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2
拉氏变换的性质本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的,
为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为 c,在证明性质时不再重述这些条件
3
1,线性性质若 a,b是常数
L [f1(t)]=F1(s),L [f2(t)]=F2(s),
则有
L [af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)
L -1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出,
4
微分性质 若 L [f(t)]=F(s),
则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0) (2.3)
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
))( R e ()0()()]([
)0()]([de)()0(
de)()(e
)(dede)()]([
d|d
0
00
00
csfssFtf
ftfsttfsf
tftf
tfttftf
uvuvvu
st
stst
stst
b
a
b
a
b
a
-
--?
-?

-?



-

-

-

-

-
L
L
L
即
5
推论 若 L [f(t)]=F(s),则
L [f ''(t)]=sL [f'(t)]-f '(0)
=s{sL [f(t)]-f(0)}-f '(0)
=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0)
...
L [f(n)(t)]=sL [f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)
=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f '(0)-...-f(n-1)(0) (2.4)
特别,当初值 f(0)=f '(0)=...=f(n-1)(0)=0时,有
L [f '(t)]=sF(s),L [f ''(t)]=s2F(s),...,
L [f(n)(t)]=snF(s) (2.5)
此性质可以使我们有可能将 f(t)的微分方程转化为 F(s)的代数方程,
6
例 1 利用微分性质求函数 f(t)=cos kt的拉氏变换,
由于 f(0)=1,f '(0)=0,f ''(t)=-k2cos kt,则
L [-k2cos kt]=L [f ''(t)]=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0).
即
-k2L [cos kt]=s2L [cos kt]-s
移项化简得
)0)( R e (][ c o s
22
s
ks
s
ktL
7
例 2 利用微分性质,求函数 f(t)=tm的拉氏变换,
其中 m是正整数,
由于 f(0)=f '(0)=...=f(m-1)(0)=0,而 f(m)(t)=m!
所以 L [m!]=L [f(m)(t)]=smL [f(t)]-sm-1f0)-
sm-2f '(0)-...-f(m-1)(0)
即
L [m!]=smL [tm]
).0)( R e (
!
][
!
]1[!]![
1


s
s
m
t
s
m
mm
m
m
L
LL
所以而
8
此外,由拉氏变换存在定理,还可以得到象函数的微分性质,
若 L [f(t)]=F(s),则
F '(s)=L [-tf(t)],Re(s)>c,(2.6)
和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)],Re(s)>c,(2.7)
这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序


-

-

-
-

00
0
de)(de)(
d
d
de)(
d
d
)(
d
d
tttfttf
s
ttf
s
sF
s
stst
st
9
例 3 求函数 f(t)=t sin kt的拉氏变换,
222
22
222
222
22222
2
22
22222
22
)()(
21
)(
2
d
d
]c os[
)(
2
d
d
]s i n[
][ s i n
ks
ks
ks
kss
ksks
s
ks
s
s
ktt
ks
ks
ks
k
s
ktt
ks
k
kt
-
--
-
-?
-?
L
L
L
同理可得根据上述微分性质可知因为
10
3,积分性质 若 L [f(t)]=F(s)
)(
1
)(
1
d)(
)],([)0()]([)]([
,
0)0(),()(
,d)()(
)8.2()(
1
d)(
0
0
0
sF
s
tf
s
ttf
thshthsth
htfth
ttfth
sF
s
ttf
t
t
t

-

LL
LLL
L
即有由上述微分性质且则有设证则
11
重复应用 (2.8)式,就可得到,
)9.2()(
1
d)(dd }{
000
sF
s
ttf
n
tt
n
ttt


次
L
12
由拉氏变换存在定理,还可得象函数积分性质,
若 L [f(t)]=F(s),则
ssFss
t
tf
ssF
t
tf
t
tf
t
t
tf
t
t
tf
sttfssF
n
sss
n
s
st
s
st
s
st
s
d)(dd
)(
,
d)(
)()(
de
)(
de
1
)(
dde)(d)(
00
0

次有一般地即





-

-

-
-

L
LL
13
例 4 求函数
t
ttf s in h)(?
1
1
ln
2
1
1
1
ln
2
1
d
1
1
1
1
2
1
d
1
1s i n h
)),5(1,(
1
1
][ s i n h
2
2
-
-
-
-
-
-
s
s
s
s
s
ss
s
st
t
s
t
s
s
s
L
L 由积分性质习题一因的拉氏变换,
14
其中 F(s)=L [f(t)],此公式常用来计算某些积分,例如,
,d)(d
)(
0,)10.2(,d
)(
00
0



ssFt
t
tf
st
t
tf
则有取式按存在如果积分
2
|a r c t a nd
1
1
d
s i n
,
1
1
][ s i n
0
0
2
0
2


ss
s
t
t
t
s
t 则有L
15
4.位移性质 若 L [f(t)]=F(s),则有
L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c),(2.12)
证 根据拉氏变换式,有

--

-
0
)(
0
de)(
de)(e)]([e
ttf
ttftf
tas
statat
L
上式右方只是在 F(s)中将 s换为 s-a,因此
L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c)
16
例 5 求 L [eattm].
1
1
)(
)1(
][
,,
)1(
][
-
m
mat
m
m
as
m
te
s
m
t
L
L 可得利用位移性质已知
22
22
)(
]s i n[e
,][ s i n
kas
k
kt
ks
k
kt
at

L
L 由位移性质得已知例 6 求 L [e
-atsin kt]
17
5,延迟性质 若 L [f(t)]=F(s),又 t<0时 f(t)=0,则对于任一非负数 t?0,有
L [f(t-t)]=e-stF(s) (2.13)
证 根据 (2.1)式,有
))( R e ()(e
de)(ede)(
dd,,
de)(de)(
de)()]([
00
)(
0
0
cssF
uufuuf
ututut
ttfttf
ttftf
s
susus
stst
st


