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全概率定理和贝叶斯定理
3
解 由于 B=AB+AB为二互斥事件之和例 5 市上供应灯泡中,甲厂产品 (A)占 70%,乙厂 (A)占 30%,甲,乙厂的产品合格率分别为
95%,80%,B表示产品合格,求总合格率 P(B)
905.024.0665.08.03.095.07.0
)|()()|()(
)()()()(
24.08.03.0)|()()(
665.095.07.0)|()()(
%80)|(%95)|(
%30)(%70)(
ABPAPABPAP
BAPABPBAABPBP
ABPAPBAP
ABPAPABP
ABPABP
APAP
则
4
还可以进一步计算,如果买到一合格品,此合格品是甲厂生产的概率 P(A|B):
735.0
905.0
665.0
8.03.095.07.0
95.07.0
)|()()|()(
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)(
)(
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ABPAPABPAP
ABPAP
BP
ABP
BAP
5
例 4 10个考签中有 4个难签,3人参加抽签 (不放回 ),甲先,乙次,丙最后,设事件 A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签,求乙抽到难签的概率 P(B)
解 利用 B=AB+AB,且 AB与 AB互斥,得
4.0
10
4
90
36
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24
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90
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3
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10
4
)(
ABPAPABPAPBP
ABPAPBAP
ABPAPABP
n
m
AP
6
从形式上看事件 B是比较复杂的,
仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概率,于是先将复杂的事件 B分解为较简单的事件 AB与 AB; 再将加法法则与乘法法则结合起来,计算出需要求的概率,把这个想法一般化,
得到全概率定理,又称全概率公式,
7
全概率定理 如果事件 A1,A2,… 构成一个完备事件组,并且都具有正概率,则对任意一事件
B有
i
ii ABPAPBP |)()(
i
ii
i
i
i
i
i
i
ABPAPBAPBP
BAABBB
)|()()()(
)(
得由加法法则和乘法法则
证 由于 A1,A2,… 两两互不相容,因此,
A1B,A2B,… 也两两互不相容,且
8
全概率定理的图形理解如图所示,事件 B的面积为 B与各个事件 Ai相交的面积之和,
A1
A2
A3
A4
B
9
用全概率定理来解题的思路,从试验的角度考虑问题,一定是将试验分为两步做,将第一步试验的各个结果分为一些完备事件组 A1,A2,…,An,然后在这每一事件下计算或给出某个事件 B发生的条件概率,最后用全概率公式综合全概率定理解题的思路试验
1
试验
2
…
A1
A2
An
B
10
例 6 12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出 3
个用完后放回,求第 3次比赛时取到的 3个球都是新球的概率解 假设 A0,A1,A2,A3为第一次取到 0个,1个,2个,3
个新球,当然,因为一开始都是新球,因此第一次只能取到 3个新球,即 A3为必然事件,而
A0,A1,A2都是不可能事件,
再假设 B0,B1,B2,B3为第二次取到 0个,1个,2个 3
个新球,当第二次取球的时候,12个乒乓球中必然有 3个旧球,而 B0,B1,B2,B3构成完备事件组,
并能够求出它们的概率,再假设 C3为最后取到
3个新球,则针对 C3使用全概率公式,
11
则有,
220
20
)|(,
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56
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C
C
BCP
C
C
BCP
C
C
BCP
C
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C
CC
BP
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CC
BP
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BP
C
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ii
i
综合就是
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综合就是
146.0
220
20
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108
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3
0
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i
ii
i
i
BCPBPCP
i
C
C
BCP
最后套用全概率公式得
13
贝叶斯定理 若 A1,A2,…,构成一个完备事件组,
并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为零的事件 B,有证 由条件概率的定义得
,...)2,1(
)|()(
)|()(
)|(
m
ABPAP
ABPAP
BAP
i
ii
mm
m
即贝叶斯公式得定理之公式对分母用全概率公式再对分子用乘法法则
,
,
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP
m
m
14
贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样,只是要求的是一个条件概率,是在信息论中的重要公式,即在二次试验后,观察者只能看到最后的结果事件 B,却要根据 B来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率贝叶斯定理解题的思路
A1
试验
1
试验
2
…
A2
An
B
观察者
15
全概率公式和贝叶斯公式可以用表格计算,
P(A1) P(B|A1) P(A1)P(B|A1)
P(A2) P(B|A2) P(A2)P(B|A2)
… … …
P(An) P(B|An) P(An)P(B|An)
P(B)=?
