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积分变换傅里叶 (Fourier)级数展开在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数 fT(t)打交道,例如,
具有性质 fT(t+T)=fT(t),其中 T称作周期,而 1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹 (Herz,或 Hz).
t
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j)
其中 w=2p/T
而 Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数
sinwt和 coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
t
人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近,
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间 [-T/2,T/2]
内函数变化的情况,并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件,即在区间 [-T/2,T/2]上
1,连续或只有有限个第一类间断点
2,只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数,
第一类间断点和第二类间断点的区别,
第二类间断点第一类间断点不满足狄氏条件的例,
.0
)
1
s i n ()(
tg)(
点处存在着无限多个极值在靠近存在第二类间断点
t
tf
ttf
而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变化函数,全部满足狄氏条件,实际上不连续函数都是严格上讲不存在的,但经常用不连续函数来近似一些函数,使得思维简单一些,
在区间 [-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合,这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个线性空间 V,此空间的向量就是函数,线性空间的一切理论在此空间上仍然成立,更进一步地也可以在此线性空间 V上定义内积运算,这样就可以建立元素
(即函数 )的长度 (范数 ),及函数间角度,及正交的概念,两个函数 f和 g的内积定义为,
-? 2
2
d)()(],[
T
T
ttgtfgf
一个函数 f(t)的长度为
.0],[
,,
],[
c os
d)(d)(d)()(
],[
:
d)(],[||||
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
正交与称为则如果间的夹角余弦是这样可令即而许瓦兹不等式成立
gfgf
gf
gf
gf
ttgttfttgtf
gfgf
ttffff
T
T
T
T
T
T
T
T



---
-
而在区间 [-T/2,T/2]上的三角函数系
1,coswt,sinwt,cos 2wt,sin 2wt,...,
cos nwt,sin nwt,...
是两两正交的,其中 w=2p/T,这是因为
cos nwt和 sin nwt都可以看作是复指数函数 ejnwt
的线性组合,当 n?m时,
p
p
p
w?
p
p
p
ww
d
2
d,
d2
d,
2
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2
dee
)j(jj2
2
T
t
T
t
T
t
t
T
t
mntmtn
T
T


-
-
-
则其中这是因为
0]1[ee
)j(
1
]e[e
)j(
1
e
)j(
1
de
)(2j)j(
)j()j(
)j()j(
-
-
-
-
-
-
---
---
-
-
-
pp
pp
p
p
p
p
mnmn
mnmn
mnmn
mn
mn
mn
由此不难验证
),,,3,2,1,(0dc osc os
),,,3,2,1,(0ds i ns i n
),,3,2,1,(0dc oss i n
),,3,2,1(0ds i n
),,3,2,1(0dc os
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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mnmnttmtn
mnttmtn
nttn
nttn
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T





-
-
-
-
-
ww
ww
ww
w
w
而 1,coswt,sinwt,...,cos nwt,sin nwt,...的函数的长度计算如下,
2
d
2
2c os1
ds i ns i n
2
d
2
2c os1
dc osc os
d11
2
2
2
2
2
2
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2
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2
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2
2
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T
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T
T
T
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-
w
ww
w
ww
因此,任何满足狄氏条件的周期函数 fT(t),可表示为三角级数的形式如下,


-
--
--



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2
2
2
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2
2
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d
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d)(
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t
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T
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nn
T
T
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nnT
即即计算为求出
ww
ww
为求 an,计算 [fT(t),cosnwt],即



-
-
-
-
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2
2
2
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2
2
2
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2
2
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Tn
nn
n
m
m
m
m
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w
w
ww
ww
ww
即同理,为求 bn,计算 [fT(t),sin nwt],即



-
-
-
-
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2
2
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2
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2
2
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T
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m
m
m
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w
w
ww
ww
ww
即最后可得,
),2,1(ds i n)(
2
),2,1(dc os)(
2
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2
)1.1()s i nc os(
2
)(
2
2
2
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-
-
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T
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nttntf
T
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ttf
T
a
tnbtma
a
tf
T
T
T
T
T
T
Tn
Tn
T
n
nnT
w
w
ww
其中而利用三角函数的指数形式可将级数表示为,
-
--
--

-

-
-

-
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1
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1
jjjj
0
jjjj
2
j
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j
2
2
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n
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n
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tf
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jj 得由如令 wn=nw (n=0,?1,?2,...)


