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复变函数
3
复数的运算
22
22
1
e
c os,sin
,tg,sin
i
i
z x iy r
x r y r
yy
r x y
x xy






4
计算幅角要注意 z在复平面所在的象限
x
y
O
5
例
22
22
1 3 2 3 2
3 2 ( 3 2 ) ( 3 2 ) 3 2
32
13 13
3 2 13
13 13 13
2
a r c t g
3
ii
i i i
i
r












6
a r gt g,0 ;
,0,0 ;
2
a r g
a r c t g,0,0 ;
,0,0
y
x
x
xy
z
y
xy
x
xy



7
复变函数的一个重要方面,就是说明实变函数的微积分的许多结论,复变函数也照样用,
例如,在实变函数中函数的导数有
3 2 2 2( ) 2,( s i n ) c o s,( e ) 2 exxx x x x
则上面的变元 x统统改成复数 z也成立
3 2 2 2( ) 2,( s i n ) c o s,( e ) 2 ezzz z z z
8
在实变函数中,一些函数可以按泰勒级数展开,例如
23
0
23
0
1
2 3! !
||
1
1
1
| | 1
n
x
n
n
n
x x x
ex
n
z
x x x x
x
x



9
在复变函数中结果也一样,
23
0
23
0
1
2 3! !
||
1
1
1
| | 1
n
z
n
n
n
z z z
ez
n
z
z z z z
z
z



10
复变函数还可以展开为洛朗级数,如
2 3 3
33
0
2
23
1
1,
2 3! !
0 | |
1 1 1 1 1 1
1
11
1
1 1 1
,| | 1
zn
n
e z z z
z
z z n
z
z z z z z
z
z
z z z











11
实变函数中的定积分经常用牛 -莱公式计算的,例如
1
1
23
0
0
11
d
33
x x x
在复变函数中同样也有
3
23
0
0
11
d
3 3 3
i
i i
z z z i
但积分的含义不同,上式代表从复平面的 0点以任意路径积分到点 i.
12
对实变函数的定积分,如果上限和下限相等,则积分值为零,例如
3
3
3
c o s d 0x x x
对复变函数也同样
2
3
2
c o s d 0
i
i
z z z

13
但是在复变函数中,
2
3
2
c o s d 0
i
i
z z z

通常写成
3
c o s d 0
C
z z z
C为通过点 2+i的任意一条闭合曲线
14
因此,我们就有
2
2
34
2
2
3
3
2
3
3
1
d0
4
11
d0
i
i
i
i
z z z
z
zz


15
一般地,只要 n1,则函数 zn的原函数就是
11
1
nz
n
它是单值函数,因此就有,只要 n1,函数
zn沿任何闭合曲线的积分为 0.
d 0,1n
C
z z n
16
而当对于函数 z?1,麻烦在于,它的原函数是
Ln z,它是一个多值函数,假设 z = rei?,则
Ln z = Ln rei? = ln r + i?,幅角是不唯一的,
这个时候
11
d d L n?
a a
aa
C
z z z
zz

这要看积分路线有没有绕过原点,是正绕还是反绕,绕了几圈,一般而言是 2? i
的整数倍,
17
因此就有,假设 C为正向绕原点的一条闭合曲线,则
2,1,
d
0,1.
n
C
in
zz
n



或更一般,假设 C为正向绕 z0点的一条闭合正向曲线,则
0
2,1,
( ) d
0,1,
n
C
in
z z z
n



18
函数不解析的点为奇点,如果函数 f(z)在
z0点不解析,但是在 z0的某个去心领域处处解析,z0就是 f(z)的孤立奇点,例如
22
23
()
( 1 ) ( 1 )
zze
fz
zz

z=1是它的一个三级极点,z=?i都是它的一级极点,
19
如 z0是 f(z)的孤立奇点,则 f(z)在 z0的去心邻域处可展开成洛朗级数
1
0 1 0
0 1 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
n
n
n
f z c z z c z z
c c z z c z z



设 C为此领域包含 z0的正向简单闭曲线,对
f(z)沿 C积分,得
1( ) d 2
C
f z z ic
称 c?1为 f(z)在 z0处的留数,Res[f(z),z0]=c?1
20
因此,根据复合闭路定理,设函数 f(z)在区域 D内除有限个孤立奇点 z1,z2,...,zn外处处解析,C是 D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则
1
( ) d 2 R e s [ ( ),]
n
k
kC
f z z i f z z?

21
如果 z0是 f(z)的 m级极点,则
0
1
00 1
1d
R e s [ ( ),] l i m { ( ) ( ) }
( 1 ) ! d
m
m
mzzf z z z z f zmz

如果 z0是 f(z)的一级极点,则
0
00R e s [ ( ),] l i m ( ) ( )zzf z z z z f z
22
设 ()
()
()
Pzfz
Qz
P(z)和 Q(z)都在 z0解析,如 P(z0)?0,
Q(z0)=0,Q'(z0)?0,则 z0为 f(z)的一级极点,
而
0
0
0
()
Re s[ ( ),]
()
Pz
f z z
Qz
积分变换
24
傅氏变换
j
j
( ) ( ) e d
1
( ) ( ) e d
2
t
t
F f t t
f t F





25
单位脉冲函数及性质,
( ) d 1tt?



对任意连续函数 f(t)有
00
( ) ( ) d ( 0)
( ) ( ) d ( )
t f t t f
t t f t t f t





26
性质,若 F [f(t)]=F(?),F [g(t)]=G(?)
)()(:
||
1
)0()(:
)(2)(:
)(
1
d)(:
)()(:
)()(
e)()(:
)()()()(:
0
j
0
0
0












Ftf
a
F
a
aatf
ftF
F
j
ttf
Fjtf
Fetf
Fttf
GFtgtf
t
tj
t
翻转相似对称积分导数位移线性
27
实际上,只要记住下面四个傅里叶变换,
则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出,


4
2
2
ee
j
1
)(
)(
j
1
)(
1)(

t
t
etu
tu
t
28
拉氏变换和拉氏逆变换
0
j
j
( ) ( ) e d
1
( ) ( ) e d
2j
st
st
F s f t t
f t F s s




29
常用拉氏变换对
1
22
22
1
1
1
e
( 1 )
si n
c os
at
m
m
s
sa
m
t
s
a
at
sa
s
at
sa

30
拉氏变换的性质,若 L [f(t)]=F(s)
0
[ ( ) ] ( ) ( 0 )
1
( ) d ( )
[ ( ) ] ( )
t
at
f t sF s f
f t t F s
s
e f t F s a




L
L
L
31
拉氏逆变换的计算,若 s1,s2,...,sn是函数
F(s)的所有奇点,且当 s时,F(s)?0,
则
j
j
1
1
( ) ( ) e d
2j
R e s [ ( ),]
st
n
st
k
k
f t F s s
F s e s