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例 7 假定某工厂甲乙丙 3个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的 45%,35%,20%,如果各车间的次品率依次为 4%,2%,5%,现在从待出厂产品中检查出 1个次品,试判断它是由甲车间生产的概率解 设事件 B表示 "产品为次品 ",A1,A2,A3分别表示 "产品为甲,乙,丙车间生产的 ",显然,
A1,A2,A3构成一完备事件组,依题意,有
P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20%
P(B|A1)=4% P(B|A2)=2% P(B|A3)=5%
17
则由贝叶斯公式得
514.0
%5%20%2%35%4%45
%4%45
)|()(
)|()(
)|(
3
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1
i
ii
ABPAP
ABPAP
BAP
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在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中,
关键的一步是要使用一完备事件组,而最常用的完备事件组,是一事件 A与它的逆 A构成的完备事件组,这时的全概率与贝叶斯公式为,(应在考试前专门将它们记住 ).
)|()()|()(
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ABPAPABPAP
ABPAP
BAP
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP
ABPAPABPAPBP
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例 假设在某特定人群中某种疾病的发病率为 p,对此疾病有一种血检方法,如果一个人得了这种病,则此血检结果呈阳性的概率为?,而如果一个人没这种病化验却呈阳性的概率为?,求出当化验为阳性时,此人得了这种病的概率和没得这种病的概率,
20
解 设 A为事件 "待检者患病 ",B为事件 "试验结果阳性 ",则
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)(
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p
BP
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BAP
pp
p
BP
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pp
ABPAPABPAPBP
ABPABP
pAPpAP
则
21
此题的英文版本原为
EXAMPLE 6.5 Suppose the incidence of a
certain population is p,There is a blood test for
the diseas,It detects the disease with probability
if the person tested has the disease and gives a
false positive with probability?,Find the
probability that a person who tests positive has
the disease and find the probability that a person
who tests positive does not have the disease.
22
SOLUTION,Let A be the event "person has the
disease" and B be the event "test is positive."
Then
)1(
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)(
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pp
p
BP
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pp
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BAP
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ABPAPABPAPBP
ABPABP
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1987年理工科硕士入学考试题有两个箱子,第一个箱子有 3个白球 2个红球,
第二个箱子有 4个白球 4个红球,现从第 1个箱子中随机地取 1个球放到第 2个箱子里,再从第
2个箱子中取 1个球,此球是白球的概率为
______,已知上述从第 2个箱子中取出的球是白球,则从第 1个箱子中取出的球是白球的概率为 ______.
24
解 假设事件 A为从第 1个箱子取出的是白球,
B为从第 2个箱子取出的是白球,第一步试验中的 A与 A构成完备事件组,则
23
15
45
23
9
5
5
3
)(
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9
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5
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)(,
5
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BP
ABPAP
BAP
ABPAPABPAPBP
ABPABPAPAP
则
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1999年 MBA试题甲盒内有红球 4只,黑球 2只,白球 2只 ; 乙盒内有红球 5只,黑球 3只 ; 丙盒内有黑球 2只,白球 2只,从这 3只盒的任意一只中取出 1只球,
它是红球的概率是 ( )
(A) 0.5626 (B) 0.5 (C) 0.45
(D) 0.375 (E) 0.225
解 假设 A1,A2,A3为取到甲,乙,丙盒的事件,这是第一步试验的各事件,构成完备事件组,
假设 B为最后取出的是红球的事件,
26
则
)D(
375.0
8
3
4
0
3
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3
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3
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321
321
因此选
i
ii
ABPAPBP
ABPABPABP
APAPAP
27
作业 习题 1 第 27页开始
22,25,27,
28,29,30
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全概率定理和贝叶斯定理
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解 由于 B=AB+AB为二互斥事件之和例 5 市上供应灯泡中,甲厂产品 (A)占 70%,乙厂 (A)占 30%,甲,乙厂的产品合格率分别为
95%,80%,B表示产品合格,求总合格率 P(B)
905.024.0665.08.03.095.07.0
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24.08.03.0)|()()(
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ABPAPABPAP
BAPABPBAABPBP
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ABPAPABP
ABPABP
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则
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还可以进一步计算,如果买到一合格品,此合格品是甲厂生产的概率 P(A|B):
735.0
905.0
665.0
8.03.095.07.0
95.07.0
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ABPAPABPAP
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BAP
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例 4 10个考签中有 4个难签,3人参加抽签 (不放回 ),甲先,乙次,丙最后,设事件 A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签,求乙抽到难签的概率 P(B)
解 利用 B=AB+AB,且 AB与 AB互斥,得
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ABPAPABPAPBP
ABPAPBAP
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从形式上看事件 B是比较复杂的,
仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概率,于是先将复杂的事件 B分解为较简单的事件 AB与 AB; 再将加法法则与乘法法则结合起来,计算出需要求的概率,把这个想法一般化,
