概率论第4章习题参考解答
1,若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,命中3炮的概率,至少命中3炮的概率,最可能命中几炮.
解,设ξ为射击10炮命中的炮数,则ξ~B(10,0.7),命中3炮的概率为
0.0090
至少命中3炮的概率,为1减去命中不到3炮的概率,为
0.9984
因np+p=10×0.7+0.7=7.7不是整数,因此最可能命中[7.7]=7炮.
2,在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.
解,设ξ为10件产品中的废品数,则ξ~B(10,0.01),则废品数不超过2个的概率为
0.9999
3,某车间有20部同型号机床,每部机床开动的概率为0.8,若假定各机床是否开动彼此独立,每部机床开动时所消耗的电能为15个单位,求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率.
解,设每时刻机床开动的数目为ξ,则ξ~B(20,0.8),假设这个车间消耗的电能为η个单位,则η=15ξ,因此
4,从一批废品率为0.1的产品中,重复抽取20个进行检查,求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.
解,设这20个产品中的废品数为ξ,则ξ~B(20,0.1),假设这20个产品中的废品率为η,则η=ξ/20,因此
=0.867
5,生产某种产品的废品率为0.1,抽取20件产品,初步检查已发现有2件废品,问这20件中,废品不少于3件的概率.
解,设ξ为这20件产品中的废品数,则ξ~B(20,0.1),又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件,则要求的是条件概率
因事件,因此
因此
6,抛掷4颗骰子,ξ为出现1点的骰子数目,求ξ的概率分布,分布函数,以及出现1点的骰子数目的最可能值.
解,因掷一次骰子出现一点的概率为1/6,则ξ~B(4,1/6),因此有
或者算出具体的值如下所示：
ξ
0
1
2
3
4
P
0.4823
0.3858
0.1157
0.0154
0.0008
从分布表可以看出最可能值为0,或者np+p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数,因此最可能值为[5/6]=0.
7,事件A在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验,求(1)出现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数.
解,设19次试验中事件A出现次数为ξ,则ξ~B(19,0.3),因此
(1)ξ的数学期望为Eξ=np=19×0.3=5.7
方差为Dξ=np(1-p)=19×0.3×0.7=3.99
标准差为
(2)因np+p=5.7+0.3=6为整数,因此最可能值为5和6.
8,已知随机变量ξ服从二项分布,Eξ=12,Dξ=8,求p和n,
解,由Eξ=np=12 (1)
和Dξ=np(1-p)=8 (2)
由(1)得n=12/p,代入到(2)得
12(1-p)=8,解出p=(12-8)/12=1/3=0.3333
代回到(1)式得n=12/p=12×3=36
9,某柜台上有4个售货员,并预备了两个台秤,若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤,求一天10小时内,平均有多少时间台秤不够用.
解,每个时刻构成一n=4的贝努里试验,且p=15/60=0.25,因此,设ξ为每个时刻要用秤的售货员数,则ξ~B(4,0.25),当ξ>2时,台秤不够用,因此每时刻台秤不够用的概率为
0.0508
因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用.
10,已知试验的成功率为p,进行4重贝努里试验,计算在没有全部失败的情况下,试验成功不止一次的概率.
解,设ξ为4次试验中的成功数,则ξ~B(4,p),事件"没有全部失败"即事件{ξ>0},而事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1},因此要求的是条件概率P{ξ>1|ξ>0},又因事件{ξ>1}被事件{ξ>0}包含,因此这两个事件的交仍然是{ξ>1},因此
其中q=1-p
11,ξ服从参数为2,p的二项分布,已知P(ξ≥1)=5/9,那么成功率为p的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?
解,因ξ~B(2,p),则必有,解得
则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数,η~B(4,1/3),则
12,一批产品20个中有5个废品,任意抽取4个,求废品数不多于2个的概率
解,设ξ为抽取4个中的废品数,则ξ服从超几何分布,且有
0.968
13,如果产品是大批的,从中抽取的数目不大时,则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算,试将下例用两个公式计算,并比较其结果,产品的废品率为0.1,从1000个产品中任意抽取3个,求废品数为1的概率.
解,设任抽3个中的废品数为ξ,则ξ服从超几何分布,废品数为0.1×1000=100
0.2435
而如果用二项分布近似计算,n=3,p=0.1,ξ~B(3,0.1)
0.2430
近似误差为0.0005,是非常准确的.
14,从一副朴克牌(52张)中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布.
解,设ξ为发出的5张中黑桃的张数,则ξ服从超几何分布,则
则按上式计算出概率分布如下表所示:
ξ
0
1
2
3
4
5
P
0.2215
0.4114
0.2743
0.0815
0.0107
0.0005
15,从大批发芽率为0.8的种子中,任取10粒,求发芽粒数不小于8粒的概率.
