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拉氏逆变换前面主要讨论了由已知函数 f(t)求它的象函数
F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数 F(s)求它的象原函数 f(t),本节就来解决这个问题,
由拉氏变换的概念可知,函数 f(t)的拉氏变换,
实际上就是 f(t)u(t)e-bt的傅氏变换,
因此,按傅氏积分公式,在 f(t)的连续点就有
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等式两边同乘以 ebt,则右端的积分称为拉氏反演积分,它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷,而积分路线中的实部 b则有一些随意,但必须满足的条件就是 e-btf(t)u(t)的 0到正无穷的积分必须收敛,计算复变函数的积分通常比较困难,但是可以用留数方法计算,
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且当 s时,F(s)?0,则有
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什么叫一个复变函数 f(s)的 奇点?那就是此函数没有定义的点,或者说是取值无穷大的点,
例如函数
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在 0,2,-3处有三个奇点,可记为 s1=0,s2=2,
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假设 s0是 f(s)的一个奇点,则 f(s)总可以在 s0处展开为罗朗级数,形式为,
-
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其中 -1次方项 (s-s0)-1的系数 c-1就称为 f(s)在 s0
点处的留数,记作
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或
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围绕着 f(s)的奇点 s0的附近绕一圈环的积分就等于
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其中 C是只围绕 s0转一圈的任意闭合曲线,
如果函数 f(s)有 s1,s2,...,sn共 n个奇点,闭合曲线
C包围了这 n个奇点,则
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实轴虚轴
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定理的证明 作下图,闭曲线 C=L+CR,CR在
Re(s)<b的区域内是半径为 R的圆弧,当 R充分大后,可以使 F(s)est的所有奇点包含在闭曲线
C围成的区域内,
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为奇点
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根据留数定理可得
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从而在上式左方取 R的极限,并根据 Jordan引理,当 t>0时,有最常见的情况,是函数 F(s)是有理函数,即
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其中 A(s)和 B(s)是不可约的多项式,B(s)的次数是 n,A(s)的次数小于 B(s)的次数,这时 F(s)满足定理所要求的条件,
如果一元 n次方程 B(s)=0只有单根,这些单根称作 B(s)的一阶零点,也就是
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210
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和两个一阶零点是则例如方程 B(s)=0有一个二重根 s1,称 s1为 B(s)的二阶零点,也是 F(s)est的二阶极点,这时 F(s)est在
s=s1处可展开为罗朗级数,其形式为,
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如果 f1(t)与 f2(t)都满足条件,当 t<0时,
f1(t)=f2(t)=0,则上式可以写成
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按 (2.20)计算的卷积亦有
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它也满足交换律,
f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t)
同样,它还满足结合律与对加法的交换律,即
f1(t) * [f2(t) * f3(t)] = [f1(t) * f2(t)] * f3(t)
f1(t) * [f2(t) + f3(t)]= f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t)
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由卷积定理假定 f1(t),f2(t)满足拉氏变换存在定理中的条件,且 L [f1(t)]=F1(s),L [f2(t)]=F2(s),则
f1(t) * f2(t)的拉氏变换一定存在,且
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则有
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作业 习题三第 78页第 2题 第 (1),(2),(3),(6)小题习题四 第 82页第 1题 第 (1),(2)题请提问
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拉氏逆变换前面主要讨论了由已知函数 f(t)求它的象函数
F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数 F(s)求它的象原函数 f(t),本节就来解决这个问题,
由拉氏变换的概念可知,函数 f(t)的拉氏变换,
实际上就是 f(t)u(t)e-bt的傅氏变换,
因此,按傅氏积分公式,在 f(t)的连续点就有
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等式两边同乘以 ebt,则右端的积分称为拉氏反演积分,它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷,而积分路线中的实部 b则有一些随意,但必须满足的条件就是 e-btf(t)u(t)的 0到正无穷的积分必须收敛,计算复变函数的积分通常比较困难,但是可以用留数方法计算,
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在 0,2,-3处有三个奇点,可记为 s1=0,s2=2,
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假设 s0是 f(s)的一个奇点,则 f(s)总可以在 s0处展开为罗朗级数,形式为,
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其中 -1次方项 (s-s0)-1的系数 c-1就称为 f(s)在 s0
点处的留数,记作
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或
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围绕着 f(s)的奇点 s0的附近绕一圈环的积分就等于
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如果函数 f(s)有 s1,s2,...,sn共 n个奇点,闭合曲线
C包围了这 n个奇点,则
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定理的证明 作下图,闭曲线 C=L+CR,CR在
Re(s)<b的区域内是半径为 R的圆弧,当 R充分大后,可以使 F(s)est的所有奇点包含在闭曲线
C围成的区域内,
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从而在上式左方取 R的极限,并根据 Jordan引理,当 t>0时,有最常见的情况,是函数 F(s)是有理函数,即
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2
101
2
210
1
得的极限再令两边取得等式两边乘
-
-
-
n
k
ts
k
k
n
ts
k
k
st
k
k
ss
st
k
ss
k
k
kk
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sA
tf
sssnsB
sB
sA
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sB
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ss
1
21
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)(
)(
)(
,,)(,
e
)(
)(
e
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)(
lime
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)(lim
时个单零点只有当从而有而极限
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j2
e
j2
e
)j(
)j(
e
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)(j
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2)(
jj
)j)(j()(,)(
)(
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jj
22
22
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-
-
-
-
-
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k
k
k
k
kB
kA
kB
kA
tf
ssB
kk
kskskssBksA
ks
k
sF
ktkt
ktkt
和两个一阶零点是则例如方程 B(s)=0有一个二重根 s1,称 s1为 B(s)的二阶零点,也是 F(s)est的二阶极点,这时 F(s)est在
s=s1处可展开为罗朗级数,其形式为,
-?-?
