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2
拉氏变换的应用
3
对一个系统进行分析和研究,首先要知道该系统的数学模型,也就是要建立该系统特性的数学表达式,所谓线性系统,在许多场合,它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述,或者说是满足叠加原理的一类系统,这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中,都占有很重要的地位,本节将应用拉氏变换来解线性微分方程和建立线性系统的传递函数的概念,
4
微分方程的拉氏变换解法首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解,如下图所示,
象原函数
(微分方程的解 ) 象函数微分方程 象函数的代数方程取拉氏逆变换取拉氏变换解代数方程
5
例 1 求方程 y''+2y'-3y=e-t 满足初始条件
1,0 00 =?= == tt yy
1
1
)(3)(21)(
1
1
)(3
)0(2)(2)0()0()(
2
2
=-?-
=-
---
s
sYssYsYs
s
sY
yssYysysYs
即的解,
设 L [y(t)]=Y(s),对方程的两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得
6
由解出 Y(s)
1
1)(3)(21)(2
=-?- ssYssYsYs
-
=
-
==-?
-
=
=?
=-?
=-?-
3
1
2
1242
032
)32)(1(
2
)(
1
2
1
1
1
)()32(
1
1
)(3)(21)(
2
2
2
2
sss
sss
s
sY
s
s
s
sYss
s
sYssYsYs
的解为
7
即 Y(s)有三个单极点为 -1,1,-3
ttt
ttt
ty
3
3
e
8
1
e
8
3
e
4
1
e
11827
23
e
163
21
e
163
21
)(
--
--
-?-=
--
-
-?
--
-
=
B'(s)=3s2+6s-1,因此
)(
)(
33
2
3232
2
)32)(1(
2
)(
23
2232
sB
sA
sss
s
sssss
s
sss
s
sY
=
--?
=
--?
=
-
=
8
例 2 求解方程组
-=--
-=--
txyxy
yxxy
t
22
2e
=?=
=?=
0)0()0(
0)0()0(
xx
yy
满足初始条件的解,
9
对两个方程取拉氏变换,设 L [y(t)]=Y(s),
L [x(t)]=X(s),并考虑到初始条件,得
-=--
-=--
txyxy
yxxy t
22
2e
-=?--
-
-
=-?-
2
22
22
1
)()(2)()(2
2
1
1
)()()()(
s
sXssYsXssYs
ss
sYssXsXssYs
整理得
-
-=?-
-
-
=-?
)1(
1
)()1()(2
)1(
2
)()()1(
2
2
ss
sXsssY
ss
s
ssXsYs
10
解此线性方程组
12212
2)1(
)1(2
1
)1(
1
)()1()(2
)1(
2
)()()1(
222
22
2
2
--=?---=
=-=
-
-?
=
-
-=?-
-
-
=-?
sssss
ss
ss
ss
D
ss
sXsssY
ss
s
ssXsYs
11
tt
Y
Y
ttyss
D
D
sY
ss
ss
ss
sss
ss
sss
s
s
s
ss
ss
s
ss
s
ss
s
D
ee1)(
2
)1(
1
)(
)1(
12
)1(
12
)1(
1)1)(2(
1
1
2
)1(
1
)1(
)1(
1
)1(
2
2
2
2
2
2
22
2
2
-?=-
==
-
--
=
-
---
=
-
-?-
=
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
=
可得由上讲例
12
22
22
223
22
23
22
2322
22
2
2
2
)1(
12
)(
)1(
12242
)1(
152
)1(
421
12
21
)1(
1
12
)1(
1
2
)1(
2
1
-
-
==
-
---
=
-
-
=
-
-?-
=
-
-?
