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2
第四章 级数
§ 1 复数项级数
3
1,复数列的极限 设 {an}(n=1,2,...)为一复数列,
其中 an=an+ibn,又设 a=a+ib为一确定的复数,
如果任意给定 e>0,相应地能找到一个正数
N(e),使 |an-a|<e在 n>N时成立,则 a称为复数列 {an}当 n时的 极限,记作
aa?
nn
lim
此时也称复数列 {an}收敛 于 a.
4
定理一 复数列 {an}(n=1,2,...)收敛于 a的充要条件是
bbaa n
nnn
lim,lim
.lim,lim
|)()(|||
|)()(|
bbaa
bbiaaaa
ibaiba
n
n
n
n
nnn
nn
-?-?-
-?
同理所以则 e
e
[证 ] 如果,则对于任意给定的 e>0,
就能找到一个正数 N,当 n>N时,
aa?
nn
lim
5
反之,如果
.lim
||||
|)()(|||
2
||,
2
||
,,,
lim,lim
aa
e
aa
ee
e
-?-?
-?-?-
-?-
n
n
nn
nnn
nn
n
n
n
n
bbaa
bbiaa
bbaa
NnN
bbaa
所以从而有时当存在则任给
6
2,级数概念 设 {an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,表达式
n
n
n aaaa 21
1
.
,}{.
lim,
1
1
发散称为则级数不收敛如果数列为级数的和称并且极限收敛称为则级数
n
n
n
n
n
n
n
s
ss
a
a称为 无穷级数,其最前面 n项的和
sn=a1+a2+...+an
称为级数的 部分和,如果部分和数列 {sn}收敛,
7
定理二 级数 收敛的充要条件是级数和 都收敛
[证 ] 因 sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)
+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,
其中 sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分别为和 的部分和,由定理一,
{sn}有极限存在的充要条件是 {sn}和 {tn}的极限存在,即级数 和 都收敛,
1n
na
1n
na?
1n
nb
1n
na?
1n
nb
1n
na?
1n
nb
8
定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题,
.0lim
,0lim
,0lim0lim
1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ba
ba
aa
a
收敛的必要条件是从而推出复数项级数立即可得和收敛的必要条件和而由实数项级数
9
定理三成立且不等式也收敛则收敛如果
11
11
||
,,||
n
n
n
n
n
n
n
n
aa
aa
2222
1
22
1
||,||
,||
nnnnnn
n
nn
n
n
babbaa
baa
而由于[证 ]
10
11
11
11
111
11
||
||limlim
,||
.,
,||||
k
k
k
k
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
k
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ba
ba
aa
aa
aa
a
或因此而又因是收敛的则也都收敛和因而都收敛及可知级数
11
.
.,||
11
条件收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数绝对收敛则称级数收敛如果
n
n
n
n
aa
12
.
,
,
,||||
|,|||
11
1
111
111
22
22
绝对收敛与绝对收敛的充要条件是因此收敛也绝对绝对收敛时与所以当因此由于
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nnnn
ba
ba
baba
baba
a
a
13
§ 2 幂级数
14
1,幂级数的概念 设 {fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域 D内有定义,表达式
)1.2.4()()()()( 21
1
zfzfzfzf n
n
n
称为 复变函数项级数,最前面 n项的和
sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
称为这级数的 部分和,
15
存在,则称复变函数项级数 (4.2.1)在 z0收敛,而
s(z0)称为它的 和,如果级数在 D内处处收敛,则它的和一定是 z的一个函数 s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
s(z)称为级数 的 和函数如果对于 D内的某一点 z0,极限
)()(lim 00 zszs n
n
1
)(
n
n
zf
16
这种级数称为幂级数,
如果令 z-a=z,则 (4.2.2)成为,这是
(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就 (4.2.3)讨论当 fn(z)=cn-1(z-a)n-1或 fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形,
)3.2.4(
)2.2.4()(
)()()(
2
210
0
2
210
0
-
-?--
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zczczcczc
azc
azcazccazc
或
0n
n
nc z
17
定理一 (阿贝尔 Abel定理 )
.,||||,
,,||||
,)0(
0
00
0
0
级数必发散的则对满足级数发散如果在级数必绝对收敛的则对满足收敛在如果级数
zzz
zzzzz
zzzc
n
n
n
z0
x
y
O
18
[证 ]
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Mq
z
z
zczc
q
z
z
zz
MzcnM
zczc
0
0
0
0
0
0
0
0
||||
,1
||
||
|,|||
||
,0lim,
而则如果有使对所有的则存在则收敛因
19
.
