1
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2
柯西 -古萨基本定理 如果函数 f(z)在单连通域
B内处处解析,则它在 B内任何一条封闭曲线 C
的积分为零,
)2.2.3(.0d)(
C
zzf
C
B
3
定理中的曲线 C可以不是简单曲线,
此定理成立的条件之一是曲线 C要属于区域 B.
如果曲线 C是 B的边界,函数 f(z)在 B内与 C上解析,即在闭区域 B+C上解析,甚至 f(z)在 B内解析,在闭区域 B+C上连续,则 f(z)在边界上的积分仍然有
0d)(
C
zzf
4
§ 3 基本定理的推广复合闭路定理
5
可将柯西 -古萨基本定理推广到多连通域的情况,设函数 f(z)在多连通域 D内解析,C为 D内的任意一条简单闭曲线,当 C的内部不完全含于
D时,沿 C的积分就不一定为零,
假设 C及 C1为 D内任意两条 (正向为逆时针方向 )简单闭曲线,C1在 C内部,而且以 C及 C1为边界的区域 D1全含于 D,作两条不相交的弧线
AA'及 BB',其中 A,B在 C上,A'B'在 C1上这样构成两条全在 D内的简单闭曲线 AEBB‘E’A‘AE及
AA’F‘B’BFA.
6
D C
C1
A A' BB'
D1F
E
E'
F'
0d)(0d)(
''''''
BFABFAAAAEA E B B
zzfzzf
7
将上面两等式相加,得
)2.3.3(d)(d)(
)1.3.3(0d)(d)(
0d)(d)(d)(
d)(d)(d)(
1
1
1
'''
'
CC
CC
BBBBAA
AACC
zzfzzf
zzfzzf
zzfzzfzzf
zzfzzfzzf
或即
8
(3.3.1)说明,如果将 C及 C1?看成一条复合闭路
G,其正向为,沿 C逆时针,沿 C1?顺时针,则
0d)(
G
zzf
(3.3.2)说明,在区域内的 一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中不经过函数 f(z)
不解析的点,这一重要事实,称为闭路变形原理
9
D
变形过程中不能够经过 f(z)不解析的点
10
定理 (复合闭路定理 ) 设 C为多连通域 D内的一条简单闭曲线,C1,C2,...,Cn是在 C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以 C,
C1,C2,...,Cn为边界的区域全含于 D,如果 f(z)
在 D内解析,则
0d)()ii;,d)(d)(i)
1
G
zzf
CCzzfzzf
k
n
k CC
k
均取正方向与
G为由 C及 Ck(k=1,2,...,n)所组成的复合闭路 (C按顺时针,Ck按逆时针
11
D
C
C1
C2
C3
12
例如 从本章 § 1的 例 2知,当 C为以 z0为中心的正向圆周时,
i
zz
z
z
i
zz
z
C
π2
d
:
,,
,π2
d
0
0
0
G
G 都有任何一条正向简单曲线的对于包含根据闭路变形原理所以
13
[解 ] 函数 在复平面内除 z=0和 z=1两个奇点外是处处解析的,
由于 G 是包含着圆周 |z|=1在内的任何正向简单闭曲线,因此,它也包含这两个奇点,在 G 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周 C1与
C2,C1只包含奇点 z=0,C2只包含奇点 z=1.
例 计算 的值,G为包含圆周
|z|=1在内的任何正向简单闭曲线,
G
z
zz
z
d
12
2
zz
z
2
12
14
则根据复合闭路定理的 i),可得
x
y
O
1
G
C1 C2
15
iii
z
z
z
z
z
z
z
z
z
zz
z
z
zz
z
z
zz
z
CC
CC
CC
π40π2π20
d
1
d
1
1
d
1
d
1
1
d
12
d
12
d
12
22
11
21
222
G
16
§ 4 原函数与不定积分
17
定理一 如果函数 f(z)在单连通域 B内处处解析,
则积分 与连接起点及终点的路线 C无关,
C zzf d)(
z1
z2
BC
1
C2
z1
z2 C1
C2B
18
由定理一可知,解析函数在单连通域内的积分只与起点 z0和终点 z1有关,如图所示,我们有
1
0
21
d)(d)(d)(
z
z
CC
zzfzzfzzf
z1
z2
BC
1
C2
z1
z2 C1
C2B
19
固定 z0,让 z1在 B内变动,令 z1=z,则积分
z
z
f
0
d)(
)1.4.3(d)()(
0
z
z
fzF
在 B内确定了一个单值函数对这个函数我们有定理二 如果 f(z)在单连通域 B内处处解析,则函数 F(z)必为 B内的一个解析函数,并且
F '(z)=f(z).
