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2
第六章 共形映射
3
§ 1 共形映射的概念
4
z平面内的任一条有向曲线 C可用
z=z(t),a?t?b
表示,它的正向取为 t增大时点 z移动的方向,
z(t)为一条连续函数,
如果 z '(t0)?0,a<t0<b,则表示 z '(t)的向量 (把起点放取在 z0,以下不一一说明 )与 C相切于点
z0=z(t0).
z(t0)
z(a)
z(b)
z '(t0)
5
事实上,如果通过 C上两点 P0与 P的割线 P0P的正向对应于 t增大的方向,则这个方向与表示
t
tzttz
Δ
)()Δ( 00
的方向相同,
O x
y
z(t0)P0
P
z(t0+Dt) C
(z)
6
当点 P沿 C无限趋向于点 P0,割线 P0P的极限位置就是 C上 P0处的切线,因此,表示
t
tzttztz
t Δ
)()Δ(lim)( 00
0Δ0
的向量与 C相切于点 z0=z(t0),且方向与 C的正向一致,如果我们规定这个向量的方向作为 C上点 z0处的切线的正向,则我们有
1) Arg z '(t0)就是 z0处 C的切线正向与 x轴正向间的夹角 ;
2) 相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角
7
1.解析函数的导数的几何意义 设函数 w=f(z)
在区域 D内解析,z0为 D内的一点,且 f '(z0)?0,
又设 C为 z平面内通过点 z0的一条有向光滑曲线,它的参数方程是,
z=z(t),a?t?b,
它的正向相应于参数 t增大的方向,且 z0=z(t0),
z '(t0)?0,a<t0<b,则映射 w=f(z)将 C映射成 w平面内通过点 z0的对应点 w0=f(z0)的一条有向光滑曲线 G,它的参数方程是
w=f[z(t)],a?t?b
正向相应于参数 t增大的方向,
8
根据复合函数求导法,有
w '(t0)=f '(z0)z '(t0)?0
因此,在 G上点 w0处也有切线存在,且切线正向与 u轴正向的夹角是
Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0)
O x
y
O u
v
z0
P0 r
z
PDs
C
(z) (w)
G
w0Q0
Q
w
r
Ds
9
即
Arg w '(t0)?Arg z '(t0)=Arg f '(z0) (6.1.1)
如果假定 x轴与 u轴,y轴与 v轴的正向相同,而且将原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线 C经过 w=f(z)映射后在 z0处的转动角,则 (6.1.1)式表明,
1)导数 f '(z0)?0的辐角 Arg f '(z0)是曲线 C经过
w=f(z)映射后在 z0处的转动角 ;
2)转动角的大小与方向跟曲线 C的形状与方向无关,所以这种映射具有转动角的不变性,
10
通过 z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到 w平面的曲线在 w0点都转动了一个角度 Arg f '(z0).
O x
y
O u
v(z) (w)
z0 w0
11
相交于点 z0的任何两条曲线 C1与 C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经 w=f(z)映射后 C1与 C2对应的曲线 G1与 G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质,这种性质称为 保角性
O x
y
O u
v(z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
12
此极限值称为曲线 C在 z0的 伸缩率,
O x
y
O u
v
z0
P0 r
z
PDs
C
(z) (w)
G
w0Q0
Q
w
r
Ds
)3.1.6(
Δ
Δ
lim|)(|
e
Δ
ΔΔ
Δ
e
e)()(
0
0
)(
0
0
0
0
s
zf
r
s
srzz
zfzf
zz
ww
zz
i
i
i
s
s
rsr
得
13
(6.1.3)表明,
|f '(z)|是经过映射 w=f(z)后通过点 z0的任何曲线
C在 z0的伸缩率,它与曲线 C的形状及方向无关,
所以这种映射又具有伸缩率的不变性,
14
定理一 设函数 w=f(z)在区域 D内解析,z0为 D内的一点,且 f '(z0)?0,则映射 w=f(z)在 z0具有两个性质,
1)保角性,即通过 z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变
2)伸缩率的不变性,即通过 z0的任何一条曲线的伸缩率均为 |f '(z0)|而与其形状和方向无关,
15
2,共形映射的概念定义 设函数 w=f(z)在 z0的邻域内是一一的,在
z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射 w=f(z)
在 z0是共形的,或称 w=f(z)在 z0是共形映射,如果映射 w=f(z)在 D内的每一点都是共形的,就称 w=f(z)是区域 D内的共形映射,
16
定理二 如果函数 w=f(z)在 z0解析,且 f '(z0)?0,
则映射 w=f(z)在 z0是共形的,而且 Arg f '(z0)表示这个映射在 z0的转动角,|f '(z0)|表示伸缩率,
如果解析函数 w=f(z)在 D内处处有 f '(z)?0,则映射 w=f(z)是 D内的共形映射,
17
定理一的几何意义,在 D内作以 z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以 w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为 |f '(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似,
O x
y
O u
v(z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
18
O x
y
O u
v(z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
.|)(|||
||
)(
||
||
|)(|
00
0
0
0
zfww
zz
zfw
zz
ww
zf
近似地映射成圆也将很小的圆由此看出映射伸缩率
19
§ 2 分式线性映射
20
分式线性映射
0))((,
0
)(d
d
)1.2.6(0
2
bcda
acw
bdw
z
bazdwc w z
dcz
bcad
z
w
bcad
d
b
c
a
dcz
baz
w
21
两个分式线性映射的复合,仍是一个分式线性映射,例如
0)'''')(()(
),0''''(
''
''
),0(
b?ab?a?
b?a
ba
b?a?
ba?
bcad
dcz
baz
w
z
z
w
式中则
22
也可将一般的分式线性映射分解为一些简单映射的复合,
),(,
,
1
,
.
1
2
1
21
为常数则令
BABAw
w
a
a?
b
ba?
