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2
第二章 随机变量及其分布随机变量的概念
3
再谈试验及样本空间一次 随机试验 的所有可能的 试验结果?所构成的集合被称作样本空间?,而每一个可能的试验结果?构成样本点,样本点的集合 A称作事件,只包含一个样本点的集合 {?}被称作基本事件,
请注意,这里的 试验结果 实际上是 一次试验的全过程的记录,因此和我们原来的印象中的试验结果并非一样,并非试验结束时候的那个结果,
4
例如,假设一场足球赛是一个试验那么一个试验结果就是这场球赛的全程的记录,可以认为记录着整场球赛的录象带是一个试验结果,而非比赛结束时候的比分是试验结果,
因此,象 {比赛的头五分钟有球队进球 },{上半场甲队领先 },{第三十分钟到三十四分钟期间有一次角球 },{前十五分钟有人被罚下场 }都是事件,它们都是由一系列可能的试验结果构成,
5
因此,样本空间是一个非常抽象的集合从理论上讲它可以是任何集合,但这对于研究带来了许多不方便,
而数学上则更喜欢研究实数集合,
一方面,样本空间本身也可能就是实数集合或者其子集,
另一方面,可以建立一个从样本空间到实数集合的一个映射,即每给定一个实验结果或者样本点?,存在着唯一的一个实数?(?)与之对应,这样就建立了一个自变量为?而函数值则为实数的一个特殊的 "函数 ",我们称之为随机变量,
6
3
4?2
1
这可以用下图来示意此图显示了只有四个样本点的一个样本空间映射到实数 a,b,c的一种映射,注意?1和?2映射到同一个实数 b,这是一种常见的情况,
x?
a b c
7
从样本空间到实数的映射方法有许多种,
每一种映射方法,被称为一个随机变量,一般用希腊字母?,h,z或大写拉丁字母 X,Y,Z等表示,
通常的试验的结果都能够通过各种编码的方法映射到实数集合,而也有一些试验的结果干脆就是数字,即样本空间本来就是实数,
当我们看到一个随机变量?时,可以想到一种在实数轴上进行的随机试验,每次试验的结果的样本空间就是实数集合,每一次试验都将产生一个具体的实数,但具体产生哪个实数不可预知,
8
一些随机变量的例
(1) 一个射手对目标进行射击,击中目标记为 1
分,未中目标记为 0分,如果用?表示射手在一次射击中的得分,则它是一个随机变量,可以取 0和 1两个可能的值,
(2) 某段时间内候车室的旅客数目记为?,它是一个随机变量,可以取 0及一切不大于 M的自然数,M为候车室的最大容量,
(3) 单位面积上某农作物的产量?是一个随机变量,它可以取一个区间内的一切实数值,即
[0,T],T是一个常数,
9
给定一随机变量?,它有可能取某些值,而没有可能取另一些值,因此可按取值情况将随机变量分为两类,
(1) 离散型随机变量 只可能取有限个或无限可列个值,
(2) 非离散型随机变量 可能取任何实数,
而非离散型随机变量中最常用的为 连续型随机变量,
10
随机变量的分布离散型随机变量的分布
11
定义 2.1 如果随机变量?只取有限个或可列个可能值,而且以确定的概率取这些不同的值,则称?为离散性随机变量,
为直观起见,将?可能取的值及相应概率列成 概率分布表 如下
x1 x2 … xk …
P p1 p2 … pk …
此外,?的概率分布情况也可以用一系列等式表示,P(?=xk)=pk (k=1,2,…)
这被称作随机变量?的 概率函数 (或概率分布 )
12
其中 {?=x1},{?=x2},…,{?=xk},… 构成一完备事件组,因此概率函数具有如下性质,
1)2(
,...2,10)1(
k
k
k
p
kp
一般所说的离散性随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表,
上面两个性质中的性质 (2)经常在解题中构成解方程的一个条件,
13
例 1 一批产品的废品率为 5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量?来描述废品出现的情况,好写出?的分布,
解 用?表示废品的个数,则它只能取 0或 1两个值,"?=0"表示 "产品为合格 ","?=1"表示 "产品为废品 ",则概率分布表如下
0 1
P 0.95 0.05
即 P{?=0}=0.95,P{?=1}=0.05,或可写为
P{?=k}=0.05k0.951-k (k=0,1)
14
两点分布,只有两个可能取值的随机变量所服从的分布,称为两点分布,其概率函数为
P(?=xk)=pk (k=1,2)
概率分布表为,
x1 x2
P p1 p2
