1
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2
第三章 随机变量的数字特征通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事,而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点,这些与随机变量有关的数字,就是随机变量的数字特征,最常用的数字特征为数学期望,方差和相关系数,
3
3.1 数学期望数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征,英文是 expectation,
另一种叫法为均值 (mean or everage value)
它的实际意义就是平均值,但属于一种更为严格的平均值,和本书后面讲到的统计平均值有一些小差别,
4
首先从一个例子说起假设一个班共 20人,其中 18岁的有 6人,19
岁的有 10人,20岁的有 4人,现任取一人观察其岁数,则观察到的岁数 x为一随机变量,不难求出 x的分布率如下表所示,
x 18 19 20
P 6/20 10/20 4/20
5
现在要计算这个班的学生的平均年龄有两种计算办法,第一种办法是将这个班的学生的每个人的年龄加起来,再除以这个班的人数 20人,即 6个 18岁,10个 19岁,4个 20岁加起来得平均年龄为
201918
201918
20
20
4
19
20
10
18
20
6
20
2041910186
ppp
E
x
6
第二种办法是统计的办法,实际情况更有用就是通过对随机变量 x进行一遍又一遍地重复试验,假设这试验一共做了 n次,而获得了
18,19,20这三个年龄的次数分别为 n18,n19,n20
次,则将这 n次试验所获得的年龄数统统加起来除以 n就是统计平均的年龄
201918
201918
201918
201918
201918
201918
ppp
n
n
n
n
n
n
n
nnn
x
7
当然,统计平均值 x与准确计算的平均值 Ex还可能有差距,但是当试验次数趋向于无穷时,
统计平均值 x就趋近于数学期望 Ex了,
8
定义 3.1 假设离散型随机变量 x有概率函数
P{x=xk}=pk (k=1,2,...),若级数绝对收敛,则称这级数为 x的数学期望,简称期望或均值,记为 Ex,即
1k
kk px
1k
kk pxE x
9
关于数学期望的一个力学上的解释,在坐标轴上的 x1,x2,...,等点处放置质量为 p1,p2,...的质点,
则数学期望处为整个质点体系的重心,
x1 x2 x3
p1 p2 p3
Ex
10
例 1 若 x服从 0-1分布,其概率函数为
P{x=k}=pk(1-p)1-k (k=0,1),求 Ex
解 Ex=0?(1-p)+1?p=p
xo 1p
p1-p
11
例 2 甲乙两名射手在一次射击中得分 (分别用
x,h表示 )的分布律如下表所示,试比较甲,乙两射手的技术,
解 Ex=1?0.4+2?0.1+3?0.5=2.1
Eh=1?0.1+2?0.6+3?0.3=2.2
这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值分别是 2.1和 2.2,故乙射手较甲射手的技术好,
x 1 2 3
P 0.4 0.1 0.5
h 1 2 3
P 0.1 0.6 0.3
12
例 3 一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品
5种,相应的概率分别为 0.7,0.1,0.1,0.06,及
0.04,若其产值分别为 6元,5.4元,5元 4元及 0元,
求产品的平均产值,
解 产品产值 x是一个随机变量,其分布如下表,
因此,
Ex=6?0.7+5.4?0.1+5?0.1+4?0.06+0?0.04
=5.48(元 )
x 6 5.4 5 4 0
P 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04
13
现在来讨论连续型随机变量而在实际应用中,严格地讲是不存在连续型随机变量的,尤其是在经济学领域,现在广泛采用计算机来存储数据,而计算机是无法存储一无限不循环小数的,因此实际上的值只能是有限多个,而之所以还使用连续型随机变量,是因为它构成了很好的对非常密集的离散型随机变量的近似,
此外,我们也可以反过来用离散型随机变量来近似连续型的随机变量,
14
假设连续型的随机变量 x的概率密度为 j(x),
现在我们将整个实数轴划分成同样的宽度为
dx的无穷多个小区间,当试验的结果是落在第
k个小区间里时,我们干脆近似认为是 x等于此小区间的中点 xk的事件发生了,这样就将 x转化成为了一离散型的随机变量,它等于 xk的概率近似为 j(x)dx,如果 dx的值越小,这样的近似越准确,
...,..
xk xk+1 xk+2xk-1xk-2
j(xk)dx
dx
15
在这种情况下我们计算 x的数学期望,可得
-
-
dxxxE
x
xxxE
k
kk
)(
,
,0
)(
jx
x
d
djx
即的数学期望是准确的我们相信得到的时趋向于当
16
定义 3.2 设连续型随机变量 x有概率密度
j(x),若积分
.