||
,1
||||
0
00
0
0
0
是绝对收敛的从而级数亦收敛因此故收敛的等比级数为公比小于由于
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zc
Mqzc
Mq
Mq
z
z
zczc
20
发散因此只能是矛盾与所设收敛前面的结论可导出则根据反而收敛设级数用反证法且如果发散如果级数
0
0
0
0
0
0
0
.
,
,,
||||,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zc
zc
zc
zzzc
21
2,收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,
它的收敛情况不外乎三种,
i) 对所有的正实数都是收敛的,这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛,
ii) 对所有的正实数除 z=0外都是发散的,这时,
级数在复平面内除原点外处处发散,
iii) 既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数,设 z=a(正实数 )时,级数收敛,
z=b(正实数 )时,级数发散,
22
显然 a<b,将收敛域染成红色,发散域为蓝色,
R
CR
O a b
Ca
Cb
x
y
23
当 a由小逐渐变大时,Ca必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周 CR,在 CR的内部都是红色,外部都是蓝色,这个红蓝两色的分界圆周 CR称为幂级数的收敛圆,在收敛圆的外部,级数发散,收敛圆的内部,级数绝对收敛,
收敛圆的半径 R称为收敛半径,所以幂级数
(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域,对幂级数 (4.2.2)来说,收敛范围是以 z=a为中心的圆域,在收敛圆上是否收敛,则不一定,
24
例 1 求幂级数
n
n
n zzzz 2
0
1
)1(,
1
1
1 2?
-
-
z
z
z
zzzs
n
n
n?
的收敛范围与和函数,
[解 ] 级数实际上是等比级数,部分和为
25
-
-
-
-
-
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzz
z
z
znz
z
zz
z
szz
z
z
z
zzzs
2
1
2
1
1
1
,,1||
.,,1||
,
1
1
,1||
,
1
1
lim,0lim,1||
)1(,
1
1
1
并有在此范围内绝对收敛收敛范围为级数发散不趋于零时由于时当和函数为收敛时级数即从而有由于时当
26
3.收敛半径的求法定理二 ( 比值法 ) 如果
0l i m
1
n
n
n c
c
,则收敛半径
1
R
,
定理三 ( 根值法 ) 如果
0||lim
n
n
n
c
,则收敛半径
1
R
,
27
4,幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样,
复变幂级数也能进行有理运算,设
2
0
1
0
,)(,,)( rRzbzgrRzazf
n
n
n
n
n
n
在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是 f(z)与 g(z)的和,差与积,
28
),m i n (.||
)(
)()(
,||,)(
)()(
21
0
0110
00
0
00
rrRRz
zbababa
zbzazgzf
Rzzba
zbzazgzf
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
-
29
更为重要的是代换 (复合 )运算
.)]([)]([
,||,|)(|)(
||,)(,||
0
0
n
n
n
n
n
n
zgazgf
Rzrzgzg
Rzzazfrz
时则当解析且满足内又设在时如果当这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用,
30
例 4 把函数
bz -
1
表成形如
-
0
)(
n
n
n
azc
的幂级数,
其中 a 与 b 是不相等的复常数,
[ 解 ] 把函数
bz -
1
写成如下形式,
-
-
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
---
-
n
n
ab
az
ab
az
ab
az
ab
ab
azababazbz
)(
)(
)(
)(
)(
)(1
1
11
)()(
11
3
2
2
收敛半径为 R =| b - a |
31
O x
y
a
b
当 |z-a|<|b-a|=R时级数收敛
32
定理四 设幂级数
-
0
)(
n
n
n
azc
的收敛半径为 R,则
1) 它的和函数
-?
