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2
第一章 随机事件及其概率
3
试验为了研究随机现象,就要对客观事物进行观察,观察的过程称为试验,
概率论里所研究的试验有下列特点,
(1) 在相同的条件下试验可以重复进行 ;
(2) 每次试验的结果具有多种可能性,而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果 ;
(3) 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果
4
样本空间给定一个试验,所有可能的结果的全体构成一个集合,这个集合称作 样本空间,用大写的希腊字母?表示,这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个 样本点,可以用小写的希腊字母?表示,
5
试验和样本空间的例
1,掷一次硬币为一个试验,则有两个可能的试验结果,正面和反面,则
={正面,反面 }
2,掷一次骰子为一个试验,则有六个可能的试验结果,1点,2点,3点,4点,5点和 6点,因此样本空间为
={1点,2点,3点,4点,5点,6点 }
6
更多的试验和样本空间的例
3,掷两次硬币作为一次试验,将两次试验结果排序,则共有四种可能的结果,
(反,反 ),(反,正 ),(正,反 ),(正,正 )
因此样本空间
={(反,反 ),(反,正 ),(正,反 ),(正,正 )}
7
更多的试验和样本空间的例
4,掷两次骰子作为一次试验,将两次试验结果排序,则共有 36种可能的结果,
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
} = {(x,y)|x,y=1,2,3,4,5,6}
8
事件事件就是样本空间的子集,或者说事件就是试验结果的集合,通常用大写英文字母 A,B,
C,… 等表示,
例如,掷两次硬币这个试验,事件 A="至少一次正面朝上 "包括三个样本点 (正,反 ),(反正 ),(正正 ),也可以表示为
A={(正,反 ),(反,正 ),(正正 )}
掷两次骰子的试验,事件 B="两次点数相同 ",
则 B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
9
几个特殊的事件基本事件,只包括一个样本点,或者说一个试验结果的事件称为基本事件,
必然事件,包括整个样本空间?的所有元素的事件,或者就用?表示,则每次试验必然发生,因此称为必然事件,
不可能事件,不包括任何元素的空集,即每次试验一定不会发生,称为不可能事件,用?表示,则?={}.
10
事件的图示为了直观,经常使用图示来表示事件,一般地,
用一个平面上某个方 (或矩 )形区表示必然事件或者整个样本空间?,其中的一个子区域表示一具体的事件,
A
11
事件间的关系及其运算
12
事件的包含如果事件 A发生必然导致事件 B发生,即属于 A
的每一个样本点都属于 B,则称事件 B包含事件 A或称事件 A含于事件 B,记作
B?A或 A?B
B
A
等价的说法是如果
B不发生则 A也不会发生,对于任何事件 A有
A
13
事件的相等如果事件 A包含事件 B,事件 B也包含事件 A,称事件 A与 B相等,即 A与 B中的样本点完全相同,
记作
A=B
14
事件的并 (和 )
两个事件 A,B 中至少有一个发生,即 "A或 B",
是一个事件,称为事件 A与 B的并 (和 ),它是属于 A或 B的所有样本点构成的集合,记作
A+B 或 A?B
A
B
易知
A +? =?
A +? = A
15
n个事件 A1,A2,…,An中至少有一个发生是一个事件,称为事件的和,记作
A1+A2+…+ An 或 A1?A2?…?An
可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生,记作
11 i
i
i
i AA 或
16
事件的交 (积 )
两个事件 A与 B同时发生,即 "A且 B",是一个事件,称为事件 A与 B的交,它是由既属于 A又属于 B的所有公共样本点构成的集合,记作
AB 或 A?B
A
B
易知
A = A
A =?
17
对立事件事件 "非 A"称为 A的对立事件 (或逆事件 ),它是由样本空间中所有不属于 A的样本点组成的集合,记作
A
A
AA
AA
AA
,
,
显然
A
18
事件的差事件 A发生而事件 B不发生,是一个事件,称为事件 A与 B的差,它是由属于 A但不属于 B的那些样本点构成的集合,记作
A?B
A
B
易知
AA
BABA
19
互不相容事件如果事件 A与 B不能同时发生,即 AB=?,称事件 A与 B互不相容 (或称互斥 ),互不相容事件 A
与 B没有公共的样本点,显然,基本事件间是互不相容的
A
B
对立事件一定互不相容,但互不相容事件未必对立
20
完备事件组若事件 A1,A2,…,An为两两互不相容事件,并且
A1+A2+…+ An=?,称构成一个 完备事件组 或构成一个 划分,
A 1
A 2
A 3
A 4 最常用的完备事件组是某事件 A与它的逆
A
21
例 1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数事件 A表示 "奇数点 ",事件 B表示 "点数小于 5",
C表示 "小于 5的偶数点 ",用集合的列举表示法表示下列事件,
BAACABAB
BABACBA
,,,
,,,,,,?