23
由此可见,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成,
z
w
azw
bzw
1
)iii;)ii;)i
下面讨论三种映射,为了方便,暂且将 w平面看成是与 z平面重合的,
24
i)w=z+b,这是一个平移映射,因为复数相加可以化为向量相加,z沿向量 b的方向平移一段距离 |b|后,就得到 w.
O
(z)?(w)
z
w
b
25
ii)w=az,a?0,这是一个旋转与伸长 (或缩短 )的映射,设 a=leia将 z先转一个角度 a,再将 |z|伸长
(或缩短 )l倍后,就得到 w.
O
(z)=(w)
z
w
a
26
圆周的对称点
OP?OP'=r2,
因为 DOP'T相似于 DOPT,因此,
OP':OT=OT:OP,即 OP?OP'=OT2=r2.
C
PP'
r
T
O
P与 P'关于圆周
C互为对称点
27
..
,
1||,
1
.
1
iii)
11
w
ww
zz
z
wz
z
w
即得点关于实轴对称的然后再作出点对称的点关于圆周应先作出点作出要从
z
w1
w
28
1.保角性
.
/1.
/1,0
0,
,0,0
.,,0
11
,
1
)iii
2
的形在整个扩充复平面是共则条曲线的夹角在无穷远处的两就是点的夹角线在点的两条曲任何穿过形映射的补充规定对这两点作共时时而当因此是共形映射时是解析函数当这时首先讨论
z
zw
z
wzwz
zz
zz
w
z
w
29
而 i)与 ii)构成的复合映射 w=az+b经过类似的处理后也可以看作是在整个扩充复平面上共形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,因此有定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的,且具有保角性,
30
2.保圆性映射 w=az+b和 w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性,这里将直线看作是无穷大半径的圆,
这种性质称作保圆性,映射 w=az+b显然,
下面说明 w=1/z具有保圆性,
2222
2222
,
,
1
,
vu
v
y
vu
u
x
yx
y
v
yx
x
u
ivu
z
wiyxz
或则令
31
因此,映射 w=1/z将方程
a(x2+y2)+bx+cy+d=0
变为方程
d(u2+v2)+bu?cv+a=0
当然,可能是将圆周映射为圆周 (当 a?0,d?0);
圆周映射成直线 (当 a?0,d=0); 直线映射成圆周
(当 a=0,d?0)以及直线映射成直线 (当 a=0,d=0),
这就是说,映射 w=1/z把圆周映射成圆周,或者说,映射 w=1/z具有保圆性,
32
定理二 分式线性映射将扩充 z平面上的圆周映射成扩充 w平面上的圆周,即具有保圆性,
根据保圆性,在分式线性映射下,如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,则它就映射成半径为有限的圆周 ; 如果有一个点映射成无穷远点,它就映射成直线,
33
z1,z2是关于圆周 C的一对对称点的充要条件是经过 z1,z2的任何圆周 G 都与 C正交,
C
R
z0 z
1 z2
z' G
34
定理三 设点 z1,z2是关于圆周 C的一对对称点,
则在分式线性映射下,它们的象点 w1与 w2也是关于 C的象曲线 G的一对对称点,
[证 ] 设经过 w1与 w2的任一圆周 G '是经过 z1与 z2
的圆周 G 由分式线性映射过来的,由于 G 与 C
正交,而分式线性映射具有保角性,所以 G '与
C '(C的象 )也必正交,因此,w1与 w2是一对关于
C '的对称点,
35
§ 3 唯一决定分式线性映射的条件
36
分式线性映射
dcz
baz
中含有四个常数 a,b,c,d,但是,如果用这四个数中的一个去除分子和分母,就可将分式中的四个常数化为三个常数,所以,上式中实际上只有三个独立的常数,因此,只需给定三个条件,就能决定一个分式线性映射,
定理 在 z平面上任意给定三个相异的点 z1,z2,z3,在 w
平面上也任意给定三个相异的点 w1,w2,w3,则存在唯一的分式线性映射,将 zk(k=1,2,3)依次映射成
wk(k=1,2,3).
37
[ 证 ] 设
)0(
bcad
dcz
baz
w
,将 z
k
( k =1,2,3) 依次映射成 w
k
( k =1,2,3),即
)3,2,1(,?
k
dcz
baz
w
k
k
k
因而有
)2,1(,
))((
))((
k
dczdcz
bcadzz
ww
k
k
k
及
)2,1(.
))((
))((
3
1
3
k
dczdcz
bcadzz
ww
k
k
k
38
由此得
)1.3.6(.
13
23
2
1
13
23
2
1
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
这就是所求的分式线性映射,如果有另外一个分式线性映射,也把 z平面上三个相异点 z1,z2,z3
依次映射成 w平面上的三个相异点 w1,w2,w3,
则重复上面的步骤,消去常数后,最后得到的仍然是 (6.3.1)式,所以 (6.3.1)式是由三对相异的对应点唯一确定的分式线性映射,
39
现在研究,在给定两个圆周 C与 C',在圆周上分别取定三个点,必能找到一个分式线性映射将
C映射成 C',但是这个映射会将 C内部映射成什么呢?.
如果在 C内任取一点 z0,而点 z0的象在 C'的内部,
则 C的内部就映射成 C'的内部 ; 如果 z0的象在
C'的外部,则 C的内部就映射成 C'的外部,
或者在 C上取定三点 z1,z2,z3,它们在 C'的象分别为 w1,w2,w3,如果 C依 z1?z2?z3的绕向与 C'
依 w1?w2?w3的绕向相同,则 C的内部就映射成 C'的内部,否则映射成 C'的外部
40
z1
z2
z
z3
w1
w2
w3 w1
w2w3
w
w
41
现讨论在 z平面内两个圆包围的区域的映射情况,根据前面的讨论可知,
(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域 ;
(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,
这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域 ;
(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域,
42
例 1 中心在 z =1 与 z 1,半径为 2 的二圆弧所围 区域,在 映射 iz
iz
w
下 映射 成 什么 区域?
x
1
i
i
1
C1C2
y
(z)
O
43
[解 ] 所设的两个圆弧的交点为?i与 i,且相互正交,交点?i映射成无穷远点,i映射成原点,因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域,张角等于 p/2.