0
)()(
n
n
n
azczf
是收敛圆 | z - a |< R 内的解析函数,
2) f ( z ) 在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导得到,即
-
-
1
1
)()(
n
n
n
aznczf
33
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即
-
-?-?
0
1
0
)(
1
d)(
||,d)(d)(
n
nn
z
a
n C
n
n
C
az
n
c
f
RazCzazczzf
zz
或
34
§ 3 泰勒级数
35
设函数 f(z)在区域 D内解析,而 |z-z0|=r为 D内以
z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于 D,把它记作 K,又设 z为 K内任一点,
z0
K
z z
36
按柯西积分公式,有
)1.3.4(,d
)(
π2
1
)(?
-
K
z
f
i
zf z
z
z
-
-
-
-
-
-
-
-
-
---
-
0
1
0
0
0
0
0
0000
)(
)(1
,1
,,
1
11
)()(
11
n
n
n
z
zz
zz
zz
KzK
z
zzzzzzz
zzz
z
z
zzz
所以的内部在点上取在圆周由于积分变量其中 K取正方向,且有
37
代入 (4.3.1)得
.d)(
)(
)(
π2
1
)(
)(
d)(
π2
1
)(
01
0
1
0
01
0
-
-
-?
-
-
K Nn
n
n
N
n
n
K
n
zz
z
f
i
zz
z
f
i
zf
z
z
z
z
zz
)3.3.4()(
)(
)(
π2
1
)(
)2.3.4()()(
!
)(
)(
01
0
1
0
0
0
)(
-
-
-?
-
K Nn
n
nN
N
N
n
n
n
dzz
z
f
i
zR
zRzz
n
zf
zf
z
z
z
其中由解析函数高阶导数公式 (3.6.1),上式可写成
38
在 K内成立,即 f(z)可在 K内用幂级数表达
q
r
zz
z
zz
-
-
- 0
0
0
z
令
q与积分变量 z无关,且 0?q<1.
)4.3.4()(
!
)(
)(
)2.3.4(,0)(lim
)3.3.4()(
)(
)(
π2
1
)(
0
0
0
)(
01
0
-?
-
-
n
n
n
N
N
K Nn
n
nN
zz
n
zf
zf
KzR
dzz
z
f
i
zR
由内成立在如果能证明
z
z
z
39
K含于 D,f(z)在 D内解析,在 K上连续,在 K上有界,因此在 K上存在正实数 M使 |f(z)|?M.
0
1
π2
π2
1
d
||
|)(|
π2
1
d)(
)(
)(
π2
1
|)(|
0
0
0
01
0
-
-
-
-
-
-
N
N
Nn
n
K
Nn
n
K
Nn
n
nN
q
Mq
rq
r
M
s
z
zz
z
f
szz
z
f
zR
zz
z
z
z
40
因此,下面的公式在 K内成立,
称为 f(z)在 z0的泰勒展开式,它右端的级数称为
f(z)在 z0处的泰勒级数,
圆周 K的半径可以任意增大,只要 K在 D内,所以,如果 z0到 D的边界上各点的最短距离为 d,
则 (4.3.4)在圆域 |z-z0|<d内成立,但这时对 f(z)
在 z0的泰勒级数来说,它的收敛半径 R至少等于 d,因为凡满足 |z-z0|<d的 z必能使 (4.3.4)成立,
即 R?d.
)4.3.4()(
!
)(
)(
0
0
0
)(
-?
n
n
n
zz
n
zf
zf
41
定理 (泰勒展开定理 ) 设 f(z)在区域 D内解析,z0
为 D内的一点,d为 z0到 D的边界上各点的最短距离,则当 |z-z0|<d时,
.,2,1,0),(
!