解,设ξ为10粒种子中发芽的粒数,则ξ服从超几何分布,但可以用二项分布近似,其中p=0.8,n=10,则
=0.6778
16,一批产品的废品率为0.001,用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率,以及不超过2件的概率.
解,设ξ为800件产品中的废品数,则ξ服从超几何分布,可以用二项分布近似,
则ξ~B(800,0.001),而因为试验次数很大废品率则很小,可以用普阿松分布近似,参数为
λ=np=800×0.001=0.8
17,某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布,平均一件上有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元,疵点数大于1不多于4为二等品,价值8元,4个以上为废品,求产品为废品的概率以及产品的平均价值.
解,设ξ为产品表面上的疵点数,则ξ服从普哇松分布,λ=0.8,设η为产品的价值,是ξ的函数,则产品为废品的概率为
0.8088
0.1898
则产品的平均价值为
Eη = 10×P{η=10}+8×P{η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元)
18,一个合订本共100页,平均每页上有两个印刷错误,假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布,计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率.
解,设ξ为每页上的印刷错误数目,则ξ服从普哇松分布,λ=2,则1页印刷错误都不超过4个的概率为
0.9473
而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为
0.004454
19,某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布,如果它的平均寿命Eξ=1000小时,写出ξ的概率密度,并计算P(1000<ξ≤1200).
解,因Eξ=1000=1/λ,其概率密度为
20,ξ~N(0,1),Φ0(x)是它的分布函数,φ0(x)是它的概率密度,Φ0(0),φ0(0),P(ξ=0)各是什么值?
解,因有
,,因此φ0(x)为偶函数,由对称性可知
Φ0(0)=0.5,
并有,
因ξ为连续型随机变量,取任何值的概率都为0,即P(ξ=0)=0.
21,求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下,还可以继续使用100小时而不坏的概率?
解,要求的概率为P(ξ>600|ξ>500),因此
22,若ξ服从具有n个自由度的χ2-分布,证明的概率密度为
称此分为为具有n个自由度的χ-分布证,设,则因ξ的概率密度函数为
η的分布函数为
对两边求导得
23,ξ~N(0,1),求P{ξ≥0},P{|ξ|<3},P{0<ξ≤5},P{ξ>3},P{-1<ξ<3}
解,根据ξ的对称性质及查表得:
P{ξ≥0}=1-Φ0(0)=0.5
P{|ξ|<3}=2Φ0(3)-1=2×0.99865-1=0.9973
P{0<ξ≤5}=Φ0(5)-0.5=0.5
P{ξ>3}=1-Φ0(3)=1-0.99865=0.00135
P{-1<ξ<3}=Φ0(3)-Φ0(-1)=Φ0(3)+Φ0(1)-1=0.99865+0.8413-1=0.83995
24,ξ~N(μ,σ2),为什么说事件"|ξ-μ|<2σ"在一次试验中几乎必然出现?
解,因为
因此在一次试验中几乎必然出现.
25,ξ~N(10,22),求P(10<ξ<13),P(ξ>13),P(|ξ-10|<2).
解,因为
26,若上题中已知P{|ξ-10|<c}=0.95,P{ξ<d}=0.0668,分别求c和d.
解,因为,则有
解得,查表得 得c=3.92
再由
知 因此
即,
查表得,解得
27,若ξ~N(μ,σ2),对于P{μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90,或0.95,或0.99,分别查表找出相应的k值.
解,先求P{μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90对应的k值,
因,因此
即,查表得k=1.64
同理,由,查表得k=1.96
由,查表得k=2.57
28,某批产品长度按N(50,0.252)分布,求产品长度在49.5cm和50.5cm之间的概率,长度小于49.2cm的概率.
解,设ξ为产品长度,则ξ~N(50,0.252),且有,则
29,ξi~N(0,1)(i=1,2,3),并且ξ1,ξ2,ξ3相互独立,,,求
解,此题要用到,两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布,因此,因为
,则
因此
也服从正态分布,且有
即与不相关,而因为它们服从正态分布,因此也就是与相互独立,则与也相互独立,则与η中的加和中的每一项相互独立,当然也与η相互独立,因此有,因为相互独立的随机变量一定不相关.
30,(ξ,η)有联合概率密度,求ζ的概率密度.
解,由联合概率密度看出,ξ与η相互独立服从标准正态分布,则有 ξ2与η2也相互独立且服从自由度为1的χ2-分布,即ξ2~χ2(1),η2~χ2(1),因此ζ=ξ2+η2~χ2(2),即它的概率密度为
即ζ服从λ=1/2的指数分布.
