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习题一 1,试证,若 f(t)满足傅氏积分定理的条件,则有
00
( ) ( ) c o s d ( ) s i n d,f t a t b t
1
( ) ( ) c o s d,
1
( ) ( ) s in d,
af
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其中证 由第 8页 1.6式
0
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2,证,当 f(t)为奇函数
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0
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奇函数偶函数当 f(t)为偶函数
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偶函数奇函数习题一 3.
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1||1
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题的结果有根据第为偶函数则因为设函数的图形为
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1
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有时因此可知当普阿松积分公式
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2
22
22
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则积分元为令作极坐标变换证
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f(t)
如果 a是任一实数,则显然也有
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bR
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j
j
j
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)(
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,
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dd,,
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222
22
2
还是令为虚数假设同但含义不为复数时也成立这件事情即使在则只要令因为
积分路线如图所示,
0lim
,0
,
,,
2
)(
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R
e
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RA B C D
此二直线上确有但在的积分是否趋近于到和从到从要看的相等到的积分是否与从到从时因此当一周的积分为零绕
A B
CD b
R RO 实轴虚轴此外,因
t
b
t
t
bt
t
t
de
,0
de
,0
de
2
2
2
)(
和任意的复数而对于任意的正数都有对于任意的正数傅氏变换
1.傅氏变换的概念我们知道,若函数 f(t)满足傅氏积分定理的条件,则在 f(t)的连续点处,有
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2
1
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2
1
)(
j
j
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t
t
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ftf
则设
(1.8)式叫做 f(t)的 傅氏变换式,(1.9)式为 F(?)的傅式逆变换式,f(t)与 F(?)可相互转换,可记为
F(?)=F [f(t)] 和 f(t)=F?1[F(?)]
还可以将 f(t)放在左端,F(?)放在右端,中间用双向箭头连接,
f(t)? F(?)
(1.8)式右端的积分运算,叫做 f(t)的傅氏变换,
同样,(1.9)式右端的积分运算,叫做 F(?)的傅氏逆变换,
F(?)称作 f(t)的 象函数,
f(t)称作 F(?)的 象原函数,
可以说象函数 F(?)和象原函数 f(t)构成了一个傅氏变换对,
.,
)(.0,
0,e
0,0
)(1
一个函数是工程技术中常碰到的衰减函数叫做指数这个其中其积分表达式的傅氏变换及求函数例
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t
t
tf
t
t
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根据 (1.8)式,有
22
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j
j
j
1
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t
t
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这就是指数衰减函数的傅氏变换,
根据 (1.9)式,有
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有式根据的一个函数也是工程技术中常碰到函数这个函数叫做钟形脉冲其中表达式的傅氏变换及其积分求函数例因此有如果令?=1/2,就有
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2
2
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AA
t
22
22
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AA
t
可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数求钟形脉冲函数的积分表达式,根据 (1.9)式
2
2
2
2
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因此
F
2,单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数,因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流 ; 在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等,研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数,
在原来电流为零的电路中,某一瞬时 (设为 t=0)
进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流 i(t),以 q(t)表示上述电路中的电荷函数,
则
.0,1;0,0
)(
t
t
tq
t
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t
tqti
t?
