1
概率论与数理统计第 7讲本文件可从网址
http://math.vip.sina.com
上下载
(单击 ppt讲义后选择 '概率论 '子目录 )
2
独立试验概型
3
事件的独立性定义 1.4 如果事件 A发生的可能性不受事件 B发生与否的影响,即 P(A|B)=P(A),则称事件 A
对于事件 B独立,
4
由此定义及条件概率 P(A|B)的定义有相互独立与因此称事件也独立对于独立则对于而且可以看出如果必要条件独立的充分对于是因此则必有如有反过来因此必有
BAA
BBA
BABPAPABP
AP
BP
ABP
BAP
BPAPABP
BPAPABP
AP
BP
ABP
BAP
,
,
)()()(
)(
)(
)(
)|(
)()()(,
)()()(
)(
)(
)(
)|(
5
如 A与 B独立,则
.,
)()(
)](1)[(
)()()(
)()(
)()(
,
也相互独立与与同理可知这是因为也独立与
BABA
BPAP
BPAP
BPAPAP
ABPAP
ABAPBAP
BA
6
在实用中两个事件独立经常是由于两个试验独立,且总的试验由两个试验拼成,这两个试验相互之间没有任何影响,
在解题过程中,通常题目中已经告诉你哪些事件独立或者说相互无关,
在科学实验中,两个事件是否独立是需要经过理论和实验的反复验证的,比如一种治疗方法或者一种药是否和另一种病的好转或者恶化有关系,或者完全没有关系 (独立 ).
7
定义 1.5
如果 n(n>2)个事件 A1,A2,…,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响,则称
A1,A2,…,An相互独立,
若 A1,A2,…,An相互独立,则有
P(A1A2… An)= P(A1)P(A2)… P(An)
8
除非两个事件之一的概率为 0,
否则两个相互独立的事件 A与 B通常是相容的,
这是因为 P(AB)=P(A)P(B)不为零,
计算相互独立事件的交的概率通常是好算的,
只须将它们各自的概率相乘即可,但经常也要计算到相互独立事件的并的概率,这时候或者可以用广义加法法则,即
P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)
=P(A)+P(B)?P(A)P(B)
9
如果是要求多个相互独立的事件的并的概率,
则应当利用狄,摩根定理将事件的并转换为事件的交,也就是考虑事件的逆的概率,
)()()(1
)(1)(
)()(1)(1)(
21
2121
n
nn
APAPAP
AAAPAAAP
BPAPBAPBAP
10
但是,经常有的难题喜欢求某些独立事件的交了再并的概率,这时候不得不套用广义加法法则,尤其常用的是三个事件的并的加法法则,
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(AC)?
P(BC)+P(ABC)
例如,常见的求 AB+CD+EF的概率,则
P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)?
P(ABCD)?P(ABEF)?P(CDEF)+P(ABCDEF)
如果 A,B,C,D,E,F相互之间独立,则上式中的各个交事件的概率再变成各概率之积,
11
而一种非常常见的题型,就是假设事件 A,B,C相互独立,但是问其中至少两件发生的概率,或者至少两件不发生的概率,而
A,B,C至少两件发生的事件为
AB+AC+BC,因此
P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)?