得到全概率定理,又称全概率公式,
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全概率定理 如果事件 A1,A2,… 构成一个完备事件组,并且都具有正概率,则对任意一事件
B有
i
ii ABPAPBP |)()(
i
ii
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i
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ABPAPBAPBP
BAABBB
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得由加法法则和乘法法则
证 由于 A1,A2,… 两两互不相容,因此,
A1B,A2B,… 也两两互不相容,且
8
全概率定理的图形理解如图所示,事件 B的面积为 B与各个事件 Ai相交的面积之和,
A1
A2
A3
A4
B
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用全概率定理来解题的思路,从试验的角度考虑问题,一定是将试验分为两步做,将第一步试验的各个结果分为一些完备事件组 A1,A2,…,An,然后在这每一事件下计算或给出某个事件 B发生的条件概率,最后用全概率公式综合全概率定理解题的思路试验
1
试验
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…
A1
A2
An
B
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例 6 12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出 3
个用完后放回,求第 3次比赛时取到的 3个球都是新球的概率解 假设 A0,A1,A2,A3为第一次取到 0个,1个,2个,3
个新球,当然,因为一开始都是新球,因此第一次只能取到 3个新球,即 A3为必然事件,而
A0,A1,A2都是不可能事件,
再假设 B0,B1,B2,B3为第二次取到 0个,1个,2个 3
个新球,当第二次取球的时候,12个乒乓球中必然有 3个旧球,而 B0,B1,B2,B3构成完备事件组,
并能够求出它们的概率,再假设 C3为最后取到
3个新球,则针对 C3使用全概率公式,
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则有,
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综合就是
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综合就是
146.0
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最后套用全概率公式得
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贝叶斯定理 若 A1,A2,…,构成一个完备事件组,
并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为零的事件 B,有证 由条件概率的定义得
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BP
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贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样,只是要求的是一个条件概率,是在信息论中的重要公式,即在二次试验后,观察者只能看到最后的结果事件 B,却要根据 B来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率贝叶斯定理解题的思路
A1
试验
1
试验
2
…
A2
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B
观察者
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全概率公式和贝叶斯公式可以用表格计算,
P(A1) P(B|A1) P(A1)P(B|A1)
P(A2) P(B|A2) P(A2)P(B|A2)
… … …
P(An) P(B|An) P(An)P(B|An)
P(B)=?
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例 7 假定某工厂甲乙丙 3个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的 45%,35%,20%,如果各车间的次品率依次为 4%,2%,5%,现在从待出厂产品中检查出 1个次品,试判断它是由甲车间生产的概率解 设事件 B表示 "产品为次品 ",A1,A2,A3分别表示 "产品为甲,乙,丙车间生产的 ",显然,
A1,A2,A3构成一完备事件组,依题意,有
P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20%
P(B|A1)=4% P(B|A2)=2% P(B|A3)=5%
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则由贝叶斯公式得
514.0
%5%20%2%35%4%45
%4%45
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ABPAP
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在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中,
关键的一步是要使用一完备事件组,而最常用的完备事件组,是一事件 A与它的逆 A构成的完备事件组,这时的全概率与贝叶斯公式为,(应在考试前专门将它们记住 ).
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例 假设在某特定人群中某种疾病的发病率为 p,对此疾病有一种血检方法,如果一个人得了这种病,则此血检结果呈阳性的概率为?,而如果一个人没这种病化验却呈阳性的概率为?,求出当化验为阳性时,此人得了这种病的概率和没得这种病的概率,
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解 设 A为事件 "待检者患病 ",B为事件 "试验结果阳性 ",则
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此题的英文版本原为
EXAMPLE 6.5 Suppose the incidence of a
certain population is p,There is a blood test for
the diseas,It detects the disease with probability
if the person tested has the disease and gives a
false positive with probability?,Find the
probability that a person who tests positive has
the disease and find the probability that a person
who tests positive does not have the disease.
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SOLUTION,Let A be the event "person has the
disease" and B be the event "test is positive."
Then
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1987年理工科硕士入学考试题有两个箱子,第一个箱子有 3个白球 2个红球,
第二个箱子有 4个白球 4个红球,现从第 1个箱子中随机地取 1个球放到第 2个箱子里,再从第
2个箱子中取 1个球,此球是白球的概率为
______,已知上述从第 2个箱子中取出的球是白球,则从第 1个箱子中取出的球是白球的概率为 ______.
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解 假设事件 A为从第 1个箱子取出的是白球,
B为从第 2个箱子取出的是白球,第一步试验中的 A与 A构成完备事件组,则
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1999年 MBA试题甲盒内有红球 4只,黑球 2只,白球 2只 ; 乙盒内有红球 5只,黑球 3只 ; 丙盒内有黑球 2只,白球 2只,从这 3只盒的任意一只中取出 1只球,
它是红球的概率是 ( )
(A) 0.5626 (B) 0.5 (C) 0.45
(D) 0.375 (E) 0.225
解 假设 A1,A2,A3为取到甲,乙,丙盒的事件,这是第一步试验的各事件,构成完备事件组,
假设 B为最后取出的是红球的事件,
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则
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375.0
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因此选
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ABPABPABP
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