1
,
)()(
0
)(
0
0
-
nzf
n
c
zzczf
n
n
n
n
n
其中成立
42
如果 f(z)在 z0解析,则使 f(z)在 z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从 z0到 f(z)的距 z0最近一个奇点 a的距离,即 R=|a-z0|,这是因为 f(z)在收敛圆内解析,故奇点 a不可能在收敛圆内,
又因为奇点 a不可能在收敛圆外,不然收敛半径还可以扩大,因此奇点 a只能在收敛圆周上,
O x
y
z0
a
43
任何解析函数展开成幂级数的结果就是就是泰勒级数,因而是唯一的,
这是因为,假设 f(z)在 z0用另外的方法展开为泰勒级数,
f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+...+an(z-z0)n+...,
则 f(z0)=a0.
而 f '(z)=a1+2a2(z-z0)+...
于是 f '(z0)=a1.
同理可得
),.,,,(
!
1
0
)( zf
n
a nn?
44
利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数,
),2,1,0()(!1 0)( nzfnc nn
)5.3.4(.!!21e
2
nzzz
n
z
把 f(z)在 z0展开成幂级数,这被称作 直接展开法,
例如,求 ez在 z=0处的泰勒展开式,由于
(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1,(n=0,1,2,...)
故有因为 ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为?.
45
同样,可求得 sin z与 cos z在 z=0的泰勒展开式,
)7.3.4(
)!2(
)1(
!4!2
1c o s
)6.3.4(
)!12(
)1(
!5!3
s i n
242
1253
-?-?-?
-?-?-?
n
zzz
z
n
zzz
zz
n
n
n
n
因为 sin z与 cos z在复平面上处处解析,所以这些等式也在复平面内处处成立,
46
除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质 (定理四 ),以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法,例如 sin z在
z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出,
.
)!12(
)1(
!5!3
!
)(
!
)(
2
1
)e(e
2
1
s i n
0
1253
00
-
-?-?-?
-
-?-?
n
n
n
n
n
n
n
iziz
n
zzz
z
n
iz
n
iz
ii
z
47
例 1 把函数
2
)1(
1
z? 展开成 z 的幂级数,
[ 解 ] 由于函数
2
)1(
1
z? 有一奇点 z? - 1,而在 | z |<1 内处处解析,所以可在 | z |<1 内展开成 z 的幂级数,
因为
)8.3.4.(1||,)1(1
1
1
2
-?-?-?
zzzz
z
nn
将上式两边求导得
.1||,)1(321
)1(
1
112
2
-?-?-?
--
znzzz
z
nn
48
例 2 求对数函数的主值 ln(1+z)在 z=0处的幂级数展开式,
[解 ] ln(1+z)在从 -1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在 |z|<1展开为 z的幂级数,
-1 O x
y
49
)9.3.4(,1||
1
)1(
32
)1l n (
,d)1(ddd
1
1
,)1(
1
1
])1[ l n (
132
0000
0
-?-?-
--?
-?
z
n
zzz
zz
zzzzzz
z
z
z
z
n
n
z
nn
zzz
n
nn
即逐项积分得因为
50
.
)(
)()(,.)(
)(
||,;
||)(
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0
等价的说法是两种数邻域内可以展开成幂级的在解析跟在所以展开成幂级数必能在内解析的函数在圆域反过来和函数是解析函数内的在收敛圆幂级数
-
-
-
--
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzc
zzfzzfzzc
zzf
Rzz
Rzzzzc
51
作业 第四章习题第 143页开始第 11,12题
52
请提问
53
定理 解析函数 f(z)的导数仍为解析函数,它的
n阶导数为,
)1.6.3(
),2,1(d
)(
)(
π2
!
)(
1
0
0
)(
-
nz
zz
zf
i
n
zf
C
n
n
其中 C为在函数 f(z)的解析区域 D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于 D.