-
=
--=
-
-
-
-
=
ss
s
D
D
sX
ss
sssss
ss
ss
ss
sss
ss
sss
ss
ssD
ss
s
ss
s
s
D
Y
X
13
0,0
0,22
)1()1()1(12
1,11
1,0
1)1()1(
12
)(
3
2222
2
2222
=?=
=?=
--?--=-
==-
-==
-
-
=
-
-
=
DDBs
BBs
sDsssBsss
Css
Ass
s
D
s
C
s
B
s
A
ss
s
sX
则项系数得比较则项系数得比较再通分后得两边分子为得后令两边乘得后令两边乘
14
最后得
-=
-=
-=
-
-
=
-
-
=
t
tt
t
tttx
tty
tttx
ssss
s
sX
e)(
ee1)(
e)(
)1(
11
)1(
12
)(
2222
故得
15
例 3 质量为 m的物体挂在弹簧系数为 k的弹簧一端,外力为 f(t),
物体自平衡位置 x=0
处开始运动,求运动规律 x(t)
根据牛顿定律有
mx''=f(t)-kx
其中 kx由虎克定律所得,初始条件为
x(0)=x'(0)=0
m
x
x
x=0
kx
f(t)
16
物体运动的微分方程为
mx''+kx=f(t)
且 x(0)=x'(0)=0.
对方程两边取拉氏变换,设 L [x(t)]=X(s)],
L [f(t)]=F(s),并考虑到初始条件,则得
ms2X(s)+kX(s)=F(s)
)(
11)(1
)(
,
2
0
22
0
2
2
0
sF
sms
sF
m
sX
m
k
=
=
=
有如记
17
如 f(t)具体给出时,可以直接从解的象函数 X(s)
的关系式中解出 x(t)来,
.d)(s i n)(
1
)(
s i n1
)(
,
s i n1
)(
11
)(
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
1
2
0
2
-=
=
=
=
-
t
tf
m
tf
t
m
tx
t
s
L
sF
sm
sX
由卷积定理得因为
18
当物体在 t=0时受到冲击力为 f(t)=Ad(t),其中 A
为常数,此时,
L [f(t)]=L [Ad(t)]=A
).(
,,
,,,
.s i n)(
1
)(
00
0
0
0
2
0
2
或称固有频率然频率为该系统的自称角频率是振幅是运动为一正弦振动在冲击力的作用下可见从而所以
m
A
t
m
A
tx
sm
A
sX
=
=
19
如物体所受作用力为 f(t)=A sin?t时
)s i ns i n(
)(
s i ns i n
)(
)(
111
11
)(
)]([
002
0
2
0
0
0
2
0
2
222
0
22
0
2
222
0
2
22
tt
m
A
tt
m
A
tx
ssm
A
s
A
sm
sX
s
Atf
-
-
=
-
-
=
-
-
=
=
=
从而
L
20
例 4 如图所示电路,求开关闭合后,回路中电流 i(t)及电容器两端电压 uC(t)
t
u
CtitRiu
teuu
C
R
CR
d
d
)(),(
)(
==
=?
其中由基尔霍夫定律有
i(t)e(t)
K R
C
21
微分方程为
)j)(1(
)(
j
)(,e,,e)(
1
)(
)(
)()()(
)()]([),()]([
)(
d
d
jj
-?
=
-
===
=
=?
==
=?
sR C s
a
sU
s
a
sEraaate
R C s
sE
sU
sEsUsR C s U
sEtesUtu
teu
t
u
RC
C
t
C
CC
CC
C
C
则为复数设设 LL
22
-
=
-
=
-
=
-
=
-?
