1
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2
卷积定理与相关函数
3
卷积的概念若已知函数 f1(t),f2(t),则积分
d)()( 21 tff
称为函数 f1(t)与 f2(t)的 卷积,记为 f1(t)*f2(t)
d)()()()( 2121 tfftftf
4
卷积的图示 f
1(?) f2(?)
O
f2()
O?
O t
f2(t)
5
一个函数卷积自己的图示
6
在积分中,令 u?t,则t?u,dud?,则
d)()( 21 tff
)()(d)()(
d)()(
d)()()()(
1212
21
2121
tftfuutfuf
uufutf
tfftftf
即卷积满足交换律,
7
下证卷积满足结合律,即
[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]
为此,令
vvfvtftftfts
tfftftftg
d)()()()()(
d)()()()()(
3232
2121
则
uutfuff
uutfug
tftgtftftf
d)(d)()(
d)()(
)(*)()(*)](*)([
321
3
3321
8
交换二重积分的次序,得令 v=t?u,则 u=t?v,
dd)()()(
d)(d)()(
)()()(
321
321
321
uutfuff
uutfuff
tftftf
)()()(
)()(d)()(
dd)()()(
321
11
321
tftftf
tstftsf
vvfvtff
上式
9
例 1 证明
f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)
证 根据卷积的定义
).()()()(
d)()(d)()(
d)]()()[(
)]()([)(
3121
3121
321
321
tftftftf
tfftff
tftff
tftftf
10
任给函数 f(t),都有 f(t)*d(t)=f(t),这是因为
)(d)()()()( tftfttf
d?d
因此,单位脉冲函数 d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的 1的作用,
11
在近世代数中,代数 (algebra)一词表示两个元素到一个元素的映射规则,比如数的加减乘除,
向量的加,内积,矩阵的加和乘,向量或者矩阵乘数,等等,都是代数运算,
如果一个代数运算满足类似加法的性质,如有
0元素,有负元素,满足交换律和结合律,则相应的集合叫做加法群,简称 群,
如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算,满足交换律和结合律,有 1元素,且同相应的加法运算满足分配律,此集合就叫做乘法环,
简称 环,
如果乘法除 0元素外都有逆,则被称作 域 了,
12
例 2 若
0e
00
)(
01
00
)( 21
t
t
tf
t
t
tf t
求 f1(t)*f2(t) f
1(?)
1
O?
O
f2(t)
1
t
13
由卷积的定义有
ttt
t
t
t
t
tfftftf
e1)1(ee
deede1
d)()()()(
00
)(
2121
tO
1?e?t1
14
卷积定理 假定 f1(t),f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件,如
f1(t)? F1(w)
f2(t)? F2(w)
则
f1(t) * f2(t)? F1(w)?F2(w)
以及
)()(2 1)()( 2121 ww? FFtftf
15
证 按傅氏变换的定义,有
)()(
de)(e)(
dde)(e)(
de)()(
de)]()([)]()([
21
)(j
2
j
1
)(j
2
j
1
j
21
j
2121
ww
ww?
ww?
w
w
FF
dttff
ttff
tdtff
ttftftftf
t
t
t
t
F
16
相关函数对两个不同的函数 f1(t)和 f2(t),则积分
ttftf d)()( 21?
称为两个函数的 互相关函数,记为 R12(?),即
ttftfR
R
ttftf
ttftfR
d)()()(
),(
d)()(
d)()()(
2121
21
21
2112
即记为而积分
17
当 f1(t)=f2(t)=f(t)时,积分
ttftf d)()(?
称为 f(t)的 自相关函数 (简称 相关函数 ),用记号
R(?)表示,即
ttftfR d)()()(
18
根据 R(t)的定义,自相关函数是一个偶函数,
R(?t)=R(t)
事实上,
ttftfR d)()()(
)(d)()()( RuufufR
令 t=u+?,可得关于互相关函数,有如下的性质,
R21(?)=R12()
19
前面已经证明过
www? dFFttftf )()(2 1d)()( 2121
ww
ww
ww
www
w?
w?
w?w?
w?
w?