20
[证 ] 从导数的定义出发来证,设 z为 B内任意一点,以 z为中心作一含于 B内的小圆 K,取 |Dz|
充分小使 z+Dz在 K内,于是由 (3.4.1)得
zzzzz ffzFzzF
00
d)(d)()()Δ( Δ
z+Dz
z
K?z
0
21
,d)()(
Δ
1
)(d)(
Δ
1
)(
Δ
)()Δ(
Δ)(d)(d)(
.d)()()Δ(
Δ
Δ
ΔΔ
Δ
zz
z
zz
z
zz
z
zz
z
zz
z
zff
z
zff
z
zf
z
zFzzF
zzfzfzf
fzFzzF
又因
22
则任给 e>0,存在 d>0,当 |z|<d即 |Dz|<d时,总有 |f(?)?f(z)|<e,因此
)()(
,0)(
Δ
)()Δ(
lim
|Δ|
|Δ|
1
d|)()(|
|Δ|
1
d)]()([
|Δ|
1
0Δ
Δ
Δ
zfzF
zf
z
zFzzF
z
z
szff
z
zff
z
z
zz
z
zz
z
即这就是说
ee
23
定义 如果函数 j(z)在区域 D内的导数等于 f(z),
即 j '(z)=f(z),则称 j(z)为 f(z)在区域 B内的 原函数,
.
)(d)()(
0
一个原函数的是定理二表明 zffzF
z
z?
f(z)的任何两个原函数相差一个常数,设 G(z)
和 H(z)是 f(z)的两个原函数,则
[G(z)?H(z)]'=G '(z)?H '(z)=f(z)?f(z)=0.
所以 G(z)?H(z)=c,c为任意常数,
24
因此,如果函数 f(z)在区域 B内有一个原函数
F(z),则它就有无穷多个原函数,而且具有一般表达式 F(z)+c,c为任意常数,
跟在微积分学中一样,定义,f(z)的原函数的一般形式 F(z)+c(其中 c为任意常数,)为 f(z)的 不定积分,记作
czFzzf )(d)(
25
定理三 如果 f(z)在单连通域 B内处处解析,G(z)
为 f(z)的一个原函数,则
),()(d)( 011
0
zGzGzzf
z
z
这里 z0,z1为域 B内的两点,
[证 ] 因为 也是 f(z)的原函数,所以? z
z
zzf
0
d)(
.)(d)(
0
czGzzf
z
z
26
当 z=z0时,根据柯西 -古萨基本定理,cG(z0)
)2.4.3().()(d)(
),()(d)(
01
0
1
0
0
zGzGzzf
zGzGzzf
z
z
z
z
或有了原函数,不定积分和积分计算公式 (3.4.2),
复变函数的积分就可用微积分学中类似的方法去计算,
.)(d)(
0
czGzzf
z
z
27
例 1 求积分 的值? i zzz
0
dc o s
.1e1
2
ee
2
ee
1c oss i n
c oss i ndc os
1
11
0
0
i
i
iii
zzzzzz
i
i
[解 ] 函数 zcos z在全平面内解析,容易求得它有一个原函数为 zsin z+cos z,所以
28
例 2 试沿区域 Im(z)?0,Re(z)?0内的圆弧 |z|=1,
计算积分的值?
i
z
z
z
1
d
1
)1ln (
1
)1ln (
z
z[解 ] 函数 在所设区域内解析,
|
1
2
1
2
)1(ln
2
1
d
1
)1l n (
),1(ln
2
1
ii
zz
z
z
z
所以它的一个原函数为
29
i
i
i
zz
z
z ii
8
2lnπ
2ln
8
3
32
π
2ln
4
π
2ln
2
1
2
1
)]2(ln)1([ l n
2
1
)1(ln
2
1
d
1
)1l n (
2
2
2
2
22
1
2
1
|
30
§ 5 柯西积分公式
31
.
.
,.
d
)(
.
