第一章 几何空间中的向量习题课一、主要内容
（二）向量及其运算
（三）空间的线、面方程
（一）二阶、三阶行列式二 阶行列式三 阶行列式
Cramer法则解方程组简单行列式
（一）数域与简单行列式数域简介数域与 2阶,3阶行列式一,数域数与数集的约定复数集。
实数集；
正实数集；
有理数集；
整数集；
正整数集；
）；自然数集（包括
C
R
R
Q
Z
Z
N
0
用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa1
2
,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa
,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa
，得两式相减消去 2x
二,二阶行列式;212221121122211 baabxaaaa ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ）（
时，当 021122211 aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定,
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
)4(
2221
1211
aa
aa
定义 1--2
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式?
即,21122211
2221
1211 aaaa
aa
aaD
11a 12a
22a12a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112aa?
二阶行列式的计算若记,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x
注意 分母都为原方程组的系数行列式,
.
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x
三,三阶行列式定义 1-3
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式,
3231
2221
1211
aa
aa
aa
.312213332112322311 aaaaaaaaa
(1)沙路法三阶行列式的计算
322113312312332211 aaaaaaaaaD
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
列标行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?,
322311 aaa?
(2)对角线法则注意 红线 上三元素的乘积冠以正号,蓝线 上三元素的乘积冠以负号．
说明 1,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113 aaa? 312312 aaa?
312213 aaa? 332112 aaa?
如果三元线性方程组?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
,0?
利用三阶行列式求解三元线性方程组
2.三阶行列式包括 3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负,
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
若记
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
或
1
2
1
b
b
b
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
记
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
即
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.
33231
22221
11211
3
baa
baa
ba
D
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?,
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D?
则三元线性方程组的解为,
,11 DDx?,22 DDx?,33 DDx?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
向量的线性运算向量的表示法向量积数量积 混合积向量的积向量概念
（二）向量及其运算仿射坐标系与直角坐标系
1、向量的概念定义,既有大小又有方向的量称为向量,
自由向量,相等向量,负向量、
向径,
重要概念,
零向量、向量的模,单位向量、
平行向量、
(1) 加法,cba
2、向量的线性运算
dbaa?
b?
(2) 减法：
cba
dba
(3) 向量与数的乘法：
设? 是一个数，向量 a? 与? 的乘积 a 规定为
,0)1( a 与 a? 同向,|||| aa
,0)2( 0a?
,0)3( a 与 a? 反向,|||||| aa
向量的分解式：
},,{ zyx aaaa
.,,,,轴上的投影分别为向量在其中 zyxaaa zyx
kajaiaa zyx
在三个坐标轴上的分向量,kajaia zyx,,
向量的坐标表示式：
向量的坐标,zyx aaa,,
3、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
},,{ zyx aaaa },,{ zyx bbbb
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zyx aaaa
kbajbaiba zzyyxx )()()(
kbajbaiba zzyyxx )()()(
kajaia zyx )()()(
222||
zyx aaaa
向量模长的坐标表示式
222co s
zyx
x
aaa
a
222c o s
zyx
y
aaa
a
222co s
zyx
z
aaa
a
向量方向余弦的坐标表示式
)1c o sc o sc o s( 222
4、数量积
co s|||| baba 其中? 为 a? 与 b? 的夹角
(点积、内积 )
zzyyxx babababa
数量积的坐标表达式
ba 0 zzyyxx bababa
222222c o s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
两向量夹角余弦的坐标表示式
5、向量积
sin|||||| bac 其中? 为 a? 与 b? 的夹角c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b?,指向符合右手系,
(叉积、外积 )
kbaba
jbabaibaba
xyyx
zxxzyzzy?
)(
)()(
向量积的坐标表达式
ba
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
ba//
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
][ cba cba )(
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
6、混合积平 面点法式一般式截距式空间直角坐标系
（三）空间的线、面方程直 线参数方程一般方程对称式方程三点式
x横轴
y 纵轴
z 竖轴
定点 o
1、空间直角坐标系空间的点有序数组
),,( zyx
x y
o
z
空间直角坐标系共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限,
21221221221 zzyyxxMM
它们距离为设 ),,( 1111 zyxM,),,( 2222 zyxM 为空间两点两点间距离公式,
4、平面
},,{ CBAn
),,( 0000 zyxMx
y
z
o
n?
