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2
§ 4 洛朗级数
3
一个以 z0为中心的圆域内解析的函数 f(z),可以在该圆域内展开成 z-z0的幂级数,如果 f(z)在 z0
处不解析,则在 z0的邻域内就不能用 z-z0的幂级数来表示,但是这种情况在实际问题中却经常遇到,因此,在本节中将讨论在以 z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法,
4
讨论下列形式的级数,
)1.4.4(
,)()(
)()()(
0010
1
0100
--
---
-
-
-
-
-
n
n
n
n
n
n
n
zzczzcc
zzczzczzc
)3.4.4)((
.)()()(
)2.4.4)((
)()()(
0
1
01
1
0
0010
0
0
负幂项部分正幂项部分
--?-
---
-
-
-
-
-
-
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzczzczzc
zzczzcczzc
可将其分为两部分考虑
5
只有在正幂项和负幂项都收剑才认为 (4.4.1)
式收敛于它们的和,
正幂项是一幂级数,设它的收敛半径为 R2,对负幂项,如果令 z=(z-z0)-1,就得到这是 z的幂级数,设收敛半径为 R,令 R1=1/R,则当 |z-z0|>R1时,z<R,(4.4.4)收敛即 (4.4.3)收敛,
因此,只有在 R1<|z-z0|<R2的圆环域,级数 (4.4.1)
才收敛,
)4.4.4(,)( 221
11
0- --
-
-
- zzz ccczzc
n
n
n
n
n
n
6
z0 R1
R2
7
例如级数
.
||||.||||||
||||.||||
,||||
,1
)(
0
11
01
处处发散时原级数当收敛圆环域时原级数在所以当时收敛则当而正幂项级数时收敛即当中的负幂项级数为复常数与
babza
babz
b
z
az
z
a
z
a
z
a
ba
b
z
z
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
8
幂级数在收敛圆内的许多性质,级数 (4.4.1)在收敛圆环域内也具有,例如,可以证明,级数
(4.4.1)在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导,
现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数?先看下例,
9
.
1||0)(,
.1
1
1
11
)1(
1
)(
,1||0
.1|1|01||0
,10
)1(
1
)(
2
数的内是可以展开为级在由此可见的情形先研究内都是解析的及在圆环域但都不解析及在函数
-
-
-
-
zzf
zzz
z
zzzz
zf
z
zz
zz
zz
zf
n
10
其次,在圆环域,0<|z-1|<1内也可以展开为级数,
-?
-?--?
--?-?
-
---
-
-
-
1
21
2
)1(
)1()1(1)1(
])1()1()1(1[
1
1
)1(1
1
1
1
)1(
1
)(
n
n
z
zzz
zzz
z
zzzz
zf
11
1O x
y
12
定理 设 f(z)在圆环域 R1<|z-z0|<R2内解析,则
),2,1,0(.d
)(
)(
π2
1
)()(
1
0
0
-
-?
-
n
z
f
i
c
zzczf
C
nn
n
n
n
z
z
z
其中
C为在圆环域内绕 z0的任何一条闭曲线,
13
[证 ] 设 z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以 z0为中心的正向圆周 K1与 K2,K2的半径 R大于 K1的半径 r,且使 z在 K1与 K2之间,
z
K1
z
K2 z
z0
14
由柯西积分公式得
-
-
-
-
-
-
-
-
0
01
0
0
0
22
)(
)(
)(
π2
1)(
π2
1
,
.1,,,
)(
π2
1)(
π2
1
)(
22
12
n
n
K
n
K
KK
zzd
z
f
i
d
z
f
i
z
zz
KzK
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
可以推得和泰勒展开式一样内在上在对第一个积分
15
,)(
)(
1
)(
)(
1
111
.1,
,.d
)(
π2
1
1
01
0
1 0
1
0
0
00
0
0
1
2
2
-
-
-
-
-
-?
-
-
-?
-
-
-
-
-?