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-

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n
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n
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jba
c
a
c
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1
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0
0
)(
,3,2,1,
2
,3,2,1,
2
,
2
且令给定 fT(t),cn的计算如下,
-
-
-
-
-
-
-?
-
-?
-


2
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2
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2
2
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1
)(
),2,1,0()(
1
)(
1
2
j
子因此可以合写成一个式而例 定义方波函数为
1||0
1||1
)(
t
t
tf
如图所示,
1-1 o t
f(t)
1
现以 f(t)为基础构造一周期为 T的周期函数 fT(t),
令 T=4,则
2
,
24
22
,)4()(
4
p
ww
ppp
w
n
n
T
ntftf
n
n



-
1-1 3
T=4
f4(t)
t
则
),2,1,0()s i n c (
2
1s i n
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T
T
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w
w
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ww
w
sinc函数介绍则函数在整个实轴连续用不严格的形式就写作所以定义但是因为处是无定义的严格讲函数在函数定义为
,1
0
s i n
,1)0s i n c (
1
s i n
lim
,0
s i n
)s i n c (
s i n c
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
sinc函数的图形,
sinc(x)
x
前面计算出以竖线标在频率图上可将
nn
nn
c
n
T
nn
nc
,
2
2
),2,1,0()s i n c (
2
1
pp
ww
w


w
现在将周期扩大一倍,令 T=8,以 f(t)为基础构造一周期为 8的周期函数 f8(t)
4
,
48
22
,)8()(
8
p
ww
ppp
w
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T
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-
1-1 7
T=8
f8(t)
t
则

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1
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w
w
ww
www
ww
w
则在 T=8时,
以竖线标在频率图上再将
nn
nn
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n
nn
nc
,
48
2
),2,1,0()s i n c (
4
1
pp
ww
w


w
如果再将周期增加一倍,令 T=16,可计算出以竖线标在频率图上再将
nn
nn
c
n
nn
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,
816
2
),2,1,0()s i n c (
8
1
pp
ww
w


w
一般地,对于周期 T
),2,1,0()s i n c (
2s i n2
1
1
1
1
1
)(
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1
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当周期 T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc函数的形状,因此,如果将方波函数 f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即 sinc函数的形状看作是 f(t)的各个频率成份上的分布,称作 f(t)
的傅里叶变换,
对任何一个非周期函数 f(t)都可以看成是由某个周期函数 fT(t)当 T时转化而来的,
作周期为 T的函数 fT(t),使其在 [-T/2,T/2]之内等于 f(t),在 [-T/2,T/2]之外按周期 T延拓到整个数轴上,则 T越大,fT(t)与 f(t)相等的范围也越大,
这就说明当 T时,周期函数 fT(t)便可转化为
f(t),即有
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T
T

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O t
fT1(t)
O t
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-?
-

-
-


-
-


-
-
或两个相邻的点的距离为布在整个数轴上所对应的点便均匀分取一切整数时当可知由公式如图



-
-

-
-

-
-
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T
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t
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p

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O w1 w2 w3 wn-1wn
T
p2{
T
p2{
T
p2{
w
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jj
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)(lim
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2
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2
2


-
-

-

-
-
-
-
-
即当令此公式称为函数 f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,



-
-
-

-

-

-
-
-

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p
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n
nnT
t
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eeftf
tf
eef
n
nn
最后得由傅氏积分定理 若 f(t)在 (-?,+?)上满足条件,1,
f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件 ; 2,f(t)在无限区间 (-?,+?)上绝对可积,则有收敛绝对可积是指的在来代替应以处在它的间断点而左端的成立


-

-
-
-
-?
-


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tftf
ttf
eeftf
t
d|)(|),(
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2
)0()0(
,)(,
)4.1(dd)(
2
1
)(
jj
w
p
ww?
(1.4)式也可以转化为三角形式
)5.1(dd)(c os)(
2
1
)(
,)(s i n)(
)(s i n)(
d)(c os)(
2
1
dd)(
2
1
dd)(
2
1
)(
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jj





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-

-

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-
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tftf
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ddtfj
tf
ef
eeftf
t
t
的奇函数是因又考虑到积分
)6.1(dd)(c os)(
1
)(
)5.1(dd)(c os)(
2
1
)(
,
)(c os)(
0



-

-
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tftf
dtf
可得从的偶函数是作业 习题一第 8页第 1,2题请提问