1
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2
习题一第 3题 用步枪射击目标 5次,设 Ai为 "第
i次击中目标 "(i=1,2,3,4,5),B为 "5次中击中次数大于 2",用文字叙述下列事件,
BAAA
i
i )3()2()1(
5
1
解 (1) 5次射击至少一次击中目标
(2) 5次射击没有一次击中目标
(3) 5次射击中击中次数不大于 2
3
记住事件的加与积的运算满足分配律即任给事件 A,B,C
(A+B)C=AC+BC,
如果 A?B,则 A+B=A
而对于任何事件都有 A?AB,因此对任何事件 A与 B恒有 A+AB=A
4
第 4题 用图示法简化各式 (A,B,C都相容 )
(1) (A+B)(B+C)
(A+B)(B+C)=A(B+C)+B(B+C)
=AB+AC+B+BC=B+AC
A
B
C
5
(2) (A+B)(A+B)
ABBBABAA
BBAABABABA
)()())((
A
B
6
(2) (A+B)(A+B)(A+B)
ABABAA
BAABABABA
)())()((
A
B
7
概率的加法法则
8
例 1 100个产品中有 60个一等品,30个二等品,
10个废品,规定一,二等品都为合格品,考虑这批产品的合格率与一,二等品之间的关系解 设事件 A,B分别表示产品为一,二等品,则 A
与 B不相容,AB=?,A+B为合格品,则
)()()(
100
90
100
3060
)(
100
30
)(,
100
60
)(
BPAPBAP
BAP
BPAP
可见
9
例 2 200个产品中有 6个废品,任取 3个,求最多只有一个废品的概率 P(B)
解 设事件 A0,A1分别表示 3个废品中有 0个和 1个废品,
则 B=A0+A1,且 A0与 A1与互不相容,则有利于 B的基本事件数等于有利于 A0与 A1的基本事件数 m1与 m2之和,
因此
9977.00855.09122.0)(
0855.0)(9122.0)(
)()()(
3
200
2
194
1
6
13
200
3
194
0
10
1010
BP
C
CC
AP
C
C
AP
APAP
n
m
n
m
n
mm
BP
因此其中
10
例 对光顾一个超市的顾客的购买情况进行统计,总共观察了 1000名顾客,其中花了 400
元以上的有 50名,花的钱在 100元到 400元的有 500名,试估计花钱超过 100元的概率解 假设 A={花钱超过 100元 },B={花钱在 100元到 400元之间 },C={花钱超过 400元 },利用频率来估计概率,则 B,C互不相容,A=B+C
55.0
1000
50
1000
500
1000
550
)()()()(
05.0
1000
50
)(,5.0
1000
500
)(
CPBPCBPAP
CPBP
11
加法法则两个互不相容 (互斥 )事件之和的概率等于它们的概率的和,即当 AB=?时,
P(A+B)=P(A)+P(B)
实际上,只要 P(AB)=0,上式就成立,
加法法则的一个形象解释,
将一个边长为 1的方形看作是整个样本空间?,
而其中的每一区域代表一事件,这些区域的面积代表此事件发生的概率,则可以看出加法法则
12
如下图所示,
如果区域 A与区域 B不重合,则它们的总的面积等于各个区域的面积之和
1
1
A
B
13
如果 n个事件 A1,A2,…,An互不相容,则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An)
这个性质称为概率的有限可加性,但在建立概率概念时需要规定概率应具有完全可加性 (又称可列可加性 ),即如果可列个事件 A1,A2,… 两两互不相容,则有
11
)()(
i
i
i
i APAP
A
1 A
2
A3 A4
14
若 n个事件 A1,A2,…,An构成一完备事件组,则它们的概率的和为 1,即
P(A1)+P(A2)+…+ P(An)=1
特别地,两个对立事件概率之和为 1,即
)(1)(
1)()(
APAP
APAP
经常使用的形式是
A1 A
2
A3 A4
A
A
15
例 掷 3次硬币,求至少一次正面朝上的概率,
解,假设 A={至少一次正面 },则
A={全是反面 },只包含一个基本事件,
基本事件总数为 23=8,因此经常有一些概率论的较难的题,直接计算某事件的概率困难,因此考虑先求此事件的逆事件的概率
8
7
8
1
1)(1)(
8
1
)(
APAP
AP
则
16
如果 B?A,则 P(B?A)=P(B)?P(A)
这是因为,如果 B?A,则必有 B=A+(B?A),
而 A与 B?A互不相容,因此
P(B)=P(A)+P(B?A)
B
A
17
对任意两个事件 A,B,有
P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)
这被称为广义加法法则,
这是因为 A+B=A+(B?AB),而 A与 B?AB互斥,
因此 P(A+B)=P(A)+P(B?AB),而因为 B?AB
则 P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)
A
B
18
由广义加法法则可以推导出多个事件的和的概率公式例如,考虑任意三个事件之和 A+B+C的概率
P(A+B+C),先将 B+C看作一个事件,得
P(A+B+C)=P(A)+P(B+C)?P[A(B+C)]
=P(A)+P(B+C)?P(AB+AC)
=P(A)+P(B)+P(C)?P(BC)?
