第一章 几何空间中的向量第三节 空间坐标系
仿射坐标系
空间直角坐标系
向量运算的坐标表示
向量在轴上的投影
1.3 空间坐标系一,仿射坐标系
332211
32
1
321
,
,
,,,51


xxx
xx
x

，使得数，都存在唯一的三个实那么对空间内任一向量面的向量在空间内任取三个不共定理证明,略 （也可仿照上一节推论 1-2）
注,1,三个不共面的向量就足以表示空间中的所有其它向量。
2,对于选定的三个不共面的向量，没有要求它们一定互相垂直。
定义 1-9
.
,,
},,;{),(
,,
321
321
321
轴轴、轴、为它们所在的直线分别称为基或基本向量为原点，称称点记作坐标系，就构成了空间的仿射向量及三个有次序的不共面在空间取定一点
zyx
eeeO
eeeOs ys t emco o r d i n a t ea f f i n e
eee
O
注,取定仿射坐标系后，几何空间的向量与 3元有序组是一一对应的。
称为向量的坐标表示。),,( zyx
定义 1-10
).,,(),,,(
).(
,
},,;{
321
zyxMMzyxOM
co o r d i n a t ea f f i n e
Mvect o r
r a d i u sMOMM
eeeO
的坐标为则记若该坐标系下的仿射坐标在称为点向径在坐标系下的坐标）
的向径（称为点，向量点
，对于空间的一取仿射坐标系
注：
1) 在仿射坐标系下，点的坐标依赖于坐标原点 O 的位置，而向量的坐标与原点 O 的位置无关。
2) 3个坐标轴 Ox,Oy,Oz决定了 3个坐标平面 xOy，
yOz,zOx，称为 坐标平面 ；坐标平面将空间分成 8个部分，称为 8个 卦限 ( octant )
卦限坐标 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
x ＋ － － ＋ ＋ － － ＋
y ＋ ＋ － － ＋ ＋ － －
z ＋ ＋ ＋ ＋ － － － －
点的坐标的符号规定关于坐标系的方向，通常采用右手仿射坐标系，
简称 右手系 ( right-handed system).
右手系
x
拇指
y
食指
z
中指
O 1
e2e
3e
x拇指
y
食指
z中指
O
1e
2e
3e
左手系
x横轴
y 纵轴
z 竖轴
定点 o
空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合 右手系,
即以右手握住 z 轴，
当右手的四个手指从正向 x 轴以
2
角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是
z
轴的正向,
二,空间直角坐标系
Ⅶ x
yo
z
xoy 面
yoz 面
zox 面空间直角坐标系共有 八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
空间的点 有序数组 ),,( zyx 11
特殊点的表示,
)0,0,0(O
),,( zyxM?
x
y
z
o
)0,0,( xP
)0,,0( yQ
),0,0( zR
)0,,( yxA
),,0( zyB
),,( zoxC
坐标轴上的点,P,Q,R
坐标面上的点,A,B,C
设 ),,( 1111 zyxM,),,( 2222 zyxM 为空间两点
x
y
z
o
1M
P N
Q
R?
2M
21 MMd
在直角 21 NMM?
及直角 PNM 1?
中，使用勾股定理知
,222212 NMPNPMd
空间上两点间距离公式
,121 xxPM
,12 yyPN
,122 zzNM
22221 NMPNPMd
,21221221221 zzyyxxMM
空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为,),,( zyxM )0,0,0(O
OMd?,222 zyx
x
y
z
o
1M
P NQ
R?
2M
例 1 - 9 求证以 )1,3,4(1M,)2,1,7(2M,)3,2,5(3M
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形,
解：
221 MM,14)12()31()47( 222
232 MM,6)23()12()75( 222
213 MM,6)31()23()54( 222
32 MM?,13 MM? 原结论成立,
例 2 设 P 在 x 轴上，它到 )3,2,0(1P 的距离为到点 )1,1,0(2?P 的距离的两倍，求点 P 的坐标,
解 设 P点坐标为 ),0,0,( x因为 P 在 x 轴上，
1PP 222 32x,112 x
2PP 222 11x,22 x
1PP?,2 2PP 112 x 22 2 x
,1 x 所求点为 ).0,0,1(),0,0,1(?
空间两向量的夹角的概念：
,0a,0b
a?
b
向量 a? 与向量 b? 的夹角
),( ba ),( ab
类似地，可定义 向量与一轴 或 空间两轴 的夹角,
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在 0与 之间任意取值,?
0( )?
三,向量的坐标表示式是一个仿射坐标系设 },,;{ 321 eeeO
),,(),,,( 321321 bbbaaa
332211
332211
ebebeb
eaeaea


即
)(
)(
)()()(
)(
)()()(
321
332211
332211
332211
333222111
kakakak
bababa
ekaekaeka
eaeaeakk
ebaebaeba
，，
，，
亦即于是






