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正态分布与 G-分布的关系定理 4.4 如 x~N(0,1),则 x2~?2(1)
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
)()(
)(
0;0)(,0
)(,
2
1
)(),1,0(~
2
x
x
x
ekx
e
xx
xx
x
xxx
x
exN






x?
x
xx
x
时当时则当其概率密度为令证?
3
二元正态分布定义 若二元连续型随机变量 (x,?)的联合概率密度为
.),(
1||,0,0,,,,,
12
1
,,
)2(
)1(2
1
e x p),(
212121
2
21
2
2
1
1
22
2
服从二元正态分布称均为常数其中
x




k
y
t
x
s
tstskyx
4
指数上的二次型可以写为




2
2
2
2
2
2
222
22222222
)(
)1(2
1
2
e x p),(
)(
)1(2
1
2
)()1(
22
st
s
kyx
st
s
sts
tstssststs


即联合概率密度可写为写为则整个指数上的项可以
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定理 4.5 二元正态分布的边缘分布为一元正态分布
2
1
2
1
2
2
)(
1
2
2
2
2
1
2
22
2
1
1
21
2
1
)1(2
)(
e x p
12
1
2
1
)1(2
)(
2
e x p
12
1
)(
,,),()(














x
s
e
dt
st
e
dt
sts
x
dtdydyyxx 而因证
6
同样可证


2
2
2
2
2
2
2
)(
e x p
2
1
)(

y
y
因此,联合概率密度中的参数?1,?2,?1,?2分别是 x和?的期望值和标准差,
还可证明参数?就是 x与?的相关系数,
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x
xx


















ds
ss
dsdt
sttss
dsdt
stsst
DD
EEE
2
e x p
2
)1(2
)(
e x p
12
2
e x p
2
)1(2
)(
2
e x p
12
))((
22
2
2
2
2
2
22
2
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定理 4.6 服从二元正态分布的随机变量 (x,?),
它们独立的充分必要条件是 x与?的相关系数
=0.
证 因为独立必不相关,因此我们证当 x与?不相关即?=0时必相互独立,这时
)()(
2
1
2
1
2
1
e x p
2
1
),(
21
2
)(
2
2
)(
1
2
2
2
2
1
1
21
2
2
2
2
2
1
2
1
yxee
yx
yx
yx






9
定义 4.8 若连续型随机变量 x的概率密度?(x)
为
).(,
1)(
2
1
2
nttn
n
x
kx
n
简记为分布个自由度的服从具有称 x

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定义 4.9 若连续型随机变量 x的概率密度?(x)
为
).,(,
,
00
01
)(
212
1
2
2
1
1
2
21
1
nnFFn
n
x
xx
n
n
kx
x
nn
n
简记为分布的个自由度为第二为服从具有第一个自由度称 x
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1994年经济类研究生试题
_____}2{,}
2
1
{
0
102
)(


YPX
XY
xx
xf
X
则出现的次数事件的三次独立重复观察中表示以其它的概率密度为设随机变量
1 x
2
12
解
64
9
4
3
16
1
3
4
3
4
1
}2{
)
4
1
,3(~
4
1
2}
2
1
{
12
2
3
2
1
0
2
2
1
0
|



CYP
BY
xx dxXP
因此由题意可知
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1995年经济类研究生试题
__ __ __
0
101
011
)(
,


DX
xx
xx
xf
X
则方差其它其概率密度为是一个随机变量设
x1
1
1
14
解
6
1
12
2
)
4
1
3
1
(2
)
4
1
3
1
(2)(2
)1(2)(2
,
)(
0,)(
|
1
0
43
1
0
32
1
0
2
0
2
2
22








xxdxxx
dxxxdxxfxDX
x
dxxfxEXDX
EXxf
因此也是偶函数则为偶函数由图可知
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1997年经济类研究生试题
27
19
27
8
1
3
2
1}0{1}1{
,
3
1
,
3
2
1,
9
4
)1(}0{
___ ___}1{,
9
5
}1{
),3(~),,2(~
3
2




YPYP
pppXP
YPXP
pBYpBX
解则若设随机变量
16
1999年经济类研究生试题设随机变量 X服从参数为 l的泊松分布,且已知 E[(X?1)(X?2)]=1,则 l=_____
解 已知 EX=DX=l,
且 EX2=(EX)2+DX=l2+l,
而 E[(X?1)(X?2)]=E(X2?3X+2)
=EX2?3EX+2=1
得 l2+l?3l+2=1,即 l2?2l+1=0
有 l=1
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1999年经济类研究生试题设随机变量 Xij(i,j=1,2,...,n;n?2)独立同分布,
EXij=2,则行列式
_ __ _ __ _ _
21
22221
11211
EY
XXX
XXX
XXX
Y
nnnn
n
n
的数学期望

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解 因多个随机变量之和的数学期望是各个数学期望之和,而多个相互独立的随机变量之积的数学期望也是各个随机变量的数学期望之积,而行列式无非是各个随机变量相互乘积再相加得到的随机变量,因此有
0
222
222
222
21
22221
11211



nnnn
n
n
EXEXEX
EXEXEX
EXEXEX
EY
19
2000年经济类研究生考研题设随机变量 X在区间 [?1,2]上服从均匀分布 ;
随机变量
_______
0,1
0,0
0,1

DY
X
X
X
Y
则方差
1 2 x
20
解
9
8
3
1
1)(
1
3
1
)1(
3
2
1
3
1
3
1
)1(
3
2
1
3
1
}1{,0}0{,
3
2
}1{
2
22
222





EYEYDY
EY
EY
YPYPYP
则如图不难算出
21
1998年经济类研究生试题设一次试验成功的概率为 p,进行 100次独立重复试验,当 p=____时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为 _____
解 设成功次数为 X,则 X~B(100,p),
DX=100p(1?p)=100p?100p2,对 p求导并令其为
0,得
100?200p=0,得 p=0.5时成功的标准差的值最大,其最大值为
55.05.01 0 0n p q
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29,xi~N(0,1)(i=1,2,3),并且 x1,x2,x3相互独立,
3
2
3
1
3
2
1)2()(
3
1
3
1
3
1
)(),c ov (
)
3
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3
1
3
1
,0
).,c ov (,),,c ov (
,)(,
33
1
222
2
11
3
1
11
3
1
1
3
1
2321
3
1










xxxxxx
xxxxxxx
xxxx
x?xx
xx?
xxx
xx
iii
i
i
i
i
i
i
i
i
EE
EEE
NDDE
E
则解求
23
因此
0),c ov (,
,)(,
)(,
,,
,0
3
1
3
1
)(])[(),c ov (
),
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2
,0(~,2
3
2
3)(
3
1
2
2
2
3
1
2





x
xxx?
xxxxxx
xxx
xxxxxxxxx
xxxx?
因此独立必互不相关而相互也相互独立与则独立也相互与则相互独立与因此而它们都是正态分布互不相关与即而因
i
i
ii
i
iii
i
i
i
EEE
NEE
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30,(x,?)有联合概率密度
.
2
1
,
00
0
2
1
)(
),2(~
),1(~),1(~,),1,0(~
),1,0(~,
.,,
2
1
),(
2
1
222
2222
22
)(
2
1
22
的指数分布服从参数为即的概率密度为则则因此相互独立与由联合概率密度看出解的概率密度求

x?
x?
x?x
x?



x
xe
x
N
N
eyx
x
yx
25
作业 习题四第 102页 第 28题
26
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