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2
拉普拉斯变换
3
对于一个函数 j(t),有可能因为不满足傅氏变换的条件,因而不存在傅氏变换,
因此,首先将 j(t)乘上 u(t),这样 t小于零的部分的函数值就都等于 0了,
而大家知道在各种函数中,指数函数 ebt(b>0)
的上升速度是最快的了,因而 e-bt下降的速度也是最快的,
因此,几乎所有的实用函数 j(t)乘上 u(t)再乘上
e-bt后得到的 j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在
4
t
f(t)
O
t
f(t)u(t)e-bt
O
5
对函数 j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换,可得
-
-
-
-
--
-
0
00
)j(
j
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j
)(
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s
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st
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tt
则得若再设其中
b
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j?
b
b
b
b
6
定义 设函数 f(t)当 t?0时有定义,而且积分
)(de)(
0
是一个复参量sttf st -
)1.2(de)()(
0?
-? ttfsF st
在 s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数 f(t)的 拉普拉斯变换式 (简称拉氏变换式 ),记为
F(s)=L [f(t)]
F(s)称为 f(t)的 拉氏变换 (或称为 象函数 ),而 f(t)
称为 F(s)的 拉氏逆变换 (或 象原函数 )记为
f(t)=L-1[F(s)] 也可记为 f(t)?F(s).
7
例 1 求单位阶跃函数 的拉氏变换
01
00
)(
t
t
tu
-
0
de)]([ ttu stL
根据拉氏变换的定义,有这个积分在 Re(s)>0时收敛,而且有
).0)( R e (
1
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1
0
e
1
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0
-?
-
-
s
s
tu
ss
t
stst
L所以
8
例 2 求指数函数 f(t)=ekt的拉氏变换 (k为实数 ).
根据 (2.1)式,有
-- - 0 )(0 dedee)]([ tttf tksstktL
).)( R e (
1
][e
1
e
1
de
0
)(
0
)(
ks
ks
ksks
t
kt
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-
-
-
--
--
L所以这个积分在 Re(s)>k时收敛,而且有其实 k为复数时上式也成立,只是收敛区间为 Re(s)>Re(k)
9
拉氏变换的存在定理 若函数 f(t)满足,
1,在 t?0的任一有限区间上分段连续
2,当 t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数 M>0及 c?0,使得
|f(t)|?Mect,0?t<
则 f(t)的拉氏变换
-? 0 de)()( ttfsF st
在半平面 Re(s)>c上一定存在,右端的积分在
Re(s)?c1>c上绝对收敛而且一致收敛,并且在
Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数,
10
M
Mect
f(t)
tO
11
证 由条件 2可知,对于任何 t值 (0?t<),有
|f(t)e-st|=|f(t)|e-bt?Me-(b-c)t,Re(s)=b,
若令 b-c?e>0 (即 b?c+e=c1>c),则
|f(t)e-st|?Me-et.
所以
e
ee MtMttf tt - -
00
dede)(
根据含参量广义积分的性质可知,在
Re(s)?c1>c上拉氏变换的积分不仅绝对收敛而且一致收敛,
12
在 (2.1)式的积分号内对 s求导,则
2
00
)(
00
dede)(
d
d
ee|e)(|
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d
d
e
e
eb
M
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s
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-
-?
-
-
----
-
-
所以而由此可见,上式右端的积分在半平面
Re(s)?c1>c内也是绝对收敛且一致收敛,从而微分与积分可以交换
13
因此得
)]([de)(
d]e)([
d
d
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d
d
)(
d
d
0
0
0
ttftttf
ttf
s
ttf
s
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s
st
st
st
-?-?
-
-
-
L
这就表明,F(s)在 Re(s)>c内是可微的,根据复变函数的解析函数理论可知,F(s)在 Re(s)>c内是解析的,
14
例 3 求 f(t)=sinkt (k为实数 ) 的拉氏变换
22
0
)j(
0
)j(
0
)j(
0
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0
jj
0
j
1
j
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j
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j
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2
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-
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-
-
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-
--
--
-
L
15
同理可得
22
0
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0
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2
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2
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-
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-
-
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-
--
--
-
L
16
G-函数 (gamma函数 )简介,在工程中经常应用的 G-函数定义为
-- mttmΓ mt 0,de)(
0
1
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)(
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-?
-
-
-
--
-
-
-
-
G
G
G
G
为正整数因此如而且利用分部积分公式可证明
17
例 4 求幂函数 f(t)=tm (常数 m>-1)的拉氏变换,
-
0
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22
,
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-?