1,若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,命中3炮的概率,至少命中3炮的概率,最可能命中几炮.
解,设ξ为射击10炮命中的炮数,则ξ~B(10,0.7),命中3炮的概率为
0.0090
至少命中3炮的概率,为1减去命中不到3炮的概率,为
0.9984
因np+p=10×0.7+0.7=7.7不是整数,因此最可能命中[7.7]=7炮.
2,在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.
解,设ξ为10件产品中的废品数,则ξ~B(10,0.01),则废品数不超过2个的概率为
0.9999
3,某车间有20部同型号机床,每部机床开动的概率为0.8,若假定各机床是否开动彼此独立,每部机床开动时所消耗的电能为15个单位,求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率.
解,设每时刻机床开动的数目为ξ,则ξ~B(20,0.8),假设这个车间消耗的电能为η个单位,则η=15ξ,因此
4,从一批废品率为0.1的产品中,重复抽取20个进行检查,求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.
解,设这20个产品中的废品数为ξ,则ξ~B(20,0.1),假设这20个产品中的废品率为η,则η=ξ/20,因此
=0.867
5,生产某种产品的废品率为0.1,抽取20件产品,初步检查已发现有2件废品,问这20件中,废品不少于3件的概率.
解,设ξ为这20件产品中的废品数,则ξ~B(20,0.1),又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件,则要求的是条件概率
因事件,因此
因此
6,抛掷4颗骰子,ξ为出现1点的骰子数目,求ξ的概率分布,分布函数,以及出现1点的骰子数目的最可能值.
解,因掷一次骰子出现一点的概率为1/6,则ξ~B(4,1/6),因此有
或者算出具体的值如下所示：
ξ
0
1
2
3
4
P
0.4823
0.3858
0.1157
0.0154
0.0008
从分布表可以看出最可能值为0,或者np+p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数,因此最可能值为[5/6]=0.
7,事件A在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验,求(1)出现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数.
解,设19次试验中事件A出现次数为ξ,则ξ~B(19,0.3),因此
(1)ξ的数学期望为Eξ=np=19×0.3=5.7
方差为Dξ=np(1-p)=19×0.3×0.7=3.99
标准差为
(2)因np+p=5.7+0.3=6为整数,因此最可能值为5和6.
8,已知随机变量ξ服从二项分布,Eξ=12,Dξ=8,求p和n,
解,由Eξ=np=12 (1)
和Dξ=np(1-p)=8 (2)
由(1)得n=12/p,代入到(2)得
12(1-p)=8,解出p=(12-8)/12=1/3=0.3333
代回到(1)式得n=12/p=12×3=36
9,某柜台上有4个售货员,并预备了两个台秤,若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤,求一天10小时内,平均有多少时间台秤不够用.
解,每个时刻构成一n=4的贝努里试验,且p=15/60=0.25,因此,设ξ为每个时刻要用秤的售货员数,则ξ~B(4,0.25),当ξ>2时,台秤不够用,因此每时刻台秤不够用的概率为
0.0508
因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用.
10,已知试验的成功率为p,进行4重贝努里试验,计算在没有全部失败的情况下,试验成功不止一次的概率.
解,设ξ为4次试验中的成功数,则ξ~B(4,p),事件"没有全部失败"即事件{ξ>0},而事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1},因此要求的是条件概率P{ξ>1|ξ>0},又因事件{ξ>1}被事件{ξ>0}包含,因此这两个事件的交仍然是{ξ>1},因此
其中q=1-p
11,ξ服从参数为2,p的二项分布,已知P(ξ≥1)=5/9,那么成功率为p的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?
解,因ξ~B(2,p),则必有,解得
则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数,η~B(4,1/3),则
12,一批产品20个中有5个废品,任意抽取4个,求废品数不多于2个的概率
解,设ξ为抽取4个中的废品数,则ξ服从超几何分布,且有
0.968
13,如果产品是大批的,从中抽取的数目不大时,则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算,试将下例用两个公式计算,并比较其结果,产品的废品率为0.1,从1000个产品中任意抽取3个,求废品数为1的概率.
解,设任抽3个中的废品数为ξ,则ξ服从超几何分布,废品数为0.1×1000=100
0.2435
而如果用二项分布近似计算,n=3,p=0.1,ξ~B(3,0.1)
0.2430
近似误差为0.0005,是非常准确的.
14,从一副朴克牌(52张)中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布.
解,设ξ为发出的5张中黑桃的张数,则ξ服从超几何分布,则
则按上式计算出概率分布如下表所示:
ξ
0
1
2
3
4
5
P
0.2215
0.4114
0.2743
0.0815
0.0107
0.0005
15,从大批发芽率为0.8的种子中,任取10粒,求发芽粒数不小于8粒的概率.
