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2
连续型随机变量的分布一随机变量的分布函数是描述任何类型的随机变量的变化规律的最一般的形式，但由于它不够直观，往往不常用。
比如，对离散型随机变量，用概率函数来描述即简单又直观。
对于连续型随机变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式。
这就是今天要讲的,概率密度函数,
3
例 8 在区间 [4,10]上任意抛掷一个质点,用 x
表示这个质点和原点的距离,则 x是一随机变量,如果这个质点落在 [4,10]上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比,求 x的分布函数,
4 10 x
4
解 x可以取 [4,10]上的一切实数,即
{4?x?10}是一个必然事件,P{4?x?10}=1,
若 [c,d]?[4,10],有 P{c?x?d}=?(d-c),?为比例常数,特别地,取 c=4,d=10,
P{4?x?10}=?(10-4)=6?=1,因此?=1/6.
-
101
104)4(
6
1
40
)()(
x
xx
x
xPxF x
5
F(x)的图形如下所示
-
101
104)4(
6
1
40
)()(
x
xx
x
xPxF x
0
F(x)
4 10 x
6
在这里，
分布函数 F(x)是 (-?,+?)上的一个非降有界的连续函数,在整个数轴上没有一个跳跃点 (可见,对于这样的随机变量,它取任何一个具体值的概率都是零 ),这就是这种类型的随机变量被称作是连续型随机变量的原因,
描述连续型随机变量当然不能够用概率函数或者概率分布表,但是使用分布函数 F(x)同样也是不很方便,因此,用概率密度函数来描述连续型随机变量的分布,
7
定义 对于连续型随机变量 x,如果存在一定义在 (-?,+?)上的 非负函数?(x),对于任意实数 x都有?(x)?0,且满足,x落在任意区间内的概率为?(x)在此区间的积分,即
b
a
dxxbaP )()(?x
则称?(x)为 x的 概率密度函数,.
8
用概率密度函数计算 x落在任何区间内的概率如下图所示意,
a b x0
(x)
P(a?x?b)
9
因此,概率密度函数的两个性质一个是?(x)?0,另一个则是
x0
(x)
1)(
-
dxx?
10
概率密度函数?(x)与分布函数 F(x)的关系为
x0
(x)
-
x
dttxPxF )()()(?x
x
)()(
)(
xFx
x
的一切连续点有因此对于
11
进一步剖析可得
x0
(x)
x x+?x
x
xxxPx
x?
x?
)(lim)(
0
这表明?(x)不是 x取值 x的概率,而是它在 x
点概率分布的密集程度,
12
在例 1中 x的概率密度函数?(x)为
其它0
104
6
1
)(
x
x?
0 4 10 x
(x)
13
例 9 若 x有概率密度
其它0
)(
)(
babxa
x
-
-
-
-
-
其它因此则
0
)(
1
)(,
1
1)(00)(
babxa
ab
x
ab
abdxdxdxdxx
b
b
a
a
则称 x服从区间 [a,b]上的均匀分布,试求 F(x).
解 因为
14
(x)的图形为求分布函数 F(x)则是根据公式
0 a b x
(x)
ab -
1
-
x
dttxF )()(?
15
当 x<a时
0 a b x
(x)
ab -
1
00)(
-
x
dtxF
x
16
当 a<x<b时
0 a b x
(x)
ab -
1
ab
ax
t
ab
dt
ab
dtxF
x
a
x
a
a
-
-
-
-
-
|
1
1
0)(
x
17
当 x>b时
0 a b x
(x)
ab -
1
1
1
0
1
0)(
|?
-
-
-
-
-
ab
ab
ab
dtdt
ab
dtxF
b
a
x
b
b
a
a
x
18
综上所述,最后得分布函数为
-
-
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
)(
19
F(x)与?(x)的图形对照如下,
0 a b x
(x)
ab -
1
0 a b x
F(x)
1
20
例 10 已知连续型随机变量 x有概率密度
其它0
201
)(
xkx
x?
2
1
122
2
1
0)1(0)(
||
2
0
2
0
2
2
2
0
0
-
-
-
kkxkx
dxdxkxdxdxx
解得
求系数 k及分布函数 F(x),并计算 P(1.5<x<2.5)
解 因
21
则?(x)及其图形如下
-
其它0
201
2)(
x
x
x?
1
20 x
(x)
计算分布函数下面用公式?
-
x
dttxF )()(?
22
x
当 x<0时,
00)(
-
x
dtxF
1
20 x
(x)
23
x
当 0<x<2时,
x
x
t
t
dt
t
dtxF
xx
x
-?