-
--
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m
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u
m
R
stm
再设为求此积分,若令 st=u,s为右半平面内任一复数,则得到复数的积分变量 u,因此,可先考虑积分
18
积分路线是 OB直线段,B对应着
sR=rRcos?+jrRsin?,A对应着 rRcos?,取一很小正数 e,则 C对应 se=recos?+jresin?,
D对应 recos?,考察 R,e的情况,
a
O D
C
A t (实轴 )
虚轴 B
v
19
根据柯西积分定理,有
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0
1
0
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1
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1
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21
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22
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23
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m
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m
L
L
为正整数时当即故
G
G
24
例 5 求周期性三角波
-
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btt
tf
22
0
)(
且 f(t+2b)=f(t)的拉氏变换
b
O b 2b 3b 4b t
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25
--
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-
--
-
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27
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-
-
-
-
-
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-
-
-
-
-
-
-
--
L
L
则时当
28
满足拉氏变换存在定理条件的函数 f(t)在 t=0处有界时,积分
-? 0 de)()]([ ttftf stL
中的下限取 0+或 0-不会影响其结果,但如果 f(t)
在 t=0处包含脉冲函数时,就必须明确指出是
0+还是 0-,因为
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0
0
0
0
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st
-
-
-
-
-
-
L
L
L
29
当 f(t)在 t=0处有界时,则当 f(t)在 t=0处包含了脉冲函数时,则
)]([)]([
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0
0
tftf
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-
-
-
LL
即
)]([)]([
,0de)(
0
0
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st
-
-
-
LL
即
30
为了考虑这一情况,需将进行拉氏变换的函数
f(t),当 t?0时有定义扩大为当 t>0及 t=0的任意一个邻域内有定义,这样,原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见,仍写成 (2.1)式的形式,
-
-
-
-
0
0
de)()]([
)1.2(de)()]([
ttftf
ttftf
st
st
L
L
应为
31
例 6 求单位脉冲函数 d(t)的拉氏变换,
1e
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de)()]([
0
0
0
-
-
-
-
t
st
st
st
tt
ttt
d
ddL
32
例 7 求函数 f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b>0)的拉氏变换,
bb
b
b
b
bd
bd
b
b
bb
bb
-?
-?
-?
-
-
-
-
---
-
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33
在今后的实际工作中,我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换,有现成的拉氏变换表可查,就如同使用三角函数表,对数表及积分表一样,本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其拉氏变换列于附录 II中,以备查询,
34
例 8 求 sin 2t sin 3t的拉氏变换
)1)(25(
12
1
2
25
2
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1
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1
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1
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2222
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L
35
作业 习题一第 58页第 1题
36
请提问
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2
拉普拉斯变换
3
对于一个函数 j(t),有可能因为不满足傅氏变换的条件,因而不存在傅氏变换,
因此,首先将 j(t)乘上 u(t),这样 t小于零的部分的函数值就都等于 0了,
而大家知道在各种函数中,指数函数 ebt(b>0)
的上升速度是最快的了,因而 e-bt下降的速度也是最快的,
因此,几乎所有的实用函数 j(t)乘上 u(t)再乘上
e-bt后得到的 j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在
4
t
f(t)
O
t
f(t)u(t)e-bt
O
5
对函数 j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换,可得
-
-
-
-
--
-
0
00
)j(
j
de)()(
j
)(
)()()(,j
de)(de)(
dee)()()(
ttfsF
s
GsF
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ttfttf
ttutG
st
stt
tt
则得若再设其中
b
j?b
j?
b
b
b
b
6
定义 设函数 f(t)当 t?0时有定义,而且积分
)(de)(
0
是一个复参量sttf st -
)1.2(de)()(
0?
-? ttfsF st
在 s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数 f(t)的 拉普拉斯变换式 (简称拉氏变换式 ),记为
F(s)=L [f(t)]
F(s)称为 f(t)的 拉氏变换 (或称为 象函数 ),而 f(t)
称为 F(s)的 拉氏逆变换 (或 象原函数 )记为
f(t)=L-1[F(s)] 也可记为 f(t)?F(s).
7
例 1 求单位阶跃函数 的拉氏变换
01
00
)(
t
t
tu
-
0
de)]([ ttu stL
根据拉氏变换的定义,有这个积分在 Re(s)>0时收敛,而且有
).0)( R e (
1
)]([
1
0
e
1
de
0
-?
-
-
s
s
tu
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t
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L所以
8
例 2 求指数函数 f(t)=ekt的拉氏变换 (k为实数 ).
