第一章 几何空间中的向量第五节 平面的方程
平面方程
两平面的位置关系
两平面的夹角
小结
1.5 平面的方程一,平面方程
x
y
z
o
0M M如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的 法线向量,
法线向量的 特征,垂直于平面内的任一向量．
已知 },,,{ CBAn ),,,( 0000 zyxM
设平面上的任一点为 ),,( zyxM
nMM0必有? 00nMM?
1,点法式方程 n?
},,{ 0000 zzyyxxMM
0)()()( 000 zzCyyBxxA
平面的点法式方程平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，
平面称为方程的图形．
其中法向量 },,,{ CBAn 已知点 ).,,( 000 zyx
例 1 求过三点 )4,1,2(?A,)2,3,1(B 和
)3,2,0(C 的平面方程,
解 }6,4,3{AB
}1,3,2{AC
取 ACABn },1,9,14{
所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx
化简得,015914 zyx
例 2 求过点 )1,1,1(,且垂直于平面 7 zyx 和
051223 zyx 的平面方程,
},1,1,1{1n? }12,2,3{2n?
取法向量 21 nnn },5,15,10{?
,0)1(5)1(15)1(10 zyx
化简得,0632 zyx
所求平面方程为解
2,一般式方程由平面的点法式方程
0)()()( 000 zzCyyBxxA
0)( 000 CzByAxCzByAx D?
0 DCzByAx 平面的一般方程法向量 }.,,{ CBAn
平面一般方程的几种特殊情况：
,0)1(?D 平面通过坐标原点；
,0)2(?A
,0
,0
D
D 平面通过 轴；x
平面平行于 轴；x
,0)3( BA 平面平行于 坐标面；xoy
类似地可讨论 情形,0,0 CBCA
0,0 CB类似地可讨论 情形,
例 3 设平面过原点及点 )2,3,6(?,且与平面
824 zyx 垂直，求此平面方程,
设平面为,0 DCzByAx
由平面过原点知,0?D
由平面过点 )2,3,6(? 知0236 CBA
},2,1,4{n 024 CBA
,32 CBA
.0322 zyx所求平面方程为解例 4 设平面与 zyx,,三轴分别交于 )0,0,( aP,
)0,,0( bQ,),0,0( cR （其中 0?a,0?b,0?c ），
求此平面方程,
设平面为,0 DCzByAx
将三点坐标代入得?



,0
,0
,0
DcC
DbB
DaA
,aDA,bDB,cDC
解
,aDA,bDB,cDC将代入所设方程得
1 czbyax 平面的截距式方程
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距例 5 求平行于平面 0566 zyx 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程,
设平面为,1 czbyax
x
y
z
o,1?V?,12131 abc
由所求平面与已知平面平行得
,6
1
1
1
6
1
cba（向量平行的充要条件）
解
,61161 cba化简得 令 tcba 61161
,61ta,1tb?,61tc?
ttt 6
11
6
1
6
11
代入体积式
,61 t
,1,6,1 cba
.666 zyx所求平面方程为
3,三点式方程设空间 3个不共线的点
),,(),,,(),,,( 33332221111 zyxMzyxMzyxM
于是有是三个共面向量，、、，则点个平面，现取平面上一则由它们可完全确定一
MMMMMMzyxM 321),,(
0
131313
121212
111



zzzyxx
zzyyxx
zzyyxx
.)( 方程称为三点式 f o r mp o i n tt h r e e?
4,截距式方程
1
0
0
0
,,
,,
),0,0()0,,0()0,0,(