)(
,)(
的数学期望称为则绝对收敛
x
jx
j
-
-
dxxxE
dxxx
17
例 4 计算在区间 [a,b]上服从均匀分布的随机变量 x的数学期望,
解 依题意,
2)(2
))((
)(2
2
11
0
1
)(
22
2
|
ba
ab
abab
ab
ab
x
ab
dx
ab
x
E
bxa
ab
x
b
a
b
a
-
-?
-
-
-
-
-
x
j
故其它
18
一元随机变量 x的函数 f(x)的数学期望
k
kk
n
k
kk pxf
n
nxffE )()()]([ x
我们知道,数学期望总是可以通过对 x进行反复试验的试验来近似获得,试验 n次得到了 n个数,将这 n个数进行算术平均就得到了 Ex的近似值,当 n趋于无穷时这就成为准确值,假设这
n个数中有 n1个是取值为 x1的,n2个是取值为 x2
的,...,等等,那么看作是对 f(x)的试验,也就是有 n1个是取值为 f(x1)的,n2个是取值 f(x2)的,...,
因此按照对 f(x)进行反复试验的统计就有
19
当 x为连续型的随机变量时,假设概率密度为
j(x),则我们也可以用前面的办法用很小的区间宽度 dx将其划分为 xk,k=...-1,0,1,2,...近似为离散型随机变量,P{x=xk}=j(x)dx,假设进行了
n次试验,取值 xk的有 nk个,则从对 f(x)进行试验的观点看即取值为 f(xk)的有 nk个,则
-
-
-
dxxxf
xxxf
n
n
xffE
x
k
kk
k
k
k
)()(
)()()()]([
0
j
djx
d
20
因此我们可以得出一个重要的性质,就是无论
x是离散型的随机变量还是连续型的随机变量,
我们都可以用下面的式子来计算 x的函数 f(x)
的数学期望,
-
为连续型当为离散型当
xj
x
x
dxxxf
pxf
fE
k
kk
)()(
)(
)]([
因为求 f(x)的分布经常是不容易的,这两个式子无须求 f(x)的分布因此极大地简化了数学期望的计算,在各种论文中被广泛使用,
21
二元随机变量 (x,h)的函数 f(x,h)的数学期望先考虑 x,h为离散型的情况,这时候有
P(x=xi,h=yj)=pij,
做了 n次试验,得到 n组数,假设正好取值为
(xi,yj)的试验共发生了 nij次,则相应地从函数
f(x,h)的角度看即是 f(xi,yj)发生了 nij次,因此
i j
ijji
n
i j
ij
ji
pyxf
n
n
yxffE
),(
),()],([ hx
22
再假设 x,h为连续型,其概率密度为 j(x,y)
可以用两个很小的正数 dx,dy将整个平面划分为格形,如果试验结果落在某个格内就认为是
x,h取格的中心坐标 xi,yj的事件发生了,当然,
这样的事件发生的概率近似为 j(xi,yj)dxdy,现
n次重复试验落在 (xi,yj)的次数为 nij,对 f(x,h)的数学期望进行统计得,
-
-
-
-
d y dxyxyxf
n
n
yxffE
y
x
n
i j
ij
ji
),(),(
),()],([
0
0
j
hx
d
d
23
综上所述,最后我们得到二元随机变量 x,h的函数 f(x,h)的数学期望的公式为,
-
-
为连续型当为离散型当
hxj
hx
hx
,),(),(
,),(
)],([
dy dxyxyxf
pyxf
fE
i j
ijji
这样也避免了求二元随机变量的函数的分布而直接根据原概率函数或概率密度来求二元随机变量的函数的分布,因此也得到广泛的应用,
24
数学期望的性质
(1) 常量的期望就是这个常量本身,即 E(c)=c.