0M M[1] 平面的点法式方程
0)(
)()(
0
00
zzC
yyBxxA
[2] 平面的一般方程
0 DCzByAx
1 czbyax
[3] 平面的截距式方程
x
y
z
o
a
b
c
0,11111 DzCyBxA
0,22222 DzCyBxA
[4] 平面的夹角
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||c o s
CBACBA
CCBBAA
[5] 两平面位置特征：
21)1( 0212121 CCBBAA
21)2(//
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
1?
1n?
2?2
n
5、空间直线
0,11111 DzCyBxA
0,22222 DzCyBxA
0
0:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAL
[1] 空间直线的一般方程
x
y
z
o
1?
2?
L
x
y
z
o
s? L
0M?
M?
[3] 空间直线的参数方程
p
zz
n
yy
m
xx 000
[2] 空间直线的对称式方程
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
),,( 0000 zyxM
},,{ pnms
直线,1L
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx
直线,2L
2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
||),c o s (
pnmpnm
ppnnmmLL
^
两直线的夹角公式
[4] 两直线的夹角
[5] 两直线的位置关系：
21)1( LL? 0212121 ppnnmm
21)2( LL//
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
p
zz
n
yy
m
xxL 000,
0, DCzByAx
[6] 直线与平面的夹角
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
直线与平面的夹角公式
)20(
[7] 直线与平面的位置关系
L)1( p
C
n
B
m
A
L)2( // 0 CpBnAm
二、典型例题
是一个数域。数集例 QbabaQ,|2)2(1
是封闭的。关于加法、减法、乘法所以，
）（）（）（
）（）（）（
，于是
，其中和中任取两个数在
。和包括所以，
证明：因为
)2(
)2(2)(222
)2(2)(22
,
,,22)2(
0)2(
)2(2011
)2(2000
Q
Qbcadbdacdcba
Qdbcadcba
Qdc
badcbaQ
Q
Q
Q
1
是一个数域。对于除法是封闭的，即
）（）（
（）
所以
）（）（
且则不全为与，于是现设
)2()2(
)2(2
22
2
22
)22(
2
2
0222
,02,002
2222
22
QQ
Q
dc
adbc
dc
bdac
dcdc
dcba
dc
ba
dcdcdc
dcdcdc
例 2
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组解 12 23D )4(3,07
11
212
1
D
,14? 12
123
2?D,21
D
Dx 1
1,27
14
D
Dx 2
2?,37
21
.0
94
32
111
2
x
x求解方程例 3
解 方程左端
12291843 22 xxxxD
,652 xx
解得由 052 xx
3.2 xx 或例 4 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D
111132
121111122 131
5,0?
同理可得
110
311
122
1
D
,5
101
312
121
2
D
,10
011
112
221
3
D
,5
故方程组的解为,
,111 DDx,222 DDx,133 DDx
例 5
解共面．且，使，求一单位向量
，已知
bancnn
kjickjbia
,,
,22,2
000?
,0 kzjyixn设 由题设条件得
10?n?
cn0
ban0
02
022
1222
zy
zyx
zyx
解得 ).323132(0 kjin
例 6
解
.
4
0128
4
,04
05
:
角的平面方程组成且与平面求过直线
z
yx
zx
zyx
过已知直线的平面束方程为
,0)4(5 zxzyx?
,04)1(5)1( zyx即
}.1,5,1{n?其法向量
}.8,4,1{n?又已知平面的法向量由题设知
1
1
4co s nn
nn
222222 )1(5)1()8()4(1
)8()1()4(51)1(
,272 32 2 2即 由此解得,43
代回平面束方程为,012720 zyx
例 7
解
.
