1
积分变换第 3讲本文件可从网址
http://math.vip.sina.com
上下载
(单击 'ppt讲义 '后选择 '工程数学 '子目录 )
2
傅氏变换的性质
3
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件,
4
线性性质 设 F1(w)=F [f1(t)],
F2(w)=F [f2(t)],a,b是常数,则
F [af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) (1.13)
这个性质的作用是很显然的,它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合,它的证明只需根据定义就可推出,
同样,傅氏逆变换亦具有类似的线性性质,即
F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t) (1.14)
5
2,位移性质
)15.1()]([)]([ 00 tfettf tj FF w
tj
tut
tu
t
tfF
tfuuf
uufutt
tttfttf
0
00
0
e)()]([
)]([ede)(e
de)()(
de)()]([
0
1
jjj
)(j
0
j
00
w
www
w
w
ww
-

-
-?

-
-

-
-



F
F
F
同理有令证 由傅氏变换的定义,可知
6
微分性质 如果 f(t)在 (-?,+?)上连续或只有有限个可去间断点,且当 |t|?+?时,f(t)?0,则
F [f '(t)]=jwF [f(t)],(1.17)
证 由傅氏变换的定义,并利用分部积分可得
)]([j
de)(je)(
de)()]([
jj
j
tf
ttftf
ttftf
tt
t
F
F
w
w
ww
w



-
-

-
-

-
-
推论
F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)],(1.18)
7
同样,我们还能得到象函数的导数公式,设
F [f(t)]=F(w),则
)]([j)()(
d
d
,
)].(j[)(
d
d
tftF
ttfF
nn
n
n
F
F
-?
-?
w
w
w
w
有一般地
8
本书中的积分的记号有不严格的写法,即
)(d)(
d
d
d)(
d
d
eeedede
d)(
d)(
,d)(d)(
tfuuf
t
ttf
t
eut
uuf
ttf
uufttf
tt
tt
t
u
t
u
t
t
t
t
tt

-



-?-
-
-?-?-
-
-
-?-
且有例如时必须将它理解为即我们看到的意思其实是
9
4,积分性质

-
-
-
-
t
t
t
t
ttftf
tfttf
t
tfttf
ttftgt
d)(j)]([
),(d)(
d
d
)19.1()].([
j
1
d)(
0d)()(,
FF
FF
w
w
因为证则时如果当
10
例 2 求微分积分方程
)(d)()()( thttxctbxtxa t
-
-?

w
w
w
w
ww
w
www
c
ab
H
X
HX
c
bXXaj
j
)(
)(
)()(
j
)()(
的解,其中 -?<t<+?,a,b,c均为常数,
根据傅氏变换的微分性质和积分性质,且记
F [x(t)]=X(w),F [h(t)]=H(w).
在方程两边取傅氏变换,可得
11
运用傅氏变换的线性性质,微分性质以及积分性质,可以把线性常系数微分方程转化为代数方程,通过解代数方程与求傅氏逆变换,就可以得到此微分方程的解,另外,傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一,
12
此外还有
)()]([
:
)0(
||
1
)]([
:
)(2)]([
:
),()]([
w
w
w?
w
-?-

-?
Ftf
a
a
F
a
atf
ftF
Ftf
F
F
F
F
翻转性质相似性质对称性质则还成立若
13
性质小结,若 F [f(t)]=F(w),F [g(t)]=G(w)
)()(:
||
1
)0()(:
)(2)(:
)(
1
d)(:
)()(:
)()(
e)()(:
)()()()(:
0
j
0
0
0
w
w
w?
w
w
ww
ww
w
wbwaba
w
w
-?-

-?

