1
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2
独立试验序列概型
3
关于上一次作业的问题请注意全概率公式和贝叶斯公式的题型,将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式,如果是在第步二某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用贝叶斯公式,
但是有的同学根本就没有仔细看全概率公式,
因此写成,
P(B)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)+…
4
而正确的全概率公式是这样
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…
因此,在假设事件中,除了划分的假设 A1,A2,…
外,只假设一个最终的事件,
当然,因为全概率公式是来自
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…
因此也有人这样假设事件,即假设 D1=A1B1,
D2=A2B2,…
P(B)=P(D1)+P(D2)+…
但这种作法习惯不好,
5
事件运算的最小项任给 n个事件 A1,A2,…,An,取这 n个事件中的每一个,然后将其中的一些取逆,再将这 n个事件中取逆的和不取逆的事件相并得到的事件,称为这 n个事件的一个最小项,给定 n个事件可产生多个不同的最小项,各个最小项之间是互不相容的,
而这 n个事件能够逻辑上构成的任何事件,可以由若干个最小项的并构成,因此要计算这样的事件的概率,只需要按加法法则将所包含的各个最小项的概率相加即可,
6
例,二事件 A与 B可组成四个最小项为
ABBABABA
ABBABABA
BABA
BABAABBA
ABBAA
BA
ABBABABA
如个的并产生由这四个最小项中的几可以产生的任何逻辑式式都由,
,,,
7
从图形上看,这四个最小项代表了四个区域
3,2,1,0 ABBABABA
A
B
0 1
2
3
8
而三个事件 A,B,C可组成 8个最小项为
A B CCABCBABCA
BCACAB
A B CCABCBACBAA
CBA
A B CCABCBACBA
BCACBACBACBA
如产生个最小项中的几个的并由这可以产生的任何逻辑式式都由
8
,,
,,,
,,,
9
这 8个最小项可以和所有的 3位二进制数一一对应
11 1
11 0
10 1
10 0
01 1
01 0
00 1
00 0
A B C
CAB
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CBA
10
一般地
n个事件 A1,A2,…,An共可组成 2n个最小项,每个最小项可以和一个 n位二进制数对应,如果此二进制数的第 i位为 0,对应在此最小项中的 Ai
取逆,而第 j位为 1对应在此最小项中的 Aj不取逆,
11
书上补充习题 1(226页 ) 某工厂每天分 3个班生产,事件 Ai表示第 i个班超额完成生产任务
(i=1,2,3)),则至少有两个班超额完成任务可以表示为
323121
321321321321
323121321321321
)(
)(
)()(
AAAAAAd
AAAAAAAAAAAAc
AAAAAAbAAAAAAAAAa
解 此为多选题,正确的答案为 (b),(c),(d),这是因为 (a)为恰有两个班超额完成的最小项之和,
而 (b)为至少两个班的典型表示式,(c)为最小项表示,而 (d)表示至少两个班不超额的逆
12
独立试验概型在概率论中,把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型,
进行 n次试验,若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果发生情况的影响,则称这 n次试验是相互独立的,
而多个独立试验可以在多个场景同时进行,也可以按时间顺序进行,
13
例 1 甲,乙,丙 3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率均为 0.8,求恰有 0部,1部,2部,3部机床需要工人照管的概率,
解 用事件 A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管,依题意 A,B,C相互独立,
并且 P(A)=P(B)=P(C)=0.8,将 ABC的所有最小项列出来为
AB CCABCBACBA
BCACBACBACBA
,,,
,,,
14
假设 B0,B1,B2,B3为有 0,1,2,3台机床需要照料的事件,则根据所列出的最小项可得
)3,2,1,0(,8.02.0)(
2.0)()(
8.02.03)()(
8.02.03)()()(
)()(
8.0)()()()()(
3
3
3
3
2
2
2