-
-
-
-
-
n
n
n
n
n
n
K
zz
z
zz
z
zz
zzzz
zz
z
Kz
K
z
f
i
z
z
zz
z
zz
z
z
因此的外部在点上在由于第二个积分
16
10,
||
.d
)(
)()(
π2
1
)(
),()(d
)(
)(
π2
1
d
)(
π2
1
00
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
q
zz
r
zz
z
q
zz
fz
i
zR
zRzz
z
f
i
z
f
i
K
Nn
n
n
N
N
N
n
n
K
n
K
则令其中
z
z
zz
z
z
z
z
z
z
17
因此有
,0)(lim,0lim
.|)(|
.
1
π2
π2
1
d
||
|)(|
π2
1
|)(|
11
11
0 0
0
0
1
-
-
-
-
zRq
KzfM
q
qM
rq
r
M
s
zz
z
z
f
zR
N
N
N
N
N
Nn
n
K
n
n
N
所以因为上的最大值在是
z
z
z
18
)7.4.4(),2,1(,d
)(
)(
π2
1
)6.4.4(),2,1,0(,d
)(
)(
π2
1
)5.4.4(,)(
)()()(
1
2
1
0
1
0
0
1
0
0
0
-
-
-?
-?-?
--
-
-
-
n
z
f
i
c
n
z
f
i
c
zzc
zzczzczf
K
nn
K
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
z
z
因此
19
级数 (4.4.5)的系数由不同的式子 (4.4.6)与
(4.4.7) 表出,如果在圆环域内取绕 z0的任何一条正向简单闭曲线 C,则根据闭路变形原理,
这两个式子可用一个式子来表示,
)8.4.4(
),2,1,0(,d
)(
)(
π2
1
1
0
-
n
z
f
i
c
C
nn
z
z
z
20
C
z0 R1
R2
21
(4.4.5)称为函数 f(z)在以 z0为中心的圆环域,
R1<|z-z0|<R2内的 洛朗 (Laurent)展开式,它右端的级数称为 f(z)在此圆环域内的 洛朗级数,级数中正整次幂和负整次幂分别称为洛朗级数的 解析部分 和 主要部分,
)8.4.4(),2,1,0(,d
)(
)(
π2
1
)5.4.4(,)()(
1
0
0
-
-?
-
n
z
f
i
c
zzczf
C
nn
n
n
n
z
z
z
22
一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,
负幂项的级数是唯一的,这个级数就是 f(z)的洛朗级数,
事实上,假定 f(z)在圆环域 R1<|z-z0|<R2内用某种方法展成了由正负幂项组成的级数,
-
-
-?
-?
n
n
n
n
n
n
zaf
C
Czzazf
)()(
,,
,)()(
0
0
zz
z 则上一点为条正向简单闭曲线为圆环域内任何并设
23
以 (z-z0)-p-1去乘上式两边,这里 p为任一整数,
并沿 C沿分,得
),2,1,0(,d
)(
)(
π2
1
π2d)(d
)(
)(
1
0
1
01
0
-
-?
-
-
--
p
z
f
i
a
iaza
z
f
C
pp
p
n C
pn
n
C
p
z
z
z
zzz
z
z
从而这就是 (4.4.8)
-
-?
n
n
n zaf )()( 0zz
24
用 (4.4.8)计算 cn要求环积分,过于麻烦,因此一般不用,一般是根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,可以用别的方法,特别是代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式,
例如,
)||0(,
!4
1
!3
1
2
111
)
!4!32
1(
1e
2
2
432
22
zzz
zz
zzz
z
zz
z
25
例 1 函数 在圆环域
i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+?;内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数,
)2)(1(
1)(
--? zzzf
x
y
O 1 x
y
O 1 2 x
y
O 2
26
[解 ] 先把 f(z)用部分分式表示,
.
8
7
4
3
2
1
22
1
2
1
)1(
2
1
1
2
1
1
1
)(
1||0i)
.
2
1
1
1
)(
2
2
2
2
-
-
-
-
-
-
-
zz
zz
zz
z
z
zf
z
zz
zf
内在
27
ii) 在 1<|z|<2内
.
842
1111
22
1
2
1
)
11
1(
1
2
1
1
2
1
1
1
11
2
1
1
1
)(
2
1
2
2
2
--------?