de)(
2
1
)(
de)(
2
1
de)(
2
1
de)()(
2
1
d)()(
,e)()(
j
jj
2
j
j
SR
SF
FFttftf
Ftf
即则有令 f1(t)=f(t),f2(t)=f(t+?),设 f(t)?F(w),则
20
假设 f1(t)?F1(w),f2(t)?F2(w),称
S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度,则
ww
www
w?
w?
w?
w?
de)(
2
1
de)()(
2
1
d)()()(
e)()(
j
12
j
21
2112
j
22
S
FF
ttftfR
Ftf
可得即 R12(t)?S12(w),且易证 S21(w)= S12(w)
21
例 3 求指数衰减函数
)0(
0e
00
)(?
t
t
tf t
的自相关函数和能量谱密度
tO
f(t)
1
tO
f(t+?)
1
tO
f(t+?)
1
22
当?>0时,积分区间为 [0,+?)
2
e
0
e
2
e
deed)()()(
2
0
)(
t
tt
tttftfR
当?<0时,积分区间为 [,+?)
2
e
e
2
e
e
2
e
deed)()()(
22
)(
t
tt
tttftfR
23
因此,当<?<?时,自相关函数可合写为
||
e
2
1
)(
R
22
0
j||j
1
dc o se
1
dee
2
1
de)()(
w?
w?
w
ww?
RS
并求得能量谱密度为
24
例 4 利用傅氏变换的性质,求 d(t?t0),
)(j
j
1
)(
)(
j
1
)(
j
1
d
d
)(j
)(
j
1
)(
)(2e),(21
e)(,1)(
)(,e
2
2
0
j
j
0
j
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0
0
wd?
w
wd?
w
w?d
ww
w?d
w
ww?dw?d
dd
w
w
w
ttu
ttu
tu
ttt
ttu
t
t
t
由得由由位移性质得因的傅氏变换以及
25
例 5 若 f(t)=cosw0t? u(t),求 F [f(t)]
)]()([
2
j
)(
)j(
1
)(
)j(
1
2
1
)(
2
ee
)()(
)(
j
1
)(
0022
0
0
0
0
0
jj
00
wwdwwd
ww
w
ww?d
ww
ww?d
ww
w
w?d
w
ww
F
tutf
tu
tt
26
例 6 若 F(w)=F [f(t)],证明
)()0()(
j
1
)(
j
1
)()()(
)()(),(
j
1
)(
)()(d)()(d)(:
)()0(
j
)(
d)(
wd?w
w
w?d
w
w
ww?d
w
wd?
w
w
FF
Ftftu
Ftftu
tutftufttf
F
F
ttf
tt
t
证
F
27
奈奎斯特采样率
28
假设时间函数 f(t)在区间 [?a,a]之外全为零,并假设 f(t)?F(w)
tO
f(t)
a?a
O w
F(w)?
a
a
t ttfF de)()( jww
29
现将 f(t)进行周期化,产生 fT(t),T=2a,然后用傅氏级数表示,
tO
fT(t)
a?a
)(
2
1
de)(
2
1
2
,e)(
j
j
n
a
a
t
n
n
n
t
nT
F
a
ttf
a
c
a
n
T
n
ctf
n
n
w
w
w
w
30
n
nnT
n
t
nT FaFctf
n )()(
2
1)(e)( j wwdwww
tO
fT(t)
a?a
O w
FT(w)
w1 w2,..
31
根据对称原理有 FT(t)?2?fT(?w)
O t
FT(t)
i1 t2,..
wO
fT(?w)
a?a
32
假设时间函数 f(t)的频谱函数 F(w)在
[?2?B,2?B]之外为 0.B称为 f(t)的带宽,
wO
F(w)
2?B?2?B
O t
f(t)
B B tFtf w ww2 j de)()(
33
现对 f(t)进行间隔为 Dt的采样得 g(t)
)
2
()(
1
)(
1
)()(
1
)(
,)(
)(,)()()(
2
2
t
nF
t
G
e
t
tftg
e
t
tt
ttt
tnttttftg
n
n
t
t
nj
n
t
t
nj
n
n
n
n
n
n
n
D
wDwDw
D
w
D
D
d
Dd
Dd
D
D
则为傅氏级数可展开的周期函数是周期为
34
如图所示,
O ti1 t2,..
