概率论第三章习题参考解答
1,如果ξ服从0-1分布,又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍,求ξ的期望值解：由习题二第2题算出ξ的分布率为
ξ
0
1
P
1/3
2/3
因此有Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)=2/3
2,矩形土地的长与宽为随机变量ξ和η,周长ζ=2ξ+2η,ξ与η的分布律如下表所示:
长度ξ
29
30
31
P
0.3
0.5
0.2
宽度η
19
20
21
P
0.3
0.4
0.3
而求出的周长ζ的分布律如下表所示:
周长ζ
96
98
100
102
104
P
0.09
0.27
0.35
0.23
0.06
求周长的期望值,用两种方法计算,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长的分布计算.
解,由长和宽的分布率可以算得
Eξ=29×P(ξ=29)+30×P(ξ=30)+31×P(ξ=31)
=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9
Eη=19×P(η=19)+20×P(η=20)+21×P(η=21)
=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20
由期望的性质可得
Eζ=2(Eξ+Eη)=2×(29.9+20)=99.8
而如果按ζ的分布律计算它的期望值,也可以得
Eζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8
验证了期望的性质.
4,连续型随机变量ξ的概率密度为
又知Eξ=0.75,求k和a的值。
解,由性质
得
即k=a+1 (1)
又知
得k=0.75a+1.5 (2)
由(1)与(2)解得
0.25a=0.5,即a=2,k=3
6,下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表,从188辆汽车中,任意抽选15辆,得出下列数字,90,50,150,110,90,90,110,90,50,110,90,70,50,70,150,(1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.
第一次发生引擎故障里数
车辆数
第一次发生引擎故障里数
车辆数
0~20
5
100~120
46
20~40
11
120~140
33
40~60
16
140~160
16
60~80
25
160~180
2
80~100
34
解,(1) 15个数的平均数为
(90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33
(2) 按上表计算期望值为
(10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188
=96.17
7,两种种子各播种300公顷地,调查其收获量,如下表所示,分别求出它们产量的平均值(计算时以组中值为代表).
公顷产量(kg)
4350~4650
4650~4950
4950~5250
5250~5550
总计
种子甲公顷数
12
38
40
10
100
种子乙公顷数
23
24
30
23
100
解,假设种子甲的每公顷产量数为ξ,种子乙的每公顷产量数为η,则
Eξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944
Eη=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=4959
8,一个螺丝钉的重量是随机变量,期望值为10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立)
解,假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1,ξ2,…,ξ100,因此有
Eξi=10,Dξi=102=12=1,(i=1,2,…,100),设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此
，则ξ的数学期望和标准差为
9,已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.
解,假设ξ为取出5个产品中的次品数,又假设ξi为第i次取出的次品数,即,如果第i次取到的是次品,则ξi=1否则ξi=0,i=1,2,3,4,5,ξi服从0-1分布,而且有
P{ξi=0}=90/100,P{ξi=1}=10/100,i=1,2,3,4,5
因此,Eξi=10/100=1/10,
因为
因此有
10,一批零件中有9个合格品和3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取一个,如果取出的是废品就不再放回去,求取得第一个合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.
解,假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ,则可算出
因此有
11,假定每人生日在各个月份的机会是同样的,求3个人中生日在第一个季度的平均人数.
解,设三个随机变量ξi,(i=1,2,3),如果3个人中的第i个人在第一季度出生,则ξi=1,否则ξi=0,则ξi服从0-1分布,且有
P(ξi=1)=1/4,因此Eξi=1/4,(i=1,2,3)
设ξ为3个人在第一季度出生的人数,则ξ=ξ1+ξ2+ξ3,
因此Eξ=E(ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi=3/4=0.75
12,ξ有分布函数,求Eξ及Dξ.
解,因ξ的概率密度为,因此
13,,求Eξ和Dξ.
解,因φ(x)是偶函数,因此Eξ=0,
则Dξ=Eξ2-(Eξ)2=Eξ2
因此有
令
则上式=
即Dξ=1/2=0.5
16,如果ξ与η独立,不求出ξη的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出D(ξη),怎样计算?
解,因ξ与η独立,因此ξ2与η2也独立,则有
17,随机变量η是另一个随机变量ξ的函数,并且η=eλξ(λ>0),若Eη存在,求证对于任何实数a都有.
证,分别就离散型和连续型两种情况证.
在ξ为离散型的情况:
假设P(ξ=xi)=pi,则
在ξ为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x),则
证毕.
18,证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.