)(
,
)(.,
0
0
0
0
0
0
个积分的值现在来求这的的简单闭曲线都是相同条围绕这积分的值沿任何一又根据闭路变形原理零一般不为的积分的一条闭曲线绕内围所以在不解析在则函数内解析在如果中一点为为一单连通域设
z
z
zz
zf
Cz
Bz
zz
zf
BzfBzB
C
32
既然沿围绕 z0的任何简单闭曲线积分值都相同,则取以 z0为中心,半径为 d的很小的圆周
|z?z0|=d(取其正向 )作为积分曲线 C,由于 f(z)的连续性,在 C上的函数 f(z)的值将随着 d的缩小而逐渐接近于它在圆心 z0处的值,从而使我们猜想积分 的值也将随着 d的缩小而接近于
).(π2d
1
)(d
)(
0
0
0
0
0 zifz
zz
zfz
zz
zf
CC
C
z
zz
zf
d
)(
0
33
其实两者是相等的,即
)(π2d
)(
0
0
zifz
zz
zf
C
)1.5.3(.d
)(
π2
1
)(
0
0
C
z
zz
zf
i
zf
我们有下面的定理,
定理 (柯西积分公式 ) 如果 f(z)在区域 D内处处解析,C为 D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 D,z0为 C内的任一点,则
34
[证 ] 由于 f(z)在 z0连续,任给 e>0,存在 d(e)>0,
当 |z?z0|<d时,|f(z)?f(z0)|<e,设以 z0为中心,R为半径的圆周 K:|z?z0|=R全部在 C的内部,且 R<d.
D
C Kz z0
R
35
)2.5.3(d
)()(
)(π2
d
)()(
d
)(
d
)(
d
)(
0
0
0
0
0
0
0
00
K
KK
KC
z
zz
zfzf
zif
z
zz
zfzf
z
zz
zf
z
zz
zf
z
zz
zf
36
这表明不等式右端积分的模可以任意小,只要
R足够小就行了,根据闭路变形原理,该积分的值与 R无关,所以只有在对所有的 R积分为值为零才有可能,因此,由 (3.5.2)即得要证的
(3.5.1)式,
e
e
π2d
d
||
|)()(|
d
)()(
0
0
0
0
K
KK
s
R
s
zz
zfzf
z
zz
zfzf
37
(3.5.1)式称为积西积分公式,
如果 C是圆周 z=z0+Reiq,则 (3.5.1)式成为
)3.5.3(.d)e(π2 1)(
π2
0 00?
qqiRzfzf
即,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值,
)1.5.3(.d
)(
π2
1
)(
0
0
C
z
zz
zf
i
zf
38
例 求下列积分 (沿圆周方向 )的值,
.d
3
2
1
1
)2;d
s i n
π2
1
)1
4||4||
zz
z
zz
z
z
z
i
[解 ] 由 (3.5.1)得
.π62π21π2
d
3
2
d
1
1
d
3
2
1
1
)2;0s i nd
s i n
π2
1
)1
4||4||4||
0
4||
|
iii
z
z
z
z
z
zz
zz
z
z
i
zzz
z
z
39
§ 6 解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示,这一点和实变函数完全不同,
一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了,
40
定理 解析函数 f(z)的导数仍为解析函数,它的
n阶导数为,
)1.6.3(
),2,1(d
)(
)(
π2
!
)(
1
0
0
)(
nz
zz
zf
i
n
zf
C
n
n
其中 C为在函数 f(z)的解析区域 D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于 D.
41
[证 ] 设 z0为 D内任意一点,先证 n=1的情形,即
,
Δ
)()Δ(
lim)(
d
)(
)(
π2
1
)(
00
0Δ
0
2
0
0
z
zfzzf
zf
z
zz
zf
i
zf
z
C
先按定义有
.0Δ
Δ
)()Δ(
d
)(
)(
π2
1
00
2
0
时也趋向于零在?
z
z
zfzzf
z
zz
zf
i
C
因此就是要证
42
按柯西积分公式有
C
C
C
z
zzzzz
zf
i
z
zfzzf
z
zzz
zf
i
zzf
z
zz
zf
i
zf
d
)Δ)((
)(
π2
1
Δ
)()Δ(
d
Δ
)(
π2
1
)Δ(
.d
)(
π2
1
)(
00
00
0
0
0
0
43
因此
Iz
zzzzz
zzf
i
z
zzzzz
zf
i
z
zz
zf
i
z
zfzzf
z
zz
zf
i
C
C
C
C
d
)Δ()(
)(Δ
π2
1
d
)Δ)((
)(
π2
1
d
)(
)(
π2
1
Δ
)()Δ(
d
)(
)(
π2
1
0
2
0
00
2
0
00
2
0
44
现要证当 Dz?0时 I?0,而
.