证 常量 c可以看作是以概率 1只取一个值 c的随机变量,所以
E(c)=c?1=c
25
(2) 随机变量 x与常量 c之和的数学期望等于 x
的期望与这个常量 c的和 E(x?c)=Ex+c
证 令 h=f(x)=x+c,则
cEdxxcdxxx
dxxcxcE
cEcppx
pcxcE
k
k
k
kk
k
kk
-
-
-
xjj
jxx
x
xx
)()(
)()()(:
)()(:
为连续当为离散当
26
(3) 常量 c与随机变量 x的乘积等于这个常量与此随机变量的期望的乘积,E(cx)=cEx
证 令 h?f(x)=cx,则
xj
jxx
x
xx
cEdxxxc
dxxcxcE
cEpxc
pcxcE
k
kk
k
kk
-
-
)(
)()(:
)(:
为连续当为离散当
27
(4) 随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数,即
E(kx+c)=kEx+c
证 E(kx+c)=E(kx)+c=kEx+c
28
(5) 两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望之和,E(x+h)=Ex+Eh
证 设 f(x,h)=x+h,则
hxjj
jhx
hx
hx
EEdy d xyxydy d xyxx
dy d xyxyxE
EEpypx
pyxE
j
jj
i
ii
i j
ijji
-
-
-
-
-
-
),(),(
),()()(:
)()(:
2)1(
连续型离散型
29
这个性质可推广到任意有限个随机变量的情况,即对于 n>2也同样有
E(x1+x2+...+xn)=Ex1+Ex2+...+Exn
特别地,n个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量,其期望值等于这 n个随机变量期望的算术平均数,
n
i
i
n
i
i
E
nn
E
11
1
)
1
( xx
30
(6) 两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积,即
E(xh)=Ex?Eh
证 设 f(x,h)=xh,则
hxjj
jjxh
hx
xh
EEdyyydxxx
dy dxyxxyE
EEpypx
ppyxE
j
jj
i
ii
i j
jiji
-
-
-
-
)()(
)()()(:
)(:
21
21
)2()1(
)2()1(
连续型离散型
31
例 1 两相互独立的随机变量 x,h的分布如下面两表所示,计算 E(x+h)和 E(xh)
解 Ex=9?0.3+10?0.5+11?0.2=9.9
Eh=6?0.4+7?0.6=6.6
则 E(x+h)=Ex+Eh=9.9+6.6=16.5
且因 x与 h相互独立,因此 E(xh)=9.9?6.6=65.34
例 2 计算上式的 Eh2
解 Eh2=62?0.4+72?0.6=43.8
x 9 10 11
P 0.3 0.5 0.2
h 6 7
P 0.4 0.6
32
例 3 有一队射手共 9人,技术不相上下,每人射击中靶的概率均为 0.8; 进行射击,各自打中靶为止,但限制每人最多只打 3次,问大约需为他们准备多少发子弹?
解 设 xi表示第 i名射手所需的子弹数目,x表示
9名射手所需的子弹数目,则 x=x1+...+x9,且 xi
有如下分布律,
Exi=1.24 Ex=Ex1+...+Ex9=9?1.24=11.16
再多准备 10%,则约需为他们准备 13发子弹,
xi 1 2 3
P 0.8 0.16 0.04
33
例 4 某种无线电元件的使用寿命 x是一个随机变量,其概率密度为其中 l>0,求这种元件的使用寿命,?
-
00
0
)(
x
xe
x
xll
j
-?
--?
-
-
-
-
-
-
-
b
a
b
a
b
a
xxx
xx
v duuvudv
edxexe
exddxxedxxxE
|
||
11
)(
0
0
0
00
其中用到分部积分公式解
ll
ljx
lll
ll
34
例 5 据统计,一位 40岁的健康 (一般体检未发现病症 )者,在 5年之内活着或自杀死亡的概率为
p(0<p<1,p为已知 ),在 5年内非自杀死亡的概率为 1-p,保险公司开办 5年人寿保险,参加者需交保险费 a元 (a已知 ),若 5年之内非自杀死亡,公司赔偿 b元 (b>a),b应如何定才能使公司可期望获益 ; 若有 m人参加保险,公司可期望从中收益多少?