-
-
-
-
-
-?
-
-
-
-
zz
zzz
zz
zzz
z
z
z
zz
zf
nn
28
iii) 在 2<|z|<+?内
.
731
)
42
1(
1
)
11
1(
1
2
1
11
1
1
11
2
1
1
1
)(
432
22
-
-
-
-?
-
-
-
zzz
zzzzzz
z
z
z
z
zz
zf
29
例 2 把函数
.||0e)(
1
3 内展开成洛朗级数在 zzzf z
.
!4
1
!3
1
!2
)
!4
1
!3
1
!2
11
1(e
!!3!2
1e
23
432
3
1
3
32
z
z
zz
zzzz
zz
n
zzz
z
z
n
z
[解 ] 因有
30
第五章 留数
§ 1 孤立奇点
31
函数不解析的点为 奇点,
如果函数 f(z)虽在 z0不解析,但在 z0的某一个去心邻域 0<|z-z0|<d内处处解析,则 z0称为 f(z)的孤立奇点,
.0e,
1 1
为孤立奇点都以例如函数
z
z
z
将函数 f(z)在它的孤立奇点 z0的去心邻域内展开成洛朗级数,根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类,
32
1,可去奇点 如果在洛朗级数中不含 z-z0的负幂项,则孤立奇点 z0称为 f(z)的可去奇点,
这时,f(z)在 z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是一个普通的幂级数,
c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....
因此,这个幂级数的和函数 F(z)是在 z0解析的函数,且当 z?z0时,F(z)=f(z); 当 z=z0时,F(z0)=c0,
由于
,)()(lim)(lim 00
00
czFzFzf
zzzz
33
所以不论 f(z)原来在 z0是否有定义,如果令
f(z0)=c0,则在圆域 |z-z0|<d内就有
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,
从而函数 f(z)在 z0就成为解析的了,由于这个原因,所以 z0称为可去奇点,
34
.0
s i n
,10
s i n
.
!5
1
!3
1
1
)
!5
1
!3
1
(
1s i n
0
,
s i n
0,
42
53
就成为解析的了在则的值为在如果约定中不含负幂的项数的去心邻域内的洛朗级因为这个函数在的可去奇点是例如
-?-?
-?-?
z
z
z
z
z
z
zz
zzz
zz
z
z
z
z
z
35
2,极点 如果在洛朗级数中只有有限多个 z-z0
的负幂项,且其中关于 (z-z0)-1的最高幂为
(z-z0)-m,即
f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1
+c0+c1(z-z0)+..,(m?1,c-m?0),
则孤立奇点 z0称为函数 f(z)的 m级极点,上式也可写成
)1.5.5(),(
)(
1
)(
0
zg
zz
zf m
-
其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...
在 |z-z0|<d内是解析的函数,且 g(z0)?0.
36
反过来,当任何一个函数 f(z)能表示为 (5.1.1)的形式,且 g(z0)?0时,则 z0是 f(z)的 m级极点,
如果 z0为 f(z)的极点,由 (5.1.1)式,就有
.,1
,
)1)(1(
2
)(,
.)(lim|)(|lim
32
00
是它的一级极点是它的三级极点对有理分式函数例如或写作
izz
zz
z
zf
zfzf
zzzz
-?
-
37
3,本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多个
z-z0的负幂项,则孤立奇点 z0称为 f(z)的 本性奇点,
--- nz
z
z
n
zze
zezf
!
1
!2
1
1
.0)(,
21
1
1
因为在级数为它的本性奇点以函数例如中含有无穷多个 z的负幂项,
38
在本性奇点的邻域内,函数 f(z)有以下的性质
(证明从略 ),如果 z0为函数 f(z)的本性奇点,则对任意给定的复数 A,总可以找到一个趋向于
z0的数列,当 z沿这个数列趋向于 z0时,f(z)的值趋向于 A,例如,给定复数 A=i,我们把它写成
.)(,}{
,,e.0,,
,
)2
2
π
(
1
,e.e
1
1
)2
2
π
(
izfz
zizn
in
zii
n
z
n
n
z
in
n
的值趋向于趋向于零时沿当所以而时当显然可得则由
39
综上所述
.