|Δ|||
d|)(||Δ|
)Δ()(
d)(Δ
π2
1
||
0
2
0
0
2
0
C
C
zzzzz
szfz
zzzzz
zzzf
I
D
z0
d
C
45
f(z)在 C上连续,则有界,设界为 M,则在 C上有
|f(z)|?M,d为 z0到 C上各点的最短距离,则取 |Dz|
适当地小使其满足 |Dz|<d/2,
D
z0
d
C
46
因此,
3
0
2
0
0
00
0
0
π
|Δ|
|Δ|||
d|)(||Δ|
π2
1
||
2
|Δ|
1
,
2
|Δ||||Δ|
,
1
||
1
,||
d
ML
z
zzzzz
szfz
I
dzzz
d
zzzzzz
dzz
dzz
C
L是 C的长度
47
这就证得了当 Dz?0时,I?0,也就证得了
C
z
z
zz
zf
i
zf
z
zfzzf
d
)(
)(
π2
!2
)(
Δ
)()Δ(
lim
3
0
0
00
0Δ
便可得再利用同样的方法去求极限,
)2.6.3(d
)(
)(
π2
1
)( 2
0
0
C
z
zz
zf
i
zf
这里已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数,
48
依此类推,用数学归纳法可以证明,
此公式可以这样记忆,把柯西积分公式 (3.5.1)
的两边对 z0求导数,右边求导在积分号下进行,
求导时把被积函数看作是 z0的函数,而把 z看作常数,
高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,
而在于通过求导来求积分,
C
n
n z
zz
zf
i
n
zf d
)(
)(
π2
!
)(
1
0
0
)(
49
[解 ] 1) 函数 在 C内的 z=1处不解析,
但 cospz在 C内却是处处解析的,根据 (3.6.1)有例 1 求下列积分的值,其中 C为正向圆周,
|z|=r>1.
C
z
C
z
z
z
z
z
d
)1(
e
)2;d
)1(
c o s
)1
225
p
5)1(
c os
z
zp
.
12
)( c os
)!15(
2
d
)1(
c o s 5
1
)4(
5 |
i
z
i
z
z
z
z
C
p
p
pp
50
.
,
.,
.
)1(
)2
21
21
22
析的所围成的区域内是解和则此函数在由为中心作两个正向圆周和内以在我们处不解析内的在函数
CCC
CCiiC
izC
z
e
z
O
C1
C2
C i
i x
y
51
根据复合闭路定理,
21
d
)1(
e
d
)1(
e
d
)1(
e
222222
C
z
C
z
C
z
z
z
z
z
z
z
O
C1
C2
C i
i x
y
52
由 (3.6.1)有
)
4
1s i n (2d
)1(
e
.
2
)1(
d
)1(
e
,
.
2
)1(
'
)(
e
)!12(
2
d
)(
)(
e
d
)1(
e
22
22
2
2
2
22
2
11
p
p
p
p
p
iz
z
ei
z
z
ei
iz
i
z
iz
iz
z
z
C
z
i
C
z
i
iz
z
C
z
C
z
因此同样
53
作业第一章第 29题设函数 f(z)在 z0连续且 f(z0)?0,那末可找到 z0的小邻域,在这邻域内 f(z0)?0.
z w
d e=A/2
A=|f(z0)|
f(z)
x
y
O u
v
O
z0
f(z0)
54
证 设 A=|f(z0)|,令 e = A/2,则存在 d>0使得当
|z?z0|<d时,有 |f(z)?f(z0)|<e,则
00
00
00
| ( ) | | ( ) [ ( ) ( ) ] |
| ( ) | | ( ) ( ) |
| ( ) | | ( ) ( ) |
11
0
22
f z f z f z f z
f z f z f z
f z f z f z
A A A Ae
55
作业 第三章习题第 99页第 6题第 1),2),3),4)
第 7题第 1),2),3),4)
第 8题第 1),2),3),4)
56
请提问
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2
柯西 -古萨基本定理 如果函数 f(z)在单连通域
B内处处解析,则它在 B内任何一条封闭曲线 C
的积分为零,
)2.2.3(.0d)(
C
zzf
C
B
3
定理中的曲线 C可以不是简单曲线,
此定理成立的条件之一是曲线 C要属于区域 B.