35
解 设 xi表示公司从第 i个参加者身上所得的收益,则 xi是一个随机变量,其分布如下,
公司期望获益为 Exi>0,而
Exi=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)
因此,a<b<a(1-p)-1,对于 m个人,获益 x元,
)1(,
11
pmbmaEE
m
i
i
m
i
i --
xxxx
xi a a-b
P p 1-p
36
请提问
37
作业 习题三第 1,2,3,4,6,7题
C组交作业
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2
第三章 随机变量的数字特征通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事,而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点,这些与随机变量有关的数字,就是随机变量的数字特征,最常用的数字特征为数学期望,方差和相关系数,
3
3.1 数学期望数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征,英文是 expectation,
另一种叫法为均值 (mean or everage value)
它的实际意义就是平均值,但属于一种更为严格的平均值,和本书后面讲到的统计平均值有一些小差别,
4
首先从一个例子说起假设一个班共 20人,其中 18岁的有 6人,19
岁的有 10人,20岁的有 4人,现任取一人观察其岁数,则观察到的岁数 x为一随机变量,不难求出 x的分布率如下表所示,
x 18 19 20
P 6/20 10/20 4/20
5
现在要计算这个班的学生的平均年龄有两种计算办法,第一种办法是将这个班的学生的每个人的年龄加起来,再除以这个班的人数 20人,即 6个 18岁,10个 19岁,4个 20岁加起来得平均年龄为
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201918
20
20
4
19
20
10
18
20
6
20
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ppp
E
x
6
第二种办法是统计的办法,实际情况更有用就是通过对随机变量 x进行一遍又一遍地重复试验,假设这试验一共做了 n次,而获得了
18,19,20这三个年龄的次数分别为 n18,n19,n20
次,则将这 n次试验所获得的年龄数统统加起来除以 n就是统计平均的年龄
201918
201918
201918
201918
201918
201918
ppp
n
n
n
n
n
n
n
nnn
x
7
当然,统计平均值 x与准确计算的平均值 Ex还可能有差距,但是当试验次数趋向于无穷时,
统计平均值 x就趋近于数学期望 Ex了,
8
定义 3.1 假设离散型随机变量 x有概率函数
P{x=xk}=pk (k=1,2,...),若级数绝对收敛,则称这级数为 x的数学期望,简称期望或均值,记为 Ex,即
1k
kk px
1k
kk pxE x
9
关于数学期望的一个力学上的解释,在坐标轴上的 x1,x2,...,等点处放置质量为 p1,p2,...的质点,
则数学期望处为整个质点体系的重心,
x1 x2 x3
p1 p2 p3
Ex
10
例 1 若 x服从 0-1分布,其概率函数为
P{x=k}=pk(1-p)1-k (k=0,1),求 Ex
解 Ex=0?(1-p)+1?p=p
xo 1p
p1-p
11
例 2 甲乙两名射手在一次射击中得分 (分别用
x,h表示 )的分布律如下表所示,试比较甲,乙两射手的技术,
解 Ex=1?0.4+2?0.1+3?0.5=2.1
Eh=1?0.1+2?0.6+3?0.3=2.2
这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值分别是 2.1和 2.2,故乙射手较甲射手的技术好,
x 1 2 3
P 0.4 0.1 0.5
h 1 2 3
P 0.1 0.6 0.3
12
例 3 一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品
5种,相应的概率分别为 0.7,0.1,0.1,0.06,及
0.04,若其产值分别为 6元,5.4元,5元 4元及 0元,
求产品的平均产值,
解 产品产值 x是一个随机变量,其分布如下表,
因此,
Ex=6?0.7+5.4?0.1+5?0.1+4?0.06+0?0.04
=5.48(元 )
x 6 5.4 5 4 0
P 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04
13
现在来讨论连续型随机变量而在实际应用中,严格地讲是不存在连续型随机变量的,尤其是在经济学领域,现在广泛采用计算机来存储数据,而计算机是无法存储一无限不循环小数的,因此实际上的值只能是有限多个,而之所以还使用连续型随机变量,是因为它构成了很好的对非常密集的离散型随机变量的近似,
此外,我们也可以反过来用离散型随机变量来近似连续型的随机变量,
14
假设连续型的随机变量 x的概率密度为 j(x),
现在我们将整个实数轴划分成同样的宽度为
dx的无穷多个小区间,当试验的结果是落在第
k个小区间里时,我们干脆近似认为是 x等于此小区间的中点 xk的事件发生了,这样就将 x转化成为了一离散型的随机变量,它等于 xk的概率近似为 j(x)dx,如果 dx的值越小,这样的近似越准确,
...,..
xk xk+1 xk+2xk-1xk-2
j(xk)dx
dx
15
在这种情况下我们计算 x的数学期望,可得
-
-
dxxxE
x
xxxE
k
kk
)(
,
,0
)(
jx
x
d
djx
即的数学期望是准确的我们相信得到的时趋向于当
16
定义 3.2 设连续型随机变量 x有概率密度
j(x),若积分
.