.)(lim,)(;)(lim,)(;
)(lim,)(
0
0
0
00
0
反过来结论也成立不存在且不为则的本性奇点为如果则的极点为如果限存在且有则的可去奇点为如果
zfzf
zzfzfz
zfzfz
zz
zz
zz
40
4.函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数 f(z)如果能表示成
f(z)=(z-z0)mj(z),(5.1.2)
其中 j(z)在 z0解析且 j(z0)?0,m为某一正整数,
则 z0称为 f(z)的 m级零点,
例如当 f(z)=z(z-1)3时,z=0与 z=1是它的一级与三级零点,根据这个定义,我们可以得到以下结论,
如 f(z)在 z0解析,则 z0是 f(z)的 m级零点的充要条件是
f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)?0 (5.1.3)
41
这是因为,如果 f(z)在 z0解析,就必能在 z0的邻域展开为泰勒级数,
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+...
易证 z0是 f(z)的 m级极点的充要条件是前 m项系数 c0=c1=...=cm-1=0,cm?0,
这等价于
f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)?0 (5.1.3)
例如 z=1是 f(z)=z3-1的零点,由于
f '(1)=3z2|z=1=3?0,从而知 z=1是 f(z)的一级零点,
42
由于 (5.1.2)中的 j(z)在 z0解析,且 j(z0)?0,因而它在 z0的邻域内不为零,这是因为 j(z)在 z0解析,必在 z0连续,所以给定
.|)(|
2
1
|)(|
|,)(|
2
1
|)()(|
,||,|,)(|
2
1
0
00
00
zz
zzz
zzz
jj
j?jj
ddj?
-
-?
由此得有时当必存在所以 f(z)=(z-z0)mj(z)在 z0的去心邻域内不为零,
即不恒为零的解析函数的零点是孤立的,
43
作业 第四章习题第 144页开始第 16题
44
请提问
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2
§ 4 洛朗级数
3
一个以 z0为中心的圆域内解析的函数 f(z),可以在该圆域内展开成 z-z0的幂级数,如果 f(z)在 z0
处不解析,则在 z0的邻域内就不能用 z-z0的幂级数来表示,但是这种情况在实际问题中却经常遇到,因此,在本节中将讨论在以 z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法,
4
讨论下列形式的级数,
)1.4.4(
,)()(
)()()(
0010
1
0100
--
---
-
-
-
-
-
n
n
n
n
n
n
n
zzczzcc
zzczzczzc
)3.4.4)((
.)()()(
)2.4.4)((
)()()(
0
1
01
1
0
0010
0
0
负幂项部分正幂项部分
--?-
---
-
-
-
-
-
-
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzczzczzc
zzczzcczzc
可将其分为两部分考虑
5
只有在正幂项和负幂项都收剑才认为 (4.4.1)
式收敛于它们的和,
正幂项是一幂级数,设它的收敛半径为 R2,对负幂项,如果令 z=(z-z0)-1,就得到这是 z的幂级数,设收敛半径为 R,令 R1=1/R,则当 |z-z0|>R1时,z<R,(4.4.4)收敛即 (4.4.3)收敛,
因此,只有在 R1<|z-z0|<R2的圆环域,级数 (4.4.1)
才收敛,
)4.4.4(,)( 221
11
0- --
-
-
- zzz ccczzc
n
n
n
n
n
n
6
z0 R1
R2
7
例如级数
.
||||.||||||
||||.||||
,||||
,1
)(
0
11
01
处处发散时原级数当收敛圆环域时原级数在所以当时收敛则当而正幂项级数时收敛即当中的负幂项级数为复常数与
babza
babz
b
z
az
z
a
z
a
z
a
ba
b
z
z
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
8
幂级数在收敛圆内的许多性质,级数 (4.4.1)在收敛圆环域内也具有,例如,可以证明,级数
(4.4.1)在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导,
现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数?先看下例,
9
.