如果曲线 C是 B的边界,函数 f(z)在 B内与 C上解析,即在闭区域 B+C上解析,甚至 f(z)在 B内解析,在闭区域 B+C上连续,则 f(z)在边界上的积分仍然有
0d)(
C
zzf
4
§ 3 基本定理的推广复合闭路定理
5
可将柯西 -古萨基本定理推广到多连通域的情况,设函数 f(z)在多连通域 D内解析,C为 D内的任意一条简单闭曲线,当 C的内部不完全含于
D时,沿 C的积分就不一定为零,
假设 C及 C1为 D内任意两条 (正向为逆时针方向 )简单闭曲线,C1在 C内部,而且以 C及 C1为边界的区域 D1全含于 D,作两条不相交的弧线
AA'及 BB',其中 A,B在 C上,A'B'在 C1上这样构成两条全在 D内的简单闭曲线 AEBB‘E’A‘AE及
AA’F‘B’BFA.
6
D C
C1
A A' BB'
D1F
E
E'
F'
0d)(0d)(
''''''
BFABFAAAAEA E B B
zzfzzf
7
将上面两等式相加,得
)2.3.3(d)(d)(
)1.3.3(0d)(d)(
0d)(d)(d)(
d)(d)(d)(
1
1
1
'''
'
CC
CC
BBBBAA
AACC
zzfzzf
zzfzzf
zzfzzfzzf
zzfzzfzzf
或即
8
(3.3.1)说明,如果将 C及 C1?看成一条复合闭路
G,其正向为,沿 C逆时针,沿 C1?顺时针,则
0d)(
G
zzf
(3.3.2)说明,在区域内的 一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中不经过函数 f(z)
不解析的点,这一重要事实,称为闭路变形原理
9
D
变形过程中不能够经过 f(z)不解析的点
10
定理 (复合闭路定理 ) 设 C为多连通域 D内的一条简单闭曲线,C1,C2,...,Cn是在 C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以 C,
C1,C2,...,Cn为边界的区域全含于 D,如果 f(z)
在 D内解析,则
0d)()ii;,d)(d)(i)
1
G
zzf
CCzzfzzf
k
n
k CC
k
均取正方向与
G为由 C及 Ck(k=1,2,...,n)所组成的复合闭路 (C按顺时针,Ck按逆时针
11
D
C
C1
C2
C3
12
例如 从本章 § 1的 例 2知,当 C为以 z0为中心的正向圆周时,
i
zz
z
z
i
zz
z
C
π2
d
:
,,
,π2
d
0
0
0
G
G 都有任何一条正向简单曲线的对于包含根据闭路变形原理所以
13
[解 ] 函数 在复平面内除 z=0和 z=1两个奇点外是处处解析的,
由于 G 是包含着圆周 |z|=1在内的任何正向简单闭曲线,因此,它也包含这两个奇点,在 G 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周 C1与
C2,C1只包含奇点 z=0,C2只包含奇点 z=1.
例 计算 的值,G为包含圆周
|z|=1在内的任何正向简单闭曲线,
G
z
zz
z
d
12
2
zz
z
2
12
14
则根据复合闭路定理的 i),可得
x
y
O
1
G
C1 C2
15
iii
z
z
z
z
z
z
z
z
z
zz
z
z
zz
z
z
zz
z
CC
CC
CC
π40π2π20
d
1
d
1
1
d
1
d
1
1
d
12
d
12
d
12
22
11
21
222
G
16
§ 4 原函数与不定积分
17
定理一 如果函数 f(z)在单连通域 B内处处解析,
则积分 与连接起点及终点的路线 C无关,
C zzf d)(
z1
z2
BC
1
C2
z1
z2 C1
C2B
18
由定理一可知,解析函数在单连通域内的积分只与起点 z0和终点 z1有关,如图所示,我们有
1
0
21
d)(d)(d)(
z
z
CC
zzfzzfzzf
z1
z2
BC
1
C2
z1
z2 C1
C2B
19
固定 z0,让 z1在 B内变动,令 z1=z,则积分
z
z
f
0
d)(
)1.4.3(d)()(
0
z
z
fzF
在 B内确定了一个单值函数对这个函数我们有定理二 如果 f(z)在单连通域 B内处处解析,则函数 F(z)必为 B内的一个解析函数,并且
F '(z)=f(z).