--
-
4
4
)1
2
(0)(
2
00
2
0
0
||
1
20 x
(x)
24
当 x>2时,
121
4
0)1
2
(0)(
||
2
0
2
0
2
2
2
0
0
--?
-
-
t
t
dtdt
t
dtxF
x
x
1
20 x
(x)
25
综合前面最后得
-
21
20
4
1
00
)(
2
x
xxx
x
xF
1
20 x
F(x)
26
1
20 x
(x)
1
20 x
F(x)
将概率密度函数?(x)与分布函数 F(x)对照
27
现根据概率密度函数和分布函数分别计算概率 P{1.5<x<2.5}
根据分布函数计算,
P{1.5<x<2.5}= P{1.5<x?2.5}-P(x=2.5)
=F(2.5)-F(1.5)-0
=1-[-(1.52/4)+1.5]=1-0.9375=0.0625
根据概率密度函数进行计算则是
062 5.05.0562 5.01
4
0)1
2
()(}5.25.1{
||
5.2
2
2
5.1
2
5.2
2
2
5.1
5.2
5.1
--?
-
x
x
dxdx
x
dxxP?x
28
用两种方法计算 P{1.5<x<2.5}的示意图
1
20 x
(x)
1
20 x
F(x)
1.5
1.5
0.0625
2.5
2.5
0.0625
29
定义 2.4(数学上随机变量的严格定义 )
如果每次试验的结果,也就是每一个样本点?,
都对应着一个确定的实数 x,并且对于任何实数 x,"x?x"有确定的概率,称 x为随机变量,
(之所以要这样定义还牵涉到数学上的实变函数理论,可测集理论,但简而言之,这样定义的随机变量能够保证我们一般关心的 x在实数轴上的事件都存在着概率,)
30
实际上,连续型随机变量 x的存在给数学家们带来了很大的麻烦因为,当任意两个实数 a,b不相同时,即当 a?b,事件
{x=a}和事件 {x=b}是互不相容的,
而且连续型随机变量 x取任何单个的实数的概率为 0.
可是 x落在某一区间内的事件实际上是由所有的等于此区间内的每一个实数的事件的并,这样就出现了无限多个概率为 0的事件的并的事件的概率却不为 0,即加法法则不成立,
因此数学家们就只好宣布可列可加性,而不可列可加性则不成立,
31
在创建概率论体系之初,人们是认为概率为 0
的事件就是不可能事件,但连续型随机变量取任何一个具体值的概率都是 0,却是可能事件,
这也逼得数学家们不得不宣布概率为 0的事件并不一定是不可能事件,
32
作业 习题二第 55页开始
12,14,17,19题
D组交作业
33
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2
连续型随机变量的分布一随机变量的分布函数是描述任何类型的随机变量的变化规律的最一般的形式，但由于它不够直观，往往不常用。
比如，对离散型随机变量，用概率函数来描述即简单又直观。
对于连续型随机变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式。
这就是今天要讲的,概率密度函数,
3
例 8 在区间 [4,10]上任意抛掷一个质点,用 x
表示这个质点和原点的距离,则 x是一随机变量,如果这个质点落在 [4,10]上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比,求 x的分布函数,
4 10 x
4
解 x可以取 [4,10]上的一切实数,即
{4?x?10}是一个必然事件,P{4?x?10}=1,
若 [c,d]?[4,10],有 P{c?x?d}=?(d-c),?为比例常数,特别地,取 c=4,d=10,
P{4?x?10}=?(10-4)=6?=1,因此?=1/6.
-
101
104)4(
6
1
40
)()(
x
xx
x
xPxF x
5
F(x)的图形如下所示
-
101
104)4(
6
1
40
)()(
x
xx
x
xPxF x
0
F(x)
4 10 x
6
在这里，
分布函数 F(x)是 (-?,+?)上的一个非降有界的连续函数,在整个数轴上没有一个跳跃点 (可见,对于这样的随机变量,它取任何一个具体值的概率都是零 ),这就是这种类型的随机变量被称作是连续型随机变量的原因,
描述连续型随机变量当然不能够用概率函数或者概率分布表,但是使用分布函数 F(x)同样也是不很方便,因此,用概率密度函数来描述连续型随机变量的分布,
7
定义 对于连续型随机变量 x,如果存在一定义在 (-?,+?)上的 非负函数?(x),对于任意实数 x都有?(x)?0,且满足,x落在任意区间内的概率为?(x)在此区间的积分,即
b
a
dxxbaP )()(?x
则称?(x)为 x的 概率密度函数,.
8
用概率密度函数计算 x落在任何区间内的概率如下图所示意,
a b x0
(x)
P(a?x?b)
9
因此,概率密度函数的两个性质一个是?(x)?0,另一个则是
x0
(x)
1)(
-
dxx?