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第四章 级数
§ 1 复数项级数
3
1,复数列的极限 设 {an}(n=1,2,...)为一复数列,
其中 an=an+ibn,又设 a=a+ib为一确定的复数,
如果任意给定 e>0,相应地能找到一个正数
N(e),使 |an-a|<e在 n>N时成立,则 a称为复数列 {an}当 n时的 极限,记作
aa?
nn
lim
此时也称复数列 {an}收敛 于 a.
4
定理一 复数列 {an}(n=1,2,...)收敛于 a的充要条件是
bbaa n
nnn
lim,lim
.lim,lim
|)()(|||
|)()(|
bbaa
bbiaaaa
ibaiba
n
n
n
n
nnn
nn
-?-?-
-?
同理所以则 e
e
[证 ] 如果,则对于任意给定的 e>0,
就能找到一个正数 N,当 n>N时,
aa?
nn
lim
5
反之,如果
.lim
||||
|)()(|||
2
||,
2
||
,,,
lim,lim
aa
e
aa
ee
e
-?-?
-?-?-
-?-
n
n
nn
nnn
nn
n
n
n
n
bbaa
bbiaa
bbaa
NnN
bbaa
所以从而有时当存在则任给
6
2,级数概念 设 {an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,表达式
n
n
n aaaa 21
1
.
,}{.
lim,
1
1
发散称为则级数不收敛如果数列为级数的和称并且极限收敛称为则级数
n
n
n
n
n
n
n
s
ss
a
a称为 无穷级数,其最前面 n项的和
sn=a1+a2+...+an
称为级数的 部分和,如果部分和数列 {sn}收敛,
7
定理二 级数 收敛的充要条件是级数和 都收敛
[证 ] 因 sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)
+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,
其中 sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分别为和 的部分和,由定理一,
{sn}有极限存在的充要条件是 {sn}和 {tn}的极限存在,即级数 和 都收敛,
1n
na
1n
na?
1n
nb
1n
na?
1n
nb
1n
na?
1n
nb
8
定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题,
.0lim
,0lim
,0lim0lim
1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ba
ba
aa
a
收敛的必要条件是从而推出复数项级数立即可得和收敛的必要条件和而由实数项级数
9
定理三成立且不等式也收敛则收敛如果
11
11
||
,,||
n
n
n
n
n
n
n
n
aa
aa
2222
1
22
1
||,||
,||
nnnnnn
n
nn
n
n
babbaa
baa
而由于[证 ]
10
11
11
11
111
11
||
||limlim
,||
.,
,||||
k
k
k
k
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
k
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ba
ba
aa
aa
aa
a
或因此而又因是收敛的则也都收敛和因而都收敛及可知级数
11
.
.,||
11
条件收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数绝对收敛则称级数收敛如果
n
n
n
n
aa
12
.
,
,
,||||
|,|||
11
1
111
111
22
22
绝对收敛与绝对收敛的充要条件是因此收敛也绝对绝对收敛时与所以当因此由于
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
nnnn
ba
ba
baba
baba
a
a
13
§ 2 幂级数
14
1,幂级数的概念 设 {fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域 D内有定义,表达式
)1.2.4()()()()( 21
1
zfzfzfzf n
n
n
称为 复变函数项级数,最前面 n项的和
sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)
称为这级数的 部分和,
15
存在,则称复变函数项级数 (4.2.1)在 z0收敛,而
s(z0)称为它的 和,如果级数在 D内处处收敛,则它的和一定是 z的一个函数 s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
s(z)称为级数 的 和函数如果对于 D内的某一点 z0,极限
)()(lim 00 zszs n
n
1
)(
n
n
zf
16
这种级数称为幂级数,
如果令 z-a=z,则 (4.2.2)成为,这是
(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就 (4.2.3)讨论当 fn(z)=cn-1(z-a)n-1或 fn(z)=cn-1zn-1时,就得到函数项级数的特殊情形,
)3.2.4(
)2.2.4()(
)()()(
2
210
0
2
210
0
-
-?--
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zczczcczc
azc
azcazccazc
或
0n
n
nc z
17
定理一 (阿贝尔 Abel定理 )
.,||||,
,,||||
,)0(
0
00
0
0
级数必发散的则对满足级数发散如果在级数必绝对收敛的则对满足收敛在如果级数
zzz
zzzzz
zzzc
n
n
n
z0
x
y
O
18
[证 ]
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Mq
z
z
zczc
q
z
z
zz
MzcnM
zczc
0
0
0
0
0
0
0
0
||||
,1
||
||
|,|||
||
,0lim,
而则如果有使对所有的则存在则收敛因
19
.