)()(lim
d
)(d)(
0
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当 t?0时,i(t)=0,由于 q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的,
如果我们形式地计算这个导数,则得
tt
qtq
i
tt
1
lim
)0()0(
lim)0(
00
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度,为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克 (Dirac)的函数,
简单记成 d-函数,有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,
集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决,
对于在 (,?)上定义的所有可积函数的集合,
也可以构成一线性空间,进一步地在上面定义内积,就可以构成一欧氏空间,两个函数 f(t)和
g(t)的内积可以定义为,
ttgtf d)()(
对于给定的 f(t),我们希望找到一个函数和它的内积能够正好等于 f(0),如果 f(t)在 0处连续,
我们可以用一非常小的正数 e>0,计算 f(t)在区间 [0,e]上的平均值,则这个平均值近似等于
f(0):
)0(0dt)(
1
0
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e
e
而实际上这相当于 f(t)和一称作 de(t)的函数内积,
其它0
0/1
)(
ee
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t
t
t
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1/e
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称 de(t)的弱极限为 d-函数,记为 d(t)
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如 f(t)在 0点连续,则在 0附近的非常小的一个领域可以看作是常数 c=f(0),因此,任给一个在
(,?)上积分值为 1的函数 g(t)
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,
)(lim)(,
1
)(
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1
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dd
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d
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则非常小当则令则图例,
O t
O t
工程上将 d-函数称为 单位脉冲函数,可将 d-函数用一个长度等于 1的有向线段表示,这个线段的长度表示 d-函数的积分值,称为 d-函数的强度,
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d(t)
1
d-函数有性质
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)0(d)()(
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d-函数的傅氏变换为,
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1
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1
可见,单位脉冲函数 d(t)与常数 1构成了一傅氏变换对,同理,d(t?t0)和 亦构成了一个傅氏变换对,
0je t
在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件
ttf d|)(|
例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换,所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,象函数
F(?)和象原函数 f(t)亦构成一个傅氏变换对,
).(
1
01;0,0
)(3
d
j
t
t
tu
的傅氏变换为证明单位阶跃函数例
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2
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t
t
则因为若 F(?)=2?d(?)时,由傅氏逆变换可得
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2
1de)(
2
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d
ttFtf
所以 1和 2?d(?)也构成傅氏变换对,
同理,如 F(?)=2?d(0)
对也构成了一个傅氏变换和即 )(2e
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2
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2
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由上面两个函数的变换可得
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)(2de
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t
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t
例 4 求正弦函数 f(t)=sin?0t的傅氏变换
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1
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如图所示,
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sint
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|F(?)|
在频谱分析中,傅氏变换 F(?)又称为 f(t)的频谱函数,而它的模 |F(?)|称为 f(t)的振幅频谱 (亦简称为频谱 ),由于?是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱,
例 5 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图
2
s i n c|)(|
2
s i n c
2
s i n
2
e
j
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2
2
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E
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tEttfF
t
tt
则振幅频谱
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单个矩形脉冲的频谱函数为,
t
E
/2?/2
矩形脉冲的频谱图为
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|F(?)|
2
4
6
O
振幅函数 |F(?)|是角频率?的偶函数,即
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为 f(t)的相角频谱,显然,相角频谱?(?)是?的奇函数,即?(?)=().
作业 习题二第 25页第 3,13题请提问
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习题一 1,试证,若 f(t)满足傅氏积分定理的条件,则有
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其中证 由第 8页 1.6式
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偶函数奇函数习题一 3.
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题的结果有根据第为偶函数则因为设函数的图形为
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则积分元为令作极坐标变换证
:2 的曲线形状为函数 te?
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如果 a是任一实数,则显然也有
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还是令为虚数假设同但含义不为复数时也成立这件事情即使在则只要令因为
积分路线如图所示,
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此二直线上确有但在的积分是否趋近于到和从到从要看的相等到的积分是否与从到从时因此当一周的积分为零绕
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和任意的复数而对于任意的正数都有对于任意的正数傅氏变换
1.傅氏变换的概念我们知道,若函数 f(t)满足傅氏积分定理的条件,则在 f(t)的连续点处,有
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(1.8)式叫做 f(t)的 傅氏变换式,(1.9)式为 F(?)的傅式逆变换式,f(t)与 F(?)可相互转换,可记为
F(?)=F [f(t)] 和 f(t)=F?1[F(?)]