==
-
-
-
=-=
t
RC
t
btt
tbt
s
st
bs
st
C
C
RC
RC
a
b
ab
b
ab
b
ab
bs
ab
s
ab
tu
sbs
ab
sU
RC
b
1
j
j
j
j
ee
j
1
1
)e(e
jj
e
j
e
e
j
e
)(
)j)((
)(,
1
则令
23
-=
-
=
-
=
-
-
=
-
-
-
=
-
-
-
-
t
t
RC
CmCCm
j
t
t
RC
C
eUtu
C
R
C
r
U
e
C
R
C
r
C
R
C
r
RC
RC
a
RC
RC
a
tu
j
1
)j(
2
2
)j(
2
2
j
1
eej)(,
1
1
1
1
j
1
j
j
1
e
j
1
1
ee
j
1
1
)(
则令其中
24
)c os (
e)c os ()](I m [
),s i n (ee
eeej)(
1
jj
j
1
)j(
-?-
--=
-=
-
-
-
tU
Utu
trr
Utu
Cm
t
RC
CmC
t
t
t
RC
CmC
输出就是则的虚部如输入的是
25
例 5 如图所示的 RLC电路中串接直流电源 E,
求回路中电流 i(t)
)(
d
d
d)(
1
,
d
d
)(),(
0
ti
t
Lu
tti
C
u
t
u
CtitRiu
Euuu
L
t
C
C
R
LRC
=
===
=
即其中
E i(t)
K R
C
L
根据基尔霍夫定律,有
26
代入上式得如下微分方程
0)0()0(,)(d d)(d)(1
0
=?== iiEtitLtRittiC
t
))((1
11
/
)(
)()()(
1
212
2
rsrsL
E
LC
s
L
R
sL
E
C
RsLs
E
LsR
Cs
sE
sI
s
E
sL s IsRIsI
Cs
--
=
=
=
=
=
解得设 L [i(t)]=I(s),对微分方程两边取拉氏变换,
27
t
L
E
L
E
rrL
E
rrrrL
E
ti
rr
LCL
R
LCL
R
L
R
r
LCL
R
L
R
r
LC
s
L
R
srr
t
ttt
trtrtrtr
s i n he
2
eee
eeee
)(
,,
1
,
2
1
42
,
1
42
0
1
,
211221
21
2
2
2
22
2
1
2
21
2121
-
--
=
-
=
-
-
=
-
-
=
--=?-=-==
---=-?-=
=
则记的根是方程
28
t
t
t
t
L
E
ti
sL
E
sI
rrCLR
t
L
E
ti
tt
ti
t
L
E
ti
-
-
-
=
=
-===
=
=
=
=
e)(,
)(
)(
,/2
s i ne)(
,s i nj)s i n h ( j
.,j,
),(,
s i n he)(
2
21
为重根当这时由是实数可令为虚数时而当直接按上式计算为实数时当
29
线性系统的传递函数
30
线性系统的激励和响应一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述,例如例 4中的 RC串联电路,电容器两端的电压 uC(t)所满足的关系式为
)(dd teutuRC CC =?
这是一个一阶常系数线性微分方程,通常将外加电动势 e(t)看成是这个系统的输入函数,称为 激励,而将 uC看成是这个系统的输出函数,
称为 响应,
31
这样的 RC电路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统,如下图所示,虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量的连接方式,这样一个线性系统,在电路理论中又称为线性网络 (简称网络 ),一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定,
R Ce(t) u
C(t)
32
对于不同的线性系统,即使在同一激励下,其响应是不同的,在分析线性系统时,我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况,而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系,
可绘出如下图所示的框图,为了描述这种联系需要引进传递函数的概念,
系统特性激励响应
33
传递函数的概念假设有一个线性系统,在一般情况下,它的激励 x(t)与响应 y(t)可用下列微分方程表示,
any(n)+an-1y(n-1)+...+a1y'+a0y
=bmx(m)+bm-1x(m-1)+...+b1x'+b0x (2.22)
其中 a0,a1,...,an,b0,b1,...,bm均为常数,m,n为正整数,n?m.
