第一章 几何空间中的向量第二节 向量及其线性运算
向量的基本概念
向量的线性运算
向量的共线与共面
小结与思考题
1.2 向量及其线性运算一、向量的基本概念向量 (Vector),既有大小又有方向的量,
向量表示：
以 1M 为起点,2M 为终点的有向线段,
1M
2M
a? 21MM
模长为 1的向量,21MM 00a
零向量,模长为 0的向量,0?
||a? 21MM| |向量的模 (norm),向量的大小,
单位向量,或或或数量 (Scalar),既有大小没有方向的量,
自由向量,不考虑起点位置的向量,
相等向量,大小相等且方向相同的向量,
负向量,大小相等但方向相反的向量,a
向径：
a?
b?
a a?
空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量,OM
M
[1] 加法,cba a?b
c?
（平行四边形法则）
特殊地：若 a?‖ b?
a? b
c? |||||| bac分为同向和反向
b?
a? c? |||||| bac
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
二、向量的线性运算向量的加法符合下列运算规律：
（ 1）交换律,.abba
（ 2）结合律,cbacba )( ).( cba
.0)()( aaaa
[2] 减法 )( baba a
b?b
bc?
ba
bac
)(ba
baa?
b?
（ 3）零向量性质：
（ 4）负向量性质：
.00 aaa
设? 是一个数，向量 a? 与? 的乘积 a 规定为
,0)1( a 与 a? 同向,|||| aa
,0)2( 0a?
,0)3( a 与 a? 反向,|||||| aa
a? a?2 a?
2
1?
[3] 数乘数与向量的乘积符合下列运算规律：
（ 2）结合律,)()( aa a?)(
（ 3）分配律,aaa )(
baba )(
（ 1） 1的数乘,aa1
三,向量的共线与共面定义 1-8
如果若干个向量平行于同一个平面，则称它们共面 （ complanar）。
//)()(,记为或平行共线则称为方向相同或方向相反，与如果向量
p a r a llelc o lli n e a r
注,零向量可以认为与任何线或共面。
证 充分性显然；
必要性 a?‖b?设,a
b
取取正值，同向时与当?ab
取负值，反向时与当?ab,ab即有
.同向与此时 ab aa且 aa
b?
,b
.
021
ab
aba
，使的实数充要条件是：存在唯一的平行于，那末向量设向量定理
.的唯一性?,设 ab,又设 ab
两式相减，得,0)( a,即 0 a
，0?a,故 0 证毕。即,
.00
31
ba
ba
,使得与的实数在不全为共线的充要条件是：存与两个向量定理
.0,,0
,,41
321321
ckbkakkkk
cba
，使得的实数在不全为共面的充要条件是：存三个向量定理同方向的单位向量，表示与非零向量设 aa 0
按照向量与数的乘积的规定，
0|| aaa,|| 0aaa
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量,
.
11
，使得与一的实数的充要条件是：存在唯共面，，不共线，则与若向量推论
.,
21
2121
xxxx
，使得有序实数对
，都存在唯一的个向量则对于该平面上任何一向量，是平面上两个不共线的与若推论例 1-7 化简
5
3
2
15 abbba?
解
5
3
2
15 abbba?
ba 551251)31(
.252 ba
例 1-8 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形,
证
AM MC?
BM MD?
AD? AM? MD MC BM BC?
AD 与 平行且相等,BC 结论得证,
A B
CD
M a
b?
向量的基本概念
向量的线性运算
向量的共线与共面四,小结思考题已知平行四边形 ABCD的对角线
AC,a BD b
试用 表示平行四边形四边上对应的向量,ba,
思考题解答
BC AD AM? MD ).(21 ba
DC? AB? AM? MB ).(21 ba
A B
CD
M a
b?
一,填空：
1,向量是 ___ ___ ___ 的量；
2,向量的 ___ ___ ___ __ 叫做向量的模；
3,___ _ ___ ___ _ 的向量叫做单位向量；
4,___ _ ___ ___ __ _ 的向量叫做零向量；
5,与 ___ _ _ 无关的向量称为自由向量；
6,平行于同一直线的一组向量叫做 ___ __ _ _ __,三个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做 _ _ _
_ ___ ___ __ ；
7,两向量 _________ __,我们称这两个向量相等；
8,两个模相等,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的向量互为逆向量；
9,把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点构成 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
练 习 题
10,把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点，则终点构成 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
11,要使 baba
成立，向量 ba
,应满足 _______
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
12,要使 baba
成立，向量 ba
,应满足 _______
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形,
三、把 AB C 的 BC 边 五 等 分,设 分 点 依 次 为
4321,,,DDDD,再 把 各 分 点 与 点 A 连 接,试 以
aBCcAB,表示向量 ADADADAD 4321,,和,
练习题答案一,1,既有大小,又有方向； 2,大小；
3,模等于 1 ； 4,模等于零； 5,起点；
6,共线向量,共面向量； 7,模相等且方向相同；
8,方向相反； 9,半径为 1 的球面；
10,距离等于 2 的两点；
11,
a
垂直于
b； 12,
a
与
b
同向,
三,)
5
1
(
1
acAD,)
5
2
(
2
acAD,
).
5
4
(),
5
3
(
43
acADacAD