.
22
)21()21(
12
12
,12
1
i
i
i
w
zC 对应点是与正实轴的交点取此点在第三象限的分角线 C1'上,由保角性知
C2映射为第二象限的分角线 C2.
44
映射的角形区如图所示
x
1
i
i
1
C1C2
y
(z)
O
C2'
C1'
O u
v
(w)
45
例 2 求将上半平面 Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1
的分式线性映射,
O 1-1 x
y
l
O 1-1 u
i
v(z)
(w)
l
46
[解法一 ] 将上半平面看成半径为无穷大的圆域,实轴就是圆域的边界圆周,因为分式线性映射具有保圆性,因此它必能将上半平面
Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1,由于上半平面总有一点 z=l要映成单位圆周 |w|=1的圆心 w=0,
.
,
.1||
0,
,
w
z
w
zz
zz
必映成的性质知映射具有保对称点不变所以根据分式线性的一对对称点于圆周是与之对应的关与轴的一对对称点是关于实与而实轴要映射成单位圆
l
ll
47
从而所求的分式线性映射具有下列形式,
.?
l
l
z
z
kw
)2.3.6()0)( I m (,e
.
,e,1||,1,
1||,||||
l
l
l
l
l
l
l
z
z
w
kk
z
z
wz
z
z
kw
i
i
形式为射的一般因此所求的分式线性映是任意实数这里即所以这时上的点对应着而实轴上的点因为其中 k为常数,
48
反之,形如上式的分式线性映射必将上半平面
Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1,因为当 z取实数时
,1|e|e||?
l
l
l
l
z
z
z
z
w ii
即把实轴映射成 |w|=1,又因为上半平面中的
z=l映射成 w=0,所以 (6.3.2)必将 Im(z)>0映射成 |w|<1.
)2.3.6()0)( I m (,e
l
l
l?
z
z
w i
49
也可以在 x轴上与在单位圆周 |w|=1上取三对不同的对应点来求,
[解法二 ] 在 x轴上任意取定三点,z11,z2=0,
z3=1使它们对应于 |w|=1上三点,w1=1,w2=i,
w31,则因 z1?z2?z3跟 w1?w2?w3的绕向相同,由 (6.3.1)式得所求的分式线性映射为
.11 01011111 zziiww
)3.3.6(1 iz izw
化简后 即得
50
注意,如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的,但不同于 (6.3.3)的分式线性映射,此可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的,而是有无穷多,这从
(6.3.2)中的?可以任意取实数值即可明白,
(6.3.3)就是取 l=i,p/2而得到的,如果以 l=i,
=0代入 (6.3.2),则
)4.3.6(
iz
iz
w
这也是一个把上半平面 Im(z)>0映射成单位圆
|w|<1,且将点 z=i映射成圆心 w=0的映射,
51
例 3 求将上半平面 Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1
且满足 w(2i)=0,arg w'(2i)=0的分式线性映射,
[解 ] 由条件 w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点 z=2i映射成单位圆周的圆心 w=0,所以由 (6.3.2)得
.
2
2
iz
iz
ew i?
,
)2(
4e)(
2iz
izw i
因为 故有
.
4
)2(?
ieiw i?
52
从而得所求的映射为
.
2
,0
2
)2(a r g
4
)2(,
2
2
e
p
p
iw
i
eiw
iz
iz
w
ii
iz
iz
iw
2
2
53
例 4 求将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射,
x1
y(z)
O O u
v
(w)
1
a
a
1
54
[解 ] 设 z平面上单位圆 |z|<1内部的一点 a映射成 w平面上的单位圆 |w|<1的中心 w=0,这时与如下的形式件的分式线性映射具有满足这些条时而当时当因此对称的点即与平面上的无穷远点应该被映射成的点对称于单位圆周点
.,
1
,0,
,).0(
1
1||
wzwz
ww
z
a
a
a
a
,
1
'
11
z
z
k
z
z
k
z
z
kw
a
a
a
a
a
a
a
akk'其中
55
由于 z平面上单位圆周上的点要映成 w平面上单位圆周上的点,所以当 |z|=1,|w|=1,将圆周
|z|=1代入上式,得
|,1||1|
1||
1
1
|'|
aa
a
a
又因
wk
所以 |k'|=1,即 k'=ei?.
这里?是任意实数,
,
1
'?
z
z
kw
a
a
56
因此,将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射的一般表示式是
)5.3.6()1|(|.
1
e
a
a
a?
z
z
w i
.1
e
e
e1
e
e||?
a
a
a
a
i
i
i
i
iw
反之,形如上式的映射必将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1,这是因为圆周 |z|=1上的点 z=ei? (?
为实数 )映射成圆周 |w|=1上的点,
同时单位圆 |z|<1内有一点 z=a映射成 w=0.所以
(6.3.5)必将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1.
57
例 5 求将单位圆映射成单位圆且满足条件
w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式线性映射,
[解 ] 由条件 w(1/2)=0知,所求的映射要将 z=1/2
映射成 |w|<1的中心,所以由 (6.3.5)得
3
4
e
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
e
2
1
,
2
1
1
2
1
e
2
1
2
i
z
i
i
z
zz
w
z
z
w
58
z
z
z
z
w
w
ww
w
i
2
12
2
1
1
2
1
.0,0
2
1
a r g
,0
2
1
,
2
1
a r g
,
3
4
e
2
1
所以所求映射为即从而为正实数由于故
59
例 6 求将 Im(z)>0映射成 |w?2i|<2且满足条件
w(2i)=2i,arg w'(2i)p/2的分式线性映射,
[解 ] 容易看出,映射?=(w?2i)/2将 |w?2i|<2映射成 |?|<1,且满足?(2i)=0的映射易知为
,
4
1
e2)2(
2
2
e
2
2
2
2
e
i
iw
iz
iziw
iz
iz
i
i
i
由此得故有
60
.