-?
-

-
-
Ftf
a
F
a
aatf
ftF
F
j
ttf
Fjtf
Fetf
Fttf
GFtgtf
t
tj
t
翻转相似对称积分导数位移线性
14
乘积定理 若 F(w)=F [f(t)],G(w)=F [g(t)],则




-

-

-

-

-

-

-

-
www
ww
ww
www
w
w
d)()(
2
1
dde)()(
2
1
dde)(
2
1
)(
d)()(
)20.1(d)()(
2
1
d)()(
j
j
FG
ttfG
tGtf
ttgtf
GFttgtf
t
t
证
15
能量积分 若 F(w)=F [f(t)],则有
)21.1()(2 1d)( 22
-

-
ww? dFttf

.)()(
d)(
2
1
d)(
2
1
d)()(
2
1
d)(
2
2
2
称为能量谱密度函数其中 ww
ww
ww
www
FS
SF
FFttf




-

-

-

-
这一等式又称为 帕塞瓦尔 (Parserval)等式证 在 (1.20)式中,令 f(t)=g(t),则
16
w
w
w
w
w
w




-

-

-

-
1
1
2
2
2
2
2
d
4
1
2d)(2d
s i n
0;1||2/1
)(,
s i n
)(
)(
d
s i n
3
tttf
t
tfF
tf
x
x
x
则其它则的傅氏变换为假设解求例
17
实际上,只要记住下面四个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出,
b
w
b
b
b
wb
w
w
4
2
2
ee
j
1
)(
)(
j
1
)(
1)(
-
-
-

t
t
etu
tu
t
18
注意第一类间断点处的求导数,首先有
)(
d
)(d
)(
d
)(d
,d)()(
0
0
tt
t
ttu
t
t
tu
tttu
t
-
-

-

同理有因此
(t)
u(t)
t
t
O
O
19
a
假设函数 f(t)在 t0处有一个上升了 a的第一类间断点,则 f(t)可以分为在此处连续的一个函数
f1(t)加上 a u(t-t0)
a
= +
tt0
t0
t0
t
t
f(t)
f1(t)
a u(t-t0)
20
例 求方波的傅氏变换
t/2-t/2
E
t
f(t)
t/2-t/2
E
t
f '(t)
-E
其它0
2
||
)(
t
tE
tf
21
推导过程为

-?
--
-
-
-
2
s i n c
2
s i n
2
)(
2
s i n2ee
)
2
()
2
()(
e)(
1)(
2
j
2
j
j
0
0
wt
t
wt
w
w
wt
t
t
t
w
t
w
w
E
E
F
jEE
tEtEtf
tt
t
t
22
习题二 14题 求如图所示的频谱函数
t/2-t/2
A
O t
f(t)
t/2-t/2
a
O t
f '(t)
t/2-t/2
a
O t
f ''(t)
a
-2a
-a
tt
AA
a
2
2/

23
因此有
-?
-?
--?
-?-
-
2
c os1
4
1
2
c os
)(
2
)(
2
2
c os2e2e
)
2
()(2)
2
()(
2
2
2
j
2
j
wt
tw
wt
w
w
wt
t

t
wtwt
A
j
a
F
aaaaa
tatatatf
24
习题二,2.(1)
-
10
11
)(
2
22
t
tt
tf
tO
f(t)
1-1 tO
f '(t)
1-1
2
-2
25
f(t)的二阶导和三阶导如下图,
tO
f ''(t)
1-1
2
-2
tO
f '''(t)
1-1
2
-2
26
因此有



3
3
jjjj
c oss i n
4
s i njc osj
)(j
4
)(
s i njc osj4
eeejej2
)1(2)1(2
)1(2)1(2)(
w
www
www
w
w
www
ww


wwww
-
-?
-?
-
--
-
--
F
tt
tttf
则
27
习题二 2.(2)
tt
tt
t
t
tgtg
tgttgtf
Gtutg
ttutf
2j2j
2j2j
e)(
j2
1
e)(
j2
1
j2
ee
)(2s i n)()(
j1
1
)(e)()(
2s i ne)()(
-
-
-
-
-?
-


则令
w
w
28

-
-?


-?
-?
-?
-
-
)2j(1
1
)2j(1
1
j2
1
)(
)2j(1
1
)2(e)(
)2j(1
1
)2(e)(
e)(
j2
1
e)(
j2
1
)(
2j
2j
2j2j
ww
w
w
w
w
w
F
Gtg
Gtg
tgtgtf
t
t
tt
则
29
42
2
222
2
22
625
2j5
2
4)5(
)2j5(2
j25
2
4)j1(
2
)2jj1j ) (2j1(
)2j(1)2j(1
2
j
)2j(1
1
)2j(1
1
j2
1
)(
ww
ww
ww
ww
www
ww
ww
ww
w
-
--
-
--
-

-?
---
-?