四,向量在轴上的投影
.上的有向线段是轴，设有一轴 uABu
u
A B
.ABAB
ABu
uAB
uABAB


，即的值，记作上有向线段叫做轴那末数是负的，轴反向时与是正的，当向时轴同与，且当满足如果数
o u
A B
1
轴同方向的单位向量，是与设 ue?
.)( eABAB
的相互位置如何，
三点轴上任意三点，不论这是设 uCBA,,
eBCeABeAC )()()(即,)( eBCAB
.BCABAC
,BCABAC
e?
证,1uOA
例 1 在 u 轴上取定一点 o 作为坐标原点．设 BA,,
是 u 轴上坐标依次为 1u,2u 的两个点,e
是与 u 轴同方向的单位向量，证明 euuAB
)(
12
,
,1 euOA故
eueu 12,)( 12 euu
o u
A B
1
e?
1u 2u
,2 euOB同理，
OAOBAB
于是空间一点在轴上的投影
u
A
A?
过点 A 作轴 u 的垂直平面，交点 A? 即为点
A 在轴 u 上的投影,
空间一向量在轴上的投影
u
A
A?
B
B?
已知向量的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为 BA,那么轴 u 上的有向线段 BA 的值，称为向量在轴 u 上的投影,
ABjuPr,BA向量 AB 在轴 u 上的投影记为关于向量的 投影定理（ 1）
向量 AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦,ABjuPr?c o s|| AB?
证
u
A B
A? B?B?
ABjuPr ABju?Pr
c o s|| AB?u?
定理 1的说明：
投影为正；
投影为负；
投影为零；
u
a?b?
c?
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
0)1(,2?
2)2(,?
)3(,2?
关于向量的 投影定理（ 2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和,
.PrPr)(Pr 2121 ajajaaj
A
A?
B
B?
C
C?
（可推广到有限多个）
u1a? 2a
向量在坐标轴上的分向量表示
1M
1P
2M
2P
．上的投影分别为点在轴点为一条数轴．为一向量，设
2121
21
,,PPuMM
uMMa
．上的坐标依次为在轴又设 2121,,uuuPP
uo
,Pr 21 uu aMMj
1221 OPOPPP
,12 uu
.12 uua u
如果 e? 是与 u 轴正向一致的单位向量，
.)( 12 euu
设 a? 是以 ),,( 1111 zyxM 为起点,),,( 2222 zyxM
为终点的向量，
过 21,MM 各作垂直于三个坐标轴的平面,
这六个平面围成一个以线段 21 MM 为对角线的长方体,
由例 1知
eaPP u21
x
y
z
o
1M
P N Q
R?
2M
以 kji,,分别表示沿 zyx,,轴正向的单位向量,
i? j?
k?
kajaiaa zyx
向量在轴上的投影
x
向量在轴上的投影
y
向量在轴上的投影
z
12 xxa x
12 yya y 12 zza z
kzzjyyixxMM )()()( 12121221
kzzjyyixxMM )()()( 12121221
按基本单位向量的 坐标分解式,
在三个坐标轴上的 分向量,,,,kajaia zyx
向量的 坐标,,,,zyx aaa
向量的 坐标表达式,},,{ zyx aaaa
},,{ 12121221 zzyyxxMM
特殊地,},,{ zyxOM?
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
},,,{ zyx aaaa },,,{ zyx bbbb
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zyx aaaa;)()()( kbajbaiba zzyyxx;)()()( kbajbaiba zzyyxx
.)()()( kajaia zyx
解
},,{ 111 zzyyxxAM
},,{ 222 zzyyxxMB
设 ),,( zyxM 为直线上的点，
例 2 设 ),,(
111
zyxA 和 ),,(
222
zyxB 为两已知点，而在 AB 直线上的点 M 分有向线段 AB 为两部分 AM,MB,使它们的值的比等于某数
)1(,即
MB
AM
，求分点的坐标,
A
B
M
x
y
z
o
由题意知,MBAM
},,{ 111 zzyyxx },,,{ 222 zzyyxx
1xx? )( 2 xx
1yy? )( 2 yy
1zz? )( 2 zz
,1 21 xxx
,1 21 yyy
,1 21 zzz
M 为有向线段 AB 的 定比分点,M 为中点时，
,2 21 xxx,2 21 yyy,2 21 zzz
例 3 求平行于向量 kjia

676 的单位向量的分解式,
解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向a?
222 )6(76||a,11?
|| a
a0a?,
11
6
11
7
11
6 kji
或 0a || aa?
,116117116 kji
例 4 设有向量
21
PP,已知 2
21
PP,它与 x 轴和 y 轴的夹角分别为
3
和
4
，如果 1P 的坐标为
)3,0,1(,求
2
P 的坐标,
解 设向量 21 PP 的方向角为?,?,?
,3,4
,1co sco sco s 222,21co s
,21c o s,22c o s
.32,3 设 2P 的坐标为 ),,( zyx,
1c o s x?
21PP 2
1 x
2?,2 x
0c o s y?
21PP 2
0 y
2
2?,2 y
3c o s z?
21PP 2
3 z,2,4 zz
2P 的坐标为 ).2,2,2(),4,2,2(
2
1