2
2
)1(2
2
2
2
2
.0,
2
)2(a r g
.
2
)4a r g ()e2a r g ()2(a r g
,
4
1
e2)2(
2
2
e
2
2
iz
z
iw
iz
iziw
iw
iiw
i
iw
iz
iziw
i
ii
或于是所求映射为从而得由于已知?
p
p
61
2i
(z)
O
(?)
2i
(w)
iz
ziw
2
2)1(2
iz
iz
2
2
w=2(i+?)
62
§ 4 几个初等函数所构成的映射
63
1,幂函数 w=zn(n?2为自然数 )在 z平面内处处可导,它的导数是
1
d
d nnz
z
w
0
d
d
z
w
因而当 z?0时,
所以,在 z平面内除去原点外,由 w=zn所构成的映射处处共形,映射的特点是,把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的 n倍
64
O
(z)
0
O
(w)
n?0
w=zn
(z) (w)
OO
np2 上岸下岸
w=zn
65
例 1 求把角形域 0<arg z<p/4映射成单位圆
|w|<1的一个映射,
[解 ]?=z4将所给角形域 0<arg z<p/4映射成上半平面 Im(?)>0,又从上节的例 2知,映射
.
.1||
4
4
iz
iz
w
w
i
i
w
所求映射为因此圆将上半平面映射成单位
66
(z)
O
4
p
O
(? )
1
(w)
z4
i
iw
iz
izw
4
4
67
例 2 求把下图中由圆弧 C2与 C3所围成的交角为 a的月牙域映射成角形域?0<arg w<?0+a的一个映射,
0
(w)
O1
C1 C2
a(z)
O
i
i
68
a
O
(?)
0
(w)
O1
C1 C2
a(z)
O
i
i
iz
izi 0e iw?
iz
izew i )2( 0 p?
1
69
[解 ] 先求出把 C1,C2的交点 i与?i分别映射成?
平面中的?=0与?=?,并使月牙域映射成角形域 0<arg?<p;再把这角形域通过映射
w=exp(i?0)?转过一角度?0,即得把所给月牙域映射成所给角形域的映射,
将所给月牙域映射成?平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数,
iz
iz
k?
其中 k为待定的复常数,
70
.
.a r g0
,.
,,1
.
1
1
1
)
2
(
1
1
0
0
iz
iz
e
iz
iz
iew
C
iz
iz
iik
ik
i
i
kzC
iz
iz
k
i
i
p
a?
由此得所求的映射为映射成角形域它把所给的月牙域根据保角性平面上的正实轴映射成就把映射这样使取映射成上的点此映射把
71
例 3 求把具有割痕 Re(z)=a,0?Im(z)?h的上半平面映射成上半平面的一个映射,
xO
y (z)
C(a+ih)
B Da
O u
v (w)
a?h a a+h
B C D
72
xO
y (z)
C(a+ih)
B Da
O u
v (w)
a?h a a+h
B C D
O
(z1)
C
B D
ih
h2
C O B
D
(z2)
C
O Bh2
D
(z3)
O
(z4)
CB D
h +h
z1=z?a
z2=z12
z3=z2+h2
34 zz?
w=z4+a
ahazw 22)(
73
[解 ] 不难看出,解决本题的关键显然是要设法将垂直于 x轴的割痕的两侧和 x轴之间的夹角展平,由于映射 w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍,所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的,
首先,把上半 z平面向左作一个距离为 a的平移,z1=z?a.
第二,再应用映射 z2=z12,便得到一个具有割痕
h2?Re(z2)<+?,Im(z2)=0的 z2平面,
第三,把 z2平面向右作一距离为 h2的平移,
z3=z2+h2,便得到去掉了正实轴的 z3平面,
74
ahazw
wazw
az
zzz
22
4
4
434
)(
:
.,
:,
.,,
映射就得到所求出把所有的映射复合起来平面中的上半平面便得到的平移平面向右作一距离为把最后平面便得到上半通过映射第四
75
2,指数函数 w=ez 由于在 z平面内
w'=(ez)'=ez?0
所以,由 w=ez所构成的映射是一个全平面上的共形映射,设 z=x+iy,w=rei?,则
r = ex,? = y,(6.4.2)
由此可知,z平面上的直线 x=常数,被映射成 w
平面上的圆周 r=常数 ; 而直线 y=常数,被映射成射线?=常数,
带形域 0<Im(z)<a映射成角形域 0<arg w<a,特别是带形域 0<Im(z)<2p映射成沿正实轴剪开的 w平面,0<arg w<2p.它们间的点是一一对应的,
76
ai
O x
y
(z)
arg w=a
uO
v (w)
2pi
O x
y (z)
O u
v (w)
w=ez
z=lnw
77
由指数函数 w=ez所构成的映射的特点是,把水平的带形域 0<Im(z)<a(a?p)映射成角形域
0<arg w<a,因此,如果要把带形域映射成角形域,常常利用指数函数,
78
例 4 求把带形域 0<Im(z)<p映射成单位圆 |w|<1
的一个映射,
[解 ] 由刚才的讨论知,映射?=ez将所给的带形域映射成?平面的上半平面 Im(?)>0,而根据
(6.3.4)又知,
i
i
w
w
i
i
w
z
z
e
e
.1||
0)I m (
因此所求的映射为成单位圆映射将平面的上半平面映射?
79
例 5 求把带形域 a<Re(z)<b映射成上半平面
Im(w)>0的一个映射,
[解 ] 带形域 a<Re(z)<b经过映射后可映射成带形域 0<Im(?)<p,再用映射 w=e?,
就可把带形域 0<Im(?)<p映射成上半平面
Im(w)>0,因此所求映射为
)(π azab i
)(
π
a
ab
i
ew
80
O
(z)
a b
(w)
O
pi
(?)
O
)(π azab i
w=e?