概率分布图为
x
p1 p2
x1 x2
15
0-1分布,只取 0和 1两个值的随机变量所服从的分布称为 0-1分布,其概率函数为
P(? =k)=pk(1-p)1-k (k=0,1)
概率分布表为,
0 1
P 1-p p
概率分布图为
x
1-p
p
0 1
1
16
例 2 产品有一,二,三等品及废品 4种,其一,二,
三等品率和废品率分别为 60%,10%,20%,
10%,任取一个产品检验其质量,用随机变量
描述检验结果并画出其概率函数图,
解 令 "?=k"与产品为 "k等品 "(k=1,2,3)相对应,
"?=0"与产品为 "废品 "相对应,?是一个随机变量,它可以取 0,1,2,3这 4个值,依题意,
P(?=0)=0.1 P(?=1)=0.6
P(?=2)=0.1 P(?=3)=0.2
则可列出概率分布表并画出概率分布图,
17
的概率分布表为
0 1 2 3
P 0.1 0.6 0.1 0.2
概率分布图为
x0 1 2 30.1
1
p
18
例 3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况解 令?表示掷一颗骰子出现的点数,它可取 1
到 6共 6个自然数,相应的概率都是 1/6,列成概率分布表和概率分布图如下
1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
6
1
P
0 1 2 3 4 5 6 x
19
离散型均匀分布如果随机变量?有概率函数,
,,
),...,2,1(
1
)(
ji
k
xxji
nk
n
xP
时且当
则称?服 从离散型均匀分布,
20
例 4 社会上定期发行某种奖券,每券 1元,中奖率为 p,某人每次购买 1张奖券,如果没有中奖下次再继续购买 1张,直到中奖为止,求该人购买次数?的分布,
解 "? =1"表示第一次购买的奖券中奖,依题意 P(?
=1)=p,
"? =2"表示购买两次奖券,但第一次未中奖,其概率为 1-p,而第二次中奖,其概率为 p,由于各期奖券中奖与否相互独立,所以
P(? =2)=(1-p)p;
"? =i"表示购买 i次,前 i-1次都未中奖,而第 i次中奖,
P(? =i)=(1-p)i-1p.
21
由此得到?的概率函数为
P(? =i)=p(1-p)i-1 (i=1,2,…)
1
1
1,
,,
,,1
1)1(
1
1
1
1
1
1
-
-?
-
-
-
-
p
p
q
p
pq
q
pq
pqpp
i
i
i
i
i
i
时收敛于几何级数在公比小于公比称为一项之比为常数因为级数中每一项与前级数也称为等比数上面的级数称为几何级其中验证称此分布为 几何分布
22
例 5 盒内装有外形与功率均相同的 15个灯泡,其中 10个螺口,5个卡口,灯口向下放着,现在需用 1个螺口灯泡,从盒中任取一个,如果取到卡口灯泡就不再放回去,求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数?的分布,
23
解 "?=0"表示第一个就取到了螺口灯泡,
"?=1" 表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡,因此 P(?=0)=10/15=2/3,
P(?=1)=(5/15)(10/14)=5/21
P(?=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273
P(?=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273
P(?=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003
P(?=5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003
概率分布表为
0 1 2 3 4 5
P 2/3 5/21 20/273 5/273 10/3003 1/3003
24
随机变量的分布函数定义 2.2 若?是一个随机变量 (可以是离散型的,
也可以是非离散型的 ),对任何实数 x,令
F(?)=P( x)
称 F(x)是随机变量?的分布函数
(因此,要求出一个随机变量的分布函数的工作量是很大的,理论上要算无穷多个事件的概率才行 )
25
例 6 求本节例 1中的分布函数解 在例 1中?的分布函数如下表所示,
0 1
P 0.95 0.05
其分布函数为
11
1095.0
00
)()(
x
x
x
xPxF?