1||0)(,
.1
1
1
11
)1(
1
)(
,1||0
.1|1|01||0
,10
)1(
1
)(
2
数的内是可以展开为级在由此可见的情形先研究内都是解析的及在圆环域但都不解析及在函数
-
-
-
-
zzf
zzz
z
zzzz
zf
z
zz
zz
zz
zf
n
10
其次,在圆环域,0<|z-1|<1内也可以展开为级数,
-?
-?--?
--?-?
-
---
-
-
-
1
21
2
)1(
)1()1(1)1(
])1()1()1(1[
1
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)1(1
1
1
1
)1(
1
)(
n
n
z
zzz
zzz
z
zzzz
zf
11
1O x
y
12
定理 设 f(z)在圆环域 R1<|z-z0|<R2内解析,则
),2,1,0(.d
)(
)(
π2
1
)()(
1
0
0
-
-?
-
n
z
f
i
c
zzczf
C
nn
n
n
n
z
z
z
其中
C为在圆环域内绕 z0的任何一条闭曲线,
13
[证 ] 设 z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以 z0为中心的正向圆周 K1与 K2,K2的半径 R大于 K1的半径 r,且使 z在 K1与 K2之间,
z
K1
z
K2 z
z0
14
由柯西积分公式得
-
-
-
-
-
-
-
-
0
01
0
0
0
22
)(
)(
)(
π2
1)(
π2
1
,
.1,,,
)(
π2
1)(
π2
1
)(
22
12
n
n
K
n
K
KK
zzd
z
f
i
d
z
f
i
z
zz
KzK
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
可以推得和泰勒展开式一样内在上在对第一个积分
15
,)(
)(
1
)(
)(
1
111
.1,
,.d
)(
π2
1
1
01
0
1 0
1
0
0
00
0
0
1
2
2
-
-
-
-
-
-?
-
-
-?
-
-
-
-
-?
-
-
-
-
-
n
n
n
n
n
n
K
zz
z
zz
z
zz
zzzz
zz
z
Kz
K
z
f
i
z
z
zz
z
zz
z
z
因此的外部在点上在由于第二个积分
16
10,
||
.d
)(
)()(
π2
1
)(
),()(d
)(
)(
π2
1
d
)(
π2
1
00
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
q
zz
r
zz
z
q
zz
fz
i
zR
zRzz
z
f
i
z
f
i
K
Nn
n
n
N
N
N
n
n
K
n
K
则令其中
z
z
zz
z
z
z
z
z
z
17
因此有
,0)(lim,0lim
.|)(|
.
1
π2
π2
1
d
||
|)(|
π2
1
|)(|
11
11
0 0
0
0
1
-
-
-
-
zRq
KzfM
q
qM
rq
r
M
s
zz
z
z
f
zR
N
N
N
N
N
Nn
n
K
n
n
N
所以因为上的最大值在是
z
z
z
18
)7.4.4(),2,1(,d
)(
)(
π2
1
)6.4.4(),2,1,0(,d
)(
)(
π2
1
)5.4.4(,)(
)()()(
1
2
1
0
1
0
0
1
0
0
0
-
-
-?
-?-?
--
-
-
-
n
z
f
i
c
n
z
f
i
c
zzc
zzczzczf
K
nn
K
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
z
z
因此
19
级数 (4.4.5)的系数由不同的式子 (4.4.6)与
(4.4.7) 表出,如果在圆环域内取绕 z0的任何一条正向简单闭曲线 C,则根据闭路变形原理,
这两个式子可用一个式子来表示,
)8.4.4(
),2,1,0(,d
)(
)(
π2
1
1
0
-
n
z
f
i
c
C
nn
z
z
z
20
C
z0 R1
R2
21
(4.4.5)称为函数 f(z)在以 z0为中心的圆环域,
R1<|z-z0|<R2内的 洛朗 (Laurent)展开式,它右端的级数称为 f(z)在此圆环域内的 洛朗级数,级数中正整次幂和负整次幂分别称为洛朗级数的 解析部分 和 主要部分,
)8.4.4(),2,1,0(,d
)(
)(
π2
1
)5.4.4(,)()(
1
0
0
-
-?