||
,1
||||
0
00
0
0
0
是绝对收敛的从而级数亦收敛因此故收敛的等比级数为公比小于由于
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zc
Mqzc
Mq
Mq
z
z
zczc
20
发散因此只能是矛盾与所设收敛前面的结论可导出则根据反而收敛设级数用反证法且如果发散如果级数
0
0
0
0
0
0
0
.
,
,,
||||,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zc
zc
zc
zzzc
21
2,收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,
它的收敛情况不外乎三种,
i) 对所有的正实数都是收敛的,这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛,
ii) 对所有的正实数除 z=0外都是发散的,这时,
级数在复平面内除原点外处处发散,
iii) 既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数,设 z=a(正实数 )时,级数收敛,
z=b(正实数 )时,级数发散,
22
显然 a<b,将收敛域染成红色,发散域为蓝色,
R
CR
O a b
Ca
Cb
x
y
23
当 a由小逐渐变大时,Ca必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周 CR,在 CR的内部都是红色,外部都是蓝色,这个红蓝两色的分界圆周 CR称为幂级数的收敛圆,在收敛圆的外部,级数发散,收敛圆的内部,级数绝对收敛,
收敛圆的半径 R称为收敛半径,所以幂级数
(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域,对幂级数 (4.2.2)来说,收敛范围是以 z=a为中心的圆域,在收敛圆上是否收敛,则不一定,
24
例 1 求幂级数
n
n
n zzzz 2
0
1
)1(,
1
1
1 2?
-
-
z
z
z
zzzs
n
n
n?
的收敛范围与和函数,
[解 ] 级数实际上是等比级数,部分和为
25
-
-
-
-
-
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzz
z
z
znz
z
zz
z
szz
z
z
z
zzzs
2
1
2
1
1
1
,,1||
.,,1||
,
1
1
,1||
,
1
1
lim,0lim,1||
)1(,
1
1
1
并有在此范围内绝对收敛收敛范围为级数发散不趋于零时由于时当和函数为收敛时级数即从而有由于时当
26
3.收敛半径的求法定理二 ( 比值法 ) 如果
0l i m
1
n
n
n c
c
,则收敛半径
1
R
,
定理三 ( 根值法 ) 如果
0||lim
n
n
n
c
,则收敛半径
1
R
,
27
4,幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样,
复变幂级数也能进行有理运算,设
2
0
1
0
,)(,,)( rRzbzgrRzazf
n
n
n
n
n
n
在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是 f(z)与 g(z)的和,差与积,
28
),m i n (.||
)(
)()(
,||,)(
)()(
21
0
0110
00
0
00
rrRRz
zbababa
zbzazgzf
Rzzba
zbzazgzf
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
-
29
更为重要的是代换 (复合 )运算
.)]([)]([
,||,|)(|)(
||,)(,||
0
0
n
n
n
n
n
n
zgazgf
Rzrzgzg
Rzzazfrz
时则当解析且满足内又设在时如果当这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用,
30
例 4 把函数
bz -
1
表成形如
-
0
)(
n
n
n
azc
的幂级数,
其中 a 与 b 是不相等的复常数,
[ 解 ] 把函数
bz -
1
写成如下形式,
-
-
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
---
-
n
n
ab
az
ab
az
ab
az
ab
ab
azababazbz
)(
)(
)(
)(
)(
)(1
1
11
)()(
11
3
2
2
收敛半径为 R =| b - a |
31
O x
y
a
b
当 |z-a|<|b-a|=R时级数收敛
32
定理四 设幂级数
-
0
)(
n
n
n
azc
的收敛半径为 R,则
1) 它的和函数
-?