设 L [y(t)]=Y(s),L [x(t)]=X(s),则
L [aky(k)]=akskY(s)-ak[sk-1y(0)+...+y(k-1)(0)]
(k=0,1,...,n)
L [bkx(k)]=bkskX(s)-bk[sk-1x(0)+...+x(k-1)(0)]
(k=0,1,...,m)
34
对 (2.22)式两边取拉氏变换并通过整理,可得
D(s)Y(s)-Mhy(s)=M(s)X(s)-Mhx(s)
)23.2(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
sD
sMsM
sX
sD
sM
sY hxhy
-
=即其中 D(s)=ansn+an-1sn-1+...+a1s+a0
M(s)=bmsm+bm-1sm-1+...+b1s+b0
Mhy(s)=any(0)sn-1+[any'(0)+an-1y(0)]sn-2+
...+[any(n-1)(0)+...+a2y'(0)+a1y(0)]
Mhx(s)=bmx(0)sm-1+[bmx'(0)+bm-1x(0)]sm-2+
...+[bmx(m-1)(0)+...+b2x'(0)+b1x(0)].
35
称 G(s)为 系统的传递函数,如 Gh(s)=0,则
)25.2()(
)24.2()()()()(
)23.2(
)(
)()(
)(,
)(
)(
)(
01
1
1
01
1
1
asasasa
bsbsbsb
sG
sGsXsGsY
sD
sMsM
sG
sD
sM
sG
n
n
n
n
m
m
m
m
h
hxhy
h
=
=
-
==
-
-
-
-
式中式可写成则若令
)26.2()( )()()()()( sX sYsGsXsGsY == 或
36
在零初始条件下,系统的传递函数等于其响应的拉氏变换与其激励的拉氏变换之比,当我们知道了系统的传递函数以后,就可以由系统的激励求出其响应的拉氏变换,再求逆变换可得其响应 y(t).
传递函数
G(s)
x(t) y(t)
X(s) Y(s)
传递函数不表明系统的物理性质,许多性质不同的物理系统,可以有相同的传递函数,
37
脉冲响应函数假设某个线性系统的传递函数为
)(
)()(
sX
sYsG =
-=?=
t
txgtxtgty
0
d)()()()()(
或 Y(s)=G(s)X(s)
假设 g(t)=L-1[G(s)]
则由卷积定理可得即系统的响应等于其激励与 g(t)=L-1[G(s)]
的卷积,
38
一个线性系统除用传递函数来表征外,也可以用传递函数的逆变换 g(t)=L-1[G(s)]来表征,
称 g(t)为 系统的脉冲响应函数,它的物理意义可以这样解释,当激励是一个单位脉冲函数,
即 x(t)=d(t)时,则在零初始条件下,有
L [x(t)]=L [d(t)]=X(s)=1
所以 Y(s)=G(s) 即 y(t)=g(t)
G(s)
d(t) g(t)
39
频率响应在系统的传递函数中,令 s=j?,则得
01
1
1
01
1
1
)(j)(j)(j
)(j)(j)(j
)(
)(
)(
aaaa
bbbb
jX
jY
jG
n
n
n
n
m
m
m
m
=
=
-
-
-
-
称它为 系统的频率特性函数,简称为 频率响应,
可以证明,当激励是角频率为?的虚指数函数
(也称为复正弦函数 )x(t)=ej?t时,系统的稳态响应是 y(t)=G(j?)ej?t,因此频率响应在工程技术中又称为 正弦传递函数,
40
如图所示电路,当 e(t)看成激励,则响应 uC(t)
与 e(t)满足的微分方程式为
)()()(
d
d
tetutu
t
RC CC =?
R Ce(t) u
C(t)
41
两边取拉氏变换,并设 L [uC(t)]=UC(s),
L [e(t)]=E(s),有
RC[sUC(s)-uc(0)]+UC(s)=E(s)
=
=
=
RC
sRC
R C s
sG
R C s
R C u
R C s
sE
sU
C
C
1
1
1
1
)(
1
)0(
1
)(
)(
此电路的传递函数为所以
)()()(dd tetututRC CC =?