P(AB)?P(AC)+P(ABC)
最后得
P(A+B+C)=
=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)+P(ABC)
A
B C
19
解 令事件 A表示产品为合格品,A1,A2分别表示一,二等品,显然 A1与 A2互不相容,并且
A=A1+A2,则
P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
=0.63+0.35=0.98
P(A)=1?P(A)=1?0.98=0.02
注意此题并非古典概型题,
例 3 产品有一,二等品及废品 3种,若一,二等品率分别为 0.63及 0.35,求产品的合格率与废品率,
20
例 4 一个袋内装有大小相同的 7个球,4个是白球,3个为黑球,从中一次抽取 3个,计算至少有两个是白球的概率,
解 设事件 Ai表示抽到的 3个球中有 i个白球
(i=2,3),显然 A2与 A3互不相容,且
35
22
)()()(
35
4
567
234
)(
35
18
567
321
3
21
34
)(
3232
3
7
3
4
3
3
7
1
3
2
4
2
APAPAAP
C
C
AP
C
CC
AP
根据加法法则得
21
例 5 50个产品中有 46个合格品与 4个废品,从中一次抽取 3个,求其中有废品的概率,
解 设事件 A表示取到的 3个中有废品,则事件 A
的逆为取到的 3个产品中没有废品更好计算一些,因此有
225 5.0774 5.01)(1)(
774 5.0
980
759
24910
11323
484950
444546
)(
3
50
3
46
APAP
C
C
AP
22
在严格的概率论公理化体系中,把一个随机事件的概率所应具备的三个基本属性作为建立概率的数学理论的出发点,直接规定为三条公理,即,
(1)对任何事件 A,P(A)?0;
(2)P(?)=1
(3) 若可列个事件 A1,A2,… 两两不相容,则
11
)()(
i
i
i
i APAP
而前面的加法法则只是公理 (3)的一种特殊情况
23
(1998年 MBA试题 )
)()(
,8.0)(,9.0)(,,
BCAP
CBPAPCABA
则若
).C(,
7.0)8.01(9.0)](1[)(
)()()(
8.0)()(,
应填选项因此因此因此必有且因即
BCPAP
BCPAPBCAP
BCACABA
CBPBCPBCCB
(A)0.4 (B)0.6 (C)0.7 (D)0.8 (E)0.9
解：根据狄,摩根定理
24
0)(,0)(
12
7
]0
6
1
6
1
0
4
1
4
1
4
1
[1
)]()(
)()()()()([1
)(1)()(
A B CPABP
A B CPBCP
ACPABPCPBPAP
CBAPCBAPCBAP
因此其中因解
)(,,
6
1
)()(,0)(
4
1
)()()(
全不发生的概率为则事件已知
CBA
BCPACPABP
CPBPAP
(1992年研究生入学考试题 )
25
(1990年研究生入学考试题 )
___)(.6.03.0,4.0
,
BAPBA
BABA
的概率则积事件和是的概率分别及和事件设随机事件
.,
)()()()(
3.01.04.0
)()()()(
1.0)(
)(3.04.0
)()()()(6.0
须记熟是常用式子其中故得
ABPAPBAPBAP
ABPAPBAPBAP
ABP
ABP
ABPBPAPBAP
由已知得,
26
继续介绍蒙特卡洛仿真方法对于不放回抽样的仿真,
从一个包含有 n个样本的集合中任抽 m个,每次抽样后不放回,这就是不放回抽样,
我们用一个 n+1维的整数数组来存放这 n个元素,在 VB语言中,可以这样定义这个数组,
Dim va(0 to n) as integer
就定义了一个名为 va的数组,下标从 0到 n,其中 va(0)一开始存放数 n,而 va(1)到 va(n)则存放用整数编码的元素的名称,
27
不放回抽样接下来如果从 n个元素中抽走一个,则将剩下的 n-1个元素放在 ar(1)到 ar(n-1)中,而 ar(0)的值也减 1变为 n-1.