)(π aab iew
81
作业 第六章习题第 245页开始第 7题 第 12题 第 14题下一讲开始讲概率论与数理统计
82
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2
第六章 共形映射
3
§ 1 共形映射的概念
4
z平面内的任一条有向曲线 C可用
z=z(t),a?t?b
表示,它的正向取为 t增大时点 z移动的方向,
z(t)为一条连续函数,
如果 z '(t0)?0,a<t0<b,则表示 z '(t)的向量 (把起点放取在 z0,以下不一一说明 )与 C相切于点
z0=z(t0).
z(t0)
z(a)
z(b)
z '(t0)
5
事实上,如果通过 C上两点 P0与 P的割线 P0P的正向对应于 t增大的方向,则这个方向与表示
t
tzttz
Δ
)()Δ( 00
的方向相同,
O x
y
z(t0)P0
P
z(t0+Dt) C
(z)
6
当点 P沿 C无限趋向于点 P0,割线 P0P的极限位置就是 C上 P0处的切线,因此,表示
t
tzttztz
t Δ
)()Δ(lim)( 00
0Δ0
的向量与 C相切于点 z0=z(t0),且方向与 C的正向一致,如果我们规定这个向量的方向作为 C上点 z0处的切线的正向,则我们有
1) Arg z '(t0)就是 z0处 C的切线正向与 x轴正向间的夹角 ;
2) 相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角
7
1.解析函数的导数的几何意义 设函数 w=f(z)
在区域 D内解析,z0为 D内的一点,且 f '(z0)?0,
又设 C为 z平面内通过点 z0的一条有向光滑曲线,它的参数方程是,
z=z(t),a?t?b,
它的正向相应于参数 t增大的方向,且 z0=z(t0),
z '(t0)?0,a<t0<b,则映射 w=f(z)将 C映射成 w平面内通过点 z0的对应点 w0=f(z0)的一条有向光滑曲线 G,它的参数方程是
w=f[z(t)],a?t?b
正向相应于参数 t增大的方向,
8
根据复合函数求导法,有
w '(t0)=f '(z0)z '(t0)?0
因此,在 G上点 w0处也有切线存在,且切线正向与 u轴正向的夹角是
Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0)
O x
y
O u
v
z0
P0 r
z
PDs
C
(z) (w)
G
w0Q0
Q
w
r
Ds
9
即
Arg w '(t0)?Arg z '(t0)=Arg f '(z0) (6.1.1)
如果假定 x轴与 u轴,y轴与 v轴的正向相同,而且将原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线 C经过 w=f(z)映射后在 z0处的转动角,则 (6.1.1)式表明,
1)导数 f '(z0)?0的辐角 Arg f '(z0)是曲线 C经过
w=f(z)映射后在 z0处的转动角 ;
2)转动角的大小与方向跟曲线 C的形状与方向无关,所以这种映射具有转动角的不变性,
10
通过 z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到 w平面的曲线在 w0点都转动了一个角度 Arg f '(z0).
O x
y
O u
v(z) (w)
z0 w0
11
相交于点 z0的任何两条曲线 C1与 C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经 w=f(z)映射后 C1与 C2对应的曲线 G1与 G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质,这种性质称为 保角性
O x
y
O u
v(z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
12
此极限值称为曲线 C在 z0的 伸缩率,
O x
y
O u
v
z0
P0 r
z
PDs
C
(z) (w)
G
w0Q0
Q
w
r
Ds
)3.1.6(
Δ
Δ
lim|)(|
e
Δ
ΔΔ
Δ
e
e)()(
0
0
)(
0
0
0
0
s
zf
r
s
srzz
zfzf
zz
ww
zz
i
i
i
s
s
rsr
得
13
(6.1.3)表明,
|f '(z)|是经过映射 w=f(z)后通过点 z0的任何曲线
C在 z0的伸缩率,它与曲线 C的形状及方向无关,
所以这种映射又具有伸缩率的不变性,
14
定理一 设函数 w=f(z)在区域 D内解析,z0为 D内的一点,且 f '(z0)?0,则映射 w=f(z)在 z0具有两个性质,
1)保角性,即通过 z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变
2)伸缩率的不变性,即通过 z0的任何一条曲线的伸缩率均为 |f '(z0)|而与其形状和方向无关,
15
2,共形映射的概念定义 设函数 w=f(z)在 z0的邻域内是一一的,在
z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射 w=f(z)
在 z0是共形的,或称 w=f(z)在 z0是共形映射,如果映射 w=f(z)在 D内的每一点都是共形的,就称 w=f(z)是区域 D内的共形映射,
16
定理二 如果函数 w=f(z)在 z0解析,且 f '(z0)?0,
则映射 w=f(z)在 z0是共形的,而且 Arg f '(z0)表示这个映射在 z0的转动角,|f '(z0)|表示伸缩率,
如果解析函数 w=f(z)在 D内处处有 f '(z)?0,则映射 w=f(z)是 D内的共形映射,
17
定理一的几何意义,在 D内作以 z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以 w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为 |f '(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似,
O x
y
O u
v(z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
18
O x
y
O u
v(z) (w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
.|)(|||
||
)(
||
||
|)(|
00
0
0
0
zfww
zz
zfw
zz
ww
zf
近似地映射成圆也将很小的圆由此看出映射伸缩率
19
§ 2 分式线性映射
20
分式线性映射
0))((,
0
)(d
d
)1.2.6(0
2
bcda
acw
bdw
z
bazdwc w z
dcz
bcad
z
w
bcad
d
b
c
a
dcz
baz
w
21
两个分式线性映射的复合,仍是一个分式线性映射,例如
0)'''')(()(
),0''''(
''
''
),0(
b?ab?a?
b?a
ba
b?a?
ba?
bcad
dcz
baz
w
z
z
w
式中则
22
也可将一般的分式线性映射分解为一些简单映射的复合,
),(,
,
1
,
.
1
2
1
21
为常数则令
BABAw
w
a
a?
b
ba?