26
对于一般的 0-1分布,其分布函数为
x
1-p
0 1
1
-
11
101
00
)(
x
xp
x
xF
x
1-pp
0 1
1
F(x)
27
例 7 求例 3中的分布函数 F(x)
解
61
)5,4,3,2,1(1
6
10
)(
x
kkxk
k
x
xF
28
的概率函数及 F(x)的图形为
P
0 1 2 3 4 5 6 x
6
1
0 1 2 3 4 5 6 x
6
1
1 F(x)
29
分布函数与概率函数满足关系,
xxk
k
kk
k
pxF
kpxP
:
)(:
,...)3,2,1()(:
分布函数概率函数?
这是因为在一般的公式中,要考虑 x1,x2,… 并非按从小到大的次序排列的可能性,
例如,假设 x1=0,x2=-1,x3=1
P(x1)=0.2=p1,P(x2)=0.3=p2,P(x3)=0.5=p3,
30
这时便有
3312
3112
122
2
1
5.0
2.0
0
)(
xxppp
xxxpp
xxxp
xx
xF
31
F(x)的图形为
x2 x1 x3
F(x)
32
F(x),即事件 "x"的概率是 x的一个实函数对任意实数 x1<x2,有因 {x2}?{x1}
{x1<x2}={x2}-{x1}
P(x1<x2)=P(x2)-P(x1)
即
P(x1<x2)=F(x2)-F(x1)
因此,若已知?的分布函数 F(x),就能知道?在任何一个区间上取值的概率,从这个意义上说,分布函数完整地描述了随机变量的变化情况
33
分布函数 F(x)具有如下几个性质,
连续的而且在间断点上也是右至多有可列个间断点有任给即的不减函数是成立对一切
,)()4(
1)(lim)(
0)(lim)()3(
)()(
,,
,)()2(
,1)(0)1(
12
1221
xF
xFF
xFF
xFxF
xxRxx
xxF
RxxF
x
x
-?
-
34
作业 习题二第 54页开始
1,3,4,6,9,10题
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35
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第二章 随机变量及其分布随机变量的概念
3
再谈试验及样本空间一次 随机试验 的所有可能的 试验结果?所构成的集合被称作样本空间?,而每一个可能的试验结果?构成样本点,样本点的集合 A称作事件,只包含一个样本点的集合 {?}被称作基本事件,
请注意,这里的 试验结果 实际上是 一次试验的全过程的记录,因此和我们原来的印象中的试验结果并非一样,并非试验结束时候的那个结果,
4
例如,假设一场足球赛是一个试验那么一个试验结果就是这场球赛的全程的记录,可以认为记录着整场球赛的录象带是一个试验结果,而非比赛结束时候的比分是试验结果,
因此,象 {比赛的头五分钟有球队进球 },{上半场甲队领先 },{第三十分钟到三十四分钟期间有一次角球 },{前十五分钟有人被罚下场 }都是事件,它们都是由一系列可能的试验结果构成,
5
因此,样本空间是一个非常抽象的集合从理论上讲它可以是任何集合,但这对于研究带来了许多不方便,
而数学上则更喜欢研究实数集合,
一方面,样本空间本身也可能就是实数集合或者其子集,
另一方面,可以建立一个从样本空间到实数集合的一个映射,即每给定一个实验结果或者样本点?,存在着唯一的一个实数?(?)与之对应,这样就建立了一个自变量为?而函数值则为实数的一个特殊的 "函数 ",我们称之为随机变量,
6
3
4?2
1
这可以用下图来示意此图显示了只有四个样本点的一个样本空间映射到实数 a,b,c的一种映射,注意?1和?2映射到同一个实数 b,这是一种常见的情况,
x?