)(
,)(
的数学期望称为则绝对收敛
x
jx
j
-
-
dxxxE
dxxx
17
例 4 计算在区间 [a,b]上服从均匀分布的随机变量 x的数学期望,
解 依题意,
2)(2
))((
)(2
2
11
0
1
)(
22
2
|
ba
ab
abab
ab
ab
x
ab
dx
ab
x
E
bxa
ab
x
b
a
b
a
-
-?
-
-
-
-
-
x
j
故其它
18
一元随机变量 x的函数 f(x)的数学期望
k
kk
n
k
kk pxf
n
nxffE )()()]([ x
我们知道,数学期望总是可以通过对 x进行反复试验的试验来近似获得,试验 n次得到了 n个数,将这 n个数进行算术平均就得到了 Ex的近似值,当 n趋于无穷时这就成为准确值,假设这
n个数中有 n1个是取值为 x1的,n2个是取值为 x2
的,...,等等,那么看作是对 f(x)的试验,也就是有 n1个是取值为 f(x1)的,n2个是取值 f(x2)的,...,
因此按照对 f(x)进行反复试验的统计就有
19
当 x为连续型的随机变量时,假设概率密度为
j(x),则我们也可以用前面的办法用很小的区间宽度 dx将其划分为 xk,k=...-1,0,1,2,...近似为离散型随机变量,P{x=xk}=j(x)dx,假设进行了
n次试验,取值 xk的有 nk个,则从对 f(x)进行试验的观点看即取值为 f(xk)的有 nk个,则
-
-
-
dxxxf
xxxf
n
n
xffE
x
k
kk
k
k
k
)()(
)()()()]([
0
j
djx
d
20
因此我们可以得出一个重要的性质,就是无论
x是离散型的随机变量还是连续型的随机变量,
我们都可以用下面的式子来计算 x的函数 f(x)
的数学期望,
-
为连续型当为离散型当
xj
x
x
dxxxf
pxf
fE
k
kk
)()(
)(
)]([
因为求 f(x)的分布经常是不容易的,这两个式子无须求 f(x)的分布因此极大地简化了数学期望的计算,在各种论文中被广泛使用,
21
二元随机变量 (x,h)的函数 f(x,h)的数学期望先考虑 x,h为离散型的情况,这时候有
P(x=xi,h=yj)=pij,
做了 n次试验,得到 n组数,假设正好取值为
(xi,yj)的试验共发生了 nij次,则相应地从函数
f(x,h)的角度看即是 f(xi,yj)发生了 nij次,因此
i j
ijji
n
i j
ij
ji
pyxf
n
n
yxffE
),(
),()],([ hx
22
再假设 x,h为连续型,其概率密度为 j(x,y)
可以用两个很小的正数 dx,dy将整个平面划分为格形,如果试验结果落在某个格内就认为是
x,h取格的中心坐标 xi,yj的事件发生了,当然,
这样的事件发生的概率近似为 j(xi,yj)dxdy,现
n次重复试验落在 (xi,yj)的次数为 nij,对 f(x,h)的数学期望进行统计得,
-
-
-
-
d y dxyxyxf
n
n
yxffE
y
x
n
i j
ij
ji
),(),(
),()],([
0
0
j
hx
d
d
23
综上所述,最后我们得到二元随机变量 x,h的函数 f(x,h)的数学期望的公式为,
-
-
为连续型当为离散型当
hxj
hx
hx
,),(),(
,),(
)],([
dy dxyxyxf
pyxf
fE
i j
ijji
这样也避免了求二元随机变量的函数的分布而直接根据原概率函数或概率密度来求二元随机变量的函数的分布,因此也得到广泛的应用,
24
数学期望的性质
(1) 常量的期望就是这个常量本身,即 E(c)=c.