还可以将 f(t)放在左端,F(?)放在右端,中间用双向箭头连接,
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(1.8)式右端的积分运算,叫做 f(t)的傅氏变换,
同样,(1.9)式右端的积分运算,叫做 F(?)的傅氏逆变换,
F(?)称作 f(t)的 象函数,
f(t)称作 F(?)的 象原函数,
可以说象函数 F(?)和象原函数 f(t)构成了一个傅氏变换对,
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一个函数是工程技术中常碰到的衰减函数叫做指数这个其中其积分表达式的傅氏变换及求函数例
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可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数求钟形脉冲函数的积分表达式,根据 (1.9)式
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2,单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数,因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流 ; 在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等,研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数,
在原来电流为零的电路中,某一瞬时 (设为 t=0)
进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流 i(t),以 q(t)表示上述电路中的电荷函数,
则
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由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当 t?0时,i(t)=0,由于 q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的,
如果我们形式地计算这个导数,则得
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这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度,为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克 (Dirac)的函数,
简单记成 d-函数,有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,
集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决,
对于在 (,?)上定义的所有可积函数的集合,
也可以构成一线性空间,进一步地在上面定义内积,就可以构成一欧氏空间,两个函数 f(t)和
g(t)的内积可以定义为,
ttgtf d)()(
对于给定的 f(t),我们希望找到一个函数和它的内积能够正好等于 f(0),如果 f(t)在 0处连续,
我们可以用一非常小的正数 e>0,计算 f(t)在区间 [0,e]上的平均值,则这个平均值近似等于
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而实际上这相当于 f(t)和一称作 de(t)的函数内积,
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称 de(t)的弱极限为 d-函数,记为 d(t)
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如 f(t)在 0点连续,则在 0附近的非常小的一个领域可以看作是常数 c=f(0),因此,任给一个在
(,?)上积分值为 1的函数 g(t)
)0(d)(d)()(
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则非常小当则令则图例,
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工程上将 d-函数称为 单位脉冲函数,可将 d-函数用一个长度等于 1的有向线段表示,这个线段的长度表示 d-函数的积分值,称为 d-函数的强度,
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tfttftt
fttft
tt
d
d
d
及
1ede)(
)]([)(
0
t
tjtj
tt
tF
d
d? F
d-函数的傅氏变换为,
tO
d(t)
1
O
F(?)
1
可见,单位脉冲函数 d(t)与常数 1构成了一傅氏变换对,同理,d(t?t0)和 亦构成了一个傅氏变换对,
0je t
在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件
ttf d|)(|
例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换,所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,象函数
F(?)和象原函数 f(t)亦构成一个傅氏变换对,
).(
1
01;0,0
)(3
d
j
t
t
tu
的傅氏变换为证明单位阶跃函数例
O
|F(?)|
O t
u(t)
0
j
j
j
j
1
d
s i n1
2
1
d
s i n
2
1
d)(
2
1
d
j2
1
d)(
2
1
d)(
j
1
2
1
)]([)(
),(
j
1
)(,
d
d
d
d
t
t
e
e
e
e
Ftf
F
t
t
t
t
F
若事实上
0,1
0,0
d
s i n1
2
1
)(
0,
2
0,0
0,
2
d
s i n
,
2
d
s i n
0
0
0
t
tt
tf
t
t
t
t
则因为若 F(?)=2?d(?)时,由傅氏逆变换可得
1de)(2
2
1de)(
2
1)( jj
d
ttFtf
所以 1和 2?d(?)也构成傅氏变换对,
同理,如 F(?)=2?d(0)
对也构成了一个傅氏变换和即 )(2e
ede)(2
2
1
de)(
2
1
)(
0
j
jj
0
j
0
0
d
d
t
tt
t
Ftf
由上面两个函数的变换可得
)(2de
)(2de
0
)j(
j
0
d
d
t
t
t
t
例 4 求正弦函数 f(t)=sin?0t的傅氏变换
)()(j
)(2)(2
j2
1
dee
j2
1
de
j2
ee
ds i ne)]([)(
00
00
j()j(
j
jj
0
j
00
00
dd?
dd
t
t
tttfF
tt
t
tt
t
F
如图所示,
t
sint
0?0O?
|F(?)|
在频谱分析中,傅氏变换 F(?)又称为 f(t)的频谱函数,而它的模 |F(?)|称为 f(t)的振幅频谱 (亦简称为频谱 ),由于?是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱,
例 5 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图
2
s i n c|)(|
2
s i n c
2
s i n
2
e
j
dede)()(
2
2
j
jj 2
2
EF
E
EE
tEttfF
t
tt
则振幅频谱
f(t)
单个矩形脉冲的频谱函数为,
t
E
/2?/2
矩形脉冲的频谱图为
E?
|F(?)|
2
4
6
O
振幅函数 |F(?)|是角频率?的偶函数,即
.|)(||)(|
ds i n)(dc os)(|)(|
ds i n)(jdc os)(
de)()(,
|)(||)(|
22
j
FF
tttftttfF
tttftttf
ttfF
FF
t
显然有所以因为我们定义
tttf
tttf
dc o s)(
ds i n)(
a r c t g)(
为 f(t)的相角频谱,显然,相角频谱?(?)是?的奇函数,即?(?)=().
作业 习题二第 25页第 3,13题请提问