-
-?
F
30
习题二 2.(3)
-1
-1
1
1
f(t)
tO
-1
2
1
f '(t)
tO -1-1
31
因此
w
w
w
w
w
w

ww
c os1
2j
j
c os22
)(
c os22e2e
)1()(2)1()(
jj
-
-?
-
-?-?-?
---
-
F
ttttf
则
32
习题二 3.(1) f(t)=e-b|t| (b>0)
令 g(t)=u(t)e-bt,则 f(t)=g(t)+g(-t)
t
g(t)
t
g(-t)
t
f(t)
O
O O
33
因此有
22
2
j
1
j
1
)(
)()()(
j
1
)()(
j
1
)()(
wb
b
wbwb
w
wb
w
wb
w
-
-
-
-?-

F
tgtgtf
Gtg
Gtg
34
习题二 3.(2) f(t)=e-|t|cos t

)1()1(
2
1
)(
e)(e)(
2
1
2
ee
)(c os)()(
1
2
)(e)(
jj
jj
2
||
-?



-
-
-
www
w
w
GGF
tgtg
tgttgtf
Gtg
tt
tt
t
则令
35
4
42
4)2(
42
)22)(22(
24
)1(1
2
)1(1
2
2
1
)(
1
2
)(e)(
4
2
222
2
22
2
22
2
||
-?
-?

-?

-
w
w
ww
w
wwww
w
ww
w
w
w
F
Gtg
t
36
习题二 3.(3)


)1()1(
2
j
)(
e)(e)(
2
j
j2
ee
)(s i n)()(
s i n c2)()(
||0
||1
)(
||0
||s i n
)(
jj
jj
---?
--?
-


-
-
www
w?w
GGF
tgtg
tgttgtf
Gtg
t
t
tg
t
tt
tf
tt
tt
则令
37



1
s i n2
j
1
1
1
1
)s i n (j
)1(
)s i n (
)1(
)s i n (
j
s i n c2s i n c2
2
j
)1()1(
2
j
)(
s i n c2)()(
2
-

-
-
-
-
-?
---?
---?

w
w
ww
w
w?
w
w?
w
ww?
www
w?w
GGF
Gtg
38
习题二 4题



1||0
1||2/1
)(
2
11
,1
,2,
2
1,
2
||0
2
||
)(
)(,s i n c
s i n
)(
t
t
tf
EE
t
tE
tf
tfF
即得再由得而必是一个方波函数则
t
t
t
t
t
t
w
w
w
w
39
习题二 5,F(w)=?[?(w+w0)+?(w-w0)]
ttf
t
tt
t
t
0
jj
0
j
0
j
c osee
2
1
)(
)(2e
)(2e
)(21
1)(
00
0
0
w
ww
ww
w
ww
w
w

-?

-
-
40
习题二 6 f(t)=sgn t
w
w
j
2
)(
2)(2)(

F
ttf
1
-1 t
f(t)
2
t
f '(t)
O O
41
习题二 7.
2
c osc os
eeee
2
1
)(
e)(,1)(
22
)()(
2
1
)(
2
j
2
j
jj
j
0
0
a
a
F
ttt
a
t
a
tatattf
aa
aa
t
w
w
w


ww
ww
w


-?
-
-
-
-
-
42
习题二 8,f(t)=cos t sin t


)2()2(
j2
)(
)2(2e
)2(2e),(21
ee
j4
1
eeee
j4
1
s i nc o s
2j
2j
2j2j
jjjj
--?

-
-?
-
-
-
--
w?w?
w
w
ww
F
tt
t
t
tt
tttt
43
习题二 9,f(t)=sin3t


)]1(3)1(3
)3()3([
4
j
)(
)(2e
ee3e3e
8
j
ee
j8
1
s i n
0
j
3jjj3j
3
jj3
0
--
--?
-?
-?-?
--?
--
-
w?w?
w?w?
w
ww
w
F
t
t
tttt
tt
由
44
习题二 13,周期为 T的函数 f(t)可表示为

-

-

-
-?
-?
-?
n
n
n
nn
n
t
n
t
n
nc
cF
ctf
n
n
)(2
)(2)(
)(2e
e)(
0
j
j
ww
www
ww
w
w
因
45
作业 习题三第 33页开始第 1,2,3,4,5,6题
46
请提问