根据 (2.1)式,有
-- - 0 )(0 dedee)]([ tttf tksstktL
).)( R e (
1
][e
1
e
1
de
0
)(
0
)(
ks
ks
ksks
t
kt
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-
-
-
--
--
L所以这个积分在 Re(s)>k时收敛,而且有其实 k为复数时上式也成立,只是收敛区间为 Re(s)>Re(k)
9
拉氏变换的存在定理 若函数 f(t)满足,
1,在 t?0的任一有限区间上分段连续
2,当 t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数 M>0及 c?0,使得
|f(t)|?Mect,0?t<
则 f(t)的拉氏变换
-? 0 de)()( ttfsF st
在半平面 Re(s)>c上一定存在,右端的积分在
Re(s)?c1>c上绝对收敛而且一致收敛,并且在
Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数,
10
M
Mect
f(t)
tO
11
证 由条件 2可知,对于任何 t值 (0?t<),有
|f(t)e-st|=|f(t)|e-bt?Me-(b-c)t,Re(s)=b,
若令 b-c?e>0 (即 b?c+e=c1>c),则
|f(t)e-st|?Me-et.
所以
e
ee MtMttf tt - -
00
dede)(
根据含参量广义积分的性质可知,在
Re(s)?c1>c上拉氏变换的积分不仅绝对收敛而且一致收敛,
12
在 (2.1)式的积分号内对 s求导,则
2
00
)(
00
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d
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d
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e
eb
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s
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-
-?
-
-
----
-
-
所以而由此可见,上式右端的积分在半平面
Re(s)?c1>c内也是绝对收敛且一致收敛,从而微分与积分可以交换
13
因此得
)]([de)(
d]e)([
d
d
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d
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)(
d
d
0
0
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ttftttf
ttf
s
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-
-
-
L
这就表明,F(s)在 Re(s)>c内是可微的,根据复变函数的解析函数理论可知,F(s)在 Re(s)>c内是解析的,
14
例 3 求 f(t)=sinkt (k为实数 ) 的拉氏变换
22
0
)j(
0
)j(
0
)j(
0
)j(
0
jj
0
j
1
j
1
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2
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1
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15
同理可得
22
0
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0
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ks
s
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e
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stktkt
st
-
-
-
-
-
--
-
--
--
-
L
16
G-函数 (gamma函数 )简介,在工程中经常应用的 G-函数定义为
-- mttmΓ mt 0,de)(
0
1
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1ede)1(
)(
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00
0
1
00
00
mmm
t
mm
tmttt
tttm
tt
mtmttm
tmmt
-
-?
-
-
-
--
-
-
-
-
G
G
G
G
为正整数因此如而且利用分部积分公式可证明
17
例 4 求幂函数 f(t)=tm (常数 m>-1)的拉氏变换,
-
0
de][ ttt stmmL
22
,
de
1
d
ede
j
0
1
00
-?
-
--
res
uu
s
s
u
s
u
tt
sR
um
m
sR
u
m
R
stm
再设为求此积分,若令 st=u,s为右半平面内任一复数,则得到复数的积分变量 u,因此,可先考虑积分
18
积分路线是 OB直线段,B对应着
sR=rRcos?+jrRsin?,A对应着 rRcos?,取一很小正数 e,则 C对应 se=recos?+jresin?,
D对应 recos?,考察 R,e的情况,
a
O D
C
A t (实轴 )
虚轴 B
v
19
根据柯西积分定理,有
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0
1
0
111
1
0
1
0
c o s
c o s
11
1
de
1
de
1
de
1
de
1
)1(
de
1
de
1
de
1
0
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de
1
uu
s
uu
s
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tt
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mR
rR
r
um
m
DA
um
m
CDBCABDA
m
D A B C D
um
m
e
e
e
e
G
20
-
-
-
-
-
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0
c o s
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1
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11
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1
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m
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rR
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m
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um
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s
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s
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s
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uu
s
uu
s
令
21
-
-
-
-
AB
RR
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m
mmrR
m
rR
m
rR
m
rR
mrR
m
rR
s
rR
s
rRvrRv
vvRr
s
vvrR
s
00
ds e c)c os(e
||
1
ds e c)c os(e
||
1
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d)c os(e
||
1
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1
||
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1
||
0
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1
2
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0
2
2222c o s
1
|s i n|
0
c o s
1
即上式令
aa?
aa?
aa?a?