12
43
:
,
1
2
:)1,1,1(
2
10
L
xz
xy
L
xz
xy
LM
都相交的直线且与两直线求过点
将两已知直线方程化为参数方程为
12
43:,
1
2,21
tz
ty
tx
L
tz
ty
tx
L
的交点分别为与设所求直线 21,LLL
).12,43,()1,2,( 222111 tttBtttA 和
,,)1,1,1(0 三点共线与 BAM?
).(00 为实数故 BMAM?
即有,,00 对应坐标成比例于是 BMAM
,1)12( 1)1(1)43( 1211
2
1
2
1
2
1
t
t
t
t
t
t
2,0 21 tt解之得
)3,2,2(),1,0,0( BA
,)3,2,2()1,1,1(0 上同在直线和点 LBM?
的方程为故 L
.2 11 11 1 zyx
例 8
解
.02
:
01
012
:
上的投影直线的方程在平面求直线
zyx
zyx
zyx
L
的平面束方程为过直线 L
,0)1(
)12(
zyx
zyx
.0)1()1(
)1()2(
z
yx即
L
,014即 41故
,代入平面束方程将?,013 zyx得所求投影直线方程为,02 013
zyx
zyx
,?垂直于平面又?
.0)1()1(2)1(1)2(
例 9
解
.
,
110
1:
求旋转曲面的方程轴旋转一周绕直线 zzyxL
),,1( 111 zyM设直线上一点,11 zy?有位置到达旋转后 ),,(),,1( 111 zyxMzyM
由于高度不变,,1zz?有
,1 不因旋转而改变轴的距离到和又 rzMM
212 1 yr故,22 yx
,11 yzz由于故所求旋转曲面方程为
.1222 zyx
一,选择题：
1,若
a,
b 为共线的单位向量，则它们的数量积
ba
（ ）,
（ A ） 1 ； （ B ） -1 ；
（ C ） 0 ； （ D ） ),c o s (
ba,
2,向量
ba 与二向量
a 及
b 的位置关系是 （ ）,
（ A ） 共面； （ B ）共线；
（ C ） 垂直； （ D ）斜交,
测 验 题
3,设向量
Q 与三轴正向夹角依次为,,，当
0c o s 时，有 （ ）
4,设向量
Q 与三轴正向夹角依次为,,当
1c o s 时有 （ ） 面面面面；
x o zQDx o zQC
y o zQBx o yQA
)(;)(;)()(
面面面面；
x o yQDx o zQC
y o zQBx o yQA
)(;)(;)()(
‖ ‖
‖
‖
5,
2
)( （ ）
（ A ）
22
； （ B ）
22
2
；
（ C ）
22
； （ D ）
22
2
,
6,设平面方程为 0 DCzBx,且 0,,?DCB,则平面 （ ）,
（ A ） 轴平行于 x ；
（ B ） 轴平行于 y ；
（ C ） 轴经过 y ；
（ D ） 轴垂直于 y,
7,设直线方程为
0
0
22
1111
DyB
DzCyBxA
且
0,,,,,221111?DBDCBA,则直线 （ ）,
（ A ） 过原点； （ B ） 轴平行于 z ；
（ C ） 轴垂直于 y ； （ D ） 轴平行于 x,
8,曲面 05
2
xyzxyz 与直线
3
5
1
yx
7
10?
z
的交点是 （ ）,
（ A ） )4,1,2(,)3,2,1( ；
（ B ） )3,2,1( ；
（ C ） )4,3,2( ；
（ D ）,)4,1,2(
9,已知球面经过 )1,3,0(? 且与 x o y 面交成圆周
0
16
22
z
yx
，则此球面的方程是 （ ）,
（ A ） 0166
222
zzyx ；
（ B ） 016
222
zzyx ；
（ C ） 0166
222
zzyx ；
（ D ） 0166
222
zzyx,
10,下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是
（ ）,
（ A ） 1
222
zyx ； （ B ） zyx 4
22
；
（ C ） 1
4
2
2
2
z
y
x ； （ D ） 1
169
222
zyx
.