42
而电路的脉冲响应函数为
1j
1
)(j
e
1
)]([)(
1
=
==
-
-
RC
G
RC
sGtg
RC
t
频率响应为
L
=
=
RC
sRC
R C s
sG
1
1
1
1
)(
43
作业 习题五第 98页第 1题 第 (2)小题第 6题
44
请提问
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2
拉氏变换的应用
3
对一个系统进行分析和研究,首先要知道该系统的数学模型,也就是要建立该系统特性的数学表达式,所谓线性系统,在许多场合,它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述,或者说是满足叠加原理的一类系统,这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中,都占有很重要的地位,本节将应用拉氏变换来解线性微分方程和建立线性系统的传递函数的概念,
4
微分方程的拉氏变换解法首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解,如下图所示,
象原函数
(微分方程的解 ) 象函数微分方程 象函数的代数方程取拉氏逆变换取拉氏变换解代数方程
5
例 1 求方程 y''+2y'-3y=e-t 满足初始条件
1,0 00 =?= == tt yy
1
1
)(3)(21)(
1
1
)(3
)0(2)(2)0()0()(
2
2
=-?-
=-
---
s
sYssYsYs
s
sY
yssYysysYs
即的解,
设 L [y(t)]=Y(s),对方程的两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得
6
由解出 Y(s)
1
1)(3)(21)(2
=-?- ssYssYsYs
-
=
-
==-?
-
=
=?
=-?
=-?-
3
1
2
1242
032
)32)(1(
2
)(
1
2
1
1
1
)()32(
1
1
)(3)(21)(
2
2
2
2
sss
sss
s
sY
s
s
s
sYss
s
sYssYsYs
的解为
7
即 Y(s)有三个单极点为 -1,1,-3
ttt
ttt
ty
3
3
e
8
1
e
8
3
e
4
1
e
11827
23
e
163
21
e
163
21
)(
--
--
-?-=
--
-
-?
--
-
=
B'(s)=3s2+6s-1,因此
)(
)(
33
2
3232
2
)32)(1(
2
)(
23
2232
sB
sA
sss
s
sssss
s
sss
s
sY
=
--?
=
--?
=
-
=
8
例 2 求解方程组
-=--
-=--
txyxy
yxxy
t
22
2e
=?=
=?=
0)0()0(
0)0()0(
xx
yy
满足初始条件的解,
9
对两个方程取拉氏变换,设 L [y(t)]=Y(s),
L [x(t)]=X(s),并考虑到初始条件,得
-=--
-=--
txyxy
yxxy t
22
2e
-=?--
-
-
=-?-
2
22
22
1
)()(2)()(2
2
1
1
)()()()(
s
sXssYsXssYs
ss
sYssXsXssYs
整理得
-
-=?-
-
-
=-?
)1(
1
)()1()(2
)1(
2
)()()1(
2
2
ss
sXsssY
ss
s
ssXsYs
10
解此线性方程组
12212
2)1(
)1(2
1
)1(
1
)()1()(2
)1(
2
)()()1(
222
22
2
2
--=?---=
=-=
-
-?
=
-
-=?-
-
-
=-?
sssss
ss
ss
ss
D
ss
sXsssY
ss
s
ssXsYs
11
tt
Y
Y
ttyss
D
D
sY
ss
ss
ss
sss
ss
sss
s
s
s
ss
ss
s
ss
s
ss
s
D
ee1)(
2
)1(
1
)(
)1(
12
)1(
12
)1(
1)1)(2(
1
1
2
)1(
1
)1(
)1(
1
)1(
2
2
2
2
2
2
22
2
2
-?=-
==
-
--
=
-
---
=
-
-?-
=
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
=
可得由上讲例
12
22
22
223
22
23
22
2322
22
2
2
2
)1(
12
)(
)1(
12242
)1(
152
)1(
421
12
21
)1(
1
12
)1(
1
2
)1(
2
1
-
-
==
-
---
=
-
-
=
-
-?-
=
-
-?