22
解,
={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5}
B={1,2,3,4} C={2,4}
A+B={1,2,3,4,5} A?B={5}
B?A={2,4} AB={1,3}
AC=? C?A={2,4}
}6,4,3,2,1{ BA
23
例 2
从一批产品中每次取出一个产品进行检验 (每次取出的产品不放回 ),事件 Ai表示第 i次取到合格品 (i=1,2,3),试用事件的运算符号表示下列事件,
三次都取到了合格品 ;
三次中至少有一次取到合格品 ;
三次中恰有两次取到合格品 ;
三次中最多有一次取到合格品,
24
解,
三次全取到合格品,A1A2A3
三次中至少有一次取到合格品,A1+A2+A3
三次中恰有两次取到合格品,
三次中至多有一次取到合格品,
323121 AAAAAA
321321321 AAAAAAAAA
25
例 3 一名射手连续向某个目标射击三次事件 Ai表示该射手第 i次射击时击中目标
(i=1,2,3),试用文字叙述下列事件,
323121
323221
212323321
321221;;;;;;;;;;
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAAAAA
AAAAAA
26
解,
三次射击至少两次中中后两次至少有一次未击前两次均未中第三次中但第二次未中三次都中三次中至少一次中第二次未中前两次至少有一次中
:
:
:
:
:
:
:
:
323121
3232
2121
2323
321
321
2
21
AAAAAA
AAAA
AAAA
AAAA
AAA
AAA
A
AA
27
例 4 如果 x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置,试说明下列各事件的关系,
A={x|x?20} B={x|x>3}
C={x|x<9} D={x|x<?5}
E={x|x?9}
5
D
C
A
0 3 9 20
B
E
x
28
解,由图可见
A?C?D,B?E
D与 B,D与 E互不相容
C与 E为对立事件,
B与 C,B与 A,E与 A相容,显然 A与 C,A与 D,
C与 D,B与 E也是相容的
5
D
C
A
0 3 9 20
B
E
x
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作业第 25页习题一 1,2,3,4
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2
第一章 随机事件及其概率
3
试验为了研究随机现象,就要对客观事物进行观察,观察的过程称为试验,
概率论里所研究的试验有下列特点,
(1) 在相同的条件下试验可以重复进行 ;
(2) 每次试验的结果具有多种可能性,而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果 ;
(3) 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果
4
样本空间给定一个试验,所有可能的结果的全体构成一个集合,这个集合称作 样本空间,用大写的希腊字母?表示,这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个 样本点,可以用小写的希腊字母?表示,
5
试验和样本空间的例
1,掷一次硬币为一个试验,则有两个可能的试验结果,正面和反面,则
={正面,反面 }
2,掷一次骰子为一个试验,则有六个可能的试验结果,1点,2点,3点,4点,5点和 6点,因此样本空间为
={1点,2点,3点,4点,5点,6点 }
6
更多的试验和样本空间的例
3,掷两次硬币作为一次试验,将两次试验结果排序,则共有四种可能的结果,
(反,反 ),(反,正 ),(正,反 ),(正,正 )
因此样本空间
={(反,反 ),(反,正 ),(正,反 ),(正,正 )}
7
更多的试验和样本空间的例
4,掷两次骰子作为一次试验,将两次试验结果排序,则共有 36种可能的结果,
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
} = {(x,y)|x,y=1,2,3,4,5,6}
8
事件事件就是样本空间的子集,或者说事件就是试验结果的集合,通常用大写英文字母 A,B,
C,… 等表示,
例如,掷两次硬币这个试验,事件 A="至少一次正面朝上 "包括三个样本点 (正,反 ),(反正 ),(正正 ),也可以表示为
A={(正,反 ),(反,正 ),(正正 )}
掷两次骰子的试验,事件 B="两次点数相同 ",
则 B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
9
几个特殊的事件基本事件,只包括一个样本点,或者说一个试验结果的事件称为基本事件,
必然事件,包括整个样本空间?的所有元素的事件,或者就用?表示,则每次试验必然发生,因此称为必然事件,
不可能事件,不包括任何元素的空集,即每次试验一定不会发生,称为不可能事件,用?表示,则?={}.