二,已知向量 ba
,的夹角等于
3
，且 5,2
ba,求
)3()2(
baba,
三,求向量 }4,3,4{
a 在向量 }1,2,2{?
b 上的投影,
四,设 平 行 四 边 形 二 边 为 向 量;}1,3,1{
a
3,1,2b
，求其面积,
五,已知,,
ba 为 两 非 零 不 共 线 向 量,求 证,
)()(
baba )(2
ba,
六,一动点与点 )0,0,1(M 的距离是它到平面 4?x 的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与 y o z 面的交线方程,
七,求直线
L
：,
85
21
3
tz
ty
tx
在三个坐标面上及平 面
:?
083 zyx 上的投影方程,
八,求通过直线
2
2
3
2
2
1?
zyx
且垂直于平面
0523 zyx 的平面方程,
九,求点 )3,4,1( 并与下面两直线
1
L,
53
142
yx
zyx
,:
2
L
tz
ty
tx
23
1
42
都垂直的直线方程,
十、求通过三平面,022 zyx,
013 zyx 和 03 zyx 的交点，且平行于平面 02 zyx 的平面方程,
十一,在平面 01 zyx 内，求作一直线，使它通过直线
02
01
zx
zy
与平面的交点，且与已知直线垂直,
十二,判断下列两直线
2
1
11
1
:
1
zyx
L,
4
2
3
1
1
:
2
zyx
L
,是否在同一平面上，在同 一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离,
测验题答案一,1,D ； 2,C ； 3,C ； 4,A ； 5,B ；
6,B ； 7,C ； 8,A ； 9,D ； 1 0,D.
二,-1 03,三,2,四,103,
六、
0
1
33
22
x
zy
.
七、
0
21
3
z
ty
tx
,
tz
y
tx
85
0
3
,
tz
ty
x
85
21
0
,
083
0261114
zyx
zyx
.
八,09138 zyx,
九、
tz
ty
tx
3
464
121
.
十,042 zyx,
十一、
01
012
zyx
zyx
.
十二、直线 21 LL 与 为异面直线,
3
3
d,
（二）向量及其运算
（三）空间的线、面方程
（一）二阶、三阶行列式二 阶行列式三 阶行列式
Cramer法则解方程组简单行列式
（一）数域与简单行列式数域简介数域与 2阶,3阶行列式一,数域数与数集的约定复数集。
实数集；
正实数集；
有理数集；
整数集；
正整数集；
）；自然数集（包括
C
R
R
Q
Z
Z
N
0
用消元法解二元线性方程组
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa1
2
,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa
,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa
，得两式相减消去 2x
二,二阶行列式;212221121122211 baabxaaaa ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ）（
时，当 021122211 aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
由方程组的四个系数确定,
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
)4(
2221
1211
aa
aa
定义 1--2
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式?
即,21122211
2221
1211 aaaa
aa
aaD
11a 12a
22a12a
主对角线副对角线对角线法则
2211aa?,2112aa?
二阶行列式的计算若记,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组系数行列式
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD?
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x
注意 分母都为原方程组的系数行列式,
.
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x
三,三阶行列式定义 1-3
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式,
3231
2221
1211
aa
aa
aa
.312213332112322311 aaaaaaaaa
(1)沙路法三阶行列式的计算
322113312312332211 aaaaaaaaaD
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
列标行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?,
322311 aaa?
(2)对角线法则注意 红线 上三元素的乘积冠以正号,蓝线 上三元素的乘积冠以负号．
说明 1,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113 aaa? 312312 aaa?
312213 aaa? 332112 aaa?
如果三元线性方程组?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
,0?
利用三阶行列式求解三元线性方程组
2.三阶行列式包括 3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负,
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
若记
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
或
1
2
1
b
b
b
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
记
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
即
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?
得
;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.
33231
22221
11211
3
baa
baa
ba
D
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D?,
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D?
则三元线性方程组的解为,
,11 DDx?,22 DDx?,33 DDx?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D?