1
3
0
kCBP
CBAPBP
CBACBACBAPBP
CABPCBAPBCAP
CABCBABCAPBP
CPBPAPA B CPBP
kkk
k
总结写成
111110101100011010001000
,,,,,,,A B CCABCBACBABCACBACBACBA
15
例 4 一批产品的废品率为 0.1,每次取一个,观察后放回去,下次再取一个,共重复 3次,求这 3
次中恰有 0,1,2,3次取到废品的概率,
解 用事件 A,B,C分别表示第 1,2,3次取到废品的事件,则 A,B,C相互独立,
并且 P(A)=P(B)=P(C)=0.1,将 A,B,C的所有最小项列出来为
AB CCABCBACBA
BCACBACBACBA
,,,
,,,
16
假设 B0,B1,B2,B3为恰抽到 0,1,2,3个废品的事件,则根据所列出的最小项可得
)3,2,1,0(,9.01.0)(
1.0)()(
9.01.03)()(
9.01.03)()()(
)()(
9.0)()()()()(
3
3
3
3
2
2
2
1
3
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kCBP
A B CPBP
BCACBACABPBP
CBAPCBAPCBAP
CBACBACBAPBP
CPBPAPCBAPBP
kkk
k
总结写成
111110101100011010001000
,,,,,,,A B CCABCBACBABCACBACBACBA
17
例 5 在例 4中废品率若为 p(0<p<1),重复地抽取 n次,求有 k次取到废品的概率,
解,假设 A1,A2,…,An为第 1,2,…,n次取到废品的事件,则这 n个事件可以组成 2n个最小项,
每一个最小项对应于一个 n位的二进制数,假设 Bk为有 k次取到废品的概率,则
),...,2,1,0()(
.1,)1(,
.1
,
nkqpCBP
pqqppp
k
nCB
knkk
nk
knkknk
k
nk
因此其中均为样都一而且每个最小项的概率的数的个数个有位二进制数中相当于所有个最小项构成由
18
上面例子的共同特点是在每次试验中某事件 A或者发生或者不发生,
假设每次试验的结果与其它各次试验结果无关,即在每次试验中 A出现的概率都是
p(0<p<1),这样的一系列重复试验 (比如 n次 ),
称为 n重贝努里试验,
因此,n重贝努里试验共有两个关键参数,一个是每次试验 A发生的概率,一个是试验次数 n.
注意 A并非 n重试验的样本空间的事件,它只是一次试验中的事件,而在 n重试验中,它转化为 A1,A2,…,An
19
定理 1.31(贝努里定理 ) 设一次试验中事件 A
发生的概率为 p(0<p<1),则 n重贝努里试验中,
事件 A恰好发生 k次的概率用 pn(k)表示,则
pq
nkqpCkp
knkk
nn
1
),.,,,1,0()(
其中
20
我们知道代数中有二项式定理
.
)(
1)(
1
)(
0
0
次项的展开后的次的概率为发生可见事件可得代入上式和用贝努里定理中的即
kp
qpkA
qpCqp
pqp
yxCyx
n
n
k
knkk
n
n
n
k
knkk
n
n
21
例 6 一条自动生产线上产品的一级品率为
0.6,现检查了 10件,求至少有两件一级品的概率,
解 设 B为事件至少有两件一级品,此为 n=10重贝努里试验,事件 A(抽到一级品 )的概率 p=0.6
998.04.06.0104.01
)1()0(1)(1)(
910
1010
ppBPBP
22
1999年 MBA试题 设 A1,A2,A3为 3个独立事件,
且 P(Ak)=p (k=1,2,3,p>0),则 3个事件不全发生的概率是
(A) (1?p)3 (B) 3(1?p)
(C) (1?p)3+3p(1?p)
(D) 3p(1?p)2+3p(1?p) (E) 3p(1?p)3
解 此题为 3重贝努里试验,设事件 B为 3个事件不全发生,则 B的逆为 3个事件全发生的概率为 p3,因此 P(B)=1?p3,而上面的选项 (C)为
(1?p)3+3p(1?p)=1?p3 满足要求,因此应选 (C)
23
1999年 MBA试题 进行一系列独立试验,每次试验成功的概率为 p,则在成功 2次之前已经失败了 3次的概率为 ( )
(A) 4p2(1?p)3 (B) 4p(1?p)3 (C)10p2(1?p)3
(D) p2(1?p)3 (E) (1?p)3
解 成功 2次之前已经失败了 3次的事件一定已经进行了 5次试验,第 5次是成功的,且前 4次一定还有一次成功,前 4次有一次成功的概率是
p4(1)=4p(1?p)3,则再考虑第 5次的成功,成功 2
次前失败 3次的概率为 4p2(1?p)3
因此,应填选项 (A)
24
1987年理工科考研题 设在一次试验中 A发生的概率为 p,现进行 n次独立试验,则事件 A
至少发生一次的概率为 ___; 而事件 A至多发生一次的概率为 _____.
