx
参数方程
.
32
41
tz
ty
tx
例 2 一直线过点 )4,3,2(?A,且和 y 轴垂直相交，求其方程,
解 因为直线和 y 轴垂直相交,
所以交点为 ),0,3,0(?B
取 BAs },4,0,2{?
所求直线方程,4 40 32 2 zyx
二,两直线的位置关系
21)1( LL?,0212121 ppnnmm
21)2( LL//
,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
直线,1L
直线,2L
},0,4,1{1s?
},1,0,0{2?s?
,021 ss,21 ss
例如，
.21 LL?即定义直线,1L,
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx
直线,2L,
2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
||),c o s (
pnmpnm
ppnnmmLL
^
两直线的方向向量的夹角称之,（锐角）
两直线的夹角公式二 两直线的夹角例 3 求过点 )5,2,3(? 且与两平面 34 zx 和
152 zyx 的交线平行的直线方程,
解 设所求直线的方向向量为 },,,{ pnms
根据题意知,1ns,2ns
取 21 nns },1,3,4{
.1 53 24 3 zyx所求直线的方程例 4 求过点 )3,1,2(M 且与直线
12
1
3
1
zyx
垂直相交的直线方程,
解 先作一过点 M且与已知直线垂直的平面?
0)3()1(2)2(3 zyx
再求已知直线与该平面的交点 N,
令 tzyx 12 13 1
.12
13
tz
ty
tx
代入平面方程得,73?t 交点 )73,713,72(?N
取所求直线的方向向量为 MN
MN }373,1713,272{ },724,76,12{
所求直线方程为,4 31 12 2 zyx
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．
,,000 p zzn yym xxL
,0, DCzByAx
},,,{ pnms
},,,{ CBAn
2),( ns^ 2),( ns^
四 直线与平面的夹角
0,2?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
直线与平面的夹角公式直线与平面的 位置关系：
L)1(,p
C
n
B
m
A
L)2( //,0 CpBnAm
,c o s 2 c o ss in 2?
例 5 设直线,L
2
1
12
1?
zyx
，平面
:? 32 zyx,求直线与平面的夹角,
解 },2,1,1{n? },2,1,2{s?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
96
|22)1()1(21|
,
63
7?
63
7a rc s i n 为所求夹角．
空间直线的一般方程,
空间直线的对称式方程与参数方程,
两直线的夹角,
直线与平面的夹角,
（注意两直线的位置关系）
（注意直线与平面的位置关系）
五、小结思考题在直线方程
p
z
n
y
m
x
6
2
2
4
中,m,
n,p 各怎样取值时，直线与坐标面 x o y,
y o z 都平行,
思考题解答
},6,,2{ pnms 且有,0s
,0 ks,0is
02
06
m
p
,0,6 mp
,0s,0 n
故当 时结论成立．,0?m 6p,0?n
一,填空题：
1,通过点 )3,1,4(? 且平行于直线
5
1
2
3?
z
y
x
的直线方程为 ____ ___ __ __ ___ ；
2,直线
0123
09335
zyx
zyx
与直线
01883
02322
zyx
zyx
的夹角的余弦为 _____ ___ __ ；
3,直线
0
03
zyx
zyx
和平面 01 zyx 在平面 012 zyx 上的夹角为 ____ __ __ _ __ ；
4,点 )0,2,1(? 在平面 012 zyx 上的投影为
__ __ __ __ _ __ __ _ ；
练 习 题
5,直线
723
zyx
和平面 8723 zyx 的关系是
___ __ ___ __ __ ；
6,直线
4
3
1
2
3
2
zyx
和平面 3 zyx 的关系是 _____ __ __,
二,用对称式方程及参数方程表示直线 L,
42
1
zyx
zyx
,
三,求过点 )2,1,3(? 且通过直线
12
3
5
4 zyx
的平面方程,
四,求直线
0923
042
zyx
zyx
在平面 14 zyx 上的投影直线的方程,
五,求与已知直线 1
L
：
13
5
2
3 zyx
及 2
L
：
14
7
5
10 zyx
都相交且和
3
L,
1
3
7
1
8
2?
zyx
平行的直线
L
,
六、设一平面垂直于平面
0?z
,并通过从点
)1,1,1(?A
到直线
L
：
0
01
x
zy
的垂线，求此平面的方程,
七,求两直线
1
L,
110
1 zyx
和
2
L,
0
2
12
zyx
的公垂线 L 的方程，及公垂线段的长,
八、求过点
)4,0,1(?
且平行于平面
01043 zyx
又与直线
31
3
1
1 zyx
相交的直线方程,
九,求点
)2,1,3(?P
到直线
042
01
zyx
zyx
的距离,
一,1,
5
3
1
1
2
4?
zyx； 2,0 ； 3,0 ；
4,)
3
2
,
3
2
,
3
5
(? ； 5,垂直； 6,直线在平面上,
二、
3
1
1
1
2
1?
zyx
,
tz
ty
tx
31
1
21
.
三,592298 zyx,
四、
014
1 1 7373117
zyx
zyx
.
练习题答案五、
2
25
7
2
65
8
28
z
y
x
或
17
55
8
72 zyx
.
六,012 yx,
七,?
1
1x
2
3
4
2
3
4
zy
或
010542
044
zyx
zyx
,1?d,
八、
28
4
1916
1?
zyx
.
九、
2
23
.