P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)+P(ABC)
=P(AB)+P(AC)+P(BC)?2P(ABC)
= P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)
2P(A)P(B)P(C)
12
而 A,B,C至少两件不发生的事件为
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)(
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
CBAPCBPCAPBAP
CBCABAP
CBCABA
因此
13
例 1 甲,乙,丙 3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为 0.9,0.8及 0.85,求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率,
解 用事件 A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管,依题意 A,B,C相互独立,
并且 P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85
则这段时间内有机床需要工人照管的概率为
388.085.08.09.01
)()()(1)(1)(
CPBPAPA B CPA B CP
14
而当至少有两部机床需要照管的时候,就有机床因无人照管而停工了,这样的事件是
059.015.02.01.02
15.02.015.01.02.01.0
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)(
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
CBAPCBPCAPBAP
CBCABAP
CBCABA
因此相应的概率为
15
例 2 若例 1中的 3部机床性能相同,设
P(A)=P(B)=P(C)=0.8,求这段时间内恰有一部机床需人照管的概率假设事件 E为 "三部中恰有一部需人照管 ",而
D1,D2,D3为恰好甲,乙,丙机床需人照管,则
128.02.08.08.0)()()()(
128.08.02.08.0)()()()(
128.08.08.02.0)()()()(
,,
3
2
1
321
CPBPAPDP
CPBPAPDP
CPBPAPDP
CABDCBADBCAD
16
而 E=D1+D2+D3为三个互不相容事件之和,
而且 P(D1)=P(D2)=P(D3),都是由一个 0.2与两个 0.8相乘,因此可以写成
096.08.004.038.02.0)(
)(
384.0128.038.02.0)(
22
3
21
3
CFP
FP
CEP
为的概率部机床需要照管同理也能够算出恰有两
17
例 3 如图所示,开关电路中开关 a,b,c,d开或关的概率都是 0.5,且各开关是否关闭相互独立,
求灯亮的概率以及若已见灯亮,开关 a与 b同时关闭的概率
a b
c
d
18
解 令事件 A,B,C,D分别表示开关 a,b,c,d关闭,E
表示灯亮,则 E=AB+C+D
a b
c
d
19
P(E)=P(AB+C+D)
=P(AB)+P(C)+P(D)?P(ABC)?P(ABD)
P(CD)+P(ABCD)
=P(A)P(B)+P(C)+P(D)?P(A)P(B)P(C)
P(A)P(B)P(D)?P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)
=0.52+0.5+0.5?0.53?0.53?0.52+0.54=0.8125
P(AB|E)=P(ABE)/P(E)
而 AB?E,故 ABE=AB,因此
3077.0
8125.0
25.0
)(
)(
)|(
EP
ABP
EABP
20
甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛,已知甲的命中率为 0.9,乙的命中率为 0.8,丙的命中率为 0.7,现每人各投一次,求,
(1)三人中至少有两人投进的概率 ;
(2)三人中至多有两人投进的概率,
解,设 A="甲投进 ",B="乙投进 ",C="丙投进 "
则三人中至少两人投中的事件为
AB+AC+BC
三人中至多有两人投进的事件为 ABC
98年经济类考研题
21
因此
496.0504.017.08.09.01
)()()(1)(1)()2(
902.0008.191.1008.156.063.072.0
7.08.09.027.08.07.09.08.09.0
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)()1(
CPBPAPA B CPA B CP
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
A B CPBCPACPABP
BCACABP
22
1998经济类考研题设 A,B,C是三个相互独立的随机事件,且
0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是
CABCBA
CACCBA
与与与与
.D.C
.B.A
解 由题设,A,B,C是三个相互独立的随机事件,
那么其中任意两个事件或其对立事件的和,差,
交与另一事件或者其对立事件是相互独立的,
根据这一性质,只有 B是不成立的,
23
1994年经济类考研题相互独立和事件互不独立和事件互相对立和事件互不相容和事件则设
BABA
BABA
BAPBAP
BPAP
.D.C
.B.A
)(,1)|()|(
,1)(0,1)(0
D,,,
).|()|(
),|(1)|(
,1)|()|(
应填选项相互独立因此即有由解
BA
BAPBAP
BAPBAP
BAPBAP
24
这是因为,如果相互独立与因此即
BA
BPAPABP
BPABPBPAP
BPABPABP
BP
ABPAP
BP
BAP
BP
ABP
BAPBAP
)()()(
)()()()(
)()()(
)(1
)()(
)(
)(
)(
)(
)|()|(
25
2000年经济类考研题设 A,B,C三个事件两两独立,则 A,B,C相互独立的充分必要条件是 ( )
A,A与 BC独立 B,AB与 A+C独立
C,AB与 AC独立 D,A+B与 A+C独立解,选项 B,C,D的两个事件中都出现事件 A,因此都不可能独立,因此考察选项 A,
如 A与 BC独立,则 P(ABC)=P(A)P(BC)
但 A,B,C两两独立,因此 P(BC)=P(B)P(C)
因此 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),即 A,B,C相互独立,
反之亦然,因此,应填选项 A.