证,设ξ为一次试验中事件A发生的次数,当然最多只能发生1次,最少为0次,即ξ服从0-1分布,P{ξ=1}=P(A)=p,P{ξ=0}=1-p=q,
则
19,证明对于任何常数c,随机变量ξ有
Dξ=E(ξ-c)2-(Eξ-c)2
证,由方差的性质可知D(ξ-c)=Dξ,
而
证毕.
20,(ξ,η)的联合概率密度φ(x,y)=e-(x+y)(x,y>0),计算它们的协方差cov(ξ,η).
解,由φ(x,y)=e-(x+y)(x,y>0)可知ξ与η相互独立,因此必有cov(ξ,η)=0.
21,袋中装有标上号码1,2,2的3个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以ξ,η分别记为第一,二次取到球上的号码数,求ξ与η的协方差.
解,可以求出ξ与η的分布律如下表所示
η
ξ
1
2
1
0
1/3
2
1/3
1/3
而由于对称性ξ与η的边缘分布率一样,P{ξ=2}=P{η=2}=2/3,P{ξ=1}=P{η=1}=1/3,
Eξ=Eη=
则
22,(ξ,η)只取下列数组中的值：
且相应的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12,求ξ与η的相关系数ρ,并判断ξ与η是否独立?
解,ξ与η的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示:
η
ξ
0
1/3
1
pi(1)
-1
0
1/12
1/3
5/12
0
1/6
0
0
1/6
2
5/12
0
0
5/12
pj(2)
7/12
1/12
1/3
因此
则
相关系数
23,(ξ,η)的联合概率分布如下表所示,计算ξ与η的相关系数ρ,并判断ξ与η是否独立?
η
ξ
-1
0
1
-1
1/8
1/8
1/8
0
1/8
0
1/8
1
1/8
1/8
1/8
解,由上表的数据的对称性可知ξ与η的边缘分布一样,算出为
P(ξ=-1)=P(η=-1)=3/8
P(ξ=0)=P(η=-0)=2/8
P(ξ=1)=P(η=1)=3/8
由对称性可知Eξ=Eη=.
因此cov(ξ,η)=E(ξη)-E(ξ)E(η)=0
则ρ=0
而P(ξ=0,η=0)=0≠P{ξ=0}P{η=0}=1/16
因此ξ与η不独立,这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.
24,两个随机变量ξ与η,已知Dξ=25,Dη=36,ρξη=0.4,计算D(ξ+η)与D(ξ-η).
解,
1,如果ξ服从0-1分布,又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍,求ξ的期望值解：由习题二第2题算出ξ的分布率为
ξ
0
1
P
1/3
2/3
因此有Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)=2/3
2,矩形土地的长与宽为随机变量ξ和η,周长ζ=2ξ+2η,ξ与η的分布律如下表所示:
长度ξ
29
30
31
P
0.3
0.5
0.2
宽度η
19
20
21
P
0.3
0.4
0.3
而求出的周长ζ的分布律如下表所示:
周长ζ
96
98
100
102
104
P
0.09
0.27
0.35
0.23
0.06
求周长的期望值,用两种方法计算,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长的分布计算.
解,由长和宽的分布率可以算得
Eξ=29×P(ξ=29)+30×P(ξ=30)+31×P(ξ=31)
=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9
Eη=19×P(η=19)+20×P(η=20)+21×P(η=21)
=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20
由期望的性质可得
Eζ=2(Eξ+Eη)=2×(29.9+20)=99.8
而如果按ζ的分布律计算它的期望值,也可以得
Eζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8
验证了期望的性质.
4,连续型随机变量ξ的概率密度为
又知Eξ=0.75,求k和a的值。
解,由性质
得
即k=a+1 (1)
又知
得k=0.75a+1.5 (2)
由(1)与(2)解得
0.25a=0.5,即a=2,k=3
6,下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表,从188辆汽车中,任意抽选15辆,得出下列数字,90,50,150,110,90,90,110,90,50,110,90,70,50,70,150,(1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.
第一次发生引擎故障里数
车辆数
第一次发生引擎故障里数
车辆数
0~20
5
100~120
46
20~40
11
120~140
33
40~60
16
140~160
16
60~80
25
160~180
2
80~100
34
解,(1) 15个数的平均数为
(90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33
(2) 按上表计算期望值为
(10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188
=96.17
7,两种种子各播种300公顷地,调查其收获量,如下表所示,分别求出它们产量的平均值(计算时以组中值为代表).