23
由此可见,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成,
z
w
azw
bzw
1
)iii;)ii;)i
下面讨论三种映射,为了方便,暂且将 w平面看成是与 z平面重合的,
24
i)w=z+b,这是一个平移映射,因为复数相加可以化为向量相加,z沿向量 b的方向平移一段距离 |b|后,就得到 w.
O
(z)?(w)
z
w
b
25
ii)w=az,a?0,这是一个旋转与伸长 (或缩短 )的映射,设 a=leia将 z先转一个角度 a,再将 |z|伸长
(或缩短 )l倍后,就得到 w.
O
(z)=(w)
z
w
a
26
圆周的对称点
OP?OP'=r2,
因为 DOP'T相似于 DOPT,因此,
OP':OT=OT:OP,即 OP?OP'=OT2=r2.
C
PP'
r
T
O
P与 P'关于圆周
C互为对称点
27
..
,
1||,
1
.
1
iii)
11
w
ww
zz
z
wz
z
w
即得点关于实轴对称的然后再作出点对称的点关于圆周应先作出点作出要从
z
w1
w
28
1.保角性
.
/1.
/1,0
0,
,0,0
.,,0
11
,
1
)iii
2
的形在整个扩充复平面是共则条曲线的夹角在无穷远处的两就是点的夹角线在点的两条曲任何穿过形映射的补充规定对这两点作共时时而当因此是共形映射时是解析函数当这时首先讨论
z
zw
z
wzwz
zz
zz
w
z
w
29
而 i)与 ii)构成的复合映射 w=az+b经过类似的处理后也可以看作是在整个扩充复平面上共形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,因此有定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的,且具有保角性,
30
2.保圆性映射 w=az+b和 w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性,这里将直线看作是无穷大半径的圆,
这种性质称作保圆性,映射 w=az+b显然,
下面说明 w=1/z具有保圆性,
2222
2222
,
,
1
,
vu
v
y
vu
u
x
yx
y
v
yx
x
u
ivu
z
wiyxz
或则令
31
因此,映射 w=1/z将方程
a(x2+y2)+bx+cy+d=0
变为方程
d(u2+v2)+bu?cv+a=0
当然,可能是将圆周映射为圆周 (当 a?0,d?0);
圆周映射成直线 (当 a?0,d=0); 直线映射成圆周
(当 a=0,d?0)以及直线映射成直线 (当 a=0,d=0),
这就是说,映射 w=1/z把圆周映射成圆周,或者说,映射 w=1/z具有保圆性,
32
定理二 分式线性映射将扩充 z平面上的圆周映射成扩充 w平面上的圆周,即具有保圆性,
根据保圆性,在分式线性映射下,如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,则它就映射成半径为有限的圆周 ; 如果有一个点映射成无穷远点,它就映射成直线,
33
z1,z2是关于圆周 C的一对对称点的充要条件是经过 z1,z2的任何圆周 G 都与 C正交,
C
R
z0 z
1 z2
z' G
34
定理三 设点 z1,z2是关于圆周 C的一对对称点,
则在分式线性映射下,它们的象点 w1与 w2也是关于 C的象曲线 G的一对对称点,
[证 ] 设经过 w1与 w2的任一圆周 G '是经过 z1与 z2
的圆周 G 由分式线性映射过来的,由于 G 与 C
正交,而分式线性映射具有保角性,所以 G '与
C '(C的象 )也必正交,因此,w1与 w2是一对关于
C '的对称点,
35
§ 3 唯一决定分式线性映射的条件
36
分式线性映射
dcz
baz
中含有四个常数 a,b,c,d,但是,如果用这四个数中的一个去除分子和分母,就可将分式中的四个常数化为三个常数,所以,上式中实际上只有三个独立的常数,因此,只需给定三个条件,就能决定一个分式线性映射,
定理 在 z平面上任意给定三个相异的点 z1,z2,z3,在 w
平面上也任意给定三个相异的点 w1,w2,w3,则存在唯一的分式线性映射,将 zk(k=1,2,3)依次映射成
wk(k=1,2,3).
37
[ 证 ] 设
)0(
bcad
dcz
baz
w
,将 z
k
( k =1,2,3) 依次映射成 w
k
( k =1,2,3),即
)3,2,1(,?
k
dcz
baz
w
k
k
k
因而有
)2,1(,
))((
))((
k
dczdcz
bcadzz
ww
k
k
k
及
)2,1(.
))((
))((
3
1
3
k
dczdcz
bcadzz
ww
k
k
k
38
由此得
)1.3.6(.
13
23
2
1
13
23
2
1
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
这就是所求的分式线性映射,如果有另外一个分式线性映射,也把 z平面上三个相异点 z1,z2,z3
依次映射成 w平面上的三个相异点 w1,w2,w3,
则重复上面的步骤,消去常数后,最后得到的仍然是 (6.3.1)式,所以 (6.3.1)式是由三对相异的对应点唯一确定的分式线性映射,
39
现在研究,在给定两个圆周 C与 C',在圆周上分别取定三个点,必能找到一个分式线性映射将
C映射成 C',但是这个映射会将 C内部映射成什么呢?.
如果在 C内任取一点 z0,而点 z0的象在 C'的内部,
则 C的内部就映射成 C'的内部 ; 如果 z0的象在
C'的外部,则 C的内部就映射成 C'的外部,
或者在 C上取定三点 z1,z2,z3,它们在 C'的象分别为 w1,w2,w3,如果 C依 z1?z2?z3的绕向与 C'
依 w1?w2?w3的绕向相同,则 C的内部就映射成 C'的内部,否则映射成 C'的外部
40
z1
z2
z
z3
w1
w2
w3 w1
w2w3
w
w
41
现讨论在 z平面内两个圆包围的区域的映射情况,根据前面的讨论可知,
(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域 ;
(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,
这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域 ;
(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域,
42
例 1 中心在 z =1 与 z 1,半径为 2 的二圆弧所围 区域,在 映射 iz
iz
w
下 映射 成 什么 区域?
x
1
i
i
1
C1C2
y
(z)
O
43
[解 ] 所设的两个圆弧的交点为?i与 i,且相互正交,交点?i映射成无穷远点,i映射成原点,因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域,张角等于 p/2.