26
作业,第 28页开始,
第 31,32,33,
34,36题
A组交作业
27
请提问
概率论与数理统计第 7讲本文件可从网址
http://math.vip.sina.com
上下载
(单击 ppt讲义后选择 '概率论 '子目录 )
2
独立试验概型
3
事件的独立性定义 1.4 如果事件 A发生的可能性不受事件 B发生与否的影响,即 P(A|B)=P(A),则称事件 A
对于事件 B独立,
4
由此定义及条件概率 P(A|B)的定义有相互独立与因此称事件也独立对于独立则对于而且可以看出如果必要条件独立的充分对于是因此则必有如有反过来因此必有
BAA
BBA
BABPAPABP
AP
BP
ABP
BAP
BPAPABP
BPAPABP
AP
BP
ABP
BAP
,
,
)()()(
)(
)(
)(
)|(
)()()(,
)()()(
)(
)(
)(
)|(
5
如 A与 B独立,则
.,
)()(
)](1)[(
)()()(
)()(
)()(
,
也相互独立与与同理可知这是因为也独立与
BABA
BPAP
BPAP
BPAPAP
ABPAP
ABAPBAP
BA
6
在实用中两个事件独立经常是由于两个试验独立,且总的试验由两个试验拼成,这两个试验相互之间没有任何影响,
在解题过程中,通常题目中已经告诉你哪些事件独立或者说相互无关,
在科学实验中,两个事件是否独立是需要经过理论和实验的反复验证的,比如一种治疗方法或者一种药是否和另一种病的好转或者恶化有关系,或者完全没有关系 (独立 ).
7
定义 1.5
如果 n(n>2)个事件 A1,A2,…,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响,则称
A1,A2,…,An相互独立,
若 A1,A2,…,An相互独立,则有
P(A1A2… An)= P(A1)P(A2)… P(An)
8
除非两个事件之一的概率为 0,
否则两个相互独立的事件 A与 B通常是相容的,
这是因为 P(AB)=P(A)P(B)不为零,
计算相互独立事件的交的概率通常是好算的,
只须将它们各自的概率相乘即可,但经常也要计算到相互独立事件的并的概率,这时候或者可以用广义加法法则,即
P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)
=P(A)+P(B)?P(A)P(B)
9
如果是要求多个相互独立的事件的并的概率,
则应当利用狄,摩根定理将事件的并转换为事件的交,也就是考虑事件的逆的概率,
)()()(1
)(1)(
)()(1)(1)(
21
2121
n
nn
APAPAP
AAAPAAAP
BPAPBAPBAP
10
但是,经常有的难题喜欢求某些独立事件的交了再并的概率,这时候不得不套用广义加法法则,尤其常用的是三个事件的并的加法法则,
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(AC)?
P(BC)+P(ABC)
例如,常见的求 AB+CD+EF的概率,则
P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)?
P(ABCD)?P(ABEF)?P(CDEF)+P(ABCDEF)
如果 A,B,C,D,E,F相互之间独立,则上式中的各个交事件的概率再变成各概率之积,
11
而一种非常常见的题型,就是假设事件 A,B,C相互独立,但是问其中至少两件发生的概率,或者至少两件不发生的概率,而
A,B,C至少两件发生的事件为
AB+AC+BC,因此
P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)?