具体抽走哪一个元素,由随机数决定,我们知道 rnd()函数每次产生 [0,1)区间的一个随机数,
因此将它乘上 n,就是 [0,n)区间的随机数,再用
int()函数对其取整后再加 1,就可以获得在 1到
n之间均匀取值的整数随机数了,这就是表达式 int(rnd()*n)+1返回的随机数,
28
不放回抽样的函数代码如下,
Function randompull(ar() As Integer) As Integer
Dim i as integer,n as integer
n = ar(0) '取出当前剩下的元素数目
If n = 0 Then '如果为零则返回 0
randompull = 0
Return
End If
i = Int(Rnd() * n) + 1 'i为从 1到 n随机取值的正数
randompull = ar(i) '取出第 i个元素作为函数返回值
ar(i) = ar(n) '将第 n个元素放到第 i个位置
ar(0) = n – 1 '元素的总数减 1
End Function
29
编写程序解习题一中第 9题
10把钥匙中有 3把能开门,今任取两把,求能打开门的概率,
编程考虑,用一 11维的数组代表这 10把钥匙,
将其中 3个元素设为 1表示能开门,其余 7个元素设为零表示不能开门,
然后连续不放回抽样 2次,如果其中返回的值中有 1则表示能开门事件发生了,否则表示开不了门,
反复循环 20万次,最后统计能开门的次数及发生的频率,
30
Sub prob1_9()
Dim i As Integer,j As Long,k As Long,n As Long
n = 200000 '试验 20万次
Dim ar(0 To 10) As Integer,a(0 To 10) As Integer
ar(0) = 10
For i = 1 To 3
ar(i) = 1 '代表 3把能开的钥匙
Next i
For i = 4 To 10
ar(i) = 0 '代表不能开的钥匙
Next i
31
k = 0 '统计事件至少一把能开
For j = 1 To n
For i = 0 To 10
a(i) = ar(i)
Next i
If randompull(a) = 1 Or randompull(a) = 1 Then
k = k + 1
End If
Next
Selection.TypeText Text:=Format(k / n,"0.0000")
End Sub
32
请提问
33
作业 习题一第 27页 15,16,17
B组交作业
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习题一第 3题 用步枪射击目标 5次,设 Ai为 "第
i次击中目标 "(i=1,2,3,4,5),B为 "5次中击中次数大于 2",用文字叙述下列事件,
BAAA
i
i )3()2()1(
5
1
解 (1) 5次射击至少一次击中目标
(2) 5次射击没有一次击中目标
(3) 5次射击中击中次数不大于 2
3
记住事件的加与积的运算满足分配律即任给事件 A,B,C
(A+B)C=AC+BC,
如果 A?B,则 A+B=A
而对于任何事件都有 A?AB,因此对任何事件 A与 B恒有 A+AB=A
4
第 4题 用图示法简化各式 (A,B,C都相容 )
(1) (A+B)(B+C)
(A+B)(B+C)=A(B+C)+B(B+C)
=AB+AC+B+BC=B+AC
A
B
C
5
(2) (A+B)(A+B)
ABBBABAA
BBAABABABA
)()())((
A
B
6
(2) (A+B)(A+B)(A+B)
ABABAA
BAABABABA
)())()((
A
B
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概率的加法法则
8
例 1 100个产品中有 60个一等品,30个二等品,
10个废品,规定一,二等品都为合格品,考虑这批产品的合格率与一,二等品之间的关系解 设事件 A,B分别表示产品为一,二等品,则 A
与 B不相容,AB=?,A+B为合格品,则
)()()(
100
90
100
3060
)(
100
30
)(,
100
60
)(
BPAPBAP
BAP
BPAP
可见
9
例 2 200个产品中有 6个废品,任取 3个,求最多只有一个废品的概率 P(B)
解 设事件 A0,A1分别表示 3个废品中有 0个和 1个废品,
则 B=A0+A1,且 A0与 A1与互不相容,则有利于 B的基本事件数等于有利于 A0与 A1的基本事件数 m1与 m2之和,
因此
9977.00855.09122.0)(
0855.0)(9122.0)(
)()()(
3
200
2
194
1
6
13
200
3
194
0
10
1010
BP
C
CC
AP
C
C
AP
APAP
n
m
n
m
n
mm
BP
因此其中
10
例 对光顾一个超市的顾客的购买情况进行统计,总共观察了 1000名顾客,其中花了 400
元以上的有 50名,花的钱在 100元到 400元的有 500名,试估计花钱超过 100元的概率解 假设 A={花钱超过 100元 },B={花钱在 100元到 400元之间 },C={花钱超过 400元 },利用频率来估计概率,则 B,C互不相容,A=B+C