.
22
)21()21(
12
12
,12
1
i
i
i
w
zC 对应点是与正实轴的交点取此点在第三象限的分角线 C1'上,由保角性知
C2映射为第二象限的分角线 C2.
44
映射的角形区如图所示
x
1
i
i
1
C1C2
y
(z)
O
C2'
C1'
O u
v
(w)
45
例 2 求将上半平面 Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1
的分式线性映射,
O 1-1 x
y
l
O 1-1 u
i
v(z)
(w)
l
46
[解法一 ] 将上半平面看成半径为无穷大的圆域,实轴就是圆域的边界圆周,因为分式线性映射具有保圆性,因此它必能将上半平面
Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1,由于上半平面总有一点 z=l要映成单位圆周 |w|=1的圆心 w=0,
.
,
.1||
0,
,
w
z
w
zz
zz
必映成的性质知映射具有保对称点不变所以根据分式线性的一对对称点于圆周是与之对应的关与轴的一对对称点是关于实与而实轴要映射成单位圆
l
ll
47
从而所求的分式线性映射具有下列形式,
.?
l
l
z
z
kw
)2.3.6()0)( I m (,e
.
,e,1||,1,
1||,||||
l
l
l
l
l
l
l
z
z
w
kk
z
z
wz
z
z
kw
i
i
形式为射的一般因此所求的分式线性映是任意实数这里即所以这时上的点对应着而实轴上的点因为其中 k为常数,
48
反之,形如上式的分式线性映射必将上半平面
Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1,因为当 z取实数时
,1|e|e||?
l
l
l
l
z
z
z
z
w ii
即把实轴映射成 |w|=1,又因为上半平面中的
z=l映射成 w=0,所以 (6.3.2)必将 Im(z)>0映射成 |w|<1.
)2.3.6()0)( I m (,e
l
l
l?
z
z
w i
49
也可以在 x轴上与在单位圆周 |w|=1上取三对不同的对应点来求,
[解法二 ] 在 x轴上任意取定三点,z11,z2=0,
z3=1使它们对应于 |w|=1上三点,w1=1,w2=i,
w31,则因 z1?z2?z3跟 w1?w2?w3的绕向相同,由 (6.3.1)式得所求的分式线性映射为
.11 01011111 zziiww
)3.3.6(1 iz izw
化简后 即得
50
注意,如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的,但不同于 (6.3.3)的分式线性映射,此可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的,而是有无穷多,这从
(6.3.2)中的?可以任意取实数值即可明白,
(6.3.3)就是取 l=i,p/2而得到的,如果以 l=i,
=0代入 (6.3.2),则
)4.3.6(
iz
iz
w
这也是一个把上半平面 Im(z)>0映射成单位圆
|w|<1,且将点 z=i映射成圆心 w=0的映射,
51
例 3 求将上半平面 Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1
且满足 w(2i)=0,arg w'(2i)=0的分式线性映射,
[解 ] 由条件 w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点 z=2i映射成单位圆周的圆心 w=0,所以由 (6.3.2)得
.
2
2
iz
iz
ew i?
,
)2(
4e)(
2iz
izw i
因为 故有
.
4
)2(?
ieiw i?
52
从而得所求的映射为
.
2
,0
2
)2(a r g
4
)2(,
2
2
e
p
p
iw
i
eiw
iz
iz
w
ii
iz
iz
iw
2
2
53
例 4 求将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射,
x1
y(z)
O O u
v
(w)
1
a
a
1
54
[解 ] 设 z平面上单位圆 |z|<1内部的一点 a映射成 w平面上的单位圆 |w|<1的中心 w=0,这时与如下的形式件的分式线性映射具有满足这些条时而当时当因此对称的点即与平面上的无穷远点应该被映射成的点对称于单位圆周点
.,
1
,0,
,).0(
1
1||
wzwz
ww
z
a
a
a
a
,
1
'
11
z
z
k
z
z
k
z
z
kw
a
a
a
a
a
a
a
akk'其中
55
由于 z平面上单位圆周上的点要映成 w平面上单位圆周上的点,所以当 |z|=1,|w|=1,将圆周
|z|=1代入上式,得
|,1||1|
1||
1
1
|'|
aa
a
a
又因
wk
所以 |k'|=1,即 k'=ei?.
这里?是任意实数,
,
1
'?
z
z
kw
a
a
56
因此,将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射的一般表示式是
)5.3.6()1|(|.
1
e
a
a
a?
z
z
w i
.1
e
e
e1
e
e||?
a
a
a
a
i
i
i
i
iw
反之,形如上式的映射必将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1,这是因为圆周 |z|=1上的点 z=ei? (?
为实数 )映射成圆周 |w|=1上的点,
同时单位圆 |z|<1内有一点 z=a映射成 w=0.所以
(6.3.5)必将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1.
57
例 5 求将单位圆映射成单位圆且满足条件
w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式线性映射,
[解 ] 由条件 w(1/2)=0知,所求的映射要将 z=1/2
映射成 |w|<1的中心,所以由 (6.3.5)得
3
4
e
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
e
2
1
,
2
1
1
2
1
e
2
1
2
i
z
i
i
z
zz
w
z
z
w
58
z
z
z
z
w
w
ww
w
i
2
12
2
1
1
2
1
.0,0
2
1
a r g
,0
2
1
,
2
1
a r g
,
3
4
e
2
1
所以所求映射为即从而为正实数由于故
59
例 6 求将 Im(z)>0映射成 |w?2i|<2且满足条件
w(2i)=2i,arg w'(2i)p/2的分式线性映射,
[解 ] 容易看出,映射?=(w?2i)/2将 |w?2i|<2映射成 |?|<1,且满足?(2i)=0的映射易知为
,
4
1
e2)2(
2
2
e
2
2
2
2
e
i
iw
iz
iziw
iz
iz
i
i
i
由此得故有
60
.