20
[证 ] 从导数的定义出发来证,设 z为 B内任意一点,以 z为中心作一含于 B内的小圆 K,取 |Dz|
充分小使 z+Dz在 K内,于是由 (3.4.1)得
zzzzz ffzFzzF
00
d)(d)()()Δ( Δ
z+Dz
z
K?z
0
21
,d)()(
Δ
1
)(d)(
Δ
1
)(
Δ
)()Δ(
Δ)(d)(d)(
.d)()()Δ(
Δ
Δ
ΔΔ
Δ
zz
z
zz
z
zz
z
zz
z
zz
z
zff
z
zff
z
zf
z
zFzzF
zzfzfzf
fzFzzF
又因
22
则任给 e>0,存在 d>0,当 |z|<d即 |Dz|<d时,总有 |f(?)?f(z)|<e,因此
)()(
,0)(
Δ
)()Δ(
lim
|Δ|
|Δ|
1
d|)()(|
|Δ|
1
d)]()([
|Δ|
1
0Δ
Δ
Δ
zfzF
zf
z
zFzzF
z
z
szff
z
zff
z
z
zz
z
zz
z
即这就是说
ee
23
定义 如果函数 j(z)在区域 D内的导数等于 f(z),
即 j '(z)=f(z),则称 j(z)为 f(z)在区域 B内的 原函数,
.
)(d)()(
0
一个原函数的是定理二表明 zffzF
z
z?
f(z)的任何两个原函数相差一个常数,设 G(z)
和 H(z)是 f(z)的两个原函数,则
[G(z)?H(z)]'=G '(z)?H '(z)=f(z)?f(z)=0.
所以 G(z)?H(z)=c,c为任意常数,
24
因此,如果函数 f(z)在区域 B内有一个原函数
F(z),则它就有无穷多个原函数,而且具有一般表达式 F(z)+c,c为任意常数,
跟在微积分学中一样,定义,f(z)的原函数的一般形式 F(z)+c(其中 c为任意常数,)为 f(z)的 不定积分,记作
czFzzf )(d)(
25
定理三 如果 f(z)在单连通域 B内处处解析,G(z)
为 f(z)的一个原函数,则
),()(d)( 011
0
zGzGzzf
z
z
这里 z0,z1为域 B内的两点,
[证 ] 因为 也是 f(z)的原函数,所以? z
z
zzf
0
d)(
.)(d)(
0
czGzzf
z
z
26
当 z=z0时,根据柯西 -古萨基本定理,cG(z0)
)2.4.3().()(d)(
),()(d)(
01
0
1
0
0
zGzGzzf
zGzGzzf
z
z
z
z
或有了原函数,不定积分和积分计算公式 (3.4.2),
复变函数的积分就可用微积分学中类似的方法去计算,
.)(d)(
0
czGzzf
z
z
27
例 1 求积分 的值? i zzz
0
dc o s
.1e1
2
ee
2
ee
1c oss i n
c oss i ndc os
1
11
0
0
i
i
iii
zzzzzz
i
i
[解 ] 函数 zcos z在全平面内解析,容易求得它有一个原函数为 zsin z+cos z,所以
28
例 2 试沿区域 Im(z)?0,Re(z)?0内的圆弧 |z|=1,
计算积分的值?
i
z
z
z
1
d
1
)1ln (
1
)1ln (
z
z[解 ] 函数 在所设区域内解析,
|
1
2
1
2
)1(ln
2
1
d
1
)1l n (
),1(ln
2
1
ii
zz
z
z
z
所以它的一个原函数为
29
i
i
i
zz
z
z ii
8
2lnπ
2ln
8
3
32
π
2ln
4
π
2ln
2
1
2
1
)]2(ln)1([ l n
2
1
)1(ln
2
1
d
1
)1l n (
2
2
2
2
22
1
2
1
|
30
§ 5 柯西积分公式
31
.
.
,.
d
)(
.