55.0
1000
50
1000
500
1000
550
)()()()(
05.0
1000
50
)(,5.0
1000
500
)(
CPBPCBPAP
CPBP
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加法法则两个互不相容 (互斥 )事件之和的概率等于它们的概率的和,即当 AB=?时,
P(A+B)=P(A)+P(B)
实际上,只要 P(AB)=0,上式就成立,
加法法则的一个形象解释,
将一个边长为 1的方形看作是整个样本空间?,
而其中的每一区域代表一事件,这些区域的面积代表此事件发生的概率,则可以看出加法法则
12
如下图所示,
如果区域 A与区域 B不重合,则它们的总的面积等于各个区域的面积之和
1
1
A
B
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如果 n个事件 A1,A2,…,An互不相容,则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An)
这个性质称为概率的有限可加性,但在建立概率概念时需要规定概率应具有完全可加性 (又称可列可加性 ),即如果可列个事件 A1,A2,… 两两互不相容,则有
11
)()(
i
i
i
i APAP
A
1 A
2
A3 A4
14
若 n个事件 A1,A2,…,An构成一完备事件组,则它们的概率的和为 1,即
P(A1)+P(A2)+…+ P(An)=1
特别地,两个对立事件概率之和为 1,即
)(1)(
1)()(
APAP
APAP
经常使用的形式是
A1 A
2
A3 A4
A
A
15
例 掷 3次硬币,求至少一次正面朝上的概率,
解,假设 A={至少一次正面 },则
A={全是反面 },只包含一个基本事件,
基本事件总数为 23=8,因此经常有一些概率论的较难的题,直接计算某事件的概率困难,因此考虑先求此事件的逆事件的概率
8
7
8
1
1)(1)(
8
1
)(
APAP
AP
则
16
如果 B?A,则 P(B?A)=P(B)?P(A)
这是因为,如果 B?A,则必有 B=A+(B?A),
而 A与 B?A互不相容,因此
P(B)=P(A)+P(B?A)
B
A
17
对任意两个事件 A,B,有
P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)
这被称为广义加法法则,
这是因为 A+B=A+(B?AB),而 A与 B?AB互斥,
因此 P(A+B)=P(A)+P(B?AB),而因为 B?AB
则 P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)
A
B
18
由广义加法法则可以推导出多个事件的和的概率公式例如,考虑任意三个事件之和 A+B+C的概率
P(A+B+C),先将 B+C看作一个事件,得
P(A+B+C)=P(A)+P(B+C)?P[A(B+C)]
=P(A)+P(B+C)?P(AB+AC)
=P(A)+P(B)+P(C)?P(BC)?
P(AB)?P(AC)+P(ABC)
最后得
P(A+B+C)=
=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)+P(ABC)
A
B C
19
解 令事件 A表示产品为合格品,A1,A2分别表示一,二等品,显然 A1与 A2互不相容,并且
A=A1+A2,则
P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
=0.63+0.35=0.98
P(A)=1?P(A)=1?0.98=0.02
注意此题并非古典概型题,
例 3 产品有一,二等品及废品 3种,若一,二等品率分别为 0.63及 0.35,求产品的合格率与废品率,
20
例 4 一个袋内装有大小相同的 7个球,4个是白球,3个为黑球,从中一次抽取 3个,计算至少有两个是白球的概率,
解 设事件 Ai表示抽到的 3个球中有 i个白球
(i=2,3),显然 A2与 A3互不相容,且
35
22
)()()(
35
4
567
234
)(
35
18
567
321
3
21
34
)(
3232
3
7
3
4
3
3
7
1
3
2
4
2
APAPAAP
C
C
AP
C
CC
AP
根据加法法则得
21
例 5 50个产品中有 46个合格品与 4个废品,从中一次抽取 3个,求其中有废品的概率,
解 设事件 A表示取到的 3个中有废品,则事件 A
的逆为取到的 3个产品中没有废品更好计算一些,因此有
225 5.0774 5.01)(1)(
774 5.0
980
759
24910
11323
484950
444546
)(
3
50
3
46
APAP
C
C
AP
22
在严格的概率论公理化体系中,把一个随机事件的概率所应具备的三个基本属性作为建立概率的数学理论的出发点,直接规定为三条公理,即,
(1)对任何事件 A,P(A)?0;
(2)P(?)=1
(3) 若可列个事件 A1,A2,… 两两不相容,则
11
)()(
i
i
i
i APAP