22
同理
-
-
-
-
-
CD
mmr
m
rr
r
um
m
DC
um
m
CD
um
m
r
s
uu
s
uu
s
uu
s
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||
1
de
1
de
1
de
1
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||
0
21c o s
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s i njc o s
c o s
1
11
ee
e
e?e
e
aa?e
即
23
)0)( R e (
!
][,
)0)( R e (
)1(
][
)1(
de
1
de
1
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1
de
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1
1
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1
0
1
0
1
-
-
-
-
-
s
s
m
tm
s
s
m
t
s
m
tt
s
uu
s
uu
s
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m
m
m
m
m
tm
m
um
m
um
m
tm
m
L
L
为正整数时当即故
G
G
24
例 5 求周期性三角波
-
btbtb
btt
tf
22
0
)(
且 f(t+2b)=f(t)的拉氏变换
b
O b 2b 3b 4b t
f(t)
25
--
-
-
-
-
--
-
b
sk b s
b
kbs
bk
kb
st
k
bk
kb
st
bk
kb
st
b
b
st
b
st
st
f
kbfttf
kbt
ttf
ttf
ttfttf
ttftf
2
0
2
2
0
)2(
)1(2
2
0
)1(2
2
)1(2
2
4
2
2
0
0
de)(e
de)2(de)(
,2
de)(
de)(
de)(de)(
de)()]([
则令
L
26
2
2
2
2
22
2
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2
0
2
0
2
0
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1
eee1
1
2
e
1
0
e
1
ee
de
1
2
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de
1
0
1
de)2(
1
de
1
de)2(dede)(
bssbsbsb
ststsbsb
b
b
st
st
b
stst
b
b
st
b
st
b
b
st
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b
b
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s
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b
b
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t
s
b
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s
tb
s
t
s
ttbttttf
-?-?-?
-?
-
-
-
-?
-
--
-
-
---
----
-
---
--
---
27
2
t a n h
1
e1
e11
1
)e1(
e1
1
de)(
e1
1
)]([
e1
1
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de)(e)]([
22
2
2
2
2
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2
2
0
2
0
2
0
2
bs
ss
s
ttftf
s
ttftf
bs
bs
bs
bs
b
st
bs
bs
k
k b s
k
b
stk b s
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
L
L
则时当
28
满足拉氏变换存在定理条件的函数 f(t)在 t=0处有界时,积分
-? 0 de)()]([ ttftf stL
中的下限取 0+或 0-不会影响其结果,但如果 f(t)
在 t=0处包含脉冲函数时,就必须明确指出是
0+还是 0-,因为
)]([de)(
de)()]([
de)()]([
0
0
0
0
tfttf
ttftf
ttftf
st
st
st
-
-
-
-
-
-
L
L
L
29
当 f(t)在 t=0处有界时,则当 f(t)在 t=0处包含了脉冲函数时,则
)]([)]([
,0de)(
0
0
tftf
ttf st
-
-
-
LL
即
)]([)]([
,0de)(
0
0
tftf
ttf
st
-
-
-
LL
即
30
为了考虑这一情况,需将进行拉氏变换的函数
f(t),当 t?0时有定义扩大为当 t>0及 t=0的任意一个邻域内有定义,这样,原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见,仍写成 (2.1)式的形式,
-
-
-
-
0
0
de)()]([
)1.2(de)()]([
ttftf
ttftf
st
st
L
L
应为
31
例 6 求单位脉冲函数 d(t)的拉氏变换,
1e
de)(
de)()]([
0
0
0
-
-
-
-
t
st
st
st
tt
ttt
d
ddL
32
例 7 求函数 f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b>0)的拉氏变换,
bb
b
b
b
bd
bd
b
b
bb
bb
-?
-?
-?
-
-
-
-
---
-
s
s
s
s
ttt
ttut
ttftf
ts
t
ts
tsts
sttt
st
1
0
e
e
dede)(
de)](e)([e
de)()]([
)(
0
)(
0
)(
0
)(
0
0
L
33
在今后的实际工作中,我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换,有现成的拉氏变换表可查,就如同使用三角函数表,对数表及积分表一样,本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其拉氏变换列于附录 II中,以备查询,
34
例 8 求 sin 2t sin 3t的拉氏变换
)1)(25(
12
1
2
25
2
4
1
5j
1
j
1
j
1
5j
1
4
1
]3s i n2[ s i n
)eee(e
4
1
)e)(ee(e
4
1
3s i n2s i n
2222
5jjj5j
3j3j2j2j
-
-
-
-
-
--?
---?
--
--
ss
s
s
s
s
s
ssss
tt
tt
tttt
tttt
L
35
作业 习题一第 58页第 1题
36
请提问