a b c
7
从样本空间到实数的映射方法有许多种,
每一种映射方法,被称为一个随机变量,一般用希腊字母?,h,z或大写拉丁字母 X,Y,Z等表示,
通常的试验的结果都能够通过各种编码的方法映射到实数集合,而也有一些试验的结果干脆就是数字,即样本空间本来就是实数,
当我们看到一个随机变量?时,可以想到一种在实数轴上进行的随机试验,每次试验的结果的样本空间就是实数集合,每一次试验都将产生一个具体的实数,但具体产生哪个实数不可预知,
8
一些随机变量的例
(1) 一个射手对目标进行射击,击中目标记为 1
分,未中目标记为 0分,如果用?表示射手在一次射击中的得分,则它是一个随机变量,可以取 0和 1两个可能的值,
(2) 某段时间内候车室的旅客数目记为?,它是一个随机变量,可以取 0及一切不大于 M的自然数,M为候车室的最大容量,
(3) 单位面积上某农作物的产量?是一个随机变量,它可以取一个区间内的一切实数值,即
[0,T],T是一个常数,
9
给定一随机变量?,它有可能取某些值,而没有可能取另一些值,因此可按取值情况将随机变量分为两类,
(1) 离散型随机变量 只可能取有限个或无限可列个值,
(2) 非离散型随机变量 可能取任何实数,
而非离散型随机变量中最常用的为 连续型随机变量,
10
随机变量的分布离散型随机变量的分布
11
定义 2.1 如果随机变量?只取有限个或可列个可能值,而且以确定的概率取这些不同的值,则称?为离散性随机变量,
为直观起见,将?可能取的值及相应概率列成 概率分布表 如下
x1 x2 … xk …
P p1 p2 … pk …
此外,?的概率分布情况也可以用一系列等式表示,P(?=xk)=pk (k=1,2,…)
这被称作随机变量?的 概率函数 (或概率分布 )
12
其中 {?=x1},{?=x2},…,{?=xk},… 构成一完备事件组,因此概率函数具有如下性质,
1)2(
,...2,10)1(
k
k
k
p
kp
一般所说的离散性随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表,
上面两个性质中的性质 (2)经常在解题中构成解方程的一个条件,
13
例 1 一批产品的废品率为 5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量?来描述废品出现的情况,好写出?的分布,
解 用?表示废品的个数,则它只能取 0或 1两个值,"?=0"表示 "产品为合格 ","?=1"表示 "产品为废品 ",则概率分布表如下
0 1
P 0.95 0.05
即 P{?=0}=0.95,P{?=1}=0.05,或可写为
P{?=k}=0.05k0.951-k (k=0,1)
14
两点分布,只有两个可能取值的随机变量所服从的分布,称为两点分布,其概率函数为
P(?=xk)=pk (k=1,2)
概率分布表为,
x1 x2
P p1 p2
概率分布图为
x
p1 p2
x1 x2
15
0-1分布,只取 0和 1两个值的随机变量所服从的分布称为 0-1分布,其概率函数为
P(? =k)=pk(1-p)1-k (k=0,1)
概率分布表为,
0 1
P 1-p p
概率分布图为
x
1-p
p
0 1
1
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例 2 产品有一,二,三等品及废品 4种,其一,二,
三等品率和废品率分别为 60%,10%,20%,
10%,任取一个产品检验其质量,用随机变量
描述检验结果并画出其概率函数图,
解 令 "?=k"与产品为 "k等品 "(k=1,2,3)相对应,
"?=0"与产品为 "废品 "相对应,?是一个随机变量,它可以取 0,1,2,3这 4个值,依题意,
P(?=0)=0.1 P(?=1)=0.6
P(?=2)=0.1 P(?=3)=0.2
则可列出概率分布表并画出概率分布图,
17
的概率分布表为
0 1 2 3
P 0.1 0.6 0.1 0.2
概率分布图为
x0 1 2 30.1
1
p
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例 3 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况解 令?表示掷一颗骰子出现的点数,它可取 1
到 6共 6个自然数,相应的概率都是 1/6,列成概率分布表和概率分布图如下
1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
6
1
P
0 1 2 3 4 5 6 x
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离散型均匀分布如果随机变量?有概率函数,
,,
),...,2,1(
1
)(
ji
k
xxji
nk
n
xP
时且当
则称?服 从离散型均匀分布,
20
例 4 社会上定期发行某种奖券,每券 1元,中奖率为 p,某人每次购买 1张奖券,如果没有中奖下次再继续购买 1张,直到中奖为止,求该人购买次数?的分布,
解 "? =1"表示第一次购买的奖券中奖,依题意 P(?