0
)()(
n
n
n
azczf
是收敛圆 | z - a |< R 内的解析函数,
2) f ( z ) 在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导得到,即
-
-
1
1
)()(
n
n
n
aznczf
33
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即
-
-?-?
0
1
0
)(
1
d)(
||,d)(d)(
n
nn
z
a
n C
n
n
C
az
n
c
f
RazCzazczzf
zz
或
34
§ 3 泰勒级数
35
设函数 f(z)在区域 D内解析,而 |z-z0|=r为 D内以
z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于 D,把它记作 K,又设 z为 K内任一点,
z0
K
z z
36
按柯西积分公式,有
)1.3.4(,d
)(
π2
1
)(?
-
K
z
f
i
zf z
z
z
-
-
-
-
-
-
-
-
-
---
-
0
1
0
0
0
0
0
0000
)(
)(1
,1
,,
1
11
)()(
11
n
n
n
z
zz
zz
zz
KzK
z
zzzzzzz
zzz
z
z
zzz
所以的内部在点上取在圆周由于积分变量其中 K取正方向,且有
37
代入 (4.3.1)得
.d)(
)(
)(
π2
1
)(
)(
d)(
π2
1
)(
01
0
1
0
01
0
-
-
-?
-
-
K Nn
n
n
N
n
n
K
n
zz
z
f
i
zz
z
f
i
zf
z
z
z
z
zz
)3.3.4()(
)(
)(
π2
1
)(
)2.3.4()()(
!
)(
)(
01
0
1
0
0
0
)(
-
-
-?
-
K Nn
n
nN
N
N
n
n
n
dzz
z
f
i
zR
zRzz
n
zf
zf
z
z
z
其中由解析函数高阶导数公式 (3.6.1),上式可写成
38
在 K内成立,即 f(z)可在 K内用幂级数表达
q
r
zz
z
zz
-
-
- 0
0
0
z
令
q与积分变量 z无关,且 0?q<1.
)4.3.4()(
!
)(
)(
)2.3.4(,0)(lim
)3.3.4()(
)(
)(
π2
1
)(
0
0
0
)(
01
0
-?
-
-
n
n
n
N
N
K Nn
n
nN
zz
n
zf
zf
KzR
dzz
z
f
i
zR
由内成立在如果能证明
z
z
z
39
K含于 D,f(z)在 D内解析,在 K上连续,在 K上有界,因此在 K上存在正实数 M使 |f(z)|?M.
0
1
π2
π2
1
d
||
|)(|
π2
1
d)(
)(
)(
π2
1
|)(|
0
0
0
01
0
-
-
-
-
-
-
N
N
Nn
n
K
Nn
n
K
Nn
n
nN
q
Mq
rq
r
M
s
z
zz
z
f
szz
z
f
zR
zz
z
z
z
40
因此,下面的公式在 K内成立,
称为 f(z)在 z0的泰勒展开式,它右端的级数称为
f(z)在 z0处的泰勒级数,
圆周 K的半径可以任意增大,只要 K在 D内,所以,如果 z0到 D的边界上各点的最短距离为 d,
则 (4.3.4)在圆域 |z-z0|<d内成立,但这时对 f(z)
在 z0的泰勒级数来说,它的收敛半径 R至少等于 d,因为凡满足 |z-z0|<d的 z必能使 (4.3.4)成立,
即 R?d.
)4.3.4()(
!
)(
)(
0
0
0
)(
-?
n
n
n
zz
n
zf
zf
41
定理 (泰勒展开定理 ) 设 f(z)在区域 D内解析,z0
为 D内的一点,d为 z0到 D的边界上各点的最短距离,则当 |z-z0|<d时,
.,2,1,0),(
!