向量的线性运算向量的表示法向量积数量积 混合积向量的积向量概念
（二）向量及其运算仿射坐标系与直角坐标系
1、向量的概念定义,既有大小又有方向的量称为向量,
自由向量,相等向量,负向量、
向径,
重要概念,
零向量、向量的模,单位向量、
平行向量、
(1) 加法,cba
2、向量的线性运算
dbaa?
b?
(2) 减法：
cba
dba
(3) 向量与数的乘法：
设? 是一个数，向量 a? 与? 的乘积 a 规定为
,0)1( a 与 a? 同向,|||| aa
,0)2( 0a?
,0)3( a 与 a? 反向,|||||| aa
向量的分解式：
},,{ zyx aaaa
.,,,,轴上的投影分别为向量在其中 zyxaaa zyx
kajaiaa zyx
在三个坐标轴上的分向量,kajaia zyx,,
向量的坐标表示式：
向量的坐标,zyx aaa,,
3、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
},,{ zyx aaaa },,{ zyx bbbb
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zyx aaaa
kbajbaiba zzyyxx )()()(
kbajbaiba zzyyxx )()()(
kajaia zyx )()()(
222||
zyx aaaa
向量模长的坐标表示式
222co s
zyx
x
aaa
a
222c o s
zyx
y
aaa
a
222co s
zyx
z
aaa
a
向量方向余弦的坐标表示式
)1c o sc o sc o s( 222
4、数量积
co s|||| baba 其中? 为 a? 与 b? 的夹角
(点积、内积 )
zzyyxx babababa
数量积的坐标表达式
ba 0 zzyyxx bababa
222222c o s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
两向量夹角余弦的坐标表示式
5、向量积
sin|||||| bac 其中? 为 a? 与 b? 的夹角c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b?,指向符合右手系,
(叉积、外积 )
kbaba
jbabaibaba
xyyx
zxxzyzzy?
)(
)()(
向量积的坐标表达式
ba
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
ba//
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
][ cba cba )(
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
6、混合积平 面点法式一般式截距式空间直角坐标系
（三）空间的线、面方程直 线参数方程一般方程对称式方程三点式
x横轴
y 纵轴
z 竖轴
定点 o
1、空间直角坐标系空间的点有序数组
),,( zyx
x y
o
z
空间直角坐标系共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限,
21221221221 zzyyxxMM
它们距离为设 ),,( 1111 zyxM,),,( 2222 zyxM 为空间两点两点间距离公式,
4、平面
},,{ CBAn
),,( 0000 zyxMx
y
z
o
n?
0M M[1] 平面的点法式方程
0)(
)()(
0
00
zzC
yyBxxA
[2] 平面的一般方程
0 DCzByAx
1 czbyax
[3] 平面的截距式方程
x
y
z
o
a
b
c
0,11111 DzCyBxA
0,22222 DzCyBxA
[4] 平面的夹角
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||c o s
CBACBA
CCBBAA
[5] 两平面位置特征：
21)1( 0212121 CCBBAA
21)2(//
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
1?
1n?
2?2
n
5、空间直线
0,11111 DzCyBxA
0,22222 DzCyBxA
0
0:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAL
[1] 空间直线的一般方程
x
y
z
o
1?
2?
L
x
y
z
o
s? L
0M?
M?