而前面的加法法则只是公理 (3)的一种特殊情况
23
(1998年 MBA试题 )
)()(
,8.0)(,9.0)(,,
BCAP
CBPAPCABA
则若
).C(,
7.0)8.01(9.0)](1[)(
)()()(
8.0)()(,
应填选项因此因此因此必有且因即
BCPAP
BCPAPBCAP
BCACABA
CBPBCPBCCB
(A)0.4 (B)0.6 (C)0.7 (D)0.8 (E)0.9
解：根据狄,摩根定理
24
0)(,0)(
12
7
]0
6
1
6
1
0
4
1
4
1
4
1
[1
)]()(
)()()()()([1
)(1)()(
A B CPABP
A B CPBCP
ACPABPCPBPAP
CBAPCBAPCBAP
因此其中因解
)(,,
6
1
)()(,0)(
4
1
)()()(
全不发生的概率为则事件已知
CBA
BCPACPABP
CPBPAP
(1992年研究生入学考试题 )
25
(1990年研究生入学考试题 )
___)(.6.03.0,4.0
,
BAPBA
BABA
的概率则积事件和是的概率分别及和事件设随机事件
.,
)()()()(
3.01.04.0
)()()()(
1.0)(
)(3.04.0
)()()()(6.0
须记熟是常用式子其中故得
ABPAPBAPBAP
ABPAPBAPBAP
ABP
ABP
ABPBPAPBAP
由已知得,
26
继续介绍蒙特卡洛仿真方法对于不放回抽样的仿真,
从一个包含有 n个样本的集合中任抽 m个,每次抽样后不放回,这就是不放回抽样,
我们用一个 n+1维的整数数组来存放这 n个元素,在 VB语言中,可以这样定义这个数组,
Dim va(0 to n) as integer
就定义了一个名为 va的数组,下标从 0到 n,其中 va(0)一开始存放数 n,而 va(1)到 va(n)则存放用整数编码的元素的名称,
27
不放回抽样接下来如果从 n个元素中抽走一个,则将剩下的 n-1个元素放在 ar(1)到 ar(n-1)中,而 ar(0)的值也减 1变为 n-1.
具体抽走哪一个元素,由随机数决定,我们知道 rnd()函数每次产生 [0,1)区间的一个随机数,
因此将它乘上 n,就是 [0,n)区间的随机数,再用
int()函数对其取整后再加 1,就可以获得在 1到
n之间均匀取值的整数随机数了,这就是表达式 int(rnd()*n)+1返回的随机数,
28
不放回抽样的函数代码如下,
Function randompull(ar() As Integer) As Integer
Dim i as integer,n as integer
n = ar(0) '取出当前剩下的元素数目
If n = 0 Then '如果为零则返回 0
randompull = 0
Return
End If
i = Int(Rnd() * n) + 1 'i为从 1到 n随机取值的正数
randompull = ar(i) '取出第 i个元素作为函数返回值
ar(i) = ar(n) '将第 n个元素放到第 i个位置
ar(0) = n – 1 '元素的总数减 1
End Function
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编写程序解习题一中第 9题
10把钥匙中有 3把能开门,今任取两把,求能打开门的概率,
编程考虑,用一 11维的数组代表这 10把钥匙,
将其中 3个元素设为 1表示能开门,其余 7个元素设为零表示不能开门,
然后连续不放回抽样 2次,如果其中返回的值中有 1则表示能开门事件发生了,否则表示开不了门,
反复循环 20万次,最后统计能开门的次数及发生的频率,
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Sub prob1_9()
Dim i As Integer,j As Long,k As Long,n As Long
n = 200000 '试验 20万次
Dim ar(0 To 10) As Integer,a(0 To 10) As Integer
ar(0) = 10
For i = 1 To 3
ar(i) = 1 '代表 3把能开的钥匙
Next i
For i = 4 To 10
ar(i) = 0 '代表不能开的钥匙
Next i
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k = 0 '统计事件至少一把能开
For j = 1 To n
For i = 0 To 10
a(i) = ar(i)
Next i
If randompull(a) = 1 Or randompull(a) = 1 Then
k = k + 1
End If
Next
Selection.TypeText Text:=Format(k / n,"0.0000")
End Sub
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请提问
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作业 习题一第 27页 15,16,17
B组交作业