--
-
-
-
-
--
--
3
11
2
10
112
2
1
2
1
110
1
1
2
1
2
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得等式两边同乘
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-
-
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1
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11
2
10
112
2
1
11
的极限得两边取求一次导数得两边对
0),1(e1)ee(1
e
1
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e
1
d
d
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1
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,
1,0,)1()(
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-
-
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ss
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ss
sF
ttt
stst
s
st
s
s
st
零点为二阶为单零点的逆变换求例还可以用部分分式和查表的办法来求解拉氏反变换,根据拉氏变换的性质以及
at
m
m
m
mm
m
m
t
as
m
t
ss
m
t
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1
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1
,
!
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-
L
LL
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10)1(
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)1(
1)1(
1
.
)1(
1
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2
2
22
2
-
-
BBs
ssBss
Ass
Css
s
C
s
B
s
A
ss
ss
sF
即项系数应相等比较两边分子应相等式右边通分合并后两边再将得后再令两边乘式得后再令式两边乘则必有的逆变换求例最后得
)0(e1
)1(
1
)(
1
111
)1(
1
)(
2
1
22
-?
-
--
tt
ss
tf
sssss
sF
t
L
所以卷积
1,卷积的概念 在第一章讨论过傅氏变换的卷积的性质,两个函数的卷积是指
-
- d)()()()( 2121 tfftftf
如果 f1(t)与 f2(t)都满足条件,当 t<0时,
f1(t)=f2(t)=0,则上式可以写成
)20.2(d)()(
d)()(d)()(
d)()()()(
0
21
21
0
21
0
2121
-?
-?-?
-
-
t
t
t
tff
tfftff
tfftftf
今后如不特别声明,都假定这些函数在 t<0时恒等于零,它们的卷积都按 (2.20)式计算
O
f1(?) f
2(?)
O
f1(?)
f2(t-?)
t
按 (2.20)计算的卷积亦有
|f1(t) * f2(t)|?|f1(t)| * |f2(t)|,
它也满足交换律,
f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t)
同样,它还满足结合律与对加法的交换律,即
f1(t) * [f2(t) * f3(t)] = [f1(t) * f2(t)] * f3(t)
f1(t) * [f2(t) + f3(t)]= f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t)
)1(e
1
)1(e
1
e
e
e
1
e
e
dee
e
dee
1
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2
0
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例例 1 求 t * sin t
tt
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tt
ttttt
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j
2
j
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jj
2
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-
-?
-
-
-
-
-?-?
-
-
-?-?
-
-
-
-
由卷积定理假定 f1(t),f2(t)满足拉氏变换存在定理中的条件,且 L [f1(t)]=F1(s),L [f2(t)]=F2(s),则
f1(t) * f2(t)的拉氏变换一定存在,且
)21.2(
)()()]()([
)()()]()([
2121
1
2121
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sFsFtftf
L
L
或
-
-
-?
0 0
21
0
2121
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de)]()([)]()([
ttff
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st
t
st
L证
t
tO
由于二重积分绝对可积,可以交换积分次序
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d)(e)()]()([
)(e
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21
0
12
0
2121
2
0
)(
22
sFsFfsF
sFftftf
sF
uufttf
s
s
s
usst
-
-
-
-
-
-
L
所以令 t-?=u,则
- - 0 2121 dde)()()]()([ ttfftftf stL
不难推证,若 fk(t)(k=1,2,...,n)满足拉氏变换存在定理中的条件,且
L [fk(t)]=Fk(s) (k=1,2,...,n)
则有
L [f1(t) * f2(t) *...* fn(t)]
=F1(s)F2(s)...Fn(s)
tttttftftf
ttfttf
s
sF
s
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ssss
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,1
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1
1
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11
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21
21
2221
2222
22
-
得根据卷积定理和例于是取因为求若例
-
-
-
-
-
-
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ba
ba
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1
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综上所述时当时当
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因因为求若例
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j)32(j)32(
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j)32(j)32(j)32(j)32(
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作业 习题三第 78页第 2题 第 (1),(2),(3),(6)小题习题四 第 82页第 1题 第 (1),(2)题请提问