证 常量 c可以看作是以概率 1只取一个值 c的随机变量,所以
E(c)=c?1=c
25
(2) 随机变量 x与常量 c之和的数学期望等于 x
的期望与这个常量 c的和 E(x?c)=Ex+c
证 令 h=f(x)=x+c,则
cEdxxcdxxx
dxxcxcE
cEcppx
pcxcE
k
k
k
kk
k
kk
-
-
-
xjj
jxx
x
xx
)()(
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)()(:
为连续当为离散当
26
(3) 常量 c与随机变量 x的乘积等于这个常量与此随机变量的期望的乘积,E(cx)=cEx
证 令 h?f(x)=cx,则
xj
jxx
x
xx
cEdxxxc
dxxcxcE
cEpxc
pcxcE
k
kk
k
kk
-
-
)(
)()(:
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为连续当为离散当
27
(4) 随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数,即
E(kx+c)=kEx+c
证 E(kx+c)=E(kx)+c=kEx+c
28
(5) 两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望之和,E(x+h)=Ex+Eh
证 设 f(x,h)=x+h,则
hxjj
jhx
hx
hx
EEdy d xyxydy d xyxx
dy d xyxyxE
EEpypx
pyxE
j
jj
i
ii
i j
ijji
-
-
-
-
-
-
),(),(
),()()(:
)()(:
2)1(
连续型离散型
29
这个性质可推广到任意有限个随机变量的情况,即对于 n>2也同样有
E(x1+x2+...+xn)=Ex1+Ex2+...+Exn
特别地,n个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量,其期望值等于这 n个随机变量期望的算术平均数,
n
i
i
n
i
i
E
nn
E
11
1
)
1
( xx
30
(6) 两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积,即
E(xh)=Ex?Eh
证 设 f(x,h)=xh,则
hxjj
jjxh
hx
xh
EEdyyydxxx
dy dxyxxyE
EEpypx
ppyxE
j
jj
i
ii
i j
jiji
-
-
-
-
)()(
)()()(:
)(:
21
21
)2()1(
)2()1(
连续型离散型
31
例 1 两相互独立的随机变量 x,h的分布如下面两表所示,计算 E(x+h)和 E(xh)
解 Ex=9?0.3+10?0.5+11?0.2=9.9
Eh=6?0.4+7?0.6=6.6
则 E(x+h)=Ex+Eh=9.9+6.6=16.5
且因 x与 h相互独立,因此 E(xh)=9.9?6.6=65.34
例 2 计算上式的 Eh2
解 Eh2=62?0.4+72?0.6=43.8
x 9 10 11
P 0.3 0.5 0.2
h 6 7
P 0.4 0.6
32
例 3 有一队射手共 9人,技术不相上下,每人射击中靶的概率均为 0.8; 进行射击,各自打中靶为止,但限制每人最多只打 3次,问大约需为他们准备多少发子弹?
解 设 xi表示第 i名射手所需的子弹数目,x表示
9名射手所需的子弹数目,则 x=x1+...+x9,且 xi
有如下分布律,
Exi=1.24 Ex=Ex1+...+Ex9=9?1.24=11.16
再多准备 10%,则约需为他们准备 13发子弹,
xi 1 2 3
P 0.8 0.16 0.04
33
例 4 某种无线电元件的使用寿命 x是一个随机变量,其概率密度为其中 l>0,求这种元件的使用寿命,?
-
00
0
)(
x
xe
x
xll
j
-?
--?
-
-
-
-
-
-
-
b
a
b
a
b
a
xxx
xx
v duuvudv
edxexe
exddxxedxxxE
|
||
11
)(
0
0
0
00
其中用到分部积分公式解
ll
ljx
lll
ll
34
例 5 据统计,一位 40岁的健康 (一般体检未发现病症 )者,在 5年之内活着或自杀死亡的概率为
p(0<p<1,p为已知 ),在 5年内非自杀死亡的概率为 1-p,保险公司开办 5年人寿保险,参加者需交保险费 a元 (a已知 ),若 5年之内非自杀死亡,公司赔偿 b元 (b>a),b应如何定才能使公司可期望获益 ; 若有 m人参加保险,公司可期望从中收益多少?
35
解 设 xi表示公司从第 i个参加者身上所得的收益,则 xi是一个随机变量,其分布如下,
公司期望获益为 Exi>0,而
Exi=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)
因此,a<b<a(1-p)-1,对于 m个人,获益 x元,
)1(,
11
pmbmaEE
m
i
i
m
i
i --
xxxx
xi a a-b
P p 1-p
36
请提问
37
作业 习题三第 1,2,3,4,6,7题
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