-
=
--=
-
-
-
-
=
ss
s
D
D
sX
ss
sssss
ss
ss
ss
sss
ss
sss
ss
ssD
ss
s
ss
s
s
D
Y
X
13
0,0
0,22
)1()1()1(12
1,11
1,0
1)1()1(
12
)(
3
2222
2
2222
=?=
=?=
--?--=-
==-
-==
-
-
=
-
-
=
DDBs
BBs
sDsssBsss
Css
Ass
s
D
s
C
s
B
s
A
ss
s
sX
则项系数得比较则项系数得比较再通分后得两边分子为得后令两边乘得后令两边乘
14
最后得
-=
-=
-=
-
-
=
-
-
=
t
tt
t
tttx
tty
tttx
ssss
s
sX
e)(
ee1)(
e)(
)1(
11
)1(
12
)(
2222
故得
15
例 3 质量为 m的物体挂在弹簧系数为 k的弹簧一端,外力为 f(t),
物体自平衡位置 x=0
处开始运动,求运动规律 x(t)
根据牛顿定律有
mx''=f(t)-kx
其中 kx由虎克定律所得,初始条件为
x(0)=x'(0)=0
m
x
x
x=0
kx
f(t)
16
物体运动的微分方程为
mx''+kx=f(t)
且 x(0)=x'(0)=0.
对方程两边取拉氏变换,设 L [x(t)]=X(s)],
L [f(t)]=F(s),并考虑到初始条件,则得
ms2X(s)+kX(s)=F(s)
)(
11)(1
)(
,
2
0
22
0
2
2
0
sF
sms
sF
m
sX
m
k
=
=
=
有如记
17
如 f(t)具体给出时,可以直接从解的象函数 X(s)
的关系式中解出 x(t)来,
.d)(s i n)(
1
)(
s i n1
)(
,
s i n1
)(
11
)(
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
1
2
0
2
-=
=
=
=
-
t
tf
m
tf
t
m
tx
t
s
L
sF
sm
sX
由卷积定理得因为
18
当物体在 t=0时受到冲击力为 f(t)=Ad(t),其中 A
为常数,此时,
L [f(t)]=L [Ad(t)]=A
).(
,,
,,,
.s i n)(
1
)(
00
0
0
0
2
0
2
或称固有频率然频率为该系统的自称角频率是振幅是运动为一正弦振动在冲击力的作用下可见从而所以
m
A
t
m
A
tx
sm
A
sX
=
=
19
如物体所受作用力为 f(t)=A sin?t时
)s i ns i n(
)(
s i ns i n
)(
)(
111
11
)(
)]([
002
0
2
0
0
0
2
0
2
222
0
22
0
2
222
0
2
22
tt
m
A
tt
m
A
tx
ssm
A
s
A
sm
sX
s
Atf
-
-
=
-
-
=
-
-
=
=
=
从而
L
20
例 4 如图所示电路,求开关闭合后,回路中电流 i(t)及电容器两端电压 uC(t)
t
u
CtitRiu
teuu
C
R
CR
d
d
)(),(
)(
==
=?
其中由基尔霍夫定律有
i(t)e(t)
K R
C
21
微分方程为
)j)(1(
)(
j
)(,e,,e)(
1
)(
)(
)()()(
)()]([),()]([
)(
d
d
jj
-?
=
-
===
=
=?
==
=?
sR C s
a
sU
s
a
sEraaate
R C s
sE
sU
sEsUsR C s U
sEtesUtu
teu
t
u
RC
C
t
C
CC
CC
C
C
则为复数设设 LL
22
-
=
-
=
-
=
-
=
-?