[3] 空间直线的参数方程
p
zz
n
yy
m
xx 000
[2] 空间直线的对称式方程
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
),,( 0000 zyxM
},,{ pnms
直线,1L
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx
直线,2L
2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
||),c o s (
pnmpnm
ppnnmmLL
^
两直线的夹角公式
[4] 两直线的夹角
[5] 两直线的位置关系：
21)1( LL? 0212121 ppnnmm
21)2( LL//
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
p
zz
n
yy
m
xxL 000,
0, DCzByAx
[6] 直线与平面的夹角
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
直线与平面的夹角公式
)20(
[7] 直线与平面的位置关系
L)1( p
C
n
B
m
A
L)2( // 0 CpBnAm
二、典型例题
是一个数域。数集例 QbabaQ,|2)2(1
是封闭的。关于加法、减法、乘法所以，
）（）（）（
）（）（）（
，于是
，其中和中任取两个数在
。和包括所以，
证明：因为
)2(
)2(2)(222
)2(2)(22
,
,,22)2(
0)2(
)2(2011
)2(2000
Q
Qbcadbdacdcba
Qdbcadcba
Qdc
badcbaQ
Q
Q
Q
1
是一个数域。对于除法是封闭的，即
）（）（
（）
所以
）（）（
且则不全为与，于是现设
)2()2(
)2(2
22
2
22
)22(
2
2
0222
,02,002
2222
22
Q
dc
adbc
dc
bdac
dcdc
dcba
dc
ba
dcdcdc
dcdcdc
例 2
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组解 12 23D )4(3,07
11
212
1
D
,14? 12
123
2?D,21
D
Dx 1
1,27
14
D
Dx 2
2?,37
21
.0
94
32
111
2
x
x求解方程例 3
解 方程左端
12291843 22 xxxxD
,652 xx
解得由 052 xx
3.2 xx 或例 4 解线性方程组
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
D
111132
121111122 131
5,0?
同理可得
110
311
122
1
D
,5
101
312
121
2
D
,10
011
112
221
3
D
,5
故方程组的解为,
,111 DDx,222 DDx,133 DDx
例 5
解共面．且，使，求一单位向量
，已知
bancnn
kjickjbia
,,
,22,2
000?
,0 kzjyixn设 由题设条件得
10?n?
cn0
ban0
02
022
1222
zy
zyx
zyx
解得 ).323132(0 kjin
例 6
解
.
4
0128
4
,04
05
:
角的平面方程组成且与平面求过直线
z
yx
zx
zyx
过已知直线的平面束方程为
,0)4(5 zxzyx?
,04)1(5)1( zyx即
}.1,5,1{n?其法向量
}.8,4,1{n?又已知平面的法向量由题设知
1
1
4co s nn
nn
222222 )1(5)1()8()4(1
)8()1()4(51)1(
,272 32 2 2即 由此解得,43
代回平面束方程为,012720 zyx
例 7
解
.
12
43
:
,
1
2
:)1,1,1(
2
10
L
xz
xy
L
xz
xy
LM
都相交的直线且与两直线求过点
将两已知直线方程化为参数方程为
12
43:,
1
2,21
tz
ty
tx
L
tz
ty
tx
L
的交点分别为与设所求直线 21,LLL
).12,43,()1,2,( 222111 tttBtttA 和
,,)1,1,1(0 三点共线与 BAM?
).(00 为实数故 BMAM?
即有,,00 对应坐标成比例于是 BMAM
,1)12( 1)1(1)43( 1211
2
1
2
1
2
1
t
t
t
t
t
t
2,0 21 tt解之得
)3,2,2(),1,0,0( BA
,)3,2,2()1,1,1(0 上同在直线和点 LBM?
的方程为故 L
.2 11 11 1 zyx
例 8
解
.02
:
01
012
:
上的投影直线的方程在平面求直线
zyx
zyx
zyx
L
的平面束方程为过直线 L
,0)1(
)12(
zyx
zyx
.0)1()1(
)1()2(
z
yx即
L
,014即 41故
,代入平面束方程将?,013 zyx得所求投影直线方程为,02 013
zyx
zyx
,?垂直于平面又?
.0)1()1(2)1(1)2(
例 9
解
.