wO
G(w)
Dw/2
g(t)
Dw/2
35
.,2
,
1
1
,
,2
1
,2
,
2
,
)()(,2
2
这被称为奈奎斯特定理则上式即是要求称作采样频率称作采样周期即上式即是要求而所有信息中的中将包括时当选择
Bf
t
f
f
t
t
B
t
B
t
t
tftgB
D
D
D
D
D
D
D
D
D
wD
wD
36
作业 习题四第 44页第 1,4题
37
请提问
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2
卷积定理与相关函数
3
卷积的概念若已知函数 f1(t),f2(t),则积分
d)()( 21 tff
称为函数 f1(t)与 f2(t)的 卷积,记为 f1(t)*f2(t)
d)()()()( 2121 tfftftf
4
卷积的图示 f
1(?) f2(?)
O
f2()
O?
O t
f2(t)
5
一个函数卷积自己的图示
6
在积分中,令 u?t,则t?u,dud?,则
d)()( 21 tff
)()(d)()(
d)()(
d)()()()(
1212
21
2121
tftfuutfuf
uufutf
tfftftf
即卷积满足交换律,
7
下证卷积满足结合律,即
[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]
为此,令
vvfvtftftfts
tfftftftg
d)()()()()(
d)()()()()(
3232
2121
则
uutfuff
uutfug
tftgtftftf
d)(d)()(
d)()(
)(*)()(*)](*)([
321
3
3321
8
交换二重积分的次序,得令 v=t?u,则 u=t?v,
dd)()()(
d)(d)()(
)()()(
321
321
321
uutfuff
uutfuff
tftftf
)()()(
)()(d)()(
dd)()()(
321
11
321
tftftf
tstftsf
vvfvtff
上式
9
例 1 证明
f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)
证 根据卷积的定义
).()()()(
d)()(d)()(
d)]()()[(
)]()([)(
3121
3121
321
321
tftftftf
tfftff
tftff
tftftf
10
任给函数 f(t),都有 f(t)*d(t)=f(t),这是因为
)(d)()()()( tftfttf
d?d
因此,单位脉冲函数 d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的 1的作用,
11
在近世代数中,代数 (algebra)一词表示两个元素到一个元素的映射规则,比如数的加减乘除,
向量的加,内积,矩阵的加和乘,向量或者矩阵乘数,等等,都是代数运算,
如果一个代数运算满足类似加法的性质,如有
0元素,有负元素,满足交换律和结合律,则相应的集合叫做加法群,简称 群,
如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算,满足交换律和结合律,有 1元素,且同相应的加法运算满足分配律,此集合就叫做乘法环,
简称 环,
如果乘法除 0元素外都有逆,则被称作 域 了,
12
例 2 若
0e
00
)(
01
00
)( 21
t
t
tf
t
t
tf t
求 f1(t)*f2(t) f
1(?)
1
O?
O
f2(t)
1
t
13
由卷积的定义有
ttt
t
t
t
t
tfftftf
e1)1(ee
deede1
d)()()()(
00
)(
2121
tO
1?e?t1
14
卷积定理 假定 f1(t),f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件,如
f1(t)? F1(w)
f2(t)? F2(w)
则
f1(t) * f2(t)? F1(w)?F2(w)
以及
)()(2 1)()( 2121 ww? FFtftf
15
证 按傅氏变换的定义,有
)()(
de)(e)(
dde)(e)(
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de)]()([)]()([
21
)(j
2
j
1
)(j
2
j
1
j
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j
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ww
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w
w
FF
dttff
ttff
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ttftftftf
t
t
t
t
F
16
相关函数对两个不同的函数 f1(t)和 f2(t),则积分
ttftf d)()( 21?
称为两个函数的 互相关函数,记为 R12(?),即
ttftfR
R
ttftf
ttftfR
d)()()(
),(
d)()(
d)()()(
2121
21
21
2112
即记为而积分
17
当 f1(t)=f2(t)=f(t)时,积分
ttftf d)()(?