=1)=p,
"? =2"表示购买两次奖券,但第一次未中奖,其概率为 1-p,而第二次中奖,其概率为 p,由于各期奖券中奖与否相互独立,所以
P(? =2)=(1-p)p;
"? =i"表示购买 i次,前 i-1次都未中奖,而第 i次中奖,
P(? =i)=(1-p)i-1p.
21
由此得到?的概率函数为
P(? =i)=p(1-p)i-1 (i=1,2,…)
1
1
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,,
,,1
1)1(
1
1
1
1
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-
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-
-
-
-
p
p
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i
i
i
i
i
i
时收敛于几何级数在公比小于公比称为一项之比为常数因为级数中每一项与前级数也称为等比数上面的级数称为几何级其中验证称此分布为 几何分布
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例 5 盒内装有外形与功率均相同的 15个灯泡,其中 10个螺口,5个卡口,灯口向下放着,现在需用 1个螺口灯泡,从盒中任取一个,如果取到卡口灯泡就不再放回去,求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数?的分布,
23
解 "?=0"表示第一个就取到了螺口灯泡,
"?=1" 表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡,因此 P(?=0)=10/15=2/3,
P(?=1)=(5/15)(10/14)=5/21
P(?=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273
P(?=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273
P(?=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003
P(?=5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003
概率分布表为
0 1 2 3 4 5
P 2/3 5/21 20/273 5/273 10/3003 1/3003
24
随机变量的分布函数定义 2.2 若?是一个随机变量 (可以是离散型的,
也可以是非离散型的 ),对任何实数 x,令
F(?)=P( x)
称 F(x)是随机变量?的分布函数
(因此,要求出一个随机变量的分布函数的工作量是很大的,理论上要算无穷多个事件的概率才行 )
25
例 6 求本节例 1中的分布函数解 在例 1中?的分布函数如下表所示,
0 1
P 0.95 0.05
其分布函数为
11
1095.0
00
)()(
x
x
x
xPxF?
26
对于一般的 0-1分布,其分布函数为
x
1-p
0 1
1
-
11
101
00
)(
x
xp
x
xF
x
1-pp
0 1
1
F(x)
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例 7 求例 3中的分布函数 F(x)
解
61
)5,4,3,2,1(1
6
10
)(
x
kkxk
k
x
xF
28
的概率函数及 F(x)的图形为
P
0 1 2 3 4 5 6 x
6
1
0 1 2 3 4 5 6 x
6
1
1 F(x)
29
分布函数与概率函数满足关系,
xxk
k
kk
k
pxF
kpxP
:
)(:
,...)3,2,1()(:
分布函数概率函数?
这是因为在一般的公式中,要考虑 x1,x2,… 并非按从小到大的次序排列的可能性,
例如,假设 x1=0,x2=-1,x3=1
P(x1)=0.2=p1,P(x2)=0.3=p2,P(x3)=0.5=p3,
30
这时便有
3312
3112
122
2
1
5.0
2.0
0
)(
xxppp
xxxpp
xxxp
xx
xF
31
F(x)的图形为
x2 x1 x3
F(x)
32
F(x),即事件 "x"的概率是 x的一个实函数对任意实数 x1<x2,有因 {x2}?{x1}
{x1<x2}={x2}-{x1}
P(x1<x2)=P(x2)-P(x1)
即
P(x1<x2)=F(x2)-F(x1)
因此,若已知?的分布函数 F(x),就能知道?在任何一个区间上取值的概率,从这个意义上说,分布函数完整地描述了随机变量的变化情况
33
分布函数 F(x)具有如下几个性质,
连续的而且在间断点上也是右至多有可列个间断点有任给即的不减函数是成立对一切
,)()4(
1)(lim)(
0)(lim)()3(
)()(
,,
,)()2(
,1)(0)1(
12
1221
xF
xFF
xFF
xFxF
xxRxx
xxF
RxxF
x
x
-?
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1,3,4,6,9,10题
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