P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)+P(ABC)
=P(AB)+P(AC)+P(BC)?2P(ABC)
= P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)
2P(A)P(B)P(C)
12
而 A,B,C至少两件不发生的事件为
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)(
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
CBAPCBPCAPBAP
CBCABAP
CBCABA
因此
13
例 1 甲,乙,丙 3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为 0.9,0.8及 0.85,求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率,
解 用事件 A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管,依题意 A,B,C相互独立,
并且 P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85
则这段时间内有机床需要工人照管的概率为
388.085.08.09.01
)()()(1)(1)(
CPBPAPA B CPA B CP
14
而当至少有两部机床需要照管的时候,就有机床因无人照管而停工了,这样的事件是
059.015.02.01.02
15.02.015.01.02.01.0
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)(
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
CBAPCBPCAPBAP
CBCABAP
CBCABA
因此相应的概率为
15
例 2 若例 1中的 3部机床性能相同,设
P(A)=P(B)=P(C)=0.8,求这段时间内恰有一部机床需人照管的概率假设事件 E为 "三部中恰有一部需人照管 ",而
D1,D2,D3为恰好甲,乙,丙机床需人照管,则
128.02.08.08.0)()()()(
128.08.02.08.0)()()()(
128.08.08.02.0)()()()(
,,
3
2
1
321
CPBPAPDP
CPBPAPDP
CPBPAPDP
CABDCBADBCAD
16
而 E=D1+D2+D3为三个互不相容事件之和,
而且 P(D1)=P(D2)=P(D3),都是由一个 0.2与两个 0.8相乘,因此可以写成
096.08.004.038.02.0)(
)(
384.0128.038.02.0)(
22
3
21
3
CFP
FP
CEP
为的概率部机床需要照管同理也能够算出恰有两
17
例 3 如图所示,开关电路中开关 a,b,c,d开或关的概率都是 0.5,且各开关是否关闭相互独立,
求灯亮的概率以及若已见灯亮,开关 a与 b同时关闭的概率
a b
c
d
18
解 令事件 A,B,C,D分别表示开关 a,b,c,d关闭,E
表示灯亮,则 E=AB+C+D
a b
c
d
19
P(E)=P(AB+C+D)
=P(AB)+P(C)+P(D)?P(ABC)?P(ABD)
P(CD)+P(ABCD)
=P(A)P(B)+P(C)+P(D)?P(A)P(B)P(C)
P(A)P(B)P(D)?P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)
=0.52+0.5+0.5?0.53?0.53?0.52+0.54=0.8125
P(AB|E)=P(ABE)/P(E)
而 AB?E,故 ABE=AB,因此
3077.0
8125.0
25.0
)(
)(
)|(
EP
ABP
EABP
20
甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛,已知甲的命中率为 0.9,乙的命中率为 0.8,丙的命中率为 0.7,现每人各投一次,求,
(1)三人中至少有两人投进的概率 ;
(2)三人中至多有两人投进的概率,
解,设 A="甲投进 ",B="乙投进 ",C="丙投进 "
则三人中至少两人投中的事件为
AB+AC+BC
三人中至多有两人投进的事件为 ABC
98年经济类考研题
21
因此
496.0504.017.08.09.01
)()()(1)(1)()2(
902.0008.191.1008.156.063.072.0
7.08.09.027.08.07.09.08.09.0
)()()(2
)()()()()()(
)(2)()()(
)()1(
CPBPAPA B CPA B CP
CPBPAP
CPBPCPAPBPAP
A B CPBCPACPABP
BCACABP
22
1998经济类考研题设 A,B,C是三个相互独立的随机事件,且
0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是
CABCBA
CACCBA
与与与与
.D.C
.B.A
解 由题设,A,B,C是三个相互独立的随机事件,
那么其中任意两个事件或其对立事件的和,差,
交与另一事件或者其对立事件是相互独立的,
根据这一性质,只有 B是不成立的,
23
1994年经济类考研题相互独立和事件互不独立和事件互相对立和事件互不相容和事件则设
BABA
BABA
BAPBAP
BPAP
.D.C
.B.A
)(,1)|()|(
,1)(0,1)(0
D,,,
).|()|(
),|(1)|(
,1)|()|(
应填选项相互独立因此即有由解
BA
BAPBAP
BAPBAP
BAPBAP
24
这是因为,如果相互独立与因此即
BA
BPAPABP
BPABPBPAP
BPABPABP
BP
ABPAP
BP
BAP
BP
ABP
BAPBAP
)()()(
)()()()(
)()()(
)(1
)()(
)(
)(
)(
)(
)|()|(
25
2000年经济类考研题设 A,B,C三个事件两两独立,则 A,B,C相互独立的充分必要条件是 ( )
A,A与 BC独立 B,AB与 A+C独立
C,AB与 AC独立 D,A+B与 A+C独立解,选项 B,C,D的两个事件中都出现事件 A,因此都不可能独立,因此考察选项 A,
如 A与 BC独立,则 P(ABC)=P(A)P(BC)
但 A,B,C两两独立,因此 P(BC)=P(B)P(C)
因此 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),即 A,B,C相互独立,
反之亦然,因此,应填选项 A.
26
作业,第 28页开始,
第 31,32,33,
34,36题
A组交作业
27
请提问