1
)1()1()1()0()(
,
)1(1)(1)(
,)1()(
,
,
nn
nn
n
n
pnppppCP
C
pBPBP
pBP
B
则为至多发生一次的事件假设概型的概率计算公式由贝努里为至少发生一次的事件假设解
25
1988年理工科考研题 设三次独立试验中,事件 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 19/27,则事件 A在一次试验中出现的概率为 _________
3
1
),1(
3
2
,)1(
27
8
27
19
)1(1)(1)(
,3
,
,3,
3
3
ppp
pBPBP
A
BpA
n
解得开立方得则至少出现一次次试验为假设事件未知出现的概率但每次试验为已知试验次数这是贝努里概型试验
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作业 习题一第 29页开始第 37,38,40题
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独立试验序列概型
3
关于上一次作业的问题请注意全概率公式和贝叶斯公式的题型,将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式,如果是在第步二某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用贝叶斯公式,
但是有的同学根本就没有仔细看全概率公式,
因此写成,
P(B)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)+…
4
而正确的全概率公式是这样
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…
因此,在假设事件中,除了划分的假设 A1,A2,…
外,只假设一个最终的事件,
当然,因为全概率公式是来自
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…
因此也有人这样假设事件,即假设 D1=A1B1,
D2=A2B2,…
P(B)=P(D1)+P(D2)+…
但这种作法习惯不好,
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事件运算的最小项任给 n个事件 A1,A2,…,An,取这 n个事件中的每一个,然后将其中的一些取逆,再将这 n个事件中取逆的和不取逆的事件相并得到的事件,称为这 n个事件的一个最小项,给定 n个事件可产生多个不同的最小项,各个最小项之间是互不相容的,
而这 n个事件能够逻辑上构成的任何事件,可以由若干个最小项的并构成,因此要计算这样的事件的概率,只需要按加法法则将所包含的各个最小项的概率相加即可,
6
例,二事件 A与 B可组成四个最小项为
ABBABABA
ABBABABA
BABA
BABAABBA
ABBAA
BA
ABBABABA
如个的并产生由这四个最小项中的几可以产生的任何逻辑式式都由,
,,,
7
从图形上看,这四个最小项代表了四个区域
3,2,1,0 ABBABABA
A
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0 1
2
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而三个事件 A,B,C可组成 8个最小项为
A B CCABCBABCA
BCACAB
A B CCABCBACBAA
CBA
A B CCABCBACBA
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如产生个最小项中的几个的并由这可以产生的任何逻辑式式都由
8
,,
,,,
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这 8个最小项可以和所有的 3位二进制数一一对应
11 1
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00 0
A B C
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CBA
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一般地
n个事件 A1,A2,…,An共可组成 2n个最小项,每个最小项可以和一个 n位二进制数对应,如果此二进制数的第 i位为 0,对应在此最小项中的 Ai
取逆,而第 j位为 1对应在此最小项中的 Aj不取逆,
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书上补充习题 1(226页 ) 某工厂每天分 3个班生产,事件 Ai表示第 i个班超额完成生产任务
(i=1,2,3)),则至少有两个班超额完成任务可以表示为
323121
321321321321
323121321321321
)(
)(
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AAAAAAd
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解 此为多选题,正确的答案为 (b),(c),(d),这是因为 (a)为恰有两个班超额完成的最小项之和,
而 (b)为至少两个班的典型表示式,(c)为最小项表示,而 (d)表示至少两个班不超额的逆
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独立试验概型在概率论中,把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型,
进行 n次试验,若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果发生情况的影响,则称这 n次试验是相互独立的,
而多个独立试验可以在多个场景同时进行,也可以按时间顺序进行,
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例 1 甲,乙,丙 3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率均为 0.8,求恰有 0部,1部,2部,3部机床需要工人照管的概率,
解 用事件 A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管,依题意 A,B,C相互独立,
并且 P(A)=P(B)=P(C)=0.8,将 ABC的所有最小项列出来为
AB CCABCBACBA
BCACBACBACBA
,,,
,,,
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假设 B0,B1,B2,B3为有 0,1,2,3台机床需要照料的事件,则根据所列出的最小项可得
)3,2,1,0(,8.02.0)(
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总结写成
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例 4 一批产品的废品率为 0.1,每次取一个,观察后放回去,下次再取一个,共重复 3次,求这 3
次中恰有 0,1,2,3次取到废品的概率,
解 用事件 A,B,C分别表示第 1,2,3次取到废品的事件,则 A,B,C相互独立,
并且 P(A)=P(B)=P(C)=0.1,将 A,B,C的所有最小项列出来为
AB CCABCBACBA
BCACBACBACBA
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假设 B0,B1,B2,B3为恰抽到 0,1,2,3个废品的事件,则根据所列出的最小项可得
)3,2,1,0(,9.01.0)(
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总结写成
111110101100011010001000
,,,,,,,A B CCABCBACBABCACBACBACBA
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例 5 在例 4中废品率若为 p(0<p<1),重复地抽取 n次,求有 k次取到废品的概率,
解,假设 A1,A2,…,An为第 1,2,…,n次取到废品的事件,则这 n个事件可以组成 2n个最小项,
每一个最小项对应于一个 n位的二进制数,假设 Bk为有 k次取到废品的概率,则
),...,2,1,0()(
.1,)1(,
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因此其中均为样都一而且每个最小项的概率的数的个数个有位二进制数中相当于所有个最小项构成由
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上面例子的共同特点是在每次试验中某事件 A或者发生或者不发生,
假设每次试验的结果与其它各次试验结果无关,即在每次试验中 A出现的概率都是
p(0<p<1),这样的一系列重复试验 (比如 n次 ),
称为 n重贝努里试验,
因此,n重贝努里试验共有两个关键参数,一个是每次试验 A发生的概率,一个是试验次数 n.