10
事件的图示为了直观,经常使用图示来表示事件,一般地,
用一个平面上某个方 (或矩 )形区表示必然事件或者整个样本空间?,其中的一个子区域表示一具体的事件,
A
11
事件间的关系及其运算
12
事件的包含如果事件 A发生必然导致事件 B发生,即属于 A
的每一个样本点都属于 B,则称事件 B包含事件 A或称事件 A含于事件 B,记作
B?A或 A?B
B
A
等价的说法是如果
B不发生则 A也不会发生,对于任何事件 A有
A
13
事件的相等如果事件 A包含事件 B,事件 B也包含事件 A,称事件 A与 B相等,即 A与 B中的样本点完全相同,
记作
A=B
14
事件的并 (和 )
两个事件 A,B 中至少有一个发生,即 "A或 B",
是一个事件,称为事件 A与 B的并 (和 ),它是属于 A或 B的所有样本点构成的集合,记作
A+B 或 A?B
A
B
易知
A +? =?
A +? = A
15
n个事件 A1,A2,…,An中至少有一个发生是一个事件,称为事件的和,记作
A1+A2+…+ An 或 A1?A2?…?An
可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生,记作
11 i
i
i
i AA 或
16
事件的交 (积 )
两个事件 A与 B同时发生,即 "A且 B",是一个事件,称为事件 A与 B的交,它是由既属于 A又属于 B的所有公共样本点构成的集合,记作
AB 或 A?B
A
B
易知
A = A
A =?
17
对立事件事件 "非 A"称为 A的对立事件 (或逆事件 ),它是由样本空间中所有不属于 A的样本点组成的集合,记作
A
A
AA
AA
AA
,
,
显然
A
18
事件的差事件 A发生而事件 B不发生,是一个事件,称为事件 A与 B的差,它是由属于 A但不属于 B的那些样本点构成的集合,记作
A?B
A
B
易知
AA
BABA
19
互不相容事件如果事件 A与 B不能同时发生,即 AB=?,称事件 A与 B互不相容 (或称互斥 ),互不相容事件 A
与 B没有公共的样本点,显然,基本事件间是互不相容的
A
B
对立事件一定互不相容,但互不相容事件未必对立
20
完备事件组若事件 A1,A2,…,An为两两互不相容事件,并且
A1+A2+…+ An=?,称构成一个 完备事件组 或构成一个 划分,
A 1
A 2
A 3
A 4 最常用的完备事件组是某事件 A与它的逆
A
21
例 1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数事件 A表示 "奇数点 ",事件 B表示 "点数小于 5",
C表示 "小于 5的偶数点 ",用集合的列举表示法表示下列事件,
BAACABAB
BABACBA
,,,
,,,,,,?
22
解,
={1,2,3,4,5,6} A={1,3,5}
B={1,2,3,4} C={2,4}
A+B={1,2,3,4,5} A?B={5}
B?A={2,4} AB={1,3}
AC=? C?A={2,4}
}6,4,3,2,1{ BA
23
例 2
从一批产品中每次取出一个产品进行检验 (每次取出的产品不放回 ),事件 Ai表示第 i次取到合格品 (i=1,2,3),试用事件的运算符号表示下列事件,
三次都取到了合格品 ;
三次中至少有一次取到合格品 ;
三次中恰有两次取到合格品 ;
三次中最多有一次取到合格品,
24
解,
三次全取到合格品,A1A2A3
三次中至少有一次取到合格品,A1+A2+A3
三次中恰有两次取到合格品,
三次中至多有一次取到合格品,
323121 AAAAAA
321321321 AAAAAAAAA
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例 3 一名射手连续向某个目标射击三次事件 Ai表示该射手第 i次射击时击中目标
(i=1,2,3),试用文字叙述下列事件,
323121
323221
212323321
321221;;;;;;;;;;
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAAAAA
AAAAAA
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解,
三次射击至少两次中中后两次至少有一次未击前两次均未中第三次中但第二次未中三次都中三次中至少一次中第二次未中前两次至少有一次中
:
:
:
:
:
:
:
:
323121
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2121
2323
321
321
2
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AAAAAA
AAAA
AAAA
AAAA
AAA
AAA
A
AA
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例 4 如果 x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置,试说明下列各事件的关系,
A={x|x?20} B={x|x>3}
C={x|x<9} D={x|x<?5}
E={x|x?9}
5
D
C
A
0 3 9 20
B
E
x
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解,由图可见
A?C?D,B?E
D与 B,D与 E互不相容
C与 E为对立事件,
B与 C,B与 A,E与 A相容,显然 A与 C,A与 D,
C与 D,B与 E也是相容的
5
D
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0 3 9 20
B
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