公顷产量(kg)
4350~4650
4650~4950
4950~5250
5250~5550
总计
种子甲公顷数
12
38
40
10
100
种子乙公顷数
23
24
30
23
100
解,假设种子甲的每公顷产量数为ξ,种子乙的每公顷产量数为η,则
Eξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944
Eη=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=4959
8,一个螺丝钉的重量是随机变量,期望值为10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立)
解,假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1,ξ2,…,ξ100,因此有
Eξi=10,Dξi=102=12=1,(i=1,2,…,100),设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此
，则ξ的数学期望和标准差为
9,已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.
解,假设ξ为取出5个产品中的次品数,又假设ξi为第i次取出的次品数,即,如果第i次取到的是次品,则ξi=1否则ξi=0,i=1,2,3,4,5,ξi服从0-1分布,而且有
P{ξi=0}=90/100,P{ξi=1}=10/100,i=1,2,3,4,5
因此,Eξi=10/100=1/10,
因为
因此有
10,一批零件中有9个合格品和3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取一个,如果取出的是废品就不再放回去,求取得第一个合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.
解,假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ,则可算出
因此有
11,假定每人生日在各个月份的机会是同样的,求3个人中生日在第一个季度的平均人数.
解,设三个随机变量ξi,(i=1,2,3),如果3个人中的第i个人在第一季度出生,则ξi=1,否则ξi=0,则ξi服从0-1分布,且有
P(ξi=1)=1/4,因此Eξi=1/4,(i=1,2,3)
设ξ为3个人在第一季度出生的人数,则ξ=ξ1+ξ2+ξ3,
因此Eξ=E(ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi=3/4=0.75
12,ξ有分布函数,求Eξ及Dξ.
解,因ξ的概率密度为,因此
13,,求Eξ和Dξ.
解,因φ(x)是偶函数,因此Eξ=0,
则Dξ=Eξ2-(Eξ)2=Eξ2
因此有
令
则上式=
即Dξ=1/2=0.5
16,如果ξ与η独立,不求出ξη的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出D(ξη),怎样计算?
解,因ξ与η独立,因此ξ2与η2也独立,则有
17,随机变量η是另一个随机变量ξ的函数,并且η=eλξ(λ>0),若Eη存在,求证对于任何实数a都有.
证,分别就离散型和连续型两种情况证.
在ξ为离散型的情况:
假设P(ξ=xi)=pi,则
在ξ为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x),则
证毕.
18,证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.
证,设ξ为一次试验中事件A发生的次数,当然最多只能发生1次,最少为0次,即ξ服从0-1分布,P{ξ=1}=P(A)=p,P{ξ=0}=1-p=q,
则
19,证明对于任何常数c,随机变量ξ有
Dξ=E(ξ-c)2-(Eξ-c)2
证,由方差的性质可知D(ξ-c)=Dξ,
而
证毕.
20,(ξ,η)的联合概率密度φ(x,y)=e-(x+y)(x,y>0),计算它们的协方差cov(ξ,η).
解,由φ(x,y)=e-(x+y)(x,y>0)可知ξ与η相互独立,因此必有cov(ξ,η)=0.
21,袋中装有标上号码1,2,2的3个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以ξ,η分别记为第一,二次取到球上的号码数,求ξ与η的协方差.
解,可以求出ξ与η的分布律如下表所示
η
ξ
1
2
1
0
1/3
2
1/3
1/3
而由于对称性ξ与η的边缘分布率一样,P{ξ=2}=P{η=2}=2/3,P{ξ=1}=P{η=1}=1/3,
Eξ=Eη=
则
22,(ξ,η)只取下列数组中的值：
且相应的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12,求ξ与η的相关系数ρ,并判断ξ与η是否独立?
解,ξ与η的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示:
η
ξ
0
1/3
1
pi(1)
-1
0
1/12
1/3
5/12
0
1/6
0
0
1/6
2
5/12
0
0
5/12
pj(2)
7/12
1/12
1/3
因此
则
相关系数
23,(ξ,η)的联合概率分布如下表所示,计算ξ与η的相关系数ρ,并判断ξ与η是否独立?
η
ξ
-1
0
1
-1
1/8
1/8
1/8
0
1/8
0
1/8
1
1/8
1/8
1/8
解,由上表的数据的对称性可知ξ与η的边缘分布一样,算出为
P(ξ=-1)=P(η=-1)=3/8
P(ξ=0)=P(η=-0)=2/8
P(ξ=1)=P(η=1)=3/8
由对称性可知Eξ=Eη=.
因此cov(ξ,η)=E(ξη)-E(ξ)E(η)=0
则ρ=0
而P(ξ=0,η=0)=0≠P{ξ=0}P{η=0}=1/16
因此ξ与η不独立,这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.
24,两个随机变量ξ与η,已知Dξ=25,Dη=36,ρξη=0.4,计算D(ξ+η)与D(ξ-η).
解,