10
概率密度函数?(x)与分布函数 F(x)的关系为
x0
(x)
-
x
dttxPxF )()()(?x
x
)()(
)(
xFx
x
的一切连续点有因此对于
11
进一步剖析可得
x0
(x)
x x+?x
x
xxxPx
x?
x?
)(lim)(
0
这表明?(x)不是 x取值 x的概率,而是它在 x
点概率分布的密集程度,
12
在例 1中 x的概率密度函数?(x)为
其它0
104
6
1
)(
x
x?
0 4 10 x
(x)
13
例 9 若 x有概率密度
其它0
)(
)(
babxa
x
-
-
-
-
-
其它因此则
0
)(
1
)(,
1
1)(00)(
babxa
ab
x
ab
abdxdxdxdxx
b
b
a
a
则称 x服从区间 [a,b]上的均匀分布,试求 F(x).
解 因为
14
(x)的图形为求分布函数 F(x)则是根据公式
0 a b x
(x)
ab -
1
-
x
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15
当 x<a时
0 a b x
(x)
ab -
1
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-
x
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16
当 a<x<b时
0 a b x
(x)
ab -
1
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t
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x
a
x
a
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-
-
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1
1
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x
17
当 x>b时
0 a b x
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综上所述,最后得分布函数为
-
-
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bxa
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1
0
)(
19
F(x)与?(x)的图形对照如下,
0 a b x
(x)
ab -
1
0 a b x
F(x)
1
20
例 10 已知连续型随机变量 x有概率密度
其它0
201
)(
xkx
x?
2
1
122
2
1
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||
2
0
2
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2
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-
-
-
kkxkx
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解得
求系数 k及分布函数 F(x),并计算 P(1.5<x<2.5)
解 因
21
则?(x)及其图形如下
-
其它0
201
2)(
x
x
x?
1
20 x
(x)
计算分布函数下面用公式?
-
x
dttxF )()(?
22
x
当 x<0时,
00)(
-
x
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1
20 x
(x)
23
x
当 0<x<2时,
x
x
t
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--
-
4
4
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1
20 x
(x)
24
当 x>2时,
121
4
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2
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||
2
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2
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2
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2
0
0
--?
-
-
t
t
dtdt
t
dtxF
x
x
1
20 x
(x)
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综合前面最后得
-
21
20
4
1
00
)(
2
x
xxx
x
xF
1
20 x
F(x)
26
1
20 x
(x)
1
20 x
F(x)
将概率密度函数?(x)与分布函数 F(x)对照
27
现根据概率密度函数和分布函数分别计算概率 P{1.5<x<2.5}
根据分布函数计算,
P{1.5<x<2.5}= P{1.5<x?2.5}-P(x=2.5)
=F(2.5)-F(1.5)-0
=1-[-(1.52/4)+1.5]=1-0.9375=0.0625
根据概率密度函数进行计算则是
062 5.05.0562 5.01
4
0)1
2
()(}5.25.1{
||
5.2
2
2
5.1
2
5.2
2
2
5.1
5.2
5.1
--?
-
x
x
dxdx
x
dxxP?x
28
用两种方法计算 P{1.5<x<2.5}的示意图
1
20 x
(x)
1
20 x
F(x)
1.5
1.5
0.0625
2.5
2.5
0.0625
29
定义 2.4(数学上随机变量的严格定义 )
如果每次试验的结果,也就是每一个样本点?,
都对应着一个确定的实数 x,并且对于任何实数 x,"x?x"有确定的概率,称 x为随机变量,
(之所以要这样定义还牵涉到数学上的实变函数理论,可测集理论,但简而言之,这样定义的随机变量能够保证我们一般关心的 x在实数轴上的事件都存在着概率,)
30
实际上,连续型随机变量 x的存在给数学家们带来了很大的麻烦因为,当任意两个实数 a,b不相同时,即当 a?b,事件
{x=a}和事件 {x=b}是互不相容的,
而且连续型随机变量 x取任何单个的实数的概率为 0.
可是 x落在某一区间内的事件实际上是由所有的等于此区间内的每一个实数的事件的并,这样就出现了无限多个概率为 0的事件的并的事件的概率却不为 0,即加法法则不成立,
因此数学家们就只好宣布可列可加性,而不可列可加性则不成立,
31
在创建概率论体系之初,人们是认为概率为 0
的事件就是不可能事件,但连续型随机变量取任何一个具体值的概率都是 0,却是可能事件,
这也逼得数学家们不得不宣布概率为 0的事件并不一定是不可能事件,
32
作业 习题二第 55页开始
12,14,17,19题
D组交作业
33
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