-
n
z
f
i
c
zzczf
C
nn
n
n
n
z
z
z
22
一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,
负幂项的级数是唯一的,这个级数就是 f(z)的洛朗级数,
事实上,假定 f(z)在圆环域 R1<|z-z0|<R2内用某种方法展成了由正负幂项组成的级数,
-
-
-?
-?
n
n
n
n
n
n
zaf
C
Czzazf
)()(
,,
,)()(
0
0
zz
z 则上一点为条正向简单闭曲线为圆环域内任何并设
23
以 (z-z0)-p-1去乘上式两边,这里 p为任一整数,
并沿 C沿分,得
),2,1,0(,d
)(
)(
π2
1
π2d)(d
)(
)(
1
0
1
01
0
-
-?
-
-
--
p
z
f
i
a
iaza
z
f
C
pp
p
n C
pn
n
C
p
z
z
z
zzz
z
z
从而这就是 (4.4.8)
-
-?
n
n
n zaf )()( 0zz
24
用 (4.4.8)计算 cn要求环积分,过于麻烦,因此一般不用,一般是根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,可以用别的方法,特别是代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式,
例如,
)||0(,
!4
1
!3
1
2
111
)
!4!32
1(
1e
2
2
432
22
zzz
zz
zzz
z
zz
z
25
例 1 函数 在圆环域
i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+?;内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数,
)2)(1(
1)(
--? zzzf
x
y
O 1 x
y
O 1 2 x
y
O 2
26
[解 ] 先把 f(z)用部分分式表示,
.
8
7
4
3
2
1
22
1
2
1
)1(
2
1
1
2
1
1
1
)(
1||0i)
.
2
1
1
1
)(
2
2
2
2
-
-
-
-
-
-
-
zz
zz
zz
z
z
zf
z
zz
zf
内在
27
ii) 在 1<|z|<2内
.
842
1111
22
1
2
1
)
11
1(
1
2
1
1
2
1
1
1
11
2
1
1
1
)(
2
1
2
2
2
--------?
-
-
-
-
-
-?
-
-
-
-
zz
zzz
zz
zzz
z
z
z
zz
zf
nn
28
iii) 在 2<|z|<+?内
.
731
)
42
1(
1
)
11
1(
1
2
1
11
1
1
11
2
1
1
1
)(
432
22
-
-
-
-?
-
-
-
zzz
zzzzzz
z
z
z
z
zz
zf
29
例 2 把函数
.||0e)(
1
3 内展开成洛朗级数在 zzzf z
.
!4
1
!3
1
!2
)
!4
1
!3
1
!2
11
1(e
!!3!2
1e
23
432
3
1
3
32
z
z
zz
zzzz
zz
n
zzz
z
z
n
z
[解 ] 因有
30
第五章 留数
§ 1 孤立奇点
31
函数不解析的点为 奇点,
如果函数 f(z)虽在 z0不解析,但在 z0的某一个去心邻域 0<|z-z0|<d内处处解析,则 z0称为 f(z)的孤立奇点,
.0e,
1 1
为孤立奇点都以例如函数
z
z
z
将函数 f(z)在它的孤立奇点 z0的去心邻域内展开成洛朗级数,根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类,
32
1,可去奇点 如果在洛朗级数中不含 z-z0的负幂项,则孤立奇点 z0称为 f(z)的可去奇点,
这时,f(z)在 z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是一个普通的幂级数,
c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....
因此,这个幂级数的和函数 F(z)是在 z0解析的函数,且当 z?z0时,F(z)=f(z); 当 z=z0时,F(z0)=c0,
由于
,)()(lim)(lim 00
00
czFzFzf
zzzz
33
所以不论 f(z)原来在 z0是否有定义,如果令
f(z0)=c0,则在圆域 |z-z0|<d内就有
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,
从而函数 f(z)在 z0就成为解析的了,由于这个原因,所以 z0称为可去奇点,
34
.0
s i n
,10
s i n
.