,
110
1:
求旋转曲面的方程轴旋转一周绕直线 zzyxL
),,1( 111 zyM设直线上一点,11 zy?有位置到达旋转后 ),,(),,1( 111 zyxMzyM
由于高度不变,,1zz?有
,1 不因旋转而改变轴的距离到和又 rzMM
212 1 yr故,22 yx
,11 yzz由于故所求旋转曲面方程为
.1222 zyx
一,选择题：
1,若
a,
b 为共线的单位向量，则它们的数量积
ba
（ ）,
（ A ） 1 ； （ B ） -1 ；
（ C ） 0 ； （ D ） ),c o s (
ba,
2,向量
ba 与二向量
a 及
b 的位置关系是 （ ）,
（ A ） 共面； （ B ）共线；
（ C ） 垂直； （ D ）斜交,
测 验 题
3,设向量
Q 与三轴正向夹角依次为,,，当
0c o s 时，有 （ ）
4,设向量
Q 与三轴正向夹角依次为,,当
1c o s 时有 （ ） 面面面面；
x o zQDx o zQC
y o zQBx o yQA
)(;)(;)()(
面面面面；
x o yQDx o zQC
y o zQBx o yQA
)(;)(;)()(
‖ ‖
‖
‖
5,
2
)( （ ）
（ A ）
22
； （ B ）
22
2
；
（ C ）
22
； （ D ）
22
2
,
6,设平面方程为 0 DCzBx,且 0,,?DCB,则平面 （ ）,
（ A ） 轴平行于 x ；
（ B ） 轴平行于 y ；
（ C ） 轴经过 y ；
（ D ） 轴垂直于 y,
7,设直线方程为
0
0
22
1111
DyB
DzCyBxA
且
0,,,,,221111?DBDCBA,则直线 （ ）,
（ A ） 过原点； （ B ） 轴平行于 z ；
（ C ） 轴垂直于 y ； （ D ） 轴平行于 x,
8,曲面 05
2
xyzxyz 与直线
3
5
1
yx
7
10?
z
的交点是 （ ）,
（ A ） )4,1,2(,)3,2,1( ；
（ B ） )3,2,1( ；
（ C ） )4,3,2( ；
（ D ）,)4,1,2(
9,已知球面经过 )1,3,0(? 且与 x o y 面交成圆周
0
16
22
z
yx
，则此球面的方程是 （ ）,
（ A ） 0166
222
zzyx ；
（ B ） 016
222
zzyx ；
（ C ） 0166
222
zzyx ；
（ D ） 0166
222
zzyx,
10,下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是
（ ）,
（ A ） 1
222
zyx ； （ B ） zyx 4
22
；
（ C ） 1
4
2
2
2
z
y
x ； （ D ） 1
169
222
zyx
.
二,已知向量 ba
,的夹角等于
3
，且 5,2
ba,求
)3()2(
baba,
三,求向量 }4,3,4{
a 在向量 }1,2,2{?
b 上的投影,
四,设 平 行 四 边 形 二 边 为 向 量;}1,3,1{
a
3,1,2b
，求其面积,
五,已知,,
ba 为 两 非 零 不 共 线 向 量,求 证,
)()(
baba )(2
ba,
六,一动点与点 )0,0,1(M 的距离是它到平面 4?x 的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与 y o z 面的交线方程,
七,求直线
L
：,
85
21
3
tz
ty
tx
在三个坐标面上及平 面
:?
083 zyx 上的投影方程,
八,求通过直线
2
2
3
2
2
1?
zyx
且垂直于平面
0523 zyx 的平面方程,
九,求点 )3,4,1( 并与下面两直线
1
L,
53
142
yx
zyx
,:
2
L
tz
ty
tx
23
1
42
都垂直的直线方程,
十、求通过三平面,022 zyx,
013 zyx 和 03 zyx 的交点，且平行于平面 02 zyx 的平面方程,
十一,在平面 01 zyx 内，求作一直线，使它通过直线
02
01
zx
zy
与平面的交点，且与已知直线垂直,
十二,判断下列两直线
2
1
11
1
:
1
zyx
L,
4
2
3
1
1
:
2
zyx
L
,是否在同一平面上，在同 一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离,
测验题答案一,1,D ； 2,C ； 3,C ； 4,A ； 5,B ；
6,B ； 7,C ； 8,A ； 9,D ； 1 0,D.
二,-1 03,三,2,四,103,
六、
0
1
33
22
x
zy
.
七、
0
21
3
z
ty
tx
,
tz
y
tx
85
0
3
,
tz
ty
x
85
21
0
,
083
0261114
zyx
zyx
.
八,09138 zyx,
九、
tz
ty
tx
3
464
121
.
十,042 zyx,
十一、
01
012
zyx
zyx
.
十二、直线 21 LL 与 为异面直线,
3
3
d,