)(
,
)(.,
0
0
0
0
0
0
个积分的值现在来求这的的简单闭曲线都是相同条围绕这积分的值沿任何一又根据闭路变形原理零一般不为的积分的一条闭曲线绕内围所以在不解析在则函数内解析在如果中一点为为一单连通域设
z
z
zz
zf
Cz
Bz
zz
zf
BzfBzB
C
32
既然沿围绕 z0的任何简单闭曲线积分值都相同,则取以 z0为中心,半径为 d的很小的圆周
|z?z0|=d(取其正向 )作为积分曲线 C,由于 f(z)的连续性,在 C上的函数 f(z)的值将随着 d的缩小而逐渐接近于它在圆心 z0处的值,从而使我们猜想积分 的值也将随着 d的缩小而接近于
).(π2d
1
)(d
)(
0
0
0
0
0 zifz
zz
zfz
zz
zf
CC
C
z
zz
zf
d
)(
0
33
其实两者是相等的,即
)(π2d
)(
0
0
zifz
zz
zf
C
)1.5.3(.d
)(
π2
1
)(
0
0
C
z
zz
zf
i
zf
我们有下面的定理,
定理 (柯西积分公式 ) 如果 f(z)在区域 D内处处解析,C为 D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 D,z0为 C内的任一点,则
34
[证 ] 由于 f(z)在 z0连续,任给 e>0,存在 d(e)>0,
当 |z?z0|<d时,|f(z)?f(z0)|<e,设以 z0为中心,R为半径的圆周 K:|z?z0|=R全部在 C的内部,且 R<d.
D
C Kz z0
R
35
)2.5.3(d
)()(
)(π2
d
)()(
d
)(
d
)(
d
)(
0
0
0
0
0
0
0
00
K
KK
KC
z
zz
zfzf
zif
z
zz
zfzf
z
zz
zf
z
zz
zf
z
zz
zf
36
这表明不等式右端积分的模可以任意小,只要
R足够小就行了,根据闭路变形原理,该积分的值与 R无关,所以只有在对所有的 R积分为值为零才有可能,因此,由 (3.5.2)即得要证的
(3.5.1)式,
e
e
π2d
d
||
|)()(|
d
)()(
0
0
0
0
K
KK
s
R
s
zz
zfzf
z
zz
zfzf
37
(3.5.1)式称为积西积分公式,
如果 C是圆周 z=z0+Reiq,则 (3.5.1)式成为
)3.5.3(.d)e(π2 1)(
π2
0 00?
qqiRzfzf
即,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值,
)1.5.3(.d
)(
π2
1
)(
0
0
C
z
zz
zf
i
zf
38
例 求下列积分 (沿圆周方向 )的值,
.d
3
2
1
1
)2;d
s i n
π2
1
)1
4||4||
zz
z
zz
z
z
z
i
[解 ] 由 (3.5.1)得
.π62π21π2
d
3
2
d
1
1
d
3
2
1
1
)2;0s i nd
s i n
π2
1
)1
4||4||4||
0
4||
|
iii
z
z
z
z
z
zz
zz
z
z
i
zzz
z
z
39
§ 6 解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示,这一点和实变函数完全不同,
一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了,
40
定理 解析函数 f(z)的导数仍为解析函数,它的
n阶导数为,
)1.6.3(
),2,1(d
)(
)(
π2
!
)(
1
0
0
)(
nz
zz
zf
i
n
zf
C
n
n
其中 C为在函数 f(z)的解析区域 D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于 D.
41
[证 ] 设 z0为 D内任意一点,先证 n=1的情形,即
,
Δ
)()Δ(
lim)(
d
)(
)(
π2
1
)(
00
0Δ
0
2
0
0
z
zfzzf
zf
z
zz
zf
i
zf
z
C
先按定义有
.0Δ
Δ
)()Δ(
d
)(
)(
π2
1
00
2
0
时也趋向于零在?
z
z
zfzzf
z
zz
zf
i
C
因此就是要证
42
按柯西积分公式有
C
C
C
z
zzzzz
zf
i
z
zfzzf
z
zzz
zf
i
zzf
z
zz
zf
i
zf
d
)Δ)((
)(
π2
1
Δ
)()Δ(
d
Δ
)(
π2
1
)Δ(
.d
)(
π2
1
)(
00
00
0
0
0
0
43
因此
Iz
zzzzz
zzf
i
z
zzzzz
zf
i
z
zz
zf
i
z
zfzzf
z
zz
zf
i
C
C
C
C
d
)Δ()(
)(Δ
π2
1
d
)Δ)((
)(
π2
1
d
)(
)(
π2
1
Δ
)()Δ(
d
)(
)(
π2
1
0
2
0
00
2
0
00
2
0
44
现要证当 Dz?0时 I?0,而
.