-
-?-?
-?-
-

--

-

--

-


t
tt
t
t
tt
tt
tt
上式令
L
18
函数 f(t-t)与 f(t)相比,f(t)从 t=0开始有非零数值,
而 f(t-t)是从 t=t开始才有非零数值,即延迟了一个时间 t,从它的图象讲,f(t-t)是由 f(t)沿 t轴向右平移 t而得,其拉氏变换也多一个因子 e-st.
O tt
f(t) f(t-t)
19
例 7 求函数

-
t
tt
t
ttu
1
0)(
t
t
s
e
s
tu
s
tu
-
-
1
)]([
,
1
)]([
L
L 根据延迟性质已知的拉氏变换,
1
u(t-t)
t tO
20
例 8 求如图所示的阶梯函数 f(t)的拉氏变换,
利用单位阶跃函数 u(t)可将 f(t)表示为

--?-
0
)(])2()()([)(
k
ktAutututuAtf ttt?
f(t)
4A
3A
2A
1A
O tt 2t 3t
21
利用拉氏变换的线性性质及延迟性质,可得

---?ttt sss
ssssAtf
32 e1e1e11)]([L

-
-
--
-
2
c ot h1
2
e1e1
1
e1
1
)]([
22
t
ttt
s
s
A
s
A
s
A
tf
sss
L
当 Re(s)>0时,有 |e-st|<1,所以,上式右端圆括号中为一公比的模小于 1的等比级数,从而
22
一般地,若 L [f(t)]=F(s),则对于任何 t>0,有
))( R e (
e1
1
)(e)(
)]([)(
0
00
cssFsF
ktfktf
s
k
ks
kk
-

-?
-
-
-

t
t
tt LL
23
例 9 求如图所示的单个半正弦波 f(t)的拉氏变换
O T
2
t
E
f(t)
T
2
T
2
O
O
E
E
T
T
t
f1(t)
f2(t)
t
24
由前图可知,f(t)=f1(t)+f2(t),所以
-
-
-?


-
T
T
s
T
E
T
tu
T
t
T
E
tut
T
E
tftftf
s
T
2
),e1(
2
2
22
2
s i n
)(
2
s i n
)]([)]([)]([
2
2
2
21
L
L
LLL
25
例 10 求如下图所示的半波正弦函数 fT(t)的拉氏变换
T
2
3T
2
5T
2 t
T 2TO
E
fT(t)
26
由例 9可得从 t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为
Tes
EsF sT
2),1()( 2
22
-
其中
2
22
e1
1
e1
)(
)]([
T
s
sTT s
EsF
tf
-
-
-
-
L
从而
27
这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法,
即设 fT(t) (t>0)是周期为 T的周期函数,如果

其他0
0)(
)(
Tttf
tf T
sTT
sF
tf -
-
e1
)(
)]([L
且 L [f(t)]=F(s),则
28
初值定理与终值定理
)14.2(
)(lim)0(
)(lim)(lim
,)(lim
),()]([)1(
0



ssFf
ssFtf
ssF
sFtf
s
st
s
或写为则存在且若初值定理 L
29
证 根据拉氏变换的微分性质,有
L [f '(t)]=L [f(t)]-f(0)=sF(s)-f(0)
两边同时将 s趋向于实的正无穷大,并因为
)(lim)(lim)0(
0)0()(lim
0de)(lim)]([lim
0
)R e (
0)R e ()R e (
ssFtff
fssF
ttftf
st
s
st
ss



-


-

即因此
L
30
(2) 终值定理 若 L [f(t)]=F(s),且 sF(s)在
Re(s)?0的区域解析,则
)15.2(
)(lim)(
)(lim)(lim
0
0



ssFf
ssFtf
s
st
或写为
31
证 根据定理给出的条件和微分性质
L [f '(t)]=sF(s)-f(0),
两边取 s?0的极限,并由
)(lim)()(lim
)0()(lim)0()(lim
)0()(lim)(d)(
de)(lim)]([lim
0
0
0
0
000
ssFftf
fssFftf
ftftfttf
ttftf
st
st
t
st
ss






-


-?-
-

即得
L
32
这个性质表明 f(t)在 t时的数值 (稳定值 ),可以通过 f(t)的拉氏变换乘以 s取 s?0时的极限值而得到,它建立了函数 f(t)在无限远的值与函数 sF(s)在原点的值之间的关系,
在拉氏变换的应用中,往往先得到 F(s)再去求出 f(t),但经常并不关心函数 f(t)的表达式,而是需要知道 f(t)在 t和 t?0时的性态,这两个性质给了我们方便,能使我们直接由 F(s)来求出
f(t)的两个特殊值 f(0),f(+?).
33
例 11 若 ).(),0(,1)]([
ffastf 求L
上面所求与结果一致即我们已知
atat
ss
ss
tf
as
as
s
ssFf
as
s
ssFf
--




e)(,
1
][e
0lim)(lim)(
1lim)(lim)0(
00
L
根据初值定理和终值定理,
34
是不存在的而虽然就不满足定理的条件上位于虚轴的奇点为则的例如函数是否满足注意定理条件但应用终值定理时需要
ttf
t
s
tf
s
s
ssF
s
s
s
ssF
s
sFtf
tt
ss
s i nlim)(lim
,s i n
1
1
)(
,0
1
lim)(lim
.,
j
1
)(
,
1
1
)()(,
2
1
2
00
2
2

-


L
35
作业 习题二第 70页第 1题
36
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