注意 A并非 n重试验的样本空间的事件,它只是一次试验中的事件,而在 n重试验中,它转化为 A1,A2,…,An
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定理 1.31(贝努里定理 ) 设一次试验中事件 A
发生的概率为 p(0<p<1),则 n重贝努里试验中,
事件 A恰好发生 k次的概率用 pn(k)表示,则
pq
nkqpCkp
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1
),.,,,1,0()(
其中
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我们知道代数中有二项式定理
.
)(
1)(
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次项的展开后的次的概率为发生可见事件可得代入上式和用贝努里定理中的即
kp
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例 6 一条自动生产线上产品的一级品率为
0.6,现检查了 10件,求至少有两件一级品的概率,
解 设 B为事件至少有两件一级品,此为 n=10重贝努里试验,事件 A(抽到一级品 )的概率 p=0.6
998.04.06.0104.01
)1()0(1)(1)(
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ppBPBP
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1999年 MBA试题 设 A1,A2,A3为 3个独立事件,
且 P(Ak)=p (k=1,2,3,p>0),则 3个事件不全发生的概率是
(A) (1?p)3 (B) 3(1?p)
(C) (1?p)3+3p(1?p)
(D) 3p(1?p)2+3p(1?p) (E) 3p(1?p)3
解 此题为 3重贝努里试验,设事件 B为 3个事件不全发生,则 B的逆为 3个事件全发生的概率为 p3,因此 P(B)=1?p3,而上面的选项 (C)为
(1?p)3+3p(1?p)=1?p3 满足要求,因此应选 (C)
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1999年 MBA试题 进行一系列独立试验,每次试验成功的概率为 p,则在成功 2次之前已经失败了 3次的概率为 ( )
(A) 4p2(1?p)3 (B) 4p(1?p)3 (C)10p2(1?p)3
(D) p2(1?p)3 (E) (1?p)3
解 成功 2次之前已经失败了 3次的事件一定已经进行了 5次试验,第 5次是成功的,且前 4次一定还有一次成功,前 4次有一次成功的概率是
p4(1)=4p(1?p)3,则再考虑第 5次的成功,成功 2
次前失败 3次的概率为 4p2(1?p)3
因此,应填选项 (A)
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1987年理工科考研题 设在一次试验中 A发生的概率为 p,现进行 n次独立试验,则事件 A
至少发生一次的概率为 ___; 而事件 A至多发生一次的概率为 _____.
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)1()1()1()0()(
,
)1(1)(1)(
,)1()(
,
,
nn
nn
n
n
pnppppCP
C
pBPBP
pBP
B
则为至多发生一次的事件假设概型的概率计算公式由贝努里为至少发生一次的事件假设解
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1988年理工科考研题 设三次独立试验中,事件 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 19/27,则事件 A在一次试验中出现的概率为 _________
3
1
),1(
3
2
,)1(
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)1(1)(1)(
,3
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,3,
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A
BpA
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解得开立方得则至少出现一次次试验为假设事件未知出现的概率但每次试验为已知试验次数这是贝努里概型试验
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作业 习题一第 29页开始第 37,38,40题
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