|Δ|||
d|)(||Δ|
)Δ()(
d)(Δ
π2
1
||
0
2
0
0
2
0
C
C
zzzzz
szfz
zzzzz
zzzf
I
D
z0
d
C
45
f(z)在 C上连续,则有界,设界为 M,则在 C上有
|f(z)|?M,d为 z0到 C上各点的最短距离,则取 |Dz|
适当地小使其满足 |Dz|<d/2,
D
z0
d
C
46
因此,
3
0
2
0
0
00
0
0
π
|Δ|
|Δ|||
d|)(||Δ|
π2
1
||
2
|Δ|
1
,
2
|Δ||||Δ|
,
1
||
1
,||
d
ML
z
zzzzz
szfz
I
dzzz
d
zzzzzz
dzz
dzz
C
L是 C的长度
47
这就证得了当 Dz?0时,I?0,也就证得了
C
z
z
zz
zf
i
zf
z
zfzzf
d
)(
)(
π2
!2
)(
Δ
)()Δ(
lim
3
0
0
00
0Δ
便可得再利用同样的方法去求极限,
)2.6.3(d
)(
)(
π2
1
)( 2
0
0
C
z
zz
zf
i
zf
这里已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数,
48
依此类推,用数学归纳法可以证明,
此公式可以这样记忆,把柯西积分公式 (3.5.1)
的两边对 z0求导数,右边求导在积分号下进行,
求导时把被积函数看作是 z0的函数,而把 z看作常数,
高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,
而在于通过求导来求积分,
C
n
n z
zz
zf
i
n
zf d
)(
)(
π2
!
)(
1
0
0
)(
49
[解 ] 1) 函数 在 C内的 z=1处不解析,
但 cospz在 C内却是处处解析的,根据 (3.6.1)有例 1 求下列积分的值,其中 C为正向圆周,
|z|=r>1.
C
z
C
z
z
z
z
z
d
)1(
e
)2;d
)1(
c o s
)1
225
p
5)1(
c os
z
zp
.
12
)( c os
)!15(
2
d
)1(
c o s 5
1
)4(
5 |
i
z
i
z
z
z
z
C
p
p
pp
50
.
,
.,
.
)1(
)2
21
21
22
析的所围成的区域内是解和则此函数在由为中心作两个正向圆周和内以在我们处不解析内的在函数
CCC
CCiiC
izC
z
e
z
O
C1
C2
C i
i x
y
51
根据复合闭路定理,
21
d
)1(
e
d
)1(
e
d
)1(
e
222222
C
z
C
z
C
z
z
z
z
z
z
z
O
C1
C2
C i
i x
y
52
由 (3.6.1)有
)
4
1s i n (2d
)1(
e
.
2
)1(
d
)1(
e
,
.
2
)1(
'
)(
e
)!12(
2
d
)(
)(
e
d
)1(
e
22
22
2
2
2
22
2
11
p
p
p
p
p
iz
z
ei
z
z
ei
iz
i
z
iz
iz
z
z
C
z
i
C
z
i
iz
z
C
z
C
z
因此同样
53
作业第一章第 29题设函数 f(z)在 z0连续且 f(z0)?0,那末可找到 z0的小邻域,在这邻域内 f(z0)?0.
z w
d e=A/2
A=|f(z0)|
f(z)
x
y
O u
v
O
z0
f(z0)
54
证 设 A=|f(z0)|,令 e = A/2,则存在 d>0使得当
|z?z0|<d时,有 |f(z)?f(z0)|<e,则
00
00
00
| ( ) | | ( ) [ ( ) ( ) ] |
| ( ) | | ( ) ( ) |
| ( ) | | ( ) ( ) |
11
0
22
f z f z f z f z
f z f z f z
f z f z f z
A A A Ae
55
作业 第三章习题第 99页第 6题第 1),2),3),4)
第 7题第 1),2),3),4)
第 8题第 1),2),3),4)
56
请提问