c
z
b
y
a
x
ca
ba
zyax
CBA
cbazy
xcCbBaA
即三点的平面方程为均不为零，通过轴上的三个点，其中轴、
轴、分别为、、设
。轴上的截距分别为该平面在各坐标称为截距式方程，
)(
,,
i n te r c e p t
cba
定理
,0,11111 DzCyBxA
,0,22222 DzCyBxA
二,两平面的位置关系的方程分别为与设平面 21
0212121 CBA
0222222 CBA
2
1
2
1
2
1
21 // C
C
B
B
A
A （包括重合）则
1?
2Π
1n?
2n?
2
1
2
1
2
1
2
1
21 D
D
C
C
B
B
A
A 重合与
2
1
2
1
2
1
2
1
21 // D
D
C
C
B
B
A
A 但不重合
1?
2Π
1n?
2n?
1?
1n?
2Π
2n?
22211121,::,CBACBA 相交与
021212121 CCBBAA垂直与
1Π
2Π
2n?
1n?1n?
2Π
3n?
定义
（通常取锐角）
1?
1n?
2?
2n
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角,
,0,11111 DzCyBxA
,0,22222 DzCyBxA
},,,{ 1111 CBAn
},,,{ 2222 CBAn
三,两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||co s
CBACBA
CCBBAA


两平面夹角余弦公式两平面位置特征：
21)1( ;0212121 CCBBAA
21)2(//,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
例 6 研究以下各组里两平面的位置关系：
013,012)1( zyzyx
01224,012)2( zyxzyx
02224,012)3( zyxzyx
解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|co s
60
1co s 两平面相交，夹角
.601a r cc o s
)2( },1,1,2{1n? }2,2,4{2n?
,212 142 两平面平行
21 )0,1,1()0,1,1( MM?
两平面平行但不重合．
)3(,2 12 142
21 )0,1,1()0,1,1( MM?
两平面平行两平面重合,?
例 7 设 ),,( 0000 zyxP 是平面 ByAx? 0 DCz
外一点，求 0P 到平面的距离,
),,( 1111 zyxP
|Pr| 01 PPjd n?
1P N
n?
0P?
00101Pr nPPPPj n
},,{ 10101001 zzyyxxPP
解


222222222
0,,
CBA
C
CBA
B
CBA
An
00101Pr nPPPPj n
222
10
222
10
222
10 )()()(
CBA
zzC
CBA
yyB
CBA
xxA






,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx
0111 DCzByAx? )( 1P
01Pr PPjn?,222 000 CBA DCzByAx
.|| 222 000 CBA DCzByAxd
点到平面距离公式平面的方程
（熟记平面的几种特殊位置的方程）
两平面的夹角,
点到平面的距离公式,
点法式方程,
一般方程,
截距式方程,
（注意两平面的 位置 特征）
小结思考题 若平面 02 zkyx 与平面
032 zyx 的夹角为
4
，求k
思考题解答
,
1)3(2)2(1
12)3(21
4c o s 222222

k
k
,145 321 2 k k,270 k
一,填空题：
1,平面 0 CzByAx 必通过 _______,（其中
CBA,,不全为零）；
2,平面 0 DCzBy ___ ___ _ ___ x 轴；
3,平面 0 CzBy _______ x 轴；
4,通过点
)1,0,3(?
且与平面
012573 zyx
平行的平面方程为 __ ___ _ ___ ；
5,通过
),0,0()0,,0()0,0,( cba,、
三点的平面方
___ ___ _ ___ __ ___ ；6,平面 0522 zyx 与 x o y 面的夹角余弦为 ___
_ _ _ _ _ _ _ _,与 y o z 面的夹角余弦为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
与 z o x 面的夹角的余弦为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
练 习 题二,指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
1,0632 yx ；
2,1 zy ；
3,056 zyx,
三,求过点 )2,2,2(,)1,1,1( 和 )2,1,1(? 三点的平面方程,
四,点 )1,0,1(? 且平行于向量1,1,2?a 和
0,1,1b 的平面方程,
五,求通过 Z 轴和点 )2,1,3( 的平面方程,
六,求与已知平面 0522 zyx 平行且与三坐标面所构成的四面体体积为 1 的平面方程,
一,1,(0,0,0) ； 2,平行于； 3,通过；
4,04573 zyx ； 5,1
c
z
b
y
a
x；
6,
3
2
,
3
2
,
3
1
,
二,1,平行于 轴z 的平面； 2,平行于 轴x 的平面；
3,通过原点的平面,
三、
023 zyx
,四、
43 zyx
.
五、
03 yx
,六、
3
3222 zyx,
练习题答案