称为 f(t)的 自相关函数 (简称 相关函数 ),用记号
R(?)表示,即
ttftfR d)()()(
18
根据 R(t)的定义,自相关函数是一个偶函数,
R(?t)=R(t)
事实上,
ttftfR d)()()(
)(d)()()( RuufufR
令 t=u+?,可得关于互相关函数,有如下的性质,
R21(?)=R12()
19
前面已经证明过
www? dFFttftf )()(2 1d)()( 2121
ww
ww
ww
www
w?
w?
w?w?
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j
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2
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SR
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FFttftf
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即则有令 f1(t)=f(t),f2(t)=f(t+?),设 f(t)?F(w),则
20
假设 f1(t)?F1(w),f2(t)?F2(w),称
S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度,则
ww
www
w?
w?
w?
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2
1
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2
1
d)()()(
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j
12
j
21
2112
j
22
S
FF
ttftfR
Ftf
可得即 R12(t)?S12(w),且易证 S21(w)= S12(w)
21
例 3 求指数衰减函数
)0(
0e
00
)(?
t
t
tf t
的自相关函数和能量谱密度
tO
f(t)
1
tO
f(t+?)
1
tO
f(t+?)
1
22
当?>0时,积分区间为 [0,+?)
2
e
0
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2
e
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2
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)(
t
tt
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当?<0时,积分区间为 [,+?)
2
e
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2
e
e
2
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deed)()()(
22
)(
t
tt
tttftfR
23
因此,当<?<?时,自相关函数可合写为
||
e
2
1
)(
R
22
0
j||j
1
dc o se
1
dee
2
1
de)()(
w?
w?
w
ww?
RS
并求得能量谱密度为
24
例 4 利用傅氏变换的性质,求 d(t?t0),
)(j
j
1
)(
)(
j
1
)(
j
1
d
d
)(j
)(
j
1
)(
)(2e),(21
e)(,1)(
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由得由由位移性质得因的傅氏变换以及
25
例 5 若 f(t)=cosw0t? u(t),求 F [f(t)]
)]()([
2
j
)(
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1
)(
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1
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F
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26
例 6 若 F(w)=F [f(t)],证明
)()0()(
j
1
)(
j
1
)()()(
)()(),(
j
1
)(
)()(d)()(d)(:
)()0(
j
)(
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w
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w
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FF
Ftftu
Ftftu
tutftufttf
F
F
ttf
tt
t
证
F
27
奈奎斯特采样率
28
假设时间函数 f(t)在区间 [?a,a]之外全为零,并假设 f(t)?F(w)
tO
f(t)
a?a
O w
F(w)?
a
a
t ttfF de)()( jww
29
现将 f(t)进行周期化,产生 fT(t),T=2a,然后用傅氏级数表示,
tO
fT(t)
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2
1
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2
1
2
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j
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n
a
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t
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n
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F
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w
w
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nnT
n
t
nT FaFctf
n )()(
2
1)(e)( j wwdwww
tO
fT(t)
a?a
O w
FT(w)
w1 w2,..
31
根据对称原理有 FT(t)?2?fT(?w)
O t
FT(t)
i1 t2,..
wO
fT(?w)
a?a
32
假设时间函数 f(t)的频谱函数 F(w)在
[?2?B,2?B]之外为 0.B称为 f(t)的带宽,
wO
F(w)
2?B?2?B
O t
f(t)
B B tFtf w ww2 j de)()(
33
现对 f(t)进行间隔为 Dt的采样得 g(t)
)
2
()(
1
)(
1
)()(
1
)(
,)(
)(,)()()(
2
2
t
nF
t
G
e
t
tftg
e
t
tt
ttt
tnttttftg
n
n
t
t
nj
n
t
t
nj
n
n
n
n
n
n
n
D
wDwDw
D
w
D
D
d
Dd
Dd
D
D
则为傅氏级数可展开的周期函数是周期为
34
如图所示,
O ti1 t2,..
wO
G(w)
Dw/2
g(t)
Dw/2
35
.,2
,
1
1
,
,2
1
,2
,
2
,
)()(,2
2
这被称为奈奎斯特定理则上式即是要求称作采样频率称作采样周期即上式即是要求而所有信息中的中将包括时当选择
Bf
t
f
f
t
t
B
t
B
t
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D
D
D
D
D
D
D
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36
作业 习题四第 44页第 1,4题
37
请提问