==
-
-
-
=-=
t
RC
t
btt
tbt
s
st
bs
st
C
C
RC
RC
a
b
ab
b
ab
b
ab
bs
ab
s
ab
tu
sbs
ab
sU
RC
b
1
j
j
j
j
ee
j
1
1
)e(e
jj
e
j
e
e
j
e
)(
)j)((
)(,
1
则令
23
-=
-
=
-
=
-
-
=
-
-
-
=
-
-
-
-
t
t
RC
CmCCm
j
t
t
RC
C
eUtu
C
R
C
r
U
e
C
R
C
r
C
R
C
r
RC
RC
a
RC
RC
a
tu
j
1
)j(
2
2
)j(
2
2
j
1
eej)(,
1
1
1
1
j
1
j
j
1
e
j
1
1
ee
j
1
1
)(
则令其中
24
)c os (
e)c os ()](I m [
),s i n (ee
eeej)(
1
jj
j
1
)j(
-?-
--=
-=
-
-
-
tU
Utu
trr
Utu
Cm
t
RC
CmC
t
t
t
RC
CmC
输出就是则的虚部如输入的是
25
例 5 如图所示的 RLC电路中串接直流电源 E,
求回路中电流 i(t)
)(
d
d
d)(
1
,
d
d
)(),(
0
ti
t
Lu
tti
C
u
t
u
CtitRiu
Euuu
L
t
C
C
R
LRC
=
===
=
即其中
E i(t)
K R
C
L
根据基尔霍夫定律,有
26
代入上式得如下微分方程
0)0()0(,)(d d)(d)(1
0
=?== iiEtitLtRittiC
t
))((1
11
/
)(
)()()(
1
212
2
rsrsL
E
LC
s
L
R
sL
E
C
RsLs
E
LsR
Cs
sE
sI
s
E
sL s IsRIsI
Cs
--
=
=
=
=
=
解得设 L [i(t)]=I(s),对微分方程两边取拉氏变换,
27
t
L
E
L
E
rrL
E
rrrrL
E
ti
rr
LCL
R
LCL
R
L
R
r
LCL
R
L
R
r
LC
s
L
R
srr
t
ttt
trtrtrtr
s i n he
2
eee
eeee
)(
,,
1
,
2
1
42
,
1
42
0
1
,
211221
21
2
2
2
22
2
1
2
21
2121
-
--
=
-
=
-
-
=
-
-
=
--=?-=-==
---=-?-=
=
则记的根是方程
28
t
t
t
t
L
E
ti
sL
E
sI
rrCLR
t
L
E
ti
tt
ti
t
L
E
ti
-
-
-
=
=
-===
=
=
=
=
e)(,
)(
)(
,/2
s i ne)(
,s i nj)s i n h ( j
.,j,
),(,
s i n he)(
2
21
为重根当这时由是实数可令为虚数时而当直接按上式计算为实数时当
29
线性系统的传递函数
30
线性系统的激励和响应一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述,例如例 4中的 RC串联电路,电容器两端的电压 uC(t)所满足的关系式为
)(dd teutuRC CC =?
这是一个一阶常系数线性微分方程,通常将外加电动势 e(t)看成是这个系统的输入函数,称为 激励,而将 uC看成是这个系统的输出函数,
称为 响应,
31
这样的 RC电路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统,如下图所示,虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量的连接方式,这样一个线性系统,在电路理论中又称为线性网络 (简称网络 ),一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定,
R Ce(t) u
C(t)
32
对于不同的线性系统,即使在同一激励下,其响应是不同的,在分析线性系统时,我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况,而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系,
可绘出如下图所示的框图,为了描述这种联系需要引进传递函数的概念,
系统特性激励响应
33
传递函数的概念假设有一个线性系统,在一般情况下,它的激励 x(t)与响应 y(t)可用下列微分方程表示,
any(n)+an-1y(n-1)+...+a1y'+a0y
=bmx(m)+bm-1x(m-1)+...+b1x'+b0x (2.22)
其中 a0,a1,...,an,b0,b1,...,bm均为常数,m,n为正整数,n?m.