解,设ξ为10粒种子中发芽的粒数,则ξ服从超几何分布,但可以用二项分布近似,其中p=0.8,n=10,则
=0.6778
16,一批产品的废品率为0.001,用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率,以及不超过2件的概率.
解,设ξ为800件产品中的废品数,则ξ服从超几何分布,可以用二项分布近似,
则ξ~B(800,0.001),而因为试验次数很大废品率则很小,可以用普阿松分布近似,参数为
λ=np=800×0.001=0.8
17,某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布,平均一件上有0.8个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元,疵点数大于1不多于4为二等品,价值8元,4个以上为废品,求产品为废品的概率以及产品的平均价值.
解,设ξ为产品表面上的疵点数,则ξ服从普哇松分布,λ=0.8,设η为产品的价值,是ξ的函数,则产品为废品的概率为
0.8088
0.1898
则产品的平均价值为
Eη = 10×P{η=10}+8×P{η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元)
18,一个合订本共100页,平均每页上有两个印刷错误,假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布,计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率.
解,设ξ为每页上的印刷错误数目,则ξ服从普哇松分布,λ=2,则1页印刷错误都不超过4个的概率为
0.9473
而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为
0.004454
19,某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布,如果它的平均寿命Eξ=1000小时,写出ξ的概率密度,并计算P(1000<ξ≤1200).
解,因Eξ=1000=1/λ,其概率密度为
20,ξ~N(0,1),Φ0(x)是它的分布函数,φ0(x)是它的概率密度,Φ0(0),φ0(0),P(ξ=0)各是什么值?
解,因有
,,因此φ0(x)为偶函数,由对称性可知
Φ0(0)=0.5,
并有,
因ξ为连续型随机变量,取任何值的概率都为0,即P(ξ=0)=0.
21,求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下,还可以继续使用100小时而不坏的概率?
解,要求的概率为P(ξ>600|ξ>500),因此
22,若ξ服从具有n个自由度的χ2-分布,证明的概率密度为
称此分为为具有n个自由度的χ-分布证,设,则因ξ的概率密度函数为
η的分布函数为
对两边求导得
23,ξ~N(0,1),求P{ξ≥0},P{|ξ|<3},P{0<ξ≤5},P{ξ>3},P{-1<ξ<3}
解,根据ξ的对称性质及查表得:
P{ξ≥0}=1-Φ0(0)=0.5
P{|ξ|<3}=2Φ0(3)-1=2×0.99865-1=0.9973
P{0<ξ≤5}=Φ0(5)-0.5=0.5
P{ξ>3}=1-Φ0(3)=1-0.99865=0.00135
P{-1<ξ<3}=Φ0(3)-Φ0(-1)=Φ0(3)+Φ0(1)-1=0.99865+0.8413-1=0.83995
24,ξ~N(μ,σ2),为什么说事件"|ξ-μ|<2σ"在一次试验中几乎必然出现?
解,因为
因此在一次试验中几乎必然出现.
25,ξ~N(10,22),求P(10<ξ<13),P(ξ>13),P(|ξ-10|<2).
解,因为
26,若上题中已知P{|ξ-10|<c}=0.95,P{ξ<d}=0.0668,分别求c和d.
解,因为,则有
解得,查表得 得c=3.92
再由
知 因此
即,
查表得,解得
27,若ξ~N(μ,σ2),对于P{μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90,或0.95,或0.99,分别查表找出相应的k值.
解,先求P{μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90对应的k值,
因,因此
即,查表得k=1.64
同理,由,查表得k=1.96
由,查表得k=2.57
28,某批产品长度按N(50,0.252)分布,求产品长度在49.5cm和50.5cm之间的概率,长度小于49.2cm的概率.
解,设ξ为产品长度,则ξ~N(50,0.252),且有,则
29,ξi~N(0,1)(i=1,2,3),并且ξ1,ξ2,ξ3相互独立,,,求
解,此题要用到,两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布,因此,因为
,则
因此
也服从正态分布,且有
即与不相关,而因为它们服从正态分布,因此也就是与相互独立,则与也相互独立,则与η中的加和中的每一项相互独立,当然也与η相互独立,因此有,因为相互独立的随机变量一定不相关.
30,(ξ,η)有联合概率密度,求ζ的概率密度.
解,由联合概率密度看出,ξ与η相互独立服从标准正态分布,则有 ξ2与η2也相互独立且服从自由度为1的χ2-分布,即ξ2~χ2(1),η2~χ2(1),因此ζ=ξ2+η2~χ2(2),即它的概率密度为
即ζ服从λ=1/2的指数分布.