1
,
)()(
0
)(
0
0
-
nzf
n
c
zzczf
n
n
n
n
n
其中成立
42
如果 f(z)在 z0解析,则使 f(z)在 z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从 z0到 f(z)的距 z0最近一个奇点 a的距离,即 R=|a-z0|,这是因为 f(z)在收敛圆内解析,故奇点 a不可能在收敛圆内,
又因为奇点 a不可能在收敛圆外,不然收敛半径还可以扩大,因此奇点 a只能在收敛圆周上,
O x
y
z0
a
43
任何解析函数展开成幂级数的结果就是就是泰勒级数,因而是唯一的,
这是因为,假设 f(z)在 z0用另外的方法展开为泰勒级数,
f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+...+an(z-z0)n+...,
则 f(z0)=a0.
而 f '(z)=a1+2a2(z-z0)+...
于是 f '(z0)=a1.
同理可得
),.,,,(
!
1
0
)( zf
n
a nn?
44
利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数,
),2,1,0()(!1 0)( nzfnc nn
)5.3.4(.!!21e
2
nzzz
n
z
把 f(z)在 z0展开成幂级数,这被称作 直接展开法,
例如,求 ez在 z=0处的泰勒展开式,由于
(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1,(n=0,1,2,...)
故有因为 ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为?.
45
同样,可求得 sin z与 cos z在 z=0的泰勒展开式,
)7.3.4(
)!2(
)1(
!4!2
1c o s
)6.3.4(
)!12(
)1(
!5!3
s i n
242
1253
-?-?-?
-?-?-?
n
zzz
z
n
zzz
zz
n
n
n
n
因为 sin z与 cos z在复平面上处处解析,所以这些等式也在复平面内处处成立,
46
除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质 (定理四 ),以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法,例如 sin z在
z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出,
.
)!12(
)1(
!5!3
!
)(
!
)(
2
1
)e(e
2
1
s i n
0
1253
00
-
-?-?-?
-
-?-?
n
n
n
n
n
n
n
iziz
n
zzz
z
n
iz
n
iz
ii
z
47
例 1 把函数
2
)1(
1
z? 展开成 z 的幂级数,
[ 解 ] 由于函数
2
)1(
1
z? 有一奇点 z? - 1,而在 | z |<1 内处处解析,所以可在 | z |<1 内展开成 z 的幂级数,
因为
)8.3.4.(1||,)1(1
1
1
2
-?-?-?
zzzz
z
nn
将上式两边求导得
.1||,)1(321
)1(
1
112
2
-?-?-?
--
znzzz
z
nn
48
例 2 求对数函数的主值 ln(1+z)在 z=0处的幂级数展开式,
[解 ] ln(1+z)在从 -1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在 |z|<1展开为 z的幂级数,
-1 O x
y
49
)9.3.4(,1||
1
)1(
32
)1l n (
,d)1(ddd
1
1
,)1(
1
1
])1[ l n (
132
0000
0
-?-?-
--?
-?
z
n
zzz
zz
zzzzzz
z
z
z
z
n
n
z
nn
zzz
n
nn
即逐项积分得因为
50
.
)(
)()(,.)(
)(
||,;
||)(
0
0
00
0
0
0
0
0
0
0
等价的说法是两种数邻域内可以展开成幂级的在解析跟在所以展开成幂级数必能在内解析的函数在圆域反过来和函数是解析函数内的在收敛圆幂级数
-
-
-
--
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzc
zzfzzfzzc
zzf
Rzz
Rzzzzc
51
作业 第四章习题第 143页开始第 11,12题
52
请提问
53
定理 解析函数 f(z)的导数仍为解析函数,它的
n阶导数为,
)1.6.3(
),2,1(d
)(
)(
π2
!
)(
1
0
0
)(
-
nz
zz
zf
i
n
zf
C
n
n
其中 C为在函数 f(z)的解析区域 D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于 D.