设 L [y(t)]=Y(s),L [x(t)]=X(s),则
L [aky(k)]=akskY(s)-ak[sk-1y(0)+...+y(k-1)(0)]
(k=0,1,...,n)
L [bkx(k)]=bkskX(s)-bk[sk-1x(0)+...+x(k-1)(0)]
(k=0,1,...,m)
34
对 (2.22)式两边取拉氏变换并通过整理,可得
D(s)Y(s)-Mhy(s)=M(s)X(s)-Mhx(s)
)23.2(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
sD
sMsM
sX
sD
sM
sY hxhy
-
=即其中 D(s)=ansn+an-1sn-1+...+a1s+a0
M(s)=bmsm+bm-1sm-1+...+b1s+b0
Mhy(s)=any(0)sn-1+[any'(0)+an-1y(0)]sn-2+
...+[any(n-1)(0)+...+a2y'(0)+a1y(0)]
Mhx(s)=bmx(0)sm-1+[bmx'(0)+bm-1x(0)]sm-2+
...+[bmx(m-1)(0)+...+b2x'(0)+b1x(0)].
35
称 G(s)为 系统的传递函数,如 Gh(s)=0,则
)25.2()(
)24.2()()()()(
)23.2(
)(
)()(
)(,
)(
)(
)(
01
1
1
01
1
1
asasasa
bsbsbsb
sG
sGsXsGsY
sD
sMsM
sG
sD
sM
sG
n
n
n
n
m
m
m
m
h
hxhy
h
=
=
-
==
-
-
-
-
式中式可写成则若令
)26.2()( )()()()()( sX sYsGsXsGsY == 或
36
在零初始条件下,系统的传递函数等于其响应的拉氏变换与其激励的拉氏变换之比,当我们知道了系统的传递函数以后,就可以由系统的激励求出其响应的拉氏变换,再求逆变换可得其响应 y(t).
传递函数
G(s)
x(t) y(t)
X(s) Y(s)
传递函数不表明系统的物理性质,许多性质不同的物理系统,可以有相同的传递函数,
37
脉冲响应函数假设某个线性系统的传递函数为
)(
)()(
sX
sYsG =
-=?=
t
txgtxtgty
0
d)()()()()(
或 Y(s)=G(s)X(s)
假设 g(t)=L-1[G(s)]
则由卷积定理可得即系统的响应等于其激励与 g(t)=L-1[G(s)]
的卷积,
38
一个线性系统除用传递函数来表征外,也可以用传递函数的逆变换 g(t)=L-1[G(s)]来表征,
称 g(t)为 系统的脉冲响应函数,它的物理意义可以这样解释,当激励是一个单位脉冲函数,
即 x(t)=d(t)时,则在零初始条件下,有
L [x(t)]=L [d(t)]=X(s)=1
所以 Y(s)=G(s) 即 y(t)=g(t)
G(s)
d(t) g(t)
39
频率响应在系统的传递函数中,令 s=j?,则得
01
1
1
01
1
1
)(j)(j)(j
)(j)(j)(j
)(
)(
)(
aaaa
bbbb
jX
jY
jG
n
n
n
n
m
m
m
m
=
=
-
-
-
-
称它为 系统的频率特性函数,简称为 频率响应,
可以证明,当激励是角频率为?的虚指数函数
(也称为复正弦函数 )x(t)=ej?t时,系统的稳态响应是 y(t)=G(j?)ej?t,因此频率响应在工程技术中又称为 正弦传递函数,
40
如图所示电路,当 e(t)看成激励,则响应 uC(t)
与 e(t)满足的微分方程式为
)()()(
d
d
tetutu
t
RC CC =?
R Ce(t) u
C(t)
41
两边取拉氏变换,并设 L [uC(t)]=UC(s),
L [e(t)]=E(s),有
RC[sUC(s)-uc(0)]+UC(s)=E(s)
=
=
=
RC
sRC
R C s
sG
R C s
R C u
R C s
sE
sU
C
C
1
1
1
1
)(
1
)0(
1
)(
)(
此电路的传递函数为所以
)()()(dd tetututRC CC =?
42
而电路的脉冲响应函数为
1j
1
)(j
e
1
)]([)(
1
=
==
-
-
RC
G
RC
sGtg
RC
t
频率响应为
L
=
=
RC
sRC
R C s
sG
1
1
1
1
)(
43
作业 习题五第 98页第 1题 第 (2)小题第 6题
44
请提问