!5
1
!3
1
1
)
!5
1
!3
1
(
1s i n
0
,
s i n
0,
42
53
就成为解析的了在则的值为在如果约定中不含负幂的项数的去心邻域内的洛朗级因为这个函数在的可去奇点是例如
-?-?
-?-?
z
z
z
z
z
z
zz
zzz
zz
z
z
z
z
z
35
2,极点 如果在洛朗级数中只有有限多个 z-z0
的负幂项,且其中关于 (z-z0)-1的最高幂为
(z-z0)-m,即
f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1
+c0+c1(z-z0)+..,(m?1,c-m?0),
则孤立奇点 z0称为函数 f(z)的 m级极点,上式也可写成
)1.5.5(),(
)(
1
)(
0
zg
zz
zf m
-
其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...
在 |z-z0|<d内是解析的函数,且 g(z0)?0.
36
反过来,当任何一个函数 f(z)能表示为 (5.1.1)的形式,且 g(z0)?0时,则 z0是 f(z)的 m级极点,
如果 z0为 f(z)的极点,由 (5.1.1)式,就有
.,1
,
)1)(1(
2
)(,
.)(lim|)(|lim
32
00
是它的一级极点是它的三级极点对有理分式函数例如或写作
izz
zz
z
zf
zfzf
zzzz
-?
-
37
3,本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多个
z-z0的负幂项,则孤立奇点 z0称为 f(z)的 本性奇点,
--- nz
z
z
n
zze
zezf
!
1
!2
1
1
.0)(,
21
1
1
因为在级数为它的本性奇点以函数例如中含有无穷多个 z的负幂项,
38
在本性奇点的邻域内,函数 f(z)有以下的性质
(证明从略 ),如果 z0为函数 f(z)的本性奇点,则对任意给定的复数 A,总可以找到一个趋向于
z0的数列,当 z沿这个数列趋向于 z0时,f(z)的值趋向于 A,例如,给定复数 A=i,我们把它写成
.)(,}{
,,e.0,,
,
)2
2
π
(
1
,e.e
1
1
)2
2
π
(
izfz
zizn
in
zii
n
z
n
n
z
in
n
的值趋向于趋向于零时沿当所以而时当显然可得则由
39
综上所述
.
.)(lim,)(;)(lim,)(;
)(lim,)(
0
0
0
00
0
反过来结论也成立不存在且不为则的本性奇点为如果则的极点为如果限存在且有则的可去奇点为如果
zfzf
zzfzfz
zfzfz
zz
zz
zz
40
4.函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数 f(z)如果能表示成
f(z)=(z-z0)mj(z),(5.1.2)
其中 j(z)在 z0解析且 j(z0)?0,m为某一正整数,
则 z0称为 f(z)的 m级零点,
例如当 f(z)=z(z-1)3时,z=0与 z=1是它的一级与三级零点,根据这个定义,我们可以得到以下结论,
如 f(z)在 z0解析,则 z0是 f(z)的 m级零点的充要条件是
f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)?0 (5.1.3)
41
这是因为,如果 f(z)在 z0解析,就必能在 z0的邻域展开为泰勒级数,
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+...
易证 z0是 f(z)的 m级极点的充要条件是前 m项系数 c0=c1=...=cm-1=0,cm?0,
这等价于
f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)?0 (5.1.3)
例如 z=1是 f(z)=z3-1的零点,由于
f '(1)=3z2|z=1=3?0,从而知 z=1是 f(z)的一级零点,
42
由于 (5.1.2)中的 j(z)在 z0解析,且 j(z0)?0,因而它在 z0的邻域内不为零,这是因为 j(z)在 z0解析,必在 z0连续,所以给定
.|)(|
2
1
|)(|
|,)(|
2
1
|)()(|
,||,|,)(|
2
1
0
00
00
zz
zzz
zzz
jj
j?jj
ddj?
-
-?
由此得有时当必存在所以 f(z)=(z-z0)mj(z)在 z0的去心邻域内不为零,
即不恒为零的解析函数的零点是孤立的,
43
作业 第四章习题第 144页开始第 16题
44
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