2
2
)1(2
2
2
2
2
.0,
2
)2(a r g
.
2
)4a r g ()e2a r g ()2(a r g
,
4
1
e2)2(
2
2
e
2
2
iz
z
iw
iz
iziw
iw
iiw
i
iw
iz
iziw
i
ii
或于是所求映射为从而得由于已知?
p
p
61
2i
(z)
O
(?)
2i
(w)
iz
ziw
2
2)1(2
iz
iz
2
2
w=2(i+?)
62
§ 4 几个初等函数所构成的映射
63
1,幂函数 w=zn(n?2为自然数 )在 z平面内处处可导,它的导数是
1
d
d nnz
z
w
0
d
d
z
w
因而当 z?0时,
所以,在 z平面内除去原点外,由 w=zn所构成的映射处处共形,映射的特点是,把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的 n倍
64
O
(z)
0
O
(w)
n?0
w=zn
(z) (w)
OO
np2 上岸下岸
w=zn
65
例 1 求把角形域 0<arg z<p/4映射成单位圆
|w|<1的一个映射,
[解 ]?=z4将所给角形域 0<arg z<p/4映射成上半平面 Im(?)>0,又从上节的例 2知,映射
.
.1||
4
4
iz
iz
w
w
i
i
w
所求映射为因此圆将上半平面映射成单位
66
(z)
O
4
p
O
(? )
1
(w)
z4
i
iw
iz
izw
4
4
67
例 2 求把下图中由圆弧 C2与 C3所围成的交角为 a的月牙域映射成角形域?0<arg w<?0+a的一个映射,
0
(w)
O1
C1 C2
a(z)
O
i
i
68
a
O
(?)
0
(w)
O1
C1 C2
a(z)
O
i
i
iz
izi 0e iw?
iz
izew i )2( 0 p?
1
69
[解 ] 先求出把 C1,C2的交点 i与?i分别映射成?
平面中的?=0与?=?,并使月牙域映射成角形域 0<arg?<p;再把这角形域通过映射
w=exp(i?0)?转过一角度?0,即得把所给月牙域映射成所给角形域的映射,
将所给月牙域映射成?平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数,
iz
iz
k?
其中 k为待定的复常数,
70
.
.a r g0
,.
,,1
.
1
1
1
)
2
(
1
1
0
0
iz
iz
e
iz
iz
iew
C
iz
iz
iik
ik
i
i
kzC
iz
iz
k
i
i
p
a?
由此得所求的映射为映射成角形域它把所给的月牙域根据保角性平面上的正实轴映射成就把映射这样使取映射成上的点此映射把
71
例 3 求把具有割痕 Re(z)=a,0?Im(z)?h的上半平面映射成上半平面的一个映射,
xO
y (z)
C(a+ih)
B Da
O u
v (w)
a?h a a+h
B C D
72
xO
y (z)
C(a+ih)
B Da
O u
v (w)
a?h a a+h
B C D
O
(z1)
C
B D
ih
h2
C O B
D
(z2)
C
O Bh2
D
(z3)
O
(z4)
CB D
h +h
z1=z?a
z2=z12
z3=z2+h2
34 zz?
w=z4+a
ahazw 22)(
73
[解 ] 不难看出,解决本题的关键显然是要设法将垂直于 x轴的割痕的两侧和 x轴之间的夹角展平,由于映射 w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍,所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的,
首先,把上半 z平面向左作一个距离为 a的平移,z1=z?a.
第二,再应用映射 z2=z12,便得到一个具有割痕
h2?Re(z2)<+?,Im(z2)=0的 z2平面,
第三,把 z2平面向右作一距离为 h2的平移,
z3=z2+h2,便得到去掉了正实轴的 z3平面,
74
ahazw
wazw
az
zzz
22
4
4
434
)(
:
.,
:,
.,,
映射就得到所求出把所有的映射复合起来平面中的上半平面便得到的平移平面向右作一距离为把最后平面便得到上半通过映射第四
75
2,指数函数 w=ez 由于在 z平面内
w'=(ez)'=ez?0
所以,由 w=ez所构成的映射是一个全平面上的共形映射,设 z=x+iy,w=rei?,则
r = ex,? = y,(6.4.2)
由此可知,z平面上的直线 x=常数,被映射成 w
平面上的圆周 r=常数 ; 而直线 y=常数,被映射成射线?=常数,
带形域 0<Im(z)<a映射成角形域 0<arg w<a,特别是带形域 0<Im(z)<2p映射成沿正实轴剪开的 w平面,0<arg w<2p.它们间的点是一一对应的,
76
ai
O x
y
(z)
arg w=a
uO
v (w)
2pi
O x
y (z)
O u
v (w)
w=ez
z=lnw
77
由指数函数 w=ez所构成的映射的特点是,把水平的带形域 0<Im(z)<a(a?p)映射成角形域
0<arg w<a,因此,如果要把带形域映射成角形域,常常利用指数函数,
78
例 4 求把带形域 0<Im(z)<p映射成单位圆 |w|<1
的一个映射,
[解 ] 由刚才的讨论知,映射?=ez将所给的带形域映射成?平面的上半平面 Im(?)>0,而根据
(6.3.4)又知,
i
i
w
w
i
i
w
z
z
e
e
.1||
0)I m (
因此所求的映射为成单位圆映射将平面的上半平面映射?
79
例 5 求把带形域 a<Re(z)<b映射成上半平面
Im(w)>0的一个映射,
[解 ] 带形域 a<Re(z)<b经过映射后可映射成带形域 0<Im(?)<p,再用映射 w=e?,
就可把带形域 0<Im(?)<p映射成上半平面
Im(w)>0,因此所求映射为
)(π azab i
)(
π
a
ab
i
ew
80
O
(z)
a b
(w)
O
pi
(?)
O
)(π azab i
w=e?
)(π aab iew
81
作业 第六章习题第 245页开始第 7题 第 12题 第 14题下一讲开始讲概率论与数理统计
82
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